人教A版高中数学选修第一册同步练习2.3.4 两条平行线间的距离 B提高练(详细解析版)

2.3.4 两条平行线间的距离 -B 提高练
一、选择题
1．（2020·江苏省如皋中学高二期中）若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=之间的距
离是则m n +=（ ）
A ．3
B ．17-
C ．2
D ．3或17-
【正确答案】A
【详细解析】由题意直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=平行,
则两条直线的斜率相等,即4n =-,又直线间的距离为=解得7m =,
所以3m n +=.故选:A 2．若动点A ,B 分别在直线l 1:x ＋y －7＝0和l 2:x ＋y －5＝0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【正确答案】A
【详细解析】依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1:x ＋y －7＝0和l 2:x ＋y －5＝0距离都相等的直线,则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l :x ＋y ＋m ＝0,
=所以|m ＋7|＝|m ＋5|,所以m ＝－6,
即l :x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式得M
=. 3．（2020·浙江诸暨中学高二月考）已知,,,m n a b R ∈,且满足346,341m n a b +=+=,则
的最小值为 （ ）
A
B C ．1 D ．12
【正确答案】C 【详细解析】(),m n 为直线346x y +=上的动点,(),a b 为直线341x y +=上的动点,
,显然最小值即两平行线间的距离:d 1==.
故选:C 4．（2020浙江南湖嘉兴一中高二期中）设两条直线的方程分别为0x y a ++=,0x y b ++=,已知,a b 是方程20x x c ++=的两个实根,且108c ≤≤
,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )
A 3,
B 13,
C ．122,
D ．23
, 【正确答案】C
【详细解析】由已知得两条直线的距离是
d =因为,a b 是方程20x x c ++=的两个根,所以
1,a b ab c +=-=
,则||a b -=因为108c ≤≤,所以1||222
2a b -,即1222
d .故选:C 5．（多选题）（2020江苏江阴三中高二期中）若两条平行直线1l :20x y m -+=与2l :260x ny +-=之间的
距离是则m n +的可能值为（ ）
A ．3
B ．17-
C ．3-
D ．17 【正确答案】AB
【详细解析】由题意,0n ≠,212
n -=,所以4n =-,所以2l :2460x y --=,即230x y --=,
=解得7m =或13m =-,
所以3m n +=或17m n +=-.故选:AB
6.（多选题）（2020山东潍坊三中高二月考）两条平行直线l 1,l 2分别过点P (-1,3),Q (2,-1),它们分别绕P ,Q 旋转,但始终保持平行,则l 1,l 2之间的距离可能取值为 ( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．7
【正确答案】ABC
【详细解析】当两直线l 1,l 2与直线PQ 垂直时,两平行直线l 1,l 2间的距离最大最大距离为
5PQ ==,所以l 1,l 2之间的距离的取值范围是(]0,5. 故正确答案选ABC
二、填空题
7．（2020·北京东城高二期中）若直线1:l y kx =与直线2:20l x y -+=平行,则k =_____,1l 与2l 之间的距离是____．
【正确答案】1;
【详细解析】12//l l ,且直线2l 的斜率为1,1k ∴=,则直线1l 的一般方程为0x y -=.
所以,直线
1l 与2l =
8．（2020全国高二课时练）如图,已知直线l 1:x+y -1=0,现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置,若l 2,l 1和坐标轴围成的梯形面积为4,l 2的方程为___ _．
【正确答案】x+y -3=0.
【详细解析】设l 2的方程为y=-x+b(b>1),则图中A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b).所以 b.梯形的
高h 就是两平行直线l 1与l 2的距离,故
(b>1),由梯形面积公式得2
=4,所以b 2=9,b=±3.但b>1,所以b=3.从而得到直线l 2的方程是x+y -3=0.
9．（2020山西太原五中高二期中）与两条平行线12:3260,:6430l x y l x y +-=+-=等距离的平行线_____.
【正确答案】12x+8y -15=0
【详细解析】设所求直线方程为320,x y b ++=2:6430l x y +-=化为3320;2
x y +-=
于是
3
(6)()
2
b b
--=--,解得
15
,
4
b=-则所求直线方程是
15
320,
4
x y
+-=即
128150.
x y
+-=
10.（2020全国高二课时练）若直线m被两平行线l1:x－y＋1＝0与l2:x－y＋3＝0所截得的线段的长为
,
则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确正确答案的序号)①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°．【正确答案】①⑤
【详细解析】两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0
=l1与l2所截的线段
长为
,故动直线与两直线的夹角应为30°,所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．因此
只有①⑤适合．
三、解答题
11．（2020山东泰安实验中学高二月考）已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,
且l1和l2
.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距
离的1
2
;③P点到l1的距离与P点到l3
若能,求出P点坐标;若不能,请说明理由.
【详细解析】(1)l2的方程即为
1
20
2
x y
--=,
∴l1和l2的距离
=∴
17
22
a+=.
∵a>0,∴a=3.
(2)设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1和l2平行的直线
l′:2x-y+c=0上,
=即c=
13
2
或c=
11
6
.
∴2x0-y0+13
2
=或2x0-y0+
11
6
=.
若点P 满足条件③,
=, ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0.
由P 在第一象限,∴3x 0+2=0不合题意. 联立方程2x 0-y 0+
1302=和x 0-2y 0+4=0,解得x 0=-3,y 0=12
,应舍去. 由2x 0-y 0+1106=与x 0-2y 0+4=0联立,解得x 0=19,y 0=3718
. 所以P(137,918)即为同时满足三个条件的点. 12．（2020华东师范大学第三附属中学高二月考）设直线1:210l x y --=与22:(3)30l m x my m m -++-=. （1）若1l ∥2l ,求1l 、2l 之间的距离;
（2）若直线2l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线2l 的方程.
【详细解析】（1）若l 1∥l 2,则0m ≠, ∴132m m
-=-,∴m ＝6, ∴l 1:x ﹣2y ﹣1＝0,l 2:x ﹣2y ﹣6＝0
∴l 1,l 2之间的距离
d == （2）由题意,030
m m ⎧⎨-⎩＞＞,∴0＜m ＜3, 直线l 2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S 12=
m （3﹣m ）2139()228m =--+, ∴m 32=
时,S 最大为98,此时直线l 2的方程为2x +2y ﹣3＝0．。