2019-2020学年广东省梅州市高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年广东省梅州市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．设全集{}
24U x Z x =∈-<<，{}1,0A =-，{}0,1,2B =,则()⋂=U C A B （ ） A ．{}0 B ．{}2,1--
C ．{}1,2
D ．()0,1,2
【答案】C
【解析】先确定集合U ,再利用交集与补集运算即可 【详解】
{}}{24=1,0,1,2,3U x Z x =∈-<<-，则()⋂=U C A B }{1,2,3⋂{}0,1,2={}1,2
故选:C 【点睛】
本题考查集合的运算，准确确定集合U 是关键，是基础题 2．sin600︒=( )
A ．
B ．
C ．
12
D ．12
-
【答案】B
【解析】利用诱导公式将600sin o 化为60sin -o ，结合特殊角的三角函数可得结果. 【详解】
因为(
)()600sin 720120
sin 120120
60sin sin sin o
o o
o
o
o =-=-=-=-=-
所以600sin o =- B. 【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.
3．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A ．y 1x
=-
B ．y ＝3x ﹣3﹣x
C ．y ＝tanx
D ．y =【答案】B
【解析】对选项逐一分析函数的定义域、单调性和奇偶性，由此确定正确选项.
【详解】
对于A 选项，函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞，在定义域上没有单调性. 对于B 选项，1
33
33
x
x
x x y -=-=-
在R 上是增函数又是奇函数，符合题意. 对于C 选项，函数的定义域为,,2
2k k k Z π
πππ⎛⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
，在定义域上没有单调性. 对于D 选项，函数的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数. 综上所述，符合题意的是B 选项. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.
4．设x ∈R ，向量a =r （x ，1），b =r
（1，2），若a r ⊥b r ，则a b +r r ＝（ ）
A ．B
C ．
D ．
【答案】B
【解析】利用向量垂直的坐标表示列方程，求得x 的值，由此求得a b +r r
【详解】
由于a r ⊥b r
，所以1120x ⨯+⨯=，解得2x =-，所以()1,3a b +=-r r ，所以
a b +==r r
故选：B 【点睛】
本小题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查向量加法、模的坐标运算，属于基础题. 5．下列各式中成立的是（ ） A ．log 76＜log 67 B ．log 0.44＜log 0.46 C ．1.013.4＞1.013.5 D ．3.50.3＜3.40.3
【答案】A
【解析】根据对数函数、指数函数和幂函数的性质，判断出正确选项. 【详解】
对于A 选项，根据对数函数的性质可知7766log 6log 7log 6log 7<=<，故A 选项正确.
对于B 选项，由于0.4log y x =在()0,∞+上递减，所以0.40.4log 4log 6>，故B 选项
错误.
对于C 选项，由于 1.01x y =在R 上递增，所以 3.4 3.51.01 1.01<，故C 选项错误. 对于D 选项，由于0.3
y x =在R 上递增，所以0.30.33.5 3.4>，故D 选项错误.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据对数函数、指数函数、幂函数的性质比较大小，属于基础题. 6．若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（
3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6
π
）
【答案】C
【解析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数
()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间
【详解】
画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.3430662
f ππ
⎛⎫=-≈-=-<
⎪
⎝⎭，20.7850.7070.0780442
f ππ
⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：C
【点睛】
本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 7．函数y ＝ln （1﹣x ）的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项. 【详解】
由10x ->，解得1x <，也即函数的定义域为(),1-∞，由此排除A,B 选项.当1
2
x =
时，1
ln
02
y =<，由此排除D 选项.所以正确的为C 选项. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查函数图像识别，属于基础题. 8．sin 1，cos 1，tan 1的大小关系为（ ） A ．sin 1＞cos 1＞tan 1 B ．cos 1＞sin 1＞tanl C ．tan 1＞sin 1＞cos 1 D ．sinl ＞tanl ＞cosl
【答案】C
【解析】根据1的大小，判断出sin1,cos1,tan1的大小关系. 【详解】 由于
14
3
π
π
<<
，所以tan11sin1cos10>>>>，所以C 选项正确.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查三角函数值比较大小，属于基础题.
9．设函数()1x
2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧
=->⎨⎩
，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )
A ．[]
1,2- B ．[]0,2
C ．[)1,∞+
D ．[
)0,∞+ 【答案】D
【解析】分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】
当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1
x 2
≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ． 【点睛】
本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．
10．若函数y ＝f （x ）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，得到函数y 1
2
=sinx 的图象；则函数y ＝f （x ）的解析式是（ ）
A ．y 1
2
=sin （122x π+）
B ．y 1
2
=
sin （124x π-）
C ．y 1
2
=sin （2x 4π+）
D ．y 1
2
=sin （2x 2π-）
【答案】D
【解析】将图像变换反过来，由1
sin 2
y x =变换为()f x ，由此确定正确选项. 【详解】
依题意，由1sin 2y x =向右移2π个单位，得到1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，再纵坐标保持不变，
横坐标缩小为原来的12
，得到()1sin 222f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭.
故选：D 【点睛】
本小题主要考查求三角函数图像变换前的解析式，属于基础题. 11．给出下列命题：①存在实数α，使sinα•cosα＝1； ②函数y ＝sin （2
π
+x ）是偶函数：③直线x 8
π
=
是函数y ＝sin （2x 54
π
+
）的一条对称轴：④若α、β是第一象限的角，
且α＞β，则si nα＞sinβ．其中正确的命题是（ ） A ．①② B ．②③
C ．①③
D ．②③④
【答案】B
【解析】利用二倍角公式和三角函数的值域，判断①的正确性；利用诱导公式及三角函数的奇偶性判断②的正确性；将8x π
=
代入5sin 24y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，根据结果判断③的正确性；根据特殊角的三角函数值，判断④的周期性. 【详解】
对于①，由于111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤
=
∈-⎢⎥⎣⎦
，所以①错误. 对于②，由于sin cos 2y x x π⎛⎫
=+=
⎪⎝⎭
，所以函数为偶函数，所以②正确. 对于③，将8
x π=
代入5sin 24
y x π⎛
⎫=+
⎪
⎝
⎭得53sin sin 1442ππ
π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭
，所以8x π
=是5sin 24y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的一条对称轴，所以③正确. 对于④，例如390,30αβ==o o
为第一象限角，则(
)sin390sin 36030
sin30=+=o
o o
o
，
即sin sin αβ=，所以④错误. 故正确的为②③. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查三角函数的图像与性质，考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题. 12．关于函数f （x ）1x
x
=
+（x ∈R ），有下述四个结论： ①任意x ∈R ，等式f （﹣x ）+f （x ）＝0恒成立； ②任意x 1，x 2∈R ，若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）； ③存在m ∈（0，1），使得方程|f （x ）|＝m 有两个不等实数根；
④存在k ∈（1，+∞），使得函数g （x ）＝f （x ）﹣kx 在R 上有三个零点． 其中包含了所有正确结论编号的选项为（ ） A ．①②③④ B ．①②③
C ．①②④
D ．①②
【答案】B
【解析】根据函数的奇偶性判断①的正确性，根据函数的单调性判断②的正确性，根据
()f x 的图像判断③的正确性，根据()f x 与y kx =的图像判断④的正确性.
【详解】
函数()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=-，所以()()0f x f x -+=，即函数为奇函数，故①正确.
()f x 为R 上的奇函数，()00f =，当0x >时，()1111111x x f x x x x
+-=
==-+++为增函数，所以()f x 在R 上是增函数，所以②正确.
()f x 是R 上的奇函数、增函数，且当0x >时，()1
111f x x
=-
<+.则()f x 为偶函数，且当0x >时，()1
111f x x
=-
<+，()f x 递增；当0x =时，()00f =；当0x <时，()f x 递减.由此画出()f x 的图像如下图所示，由图可知，当()0,1m ∈是，
()y f x =与y m =有两个不同的交点，所以③正确.
画出()f x 与y kx =的图像如下图所示，由图可知，当1k >时，两个函数图像没有三个
交点，所以④正确.证明如下：当0x ≥时，()1f x x x
=+，()()()'221111x x f x x x +-==++，()'01f =，所以y x =于()f x 的图像相切.当0x ≤时，()1x
f x x
=
-，()()
()
'2
2
11
11x x
f x x x -+=
=
--，()'
01f
=，所以y x =于()f x 的图像相切.结合图像可
知()f x 与y x =的图像只有一个公共点，当1k >时，()f x 与y x =的图像也只有一个公共点.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点问题的研究，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题 13．函数y 21
ln x x -=
-的定义域为_____．
【答案】（1，2）．
【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根被开发数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】 依题意，20
10
x x ->⎧⎨
->⎩，解得12x <<，所以函数的定义域为()1,2.
故答案为：()1,2 【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
14．已知非零向量a r ，b r 满足|a r |＝2|b r |，且（a b -r r
）⊥b r ，则a r 与b r 的夹角为_____．
【答案】
3
π
． 【解析】根据两个向量垂直的表示列方程，结合向量数量积的运算公式，化简求得a r
与b r
的夹角的余弦值，进而求得夹角的大小.
【详解】
由于（a b -r r
）⊥b r ，所以()
0a b b -⋅=r r r ，即20a b b ⋅-=r r r ，2cos ,0a b a b b ⋅⋅-=r r r r r ，
22cos ,0b b a b b ⋅⋅-=r r r r r ，所以1cos ,,,23
a b a b π
==r r r r .
故答案为：3
π
【点睛】
本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题. 15．已知sin 2α24
25
=，则tanα＝_____． 【答案】
43或34
． 【解析】利用“1”的代换的方法，化简求得tan α的值. 【详解】
依题意2222sin cos 2tan 24
sin 22sin cos sin cos tan 125
ααααααααα==
==++，化简得
224tan 50tan 240αα-+=，即212tan 25tan 120αα-+=，
()()3tan 44tan 30αα--=，解得4tan 3
α=
或3tan 4α=.
故答案为：43或3
4
【点睛】
本小题主要考查二倍角公式，考查齐次方程的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
16．函数f （x ）＝log 2（kx 2+4kx +3）．①若f （x ）的定义域为R ，则k 的取值范围是_____；②若f （x ）的值域为R ，则k 的取值范围是_____． 【答案】[0，
34） k 3
4
≥ 【解析】（1）根据()f x 的定义域为R ，对k 分成0,0,0k k k =><三种情况分类讨论，结合判别式，求得k 的取值范围.
（2）当()f x 值域为R 时，由0
0k >⎧⎨∆≥⎩
求得k 的取值范围.
【详解】
函数f （x ）＝log 2（kx 2+4kx +3）．
①若f （x ）的定义域为R ，可得kx 2+4kx +3＞0恒成立，
当k ＝0时，3＞0恒成立；当k ＞0，△＜0，即16k 2﹣12k ＜0，解得0＜k 3
4
＜；当k ＜0不等式不恒成立，
综上可得k 的范围是[0，
34
）； ②若f （x ）的值域为R ，可得y ＝kx 2+4kx +3取得一切正数， 则k ＞0，△≥0，即16k 2﹣12k ≥0，解得k 34
≥
． 故答案为：(1). [0，34
） (2). k 34≥
【点睛】
本小题主要考查根据对数型复合函数的定义和值域求参数的取值范围，属于中档题.
三、解答题
17．已知f （α）()
()()
322sin cos tan tan sin ππααπααπαπ⎛⎫⎛⎫
-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
----． （1）化简f （α）； （2）若f （α）4
5
=
，且α为第三象限角，求cos （α3π+）的值．
【答案】（1）f （α）cos α=-，（2
）
4
10
． 【解析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简()f α表达式.
（2）由()4
5
f α=，求得cos α的值，进而求得sin α的值，再由两角和的余弦公式，求得cos 3πα⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值. 【详解】
（1）f （α）()
()()322sin cos tan cos sin tan cos tan sin tan sin ππααπααααα
απαπαα
⎛⎫⎛⎫
-+- ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭===------⋅， （2）由f （α）4
5
cos α=
=-， 又已知α为第三象限角，所以sinα＜0，
所以
sinα35
==-
， 所以cos （α3π+
）＝cosαcos 3
π-sinαsin 3π
4134525210
⎛⎫=-⨯--⋅=
⎪⎝⎭．
【点睛】
本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于中档题.
18．已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数．
(1)求()f x 的表达式；
(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明
(3)解不等式：log (1)log (2)a a x x ->+．
【答案】（1）()2x f x =（2）见证明；（3）1{|2}2x x -<<-
【解析】(1)根据指数函数定义得到，2331a a -+=检验得到答案.
(2) ()22x x F x -=-，判断(),()F x F x -关系得到答案.
(3)利用函数的单调性得到答案.
【详解】
解：（1）∵函数()2()33x
f x a a a =-+是指数函数，0a >且1a ≠，
∴2331a a -+=，可得2a =或1a =（舍去），∴()2x f x =；
（2）由（1）得()22x x F x -=-， ∴()22x x F x --=-，∴()()F x F x -=-，∴()F x 是奇函数；
（3）不等式：22log (1)log (2)x x ->+，以2为底单调递增，
即120x x ->+>， ∴122x -<<-，解集为1{|2}2
x x -<<-． 【点睛】
本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力. 19．已知向量()cos 2sin ,2a θθ=-v ，()sin ,1b θ=v ．
（1）若//a b v v
，求tan 2θ的值； （2）若()()
f a b b θ=+⋅r r r ，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，求()f θ的值域． 【答案】（1）815
（2
）52,2⎡⎢⎣
⎦ 【解析】（1）根据//a b r r 的坐标关系，得到1tan 4
θ=，再代入22tan tan 21tan θθθ=-即可求值. （2）用正弦、余弦，二倍角公式和辅助角公式化简()f θ
，得到
5()2242f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，根据0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，求出()f θ的值域. 【详解】 （1）若a b r r P ，则cos 2sin 2sin 0θθθ--=， ∴1tan 4
θ=.∴21
22tan 84tan 211tan 15116θθθ⨯===--. （2）()()
2f a b b a b b θ=+⋅=⋅+r r r r r r 22cos sin 2sin 2sin 1θθθθ=-+++
2sin cos sin 3θθθ=-+11cos 2sin 2322
θθ-=-+
1155sin 2cos 22222242πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝
⎭， ∵0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦
，∴52444πππθ≤+≤，
∴sin 2124πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭， ∴(
)522f θ+≤≤
， ∴()f θ
的值域为52,2⎡+⎢⎣⎦
． 【点睛】
本题第一问主要考查向量平行的坐标表示和正切二倍角公式，考查计算能力.第二问主要考查正弦，余弦的二倍角公式和辅助角公式以及三角函数的值域问题，属于中档题. 20．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100
元，已知总收益满足函数()()()214000400280000400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩
，其中x （台）是仪器的
月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数()f x ；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
【答案】（1）()f x ()()21300200000400260000100400x x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩
；（2）每月生产300台仪
器时利润最大，最大利润为25000元．
【解析】（1）利润=收益-成本，由已知分两段当0400x 剟
时，和当400x >时，求出利润函数的解析式；
（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．
【详解】
解：（1）月产量为x 台，则总成本为()20000100x +元，从而
()()()20000100R x x x f -+=
()()21300200000400260000100400x x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩
．
（2）由（1）可知，当0400x ≤≤时，()()21300250002
f x x =--+， ∴当300x =时，()max 25000f x =；
当400x >时，()60000100f x x =-是减函数，()6000010040025000f x <-⨯<，
∴当300x =时，()max 25000f x =，
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．
【点睛】
本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．
21．已知函数f （x ）＝
sin （3ωx 3
π+），其中ω＞0．
（1）若f （x +θ）是最小周期为2π的偶函数，求ω和θ的值；
（2）若f （x ）在（0，
3
π]上是增函数，求ω的最大值． 【答案】（1）ω13=，θ＝kπ6π+，k ∈Z ．（2）最大值为16． 【解析】（1）先求得()f x θ+的表达式，根据()f x θ+的最小正周期和奇偶性，求得,ωϕ的值，
（2）先有0,
3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求得3,333x πππωωπ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，由32
ππωπ+≤求得ω的最大值.
【详解】
（1）由f （x ）＝（3ωx 3
π+
），其中ω＞0，
∴f （x +θ）＝（3ωx +3ωθ3π+）， ∵f （x +θ）是最小周期为2π的偶函数， ∴23πω
=2π，∴ω13=， ∵3ωθ33ππθ+=+=kπ2π+
，k ∈Z ，即 θ＝kπ6
π+，k ∈Z ． 综上可得，ω13=，θ＝kπ6
π+，k ∈Z ．
（2）（x ）＝（3ωx 3
π+）在（0，3π]上是增函数， 在（0，3π]上，3ωx 3π+∈（3π，ωπ3
π+]， ∴ωπ32ππ+≤，∴ω16≤，即ω的最大值为16． 【点睛】
本小题主要考查根据三角函数的周期性和奇偶性求参数值，考查根据三角函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.
22．设a 为实数，函数()()2
1f x x x a x R =+-+∈． （1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值；
（2）若2a =，求函数()f x 的最小值；
（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间[]
,a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a
-=-，则称函数()m x 是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的
一个“均值点”．如函数2y x =是[]
1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）()0,2
【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用
通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形
式，()22
21,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．
试题解析：解：（1）()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立， 即()2
211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax = x R ∈Q 0a ∴=
（2）当2a =时，()22
21,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+< 所以()f x 在[
)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝
， 因为＜5，所以函数()f x 的最小值为
． （3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，
所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--）
而(1)(1)1(1g g m --=--）
，存在()01,1x ∈-，使得()0g x m = 即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解；
由21x mx m -++=得210x mx m -+-=
解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m <<
故m 的取值范围是()0,2
【考点】函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．。