2018高中物理第六章万有引力与航天9双星和多星系统难点破解学案新人教版必修2

双星和多星系统难点破解
双星系统
一、模型构建
在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。

二、模型条件
（1）两颗星彼此相距较近（且认为系统不受其它星体的引力影响）。

（2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。

（3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。

三、模型特点
（1）“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力。

（2）“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

（3）“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比。

多星系统
一、三星系统
图一图二
图一中，三颗质量相等的行星分别处于等边三角形的三个定点上，围绕正三角形的几何中心O点各自做匀速圆周运动。

三颗星的周期、半径均相同。

图二中，三颗质量相等的行星位于一条直线上，其中一颗星位于直线的中点O（可视为静止不动），另外两颗行星绕O点做匀速圆周运动。

运行的两颗星的周期相同。

二、四星系统
图三图四
图三中，三颗质量相等的行星分别处于等边三角形的三个定点上，围绕正三角形的几何中心O点各自做匀速圆周运动，第四颗星位于O点（可视为静止不动）。

运行的三颗星的周期相同。

图四中，四颗质量相等的行星位于正方向的四角，绕正方形的几何中心O点做匀速圆周运动。

四颗星的运行周期相同。

三、解决多星系统的关键
多星系统与双星系统相似，首先选取其中一颗星为研究对象，分析各行星之间的万有引力关系并确定向心力的大小。

接着找到行星做圆周运动的圆心，确定半径。

然后结合圆周运动和牛顿运动定律进行计算。

例题 1 （重庆高考）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。

由此可知，冥王星绕O点运动的（）
1
A. 轨道半径约为卡戎的
7
1
B. 角速度大小约为卡戎的
7
C. 线速度大小约为卡戎的7倍
D. 向心力大小约为卡戎的7倍
思路分析：本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做匀速圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；由
G
221L m m ＝m 1ω2r 1＝m 2ω2
r 2（L 为两星间的距离），因此1221211221,71m m r r v v m m r r ====ωω=7
1，故A 对，C 错。

答案：A
例题2 如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速
圆周运动，星球A 和B 两者中心之间的距离为L 。

已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧，引力常量为G 。

（1）求两星球做圆周运动的周期；
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1。

但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T 2。

已知地球和月球的质量分别为 5.98×1024
kg 。

和7.35×1022
kg.求T 2与T 1两者平方之比。

（结果保留3位小数）
思路分析：（1）设两个星球A 和B 做匀速圆周运动的轨道半径分别为r 和R ，相互作用的万有引力大小为F ，运行周期为T 。

根据万有引力定律有：F ＝G
2
()Mm
R r +
①
由匀速圆周运动的规律得
F ＝m （
2T π）2
r ② F ＝M （2T
π）2
R
③ 由题意有L ＝R ＋r
④ 联立①②③④式得T ＝2π
；
⑤
（2）在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O 不在地心，由题意知，月球做
圆周运动的周期可由⑤式得出
T 1＝2
π
⑥
式中，M ′和m ′分别是地球与月球的质量，L ′是地心与月心之间的距离。

若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则
G
2'''L m M ＝m ′（2
2T π）2
L ′ ⑦
式中，T 2为月球绕地心运动的周期。

由⑦式得
T 2＝2πGM
L 3'
⑧
由⑥⑧式得（1
2T T ）2
＝1＋''M m
代入题给数据得（
1
2T T ）2
＝1.012。

答案：（1）2π
（2）
1.012
【高频疑点】
2. 分析求解双星或多星问题的两个关键点
（1）向心力来源：双星问题中，向心力来源于另一星体的万有引力；多星问题中，向心力则来源于其余星体的万有引力的合力。

（2）圆心或轨道半径的确定及求解：双星问题中，轨道的圆心位于两星连线上某处，只有两星质量相等时才位于连线的中点，此处极易发生的错误是列式时将两星之间的距离当作轨道半径；多星问题中，也只有各星体的质量相等时，轨道圆心才会位于几何图形的中心位置，解题时一定要弄清题给条件。