推荐学习2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5教学案：第一讲一2.基本不等式

2．基本不等式

对应学生用书P4 1．基本不等式的理解

重要不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式a ＋b

2≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a 与b 都为实

数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ≥0仍然能使a ＋b

2

≥ab 成立．

两个不等式中等号成立的充要条件都是a ＝b . 2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a 2

＋b 2

≥(a ＋b )2

2

；

(2)ab ≤a 2＋b 2

2；

(3)ab ≤(a ＋b 2)2

；

(4)(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22；

(5)(a ＋b )2≥4ab .

对应学生用书P5

[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c

≥9.

[思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明． [证明] 法一：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c

＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．

即1a ＋1b ＋1c

≥9. 法二：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c ) ＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c

＋1

＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． ∴1a ＋1b ＋1c

≥9.

用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．

1．已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd . 证明：因为a ，b ，c ，d 都是正数，

所以ab ＋cd 2≥ab ·cd ＞0，ac ＋bd 2≥ac ·bd ＞0，

所以(ab ＋cd )(ac ＋bd )

4≥abcd ，

即(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd .

当且仅当ab ＝cd ，ac ＝bd ，即a ＝d ，b ＝c 时，等号成立． 2．已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2

a ≥a ＋

b ＋

c .

证明：∵a ，b ，c ，a 2b ，b 2c ，c 2

a 均大于0，

又a 2

b ＋b ≥2 a 2b ·b ＝2a ， b 2

c ＋c ≥2 b 2c ·c ＝2b . c 2

a

＋a ≥2 c 2a

·a ＝2c . ∴(a 2b ＋b )＋(b 2c ＋c )＋(c 2

a ＋a )

≥2(a ＋b ＋c )． 即a 2b ＋b 2c ＋c 2

a ≥a ＋

b ＋

c . 当且仅当a 2b ＝b ，b 2c ＝c ，c 2

a

＝a ，

即a ＝b ＝c 时取等号.

[例2] (1)求当x >0时，f (x )＝2x

x 2＋1的值域；

(2)设0<x <3

2，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；

(3)已知x >0，y >0，且1x ＋9

y

＝1，求x ＋y 的最小值．

[思路点拨] 根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值． [解] (1)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1

＝2

x ＋1x .

∵x ＋1x ≥2，∴0<1x ＋1x

≤12

.

∴0<f (x )≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 即f (x )值域为(0,1]． (2)∵0<x <3

2，∴3－2x >0.

∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎡

⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝9

2.

当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝3

4时，等号成立．

∴y ＝4x (3－2x )的最大值为9

2.

(3)∵x >0，y >0，1x ＋9

y

＝1，

∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x

y ＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9

y ＝1，

即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时， 有(x ＋y )min ＝16.

在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：

(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；