函数专题指数型与对数型复合函数的单调性与值域-)2

函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域

一、复合函数的概念

如果函数()=y f t 的定义域为A ，函数()=t g x 的定义域为D ，值域为C ， 则当⊆C A 时，函数()()=y f g x 为()f t 与()g x 在D 上的复合函数， 其中()=t g x 叫做内层函数，()=y f t 叫做外层函数 二、复合函数的单调性

1、复合函数单调性的规律：“同增异减”

若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数 2、具体判断步骤

（1）求出原函数的定义域；

（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 三、指数型复合函数值域的求法

1、形如()=x y f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域

借助换元法：令=x a t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域， 但要注意“新元t ”的范围 2、形如()

=f x y a

（0>a ，且1≠a ）的函数求值域

借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用=y a μ的单调性求出()

=f x y a 的值域。

四、对数型复合函数值域的求法

1、形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域

借助换元法：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ， 再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域。 2、形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域

借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域，

再利用log =a y μ的单调性求出()log =a y f x 的值域。

题型一 复合函数的单调性判断

【例1】（多选）函数2

(65)

1

()()2

x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（）

A ．(3),-∞

B ．(3,5)

C ．(1,3)

D ．(2,3) 【答案】ACD

【解析】由题意，函数1()2

x

y =在R 上单调递减，

又由函数2

65y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减，

由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.

【变式1-1】求函数21181722x

x

y ⎛⎫⎛⎫

=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

的单调区间___________.

【答案】增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-

【解析】设t ＝12x

⎛⎫

⎪⎝⎭

>0，

又22

817(4)1y t t t =-+=-+在(0,4]上单调递减，在(4,)+∞上单调递增.

令12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤4，得x ≥－2，令12x

⎛⎫

⎪⎝⎭>4，得x <－2. 而函数t ＝12x

⎛⎫

⎪⎝⎭

在R 上单调递减，

所以函数21181722x x

y ⎛⎫⎛⎫

=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

的增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-.

故答案为：增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-

【变式1-2】函数

()()2

12

log 32f x x x =-+-的单调递减区间为（） A ．3,2⎛

⎫

-∞ ⎪⎝

⎭

B ．31,2⎛⎫

⎪⎝⎭ C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．3,2

⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

【答案】B

【解析】由2320x x -+->得：12x <<，即()f x 定义域为()1,2；

令232t x x =-+-，则t 在31,2⎛⎫

⎪⎝⎭

上单调递增，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭

上单调递减； 又

12

log y t

=在()0,∞+上单调递减，

()()212

log 32f x x x ∴=-+-的单调递减区间为31,2⎛

⎫ ⎪⎝⎭

.故选：B.

【变式1-3】函数()()2

ln 4f x x =-的单调增区间是______．

【答案】(2,0]-

【解析】由240x ->，得22x -<<，

所以函数的定义域为(2,2)-， 令24t x =-，则ln y t =，

因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数， 所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减， 故答案为：(2,0]-

题型二 根据复合函数的单调性求参数

【例2】若函数()215x ax

f x +⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（）

A ．4a ≤-

B ．2a ≤-

C ．2a ≥-

D ．4a ≥- 【答案】C

【解析】依题意函数()215x ax

f x +⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

在[]1,2单调递减，

1

5x

y =

在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2

a

x =-，

根据复合函数单调性同增异减可知，122

a a -≤⇒≥-.故选：C

【变式2-1】若函数221

13x mx y +-⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.

【答案】1m ≤-

【解析】由复合函数的同增异减性质可得，2

21y x mx =+-在[1,1]-上严格单调递减，

二次函数开口向上，对称轴为x m =- 所以1m -≥，即1m ≤- 故答案为：1m ≤-

【变式2-2】已知f （x ）＝

()

2

12

log 3x ax a -+在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是________．