多元复合函数的求导法则

分线相加
同理可得
z z u z v y u y v y
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一、多元复合函数求导法则 —链锁规则
设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件， 且有相应的导数或偏导数。 1、全导数 情形1 链锁规则公式
u z x
全导数
v
dz z du z dv dx u dx v dx
dh h dV w dr dt V dt r dt 3 6V r 2 4 3 e r r
返回
dh 6 V r 2 (2 e ) dt r r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 60 6 2 (2 e ) dt t t0 6 6
3
dz ,求 . dt
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y
2
t
dz z dx z dy dt x dt y dt 2 cos t f x 3t f y
部分抽象函数
□
设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
d z d dz 2 dt dt dt d 2 (cos t f x 3t f y ) dt
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视y为常数
视u,v为常数
【例8】设 u f ( x, y, z ), z g ( x, y), y h( x, t ), t ( x),
du 求 . dx
〖解〗方法1(链锁规则公式)
x u y z
x y
x
x
du f dx x
f h h d y x t dx
情形5
x z u v
x y
z f f u f v x x u x v x z f u y u y
特点：中间变量也是自变量
z z f [ x, u( x, y), v( x)] x f z f ( x , u , v ) x
杂函数微分化为若干个简单函数微分来处理。此外
，利用微分形式不变性时不需区分变量间的关系，
平等地对待每个变量，容易保持解题思路清晰，避
免出错。
多元函数全微分也具有形式不变性。
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全微分形式不变性：设可微函数
论u，v是否为自变量，微分形式
z f (u, v)，则不
总是正确的。 dz 【证】当u,v为自变量时，
cos t f xx 6t cos t f xy 9t f yy .
2 2 4
□
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怎么样？不难吧！
2、偏导数
情形2 链锁规则公式
u z v
x
偏导数
y
z z u z v x u x v x z z u z v x u x v x
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多元复合函数由于有多个中间变量或多个自变
量， “函数” 、“中间变量” 、“自变量”之间 关系“错
综复杂”，无法用一个公式可以解决所有多元复合 函 因此，首要问题是学会根据具体复合情况，写 数求导问题。
出相应的求导公式（链锁规则公式）[Chain Rule], 然后分别求出各个所需的偏导（导数）。 我们可依据“连线相乘，分线相加”写出链锁 规则公式。
锁ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则得：
dz fu du f v dv f u du f v dv;
当u,v为中间变量，即u=u(x,y),v=v(x,y)时，由链
v u v z z u fu fv dy dz dx dy fu f v dx x y y x y x u u v v fu x dx y dy fv x dx y dy fu du f v dv. □ 返回
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方法细说
设函数z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)复合成二元复合
函数z=f[u(u,v),v(x,y)]，其间变量关系用下图来描述。 连线相乘
z
u v
x y
z z z z u u u u x x x x
连线相乘


zz vv vv xx
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d 2 (cos t f x 3t f y ) dt d 2 d sin t f x cos t ( f x ) 6t f y 3t ( fy) dt dt 二阶混合偏 2 导数相等 x sin t f x cos t[cos t f xx 3t f xy ] fx, f y t 2 2 6t f y 3t [cos t f yx 3t f yy ] y sin t f x 6t f y
因为自变量只有一个，故存在导数。由于有多 元函数参与复合，故称之为全导数。
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【例1】设 z x e , x sin t , y
2 y
dz t，求 . dt
3
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y t
zx e dz z dx z dy dt x dt y dt
1 (1 5e 6 ) [立方米/秒] 3
□
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链锁规则公式
三元函数 全导数
情形3
u v
z
x x y
w
情形4
dz z du z dv z dw dx u dx v dx w dx
偏导数
u z v w
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
因为自变量有二个，故存在两个偏导数。
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【例3】设 z x ln y, x u v , y u v ，求
2 2 2 2
偏导数。 〖解〗变量关系如图，所求偏导数为：
x z y
u v
z x ln y z z x z y u x u y u
2 2 y u v x u v x ln y 2u 2u y 2 2 u v 2 2 2u ln( u v ) 2 2 u v
第四节 多元复合函数的求导法则
一、链式法则
二、全微分形式不变性 三、小结 思考题
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一元函数复合函数求导法则：
dy dy du y u x: dx du dx
基本思想：将复杂函数求导转化为若干简单函 数求导。
由于一元复合函数“函数” 、“中间变量” 、 “自变量”之间关系为“单线联系”，故上述一个 公式可以解决所有一元复合函数求导问题。
4、偏导数的各链锁规则公式是否都是对称的？
取决于变量关系是否对称。
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【例5】设一圆锥形沙丘体积以4立方米/秒的速率增 大，底圆半径增长率为e-r米/秒，试求当沙丘体积为60立 方米、底圆半径为6米时，沙丘高度的增长速度。
〖解〗由圆锥体积
可得高为
V
r h
2
故高的增长速率为
3 3V h 2 r
f
g
h
返回
t
f g g h g h d z x y x y t dx
二、一阶全微分形式不变性
y f (u)， 则不论u是否为自变量，微分形式 dy f (u )du 总是正
一元函数微分形式不变性：设可微函数 确的。 这就是说：当u为自变量，按上式计算微分；当u为
2 2 cos t cos( yz ) xz sin( yz ) 2t t 2 2 xyz cos( yz ) e 2 2t 2 2t
cos(t e ) cos t 2te sin t sin( t e ) 2t e sin t sin( t e ).
2 2t
□
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, 【例4】设 w x cos( yz ), x sin t , y t , z e 求
2 2 t
全导数。 〖解〗变量关系如图，所求全导数为：
x w y z
2 2t 2 2t
t
dw w dx w dy w dz dt x dt y dt z dt
中间变量时，上式仍然正确，只是微分du还要继续计算
，直至出现自变量的微分，计算才完成。
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例如，已知 y ln u, u sin
x, 求微分 dy
利用微分形式不变性解题过程是：
回 顾
1 1、由 y ln u 求得 dy du ； u 2、由 u sin x 求得 du cos xdx ；
3、代入并消去中间变量u得所求微分：
dy cot xdx
综合书写为： 【解】由微分形式不变性得
1 1 1 dy du d sin x cos xdx cot xdx u u u
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微分形式不变性使得我们在计算复杂（复合+ 四则运算）函数微分时，可以分步由外到内进行，
一次只考虑一个函数或一种运算的微分，从而将复
利用全微分形式不变性易证
全微分四则运算法则：设u,v均为多元可微函数， 则
d (u v) du dv; d (u v) vdu udv; u vdu udv d . 2 v v
不难看出，上述公式与一元函数情形完全一样。
正因为如此，有关一元函数的微分公式与微分法则 在求多元函数全微分时同样适用。
1 f1 ( ydx xdy) f 2 (dx dy) 2 xy
yf1 2 xy
（ 2）
xf1 f 2 dx f 2 dy. 2 xy 全微分形
式不变性
x y x y du df y, z f1 d y f2 d z ydx xdy zdy ydz f1 f2 2 2 y z f 2 xf1 f1 yf 2 dx 2 dy 2 dz. y z z y
2 y
连线相乘，分线相加 多元偏导，一元导数
思路: 1、分析变量关系；
x sin t y t
y
t3
3
2、写出求导公式；
3、计算各个导数； 4、消去中间变量。
2 xe cos t x e 3t
2 y
2
2
sin te (2 cos t 3t sin t )
□
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【例2】设 z f ( x, y), x sin t , y t
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【例9】利用全微分形式不变性求下列函数的全微分：
〖解〗（1）先介绍：下标为数字的偏导记号。
x y （1） z f ( xy, x y);（2） u f y, z .
f ( xy, x y) 对第一个中间变量 u xy 的偏导 f ,全微分形 数记为 f1; [一般，不写成 更不要写成 f ! ] xy 式不变性 1 对第二个中间变量 v x y 的偏导数记为 f 2 . dz df ( xy, x y) f1 d xy f 2 d ( x y) 1 f1 d ( xy) f 2 (dx dy) 2 xy 返回
□
4、消去中间变量。
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你现在是否能回答下列问题：
1、如何确定是求全导数还是偏导数？
一个自变量时求全导数，多个自变量时求偏导数。
2、如何确定链锁规则公式中的项数？ 每个链锁规则公式中的项数等于函数到达求导自变 量的路径数。 3、如何确定链锁规则公式中各项的因子数？
每条连线上中间变量个数加1即为链锁规则公式对 应项的因子数。
2
2
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z z x z y v x v y v x ln y 2v (2v) y 2 2 u v 2 2 2v ln( u v ) 2 2 u v
思路: 1、分析变量关系； 2、写出求导公式； 3、计算各个导数；