浙江省嘉兴市2024届高三第一次模拟测试数学试题含答案

嘉兴市2024届高三第一模拟测试
数学试卷（答案在最后）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知复数2
2023
1i i i z =++++ ，则
z =
（）
A.0
B.1
C.
D.
【答案】A 【解析】
【分析】化简复数z ，继而求模即可.【详解】22023
1i i i z =++++ ()()
2342017201820192020202120222023
1i+i i +i i i +i i +i i +i =+++⋅⋅⋅++++15050i 1i 0
=+⨯+--=则0z =，故选：A .
2.已知集合πsin ,044k A k k ⎧⎫
=∈≤≤⎨⎬⎩
⎭
N 且，则集合A 的元素个数为（）A.3 B.2
C.4
D.5
【答案】A 【解析】
【分析】将k 的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合A ，即可得集合A 的元素个数.【详解】当0k =时，π
sin sin004
k ==，
当1k =时，ππsin
sin 442k ==
，当2k =时，π2ππsin sin sin 1442k ===，
当3k =时，π3πsin sin 442k ==
，当4k =时，π4πsin
sin sinπ044
k ===，
故0,,12A ⎧⎫⎪⎪=⎨
⎬⎪⎪⎩⎭
，共三个元素.故选：A.
3.已知向量()2,0a =
，()0,3b = ，若实数λ满足()()
b a a b λ-⊥+ ，则λ=（
）A.
49
B.
94
C.1
- D.1
【答案】A 【解析】
【分析】先表示出,b a a b λ-+
的坐标，然后根据垂直关系得到λ的方程，由此求解出结果.【详解】因为()()2,3,2,3b a a b λλ-=-+=
，且()()
b a a b λ-⊥+ ，
所以22330λ-⨯+⨯=，所以49
λ=
，故选：A.
4.已知1
a x x
=+
，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）
A.[1,1]x ∃∈-，a c >
B.[1,1]x ∃∈-，b c >
C.[1,1]x ∃∈-，a c <
D.[1,1]x ∃∈-，b c
<【答案】D 【解析】
【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6
x =
时，π63626π64a =+>+=，13
222
c =+=，此时a c >，
所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；
对于B ，当0x =时，2b =，c =
b c >，
所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π
6
x =-
时，π606πa =--<，13
122
c =-+=，此时a c <，
所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，
2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x
-=，即0x =时取等号，
π
sin 2sin 3c x x x ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤
+
∈-++⎢⎥⎣⎦
，而
ππππ
1π,012332
<+<<-+<，
所以当π
3x +
，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝
⎭，所以2≤c ，当且仅当π
6
x =时取等号，而π
06
≠
，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.
5.已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型： 1.4e 0.1250e
t
y k -=⋅（00k >，当0=t 时表示2023年
初的种群数量）.自2023年初起，经过n 年后(N)n ∈，当该物种的种群数量不足2023年初的10%时，n 的最小值为（参考数据：ln10 2.3026≈）（）
A.16
B.17
C.18
D.19
【答案】D 【解析】
【分析】确定2023年初的种群数量为0=t 时的函数值，根据题意可列不等式 1.4e 0.125 1.4e 00e 10%e t
k k -⋅<⋅⋅，
结合对数运算即可求得答案.
【详解】由题意可知2023年初的种群数量为0=t 时的函数值 1.4e
0e k ⋅，
故令 1.4e 0.125 1.4e 00e
10%e t
y k k -=⋅<⋅⋅，即0.1251e 10
t -<
，则0.125ln10t >，ln10
8ln108 2.302618.42080.125
t ∴>
=≈⨯=，由于*n ∈N ，故n 的最小值为19，故选：D
6.已知数列{}n a 满足10a =，231a a ==，令(
)*
12N n n n n b a a a n ++=++∈．若数列{}n
b 是公比为2的等
比数列，则2024a =（
）
A.
2024247
- B.
2024237+ C.
2024247+ D.
2024267
+【答案】B 【解析】
【分析】数列{}n b 是公比为2的等比数列，可得2n
n b =，则有32n
n n a a +-=，累加法结合等比数列求和
公式，计算2024a .
【详解】11230112b a a a =++=++=，数列{}n b 是公比为2的等比数列，则2n
n b =，
即()1
31231212
22n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b ++++++++-=++-++=-=-=，
()()()()2024202420212021201820182015522
a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ ()
674
2
3
2024202420212018201522122423222211118
77
⎡⎤--+⎢
⎥⎣
⎦=+++++=+=+=- .
故选：B
【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列{}n b 的通项得到32n
n n a a +-=，用累加法即可计算2024a .
7.正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最
长时，PM PN ⋅
的最大值为（
）
A.2
B.
94 C.3
D.
52
【答案】C 【解析】
【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则
O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()
PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+
可求得其最大值.
【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.
因为正四面体的棱长为3
，所以223332
BG BE ==⨯⨯=，
所以AG =
=r ，
则()2
22AG r r BG -=+
，
)
2
2r
r =+
，解得4
r =
，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON
，2
3
48OM ON ⎛⋅=-=- ⎪⎝⎭ ，()()
PM PN PO OM PO ON
⋅=+⋅+ ()
223
8
PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，
因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，PO
的最大值为
44=，所以PM PN ⋅
的最大值为2
3348
⎛-= ⎝⎭
.故选：C
8.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一
点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为A.
1
3
B.
12
C.
2
D.
63
【答案】A 【解析】
【分析】结合图像，利用P 点坐标以及重心性质，得到G 点坐标，再由题目条件GI x ⊥轴，得到I 点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到
MN ME
的比值，再结合MIN ∆与MPE ∆相似，即可求得I 点纵
坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，从而求得椭圆离心率.
【详解】如图，令P 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接PO ，显然G 点在PO 上，连接
PI 并延长交x 轴于点M ，连接G I 并延长交x 轴于点N ，GI x ⊥轴，过点P 作PE 垂直于x 轴于点E
，
设点00(,)P x y ，12(,0),(,0)F c F c -，则00,OE x PE y ==，
因为G 为12PF F ∆的重心，所以00
(,)33x y G ，因为IG x ⊥轴，所以I 点横坐标也为03x ，03
x
ON =，
因为PM 为12F PF ∠的角平分线，
则有0
1212122()()23
x PF PF F N NF F O ON OF ON ON -=-=+--==
，又因为12+2PF PF a =，所以可得0012,33x x
PF a PF a =+=-，又由角平分线的性质可得，011
223=3
x a F M PF x F M PF a +=-，而
12=F M c OM F M c OM +-所以得03cx
OM a
=，
所以0()3a c x MN ON OM a -=-=，0
(3)3a c x ME OE OM a
-=-=，
所以
3IN MN a c PE
ME
a c -=
=
-，即0
()3a c y IN a c
-=-，因为1212121211
()22PF F S PF PF F F IN F F PE ∆=
++=即00()11(22)
(2)232
a c y a c c y a c -+=-，解得1
3c a =，所以答案为A.【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：（1）根据题目条件求出,a c ，利用离心率公式直接求解.
（2）建立,,a b c 的齐次等式，转化为关于e 的方程求解，同时注意数形结合.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（
）
A.正切函数是周期函数，最小正周期为π
B.正切函数的图象是不连续的
C.直线()π
πZ 2
x k k =+∈是正切曲线的渐近线D.把ππtan ,,)2(2y x x =∈-的图象向左、右平行移动πk 个单位，就得到tan y x =π
(R,π)2
x x k ∈≠+的图
象
【答案】ABC 【解析】
【分析】根据正切函数的性质，以及它的的图象的特点，即可判断A ，B 。

C ；结合图象的平移变换规律可判断D.
【详解】正切函数是周期函数，周期为π(Z)k k ∈，最小正周期为π，正切曲线是由相互平行的直线()π
πZ 2
x k k =+∈(称为渐近线)所隔开的无穷多支曲线组成的，因此曲线不连续，故A ，B ，C 均正确.选项D 中，没有明确k 的取值，比如1
2
k =时，即得不到tan y x =π(R,π)2x x k ∈≠+的图象，故D 错误.
故选：ABC
10.下列说法正确的是（
）
A.事件A 与事件B 互斥，则它们的对立事件也互斥．
B.若11(),(32P A P B =
=，且1
(6
P AB =，则事件A 与事件B 不是独立事件．C.若事件A ，B ，C 两两独立，则()()()()P ABC P A P B P C =．
D.从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件A ={取出的两个球均为红色}，B ={取出的两个球颜色不同}，则A 与B 互斥而不对立．【答案】BD 【解析】
【分析】AC 可举出反例排除；B 选项利用对立事件概率公式计算，根据独立事件概率公式验证；D 选项根
据互斥和对立的定义判定.
【详解】A 选项，投掷两枚骰子，出现的数字之和为10为事件A ，出现的数字之和为11为事件B ，则事件A 与事件B 互斥，
事件A 的对立事件A 为出现的数字之和不为10，事件B 的对立事件B 为出现的数字之和不为11，则,A B 不互斥，比如出现数字之和均为9，故A 错误；B 选项，由题意得()()
516
P AB P AB =-=
，()()()()11P A P B P A P B ⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦111
11323
⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()P AB P A P B ≠则事件A 与事件B 不是独立事件，故B 正确；
C 选项，假设有一个均匀的正四面体，一面涂有红色，一面涂有黄色，一面涂有蓝色，另一面涂有红、黄、蓝色，随机取一面观察其中的颜色.事件A =“出现红色”，()12P A =
；事件B =“出现黄色”，()1
2
P B =；事件C =“出现蓝色”，()12P C =；我们很容易得到()()()14P AB P A P B ==，()()()1
4P AC P A P C ==，
()()()14P BC P B P C ==，但是()14P ABC =，()()()1
8
P A P B P C =，()()()()P ABC P A P B P C ≠，故
C 错误；
D 选项，2个红球分别为红1、红2；2个白球分别为白1、白2.
则Ω包含以下基本事件，（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），（白1，白2）.
事件A 包含以下基本事件：（红1，红2）；
事件B 包含以下基本事件：（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），显然A 与B 互斥而不对立，故D 正确.故选：BD .
11.已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，经过点()2,1M 的直线l 与C 交于,A B 两点，且抛物线C 在,A B 两点处的切线交于点P ，D 为AB 的中点，直线PD 交C 于点E ，则（）
A.点P 在直线10x y -+=上
B.E 是PD 的中点
C.2
FA FB FP ⋅= D.PD y ⊥轴
【答案】BCD 【解析】
【分析】首先根据题意画出合适的图，接着设出点的坐标这直线AB 的方程，通过解出相关点的坐标，从而实现每个选项是否正确的解答.
【详解】因为抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以122p =，解得1p =，
故抛物线C 的方程为22y x =.
设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且
12
12
x x m y y -=-则直线AB 的方程为2(1)x m y -=-，
联立22(1)2x m y y x -=-⎧⎨=⎩，得2
2240y my m -+-=，所以1212
224y y m y y m +=⎧⎨=-⎩，
且2
2
Δ44(24)4(1)30m m m ⎡⎤=--=-+>⎣⎦.
因此2
1212(2)4224x x m y y m m +=+-+=-+，故点D 的坐标为2(2,)m m m -+.设切线PA 的方程为11()x x a y y -=-，联立112
()2x x a y y y x
-=-⎧⎨
=⎩可得2
112220y ay ay x -+-=，由()2
11Δ44220a ay x =--=，可得2
11220a ay x -+=因为2112y x =，所以22
1120a ay y -+=，解得1a y =，
故切线PA 的方程为111()x x y y y -=-，化简得11y y x x =+，同理切线PB 的方程为22y y x x =+，
联立112
2y y x x y y x x =+⎧⎨=+⎩，可得2x m y m =-⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,)m m -，
所以点P 在直线20x y -+=上，故选项A 错误.
因为点D 的坐标为2(2,)m m m -+，点P 的坐标为(2,)m m -，
所以直线PD 的方程为y m =，故PD y ⊥轴，所以选项D 正确.
因为直线PD 交C 于点E ，所以点E 的坐标为2,2m m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，而点,P D 的中点为2,2m m ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以E 是,P D 的中点，故选项B 正确.由抛物线的定义可知21111(1)22FA x y =+
=+，2
2211(1)22
FB x y =+=+，故22222
1212125(1)2544
FA FB y y y y m m ⋅=+++=-+
2
2
2212522524FP m m m m ⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝
⎭，所以有2
FA FB FP ⋅=，故选项C 正确.故选：BCD.
【点睛】
12.已知函数()121,0e 1,0
x x x f x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，()(())()g x f f x f x a =--，则（
）
A.当0a =时，()g x 有2个零点
B.当3
2
a =
时，()g x 有2个零点C.存在a ∈R ，使得()g x 有3个零点D.存在a ∈R ，使得()g x 有5个零点【答案】BCD 【解析】
【分析】令()t f x =，可得()y f t t a =--，结合图象分析方程()f t t a =+的根的分布，再结合图象分析
()t f x =的交点个数，即可得解.
【详解】由()f x 的图象可知，()f x 的值域为R ，
对于选项AC ：令()e 1,0x
h x x x =--≥，
则()e 10x
h x ='-≥在[)0,∞+上恒成立，
可知()h x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00h x h ≥=，即e 1,0x x x -≥≥当且仅当0x =等号成立，令()t f x =，若0a =，可得()y f t t =-，令()0y f t t =-=，
当0t ≥，则e 10t t --=，可知0=t ；当0t <，结合图象可知当且仅当1
2
t ≤-
，方程()1210f t t t t -=++-=有根，解得2t =-；即()2f x =-或()0f x =，结合图象可知：
()2f x =-有1个根；()0f x =有2个根；
综上所述：当0a =时，()g x 有3个零点，故A 错误，C 正确；
对于选项B ：令()t f x =，若32
a =，可得3()2y f t t =--，
令3()02y f t t =--
=，即3
()2
f t t =+，注意到()3
1e 112
f =-<+，由图象可知方程3
()2f t t =+有两个根为一根为12
-，另一根不妨设为,1m m >，即()1
2
f x =-
或()f x m =，结合图象可知：()1
2
f x =-有1个根；()1f x m =>有1个根；
综上所述：当3
2
a =时，()g x 有2个零点，故B 正确；
对于选项D ：令()t f x =，若0.2a =，可得()0.2y f t t =--，令()0.20y f t t =--=，即()0.2f t t =+，令e 11x -=，解得ln 2x =，
由图象可设方程()0.2f t t =+有三个根为123,,t t t ，且1230ln 21t t t <<<<<，即()1f x t =或()2f x t =或()3f x t =，结合图象可知：
()1f x t =或()2f x t =有1个根；()3f x t =有3个根；
综上所述：当0.2a =时，()g x 有5个零点，故D 正确；
故选：BCD.
【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点
1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．
2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.5
12a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭展开式中的常数项是120，则实数=a ______．【答案】2【解析】
【分析】求出512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式，得到440T x =-与380T x =，从而得到5
12a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭展开式常数项，得到方程，求出2a =.
【详解】∵5
12x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式的通项公式为()()552151C 20,1,2,,5r r r r
r T x r --+=-=⋅⋅⋅，
令521r -=-得3r =，即321
4540
C 2T x
x
-=-=-
．令521r -=得2r =，即2
3
35C 280T x x ==，
∴5
12a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭展开式中的常数项为434080a x T T a x ⋅+⋅=-+，故4080120a -+=，解得2a =．故答案为：2
14.若数列{}n a 满足211
111n n
a a a +==-，，则985a =__________.【答案】1011
【解析】
【分析】根据数列的递推关系求得周期为3，运算得解.【详解】因为211a =，11
1n n
a a +=
-，所以11011a =，31111110
a =
=--，4110
111110a ==
+，所以{}n a 是周期为3的数列，故985110
11
a a ==.
故答案为：10
11
.
15.半径为R 的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为______．
【答案】2【解析】
【分析】画出图象，设出底面边长和高，求得底面正三角形的外接圆半径2O A ，利用球的半径列方程，求得底面边长和高的关系式，求得正三棱柱的侧面积的表达式，利用基本不等式求得其最大值.【详解】如图所示，
设正三棱柱上下底面的中心分别为12,O O .底面边长与高分别为,x h ，则233
O A x =
，在2Rt OAO △中，22243
h x R +=，化为22
2443h R x =-，
因为3S xh =，()
2
222222222
4
3912312272x R x S x h x R x R ⎛⎫+-==-≤= ⎪⎝⎭
，
当且仅当6
2
x R =
时取等号，此时正三棱柱的侧面积的最大值为233S R =.故答案为：23R .
16.对任意(1,)x ∈+∞，函数()ln ln(1)0(1)x f x a a a x a =--≥>恒成立，则a 的取值范围为___________．
【答案】1e
e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】【分析】变形为()()1
1ln 1ln 1x x a a x x --≥--，构造()ln ,0F t t t t =>，求导得到单调性进而11x a ->恒成
立，故(
)1
0x F a ->，分当(]10,1x -∈和11x ->两种情况，结合()ln u g u u =单调性和最值，得到1
e
e
a ≥，
得到答案.
【详解】由题意得1ln ln(1)x a a x -≥-，因为(1,)x ∈+∞，所以()()()1
1ln 1ln 1x x a a x x --≥--，
即()()1
1ln 1ln 1x x a
a x x --≥--，
令()ln ,0F t t t t =>，则(
)()1
1x F a
F x -≥-恒成立，
因为()1ln F t t ='+，
令()0F t '>得，1e t ->，()ln F t t t =单调递增，令()0F t '<得，10e t -<<，()ln F t t t =单调递减，
且当01t <≤时，()0F t ≤恒成立，当1t >时，()0F t >恒成立，因为1,1a x >>，所以11x a ->恒成立，故(
)1
0x F a
->，
当(]
10,1x -∈时，()10F x -≤，此时满足()()1
1x F a F x -≥-恒成立，
当11x ->，即2x >时，由于()ln F t t t =在()
1
e ,t ∞-∈+上单调递增，由(
)()1
1x F a
F x -≥-得()1
ln 11ln 1
x x a
x a x --≥-⇒≥
-，
令11u x =->，()ln u
g u u
=，则()21ln u g u u -'=
，当()1,e u ∈时，()0g u '>，()
ln u
g u u
=单调递增，当()e,+u ∞∈时，()0g u '<，()ln u
g u u
=单调递减，
故()ln u g u u =在e u =处取得极大值，也是最大值，()ln e 1
e e e g =
=，故1ln e a ≥，即
1e e a ≥，所以，a 的取值范围是1e
e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是1ln ln(1)x a a x -≥-两边同时乘以1x -，变形得到()()1
1ln 1ln 1x x a
a x x --≥--，从而构造
()ln ,0F t t t t =>进行求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17.已知在等差数列{}n a 中，23a =，833a a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，且满足(
)*
231n n S b n =-∈N
.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设n n n c a b =()*
n ∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T .
【答案】（1）(
)*
21N
n a n n =-∈；()
1*3N n n
b
n -=∈，
（2）(
)
*
(1)31N n
n T n n =-⨯+∈【解析】
【分析】（1）根据等差数列的基本量计算可得n a ，根据前n 项和和通项的关系及等比数列的定义与通项公式计算可得n b ；
（2）利用错位相减法求和即可.【小问1详解】
设{}n a 的公差为d ，由题意得()1113,732,a d a d a d +=⎧⎨
+=+⎩()
1*1,21N 2,
n a a n n d =⎧∴∴=-∈⎨=⎩；当1n =时，则1112231S b b ==-，110b ∴=≠，
当2n ≥时，则11231n n S b --=-，112233n n n n S S b b --∴-=-，13n n b b -∴=，
∴{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列，∴()
1*3N n n b n -=∈；
【小问2详解】
由（1）得()1
*
(21)3
N n n n n c a b n n -==-⋅∈，
2211231113353(23)3(21)3n n n n n T c c c c c n n ---∴=+++++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，①2313133353(23)3(21)3n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，②
①－②得(
)231
2123333
(21)3n n
n T n --=+⨯++++--⨯ ，
∴()
*(1)31N n n T n n =-⨯+∈.
18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，a =，πsin sin 3a B b A ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
.（1）求角A ；
（2）作角A 的平分线与BC 交于点D
，且AD =，求b c +.
【答案】（1）π3
（2）6
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；
（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得b c cb +=，再运用余弦定理解方程即得.【小问1详解】
因πsin sin 3a B b A ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：1sin sin cos sin sin 022B A A A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭
，即31
sin cos sin 022B A A ⎛⎫-= ⎪
⎪⎝⎭
.
因(0,π)B ∈，故sin 0B ≠，则有1
cos sin 22
A A =，即tan A =，因(0,π)A ∈，故π
3
A =.【小问2详解】
因为AD 为角平分线，所以DAB DAC ABC S S S += ，所以
111
sin sin sin 222
AB AD DAB AC AD DAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠.
因π3BAC ∠=
，6πDAB DAC ∠=∠=，AD =，则333
444
AB AC AB AC +=⋅，即AB AC AB AC +=⋅，所以b c cb +=.又由余弦定理可得：2
2
2
2π
2cos
()33
a b c bc b c bc =+-=+-，
把a =，b c cb +=分别代入化简得：2()3()180b c b c +-+-=，解得：6b c +=或3b c +=-（舍去），所以6b c +=.
19.如图所示，已知ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，点M 是边AB 的中点，点N 在边BC 上，且3BN NC =．以MN 为折痕将BMN 折起，使点B 到达点D 的位置，且平面DMC ⊥平面ABC ，连接
,DA DC ．
（1）若E 是线段DM 的中点，求证：//NE 平面DAC ；
（2）求二面角D AC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析
（2【解析】
【分析】（1）过点E 作AM 的平行线交AD 于点F ，过点N 作AB 的平行线交AC 于点G ，连接FG ，即可证明四边形EFGN 是平行四边形，从而得到//NE FG ，即可得证；
（2）解法1，以点A 为原点，,AB AC 所在的直线为x 轴、y 轴，过点A 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；解法2，过点B 作直线MN 的垂线交于点I ，交直线CM 于点H ，再过点H 作AC 的垂线交于点O ，连接DO ，即可证明DOH ∠是二面角D AC B --的平面角，最后利用平面几何的知识解得即可.【小问1详解】
过点E 作AM 的平行线交AD 于点F ，过点N 作AB 的平行线交AC 于点G ，连接FG ．因为点E 是线段DM 的中点，3BN NC =，所以//EF AB 且12
EF AB =
，//GN AB 且1
4GN AB =，又M 为AB 的中点，
1
2
EF NG AM ∴==
，且//EF NG ，四边形EFGN 是平行四边形．所以//NE FG ，NE ⊄平面DAC ，FG ⊂平面DAC ，
//NE ∴平面DAC .
【小问2详解】
解法1：以点A 为原点，,AB AC 所在的直线为x 轴、y 轴，过点A 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．
设2AB AC ==，则()()130,0,0,1,0,0,,,022A M N ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设(),,D x y z ，因为平面DMC ⊥平面ABC ，所以点D 在平面ABC 上的射影落在直线CM 上，
12
y
x ∴+
=①，
由题意可知，2221,(1)1DM DN x y z ==
∴-++=②，2
2
2
139222x y z ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭③，
由①②③解得8
7277x y z ⎧=⎪
⎪
⎪
=-⎨⎪
⎪=
⎪⎩
，82,,777D ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，
所以82,,777AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，816,,777CD ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =
，
则00AD n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即40
480
x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩
，取0,4x y z ===-
，则)
4n =- ，
取平面ABC 的法向量()0,0,1m =
．
设二面角D AC B --的平面角为θ，显然二面角D AC B --为锐角，
则43
cos cos ,9
m n m n m n θ⋅===
，
即二面角D AC B --
.解法2：如图，过点B 作直线MN 的垂线交于点I ，交直线CM 于点H ．由题意知，点D 在底面ABC 上的射影在直线BI 上且在直线MC 上，所以点H 即点D 在底面上的射影，即DH ⊥平面ABC ，
设2AB =，则3π1,2,24
BM BN MBN ==∠=，由余弦定理得22π10
2cos
42
MN BN BM BN BM =
+-⋅=
，所以
22210
cos 210
BM MN BN BMN BM MN +-∠==-
⋅，
则
310sin 10
BMN ∠=
，所以
()10
cos π10
MI BM BMN =-∠=
，所以225s 5si i n 1
n 2AC HMB AMC MC ∠=∠=
==+，5
cos 5cos HMB AMC ∠=∠=，
所以()1053102572
cos cos 10510510
IMH IMB HMB ∠=∠-∠=
⨯+⨯=
，所以5
cos 7
MI MH IMH =
=
∠．过点H 作AC 的垂线交于点O ，连接DO ，因为DH ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以DH AC ⊥，又OH DH H = ，,OH DH ⊂平面ODH ，所以AC ⊥平面ODH ，OD ⊂平面ODH ，所以DO AC ⊥，DOH ∴∠是二面角D AC B --的平面角，由
AM CM HO CH =，解得228211,77
HO DH DM MH ==-=，所以11tan 4DH DOH HO ∠=
=
，则43
cos 9
DOH ∠=，
所以二面角D AC B --.20.为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为
13
；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为2
3.已知
他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为
2
3
.（1）求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第(
)*
n n ∈N
天选择米饭套餐的概率为n
P ，
（i ）证明：12n P ⎧
-⎫⎨⎬⎩
⎭
为等比数列；（ii ）证明：当2n ≥时，59
n P <.【答案】（1）
49
（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【解析】
【分析】（1）由对立事件概率、条件概率公式以及全概率公式即可得解.（2）由对立事件概率、条件概率公式以及全概率公式首先得递推公式112
33
n n P P +=-+，（i ）由等比数列定义证明即可；（ii ）当2n ≥时，结合单调性分奇偶讨论即可证明.【小问1详解】
设=i A “第i 天选择米饭套餐”(1,2)i =，则i A =“第i 天选择面食套餐”，根据题意()123P A =
，()
113P A =，()211|3P A A =，(
)212
3
|P A A =，由全概率公式，得()()()()()
212
1
1
2
1
||P A P A P A A P A P A
A =+2112433339
=⨯+⨯=；【小问2详解】
（i ）设n A =“第n 天选择米饭套餐”(1,2,)n = ，则()n n P P A =，()
1n n P A P =-，()11|3n n P A A +=
，()
12|3
n n P A A +=，由全概率公式，得()()()()()
1111
2||33
n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A P +++=+=-+
，
即112
33
n n P P +=-
+，1111232n n P P +⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭，
11126
P -
=，12n P ⎧
⎫∴-⎨⎬⎩⎭是以16为首项，13-为公比的等比数列；
（ii ）由（i ）可得()1
*111N 263n n P n -⎛⎫
=+⨯-∈ ⎪
⎝⎭
，
当n 为大于1的奇数时，1
2
111111145263263279
n n P -⎛⎫
⎛⎫=+⨯-≤+⨯=< ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭；当n 为正偶数时，1
1111526329
n n P -⎛⎫
=-⨯<
< ⎪
⎝⎭
.21.已知P 为双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>上异于左、右顶点的一个动点，双曲线C 的左、右焦点分别为12,F F ，且()23,0F ．当122PF PF =时，12PF F △的最小内角为30︒．（1）求双曲线C 的标准方程．
（2）连接1PF ，交双曲线于另一点A ，连接2PF ，交双曲线于另一点B ，若1122,PF F A PF F B λμ==
．
①求证：λμ+为定值；②若直线AB 的斜率为−1​
，求点P 的坐标．
【答案】（1）22
1
36
x y -=（2
）①证明见解析；②P
或(P ．
【解析】
【分析】（1）根据双曲线定义得出212,4PF a PF a ==，由题意可知1230PF F ∠=︒，3c =，根据余弦定
理计算可得a =
,,a b c 的关系计算即可；
（2）①设()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由00113
3,x y PF F A A λλλ+⎛⎫=⇒--- ⎪⎝⎭ ，002233,x y PF F B B μμ
μ⎛⎫
-=⇒+- ⎪⎝⎭ ，将,A B 代入双曲线联立方程求解即可，②由①可知
2002,4x x λμλμ-=-=-，根据题意建立等式求解即可求解.
【小问1详解】
由双曲线的定义知，1221122,4,2PF PF PF a PF a F F c -====，由题意可得1230PF F ∠=︒，3c =，
在12PF F △
中，由余弦定理知2
123612cos 482
a PF F a +∠==
，
解得a =229a b +=
，所以b ，
所以双曲线C 的标准方程为22
136
x y -=；
【小问2详解】
①设()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，()()123,0,3,0F F -，
由()()1100113,3,PF F A x y x y λλ=⇒---=+
，
即0101010
133x x x x y y y y λλλλ+⎧=-⎪--=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎪⎩
，所以0033,x y A λλ+⎛⎫-
-- ⎪⎝⎭同理，由22PF F B μ= ，得0033,x y B μ
μ⎛⎫
-+-
⎪⎝
⎭
，将A 的坐标代入曲线C 得，()2
2
22
2
000032362336x y x y λλλλ+⎛⎫⎛⎫+-=⇒++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()22
222
0032
2121181621
x y x x λλλλλλλ++⇒-++++=⇒=-=--+，
将B 的坐标代入曲线C 得，()22
2
22
000032362336x y x y μμμμ⎛⎫⎛⎫---=⇒---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()2
22
20000212118162x y x x μμμμ⇒--+++=⇒=+，
所以4λμ+=-为定值；
②由①知4λμ+=-，2002,4x x λμλμ-=-=-，
()()()()0
0000022
20000002333621266346
AB y y y x y x y k x x x x x x μμλμ
λ
μλλμλμλμλ
-
+
-=
===-+-+++-+-+-++2000002
12662x y x y x x =
=-⇒=--，因为P
点在双曲线上，所以2000022
002626x x x y x y y ⎧⎧=-=⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩
或00x y ⎧
=⎪⎨=⎪⎩
即P
或(P
．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是根据题意求出A ，B 两点坐标，代入双曲线中得到0x 与,λμ的关系.22.函数()()213
ln 1(0)22
f x a x x a x a =+
-++>.（1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）当1a =时，若()()120f x f x +=，求证：122x x +≥；
（3）求证：对于任意n *∈N 都有()2
112ln 1n
i i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭
∑.
【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求定义域，求导，分01a <<，1a =和1a >三种情况，得到函数递增区间；
（2）由（1）得到()f x 的单调性，求出()()()()()22
2ln 111g x f x f x x x ⎡⎤=+-=--+-⎣⎦
，构造
()()ln 10F x x x x =-+>，求导得到其单调性，求出ln 1x x ≤-，令()[)2
10,1x t -=∈，则()ln 10t t -+≤，
所以()()()20g x f x f x =+-≤恒成立，不妨设1201x x <<<，则()()1120f x f x +-≤，即
()()212f x f x ≥-，结合()f x 在()0,∞+单调递增，得到答案；
（3）由（2）知，1x >时，()()213
ln 21022
f x x x x f =+-+>=，变形为22ln (2)1x x +->在1x >时恒成立，赋值后，相加后得到答案.【小问1详解】
函数()f x 的定义域是()0,∞+.
由已知得，()()()()2111x a x a x x a a
f x x a x x x
-++-==
'-=+--.①当01a <<时，
由()0f x >得，0x a <<或1x >，∴()f x 的单调增区间为()0,a ，()1,∞+，②当1a =时，
当0x >时，()0f x '≥，所以()f x 单调增区间为()0,∞+.③当1a >时，
由()0f x '>得：01x <<或x a >，∴()f x 的单调增区间为()0,1，()
,a ∞+综上，①当01a <<时，函数()f x 单调递增区间为()0,a ，()1,∞+；②当1a =时，函数()f x 单调递增区间为()0,∞+；③当1a >时，函数()f x 单调递增区间为()0,1，(),a ∞+.
【小问2详解】
当1a =时，()213
ln 222
f x x x x =+
-+.由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上单调递增且()10f =；令()()()()()()2
213132ln 2ln 22222222
g x f x f x x x x x x x =+-=+
-++-+---+()()()2
2
2
ln 221ln 111x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-+=--+-⎣⎦⎣⎦
，02x <<，令()()ln 10F x x x x =-+>，()111x
F x x x
-=-=
'令()0F x '>，解得01x <<；令()0F x '<，解得1x >，所以()F x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，
所以()()10F x F ≤=，所以ln 1x x ≤-，
令()[)2
10,1x t -=∈，则(]
10,1t -∈，则()()ln 111t t t -≤--=-，
故()ln 10t t -+≤，
所以()()()20g x f x f x =+-≤恒成立，不妨设1201x x <<<，则()()1120f x f x +-≤，所以()()112f x f x -≥-，所以()()212f x f x ≥-，因为121x ->，21x >，而()f x 在()0,∞+单调递增，所以212x x ≥-，所以122x x +≥.【小问3详解】
由（2）知，1x >时，()()213
ln 21022
f x x x x f =+
-+>=，即222ln 432ln (2)10x x x x x +-+=+-->，故22ln (2)1x x +->在1x >时恒成立，
所以2
22202ln (22)2ln 1111⎛⎫
+-=+> ⎪⎝⎭，
2
2
33312ln 22ln 12222⎛⎫
⎛⎫+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
2
2
44422ln 22ln 13333⎛⎫
⎛⎫+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
……，
22
11112ln 22ln 1n n n n n n n n +++-⎛⎫⎛⎫+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
相加得()2
112ln 1n
i i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭
∑.。