数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练(含答案)

数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练
一．选择题
1．如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC的（）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
2．课本第5页有这样一个定义“三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心”．现在我们继续定义：①三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心；②三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心；③三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．在三角形的这四“心”中，到三角形三边距离相等的是（）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
3．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）
A．△ACD的重心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的垂心4．如图，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF等于（）
A．a：b：c B．：：
C．sin A：sin B：sin C D．cos A：cos B：cos C
5．在△ABC中，两中线AD与CF相交于点G，若∠AFC＝45°，∠AGC＝60°，则∠ACF的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
6．如图，已知△ABC的三个顶点分别在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，那么△ABC的（）也一定在该函数图象上．
A．重心B．内心C．外心D．垂心
7．如图，已知H是△ABC的垂心，△ABC的外接圆半径为R，△BHC的外接圆半径为r，则R 与r的大小关系是（）
A．R＝r B．R＞r C．R＜r D．无法确定
8．以Rt△ABC的两条直角边AB、BC为边，在三角形ABC的外部作等边三角形ABE和等边三角形BCF，EA和FC的延长线相交于点M，则点B一定是三角形EMF的（）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
9．如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分为D、E、F，则H是△DEF的（）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
10．三个等圆O 1，O 2，O 3有公共点H ，点A 、B 、C 是其他交点，则H 是三角形ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心
C ．垂心
D ．重心
二．填空题
11．在半径为1的⊙O 中内接有锐角△ABC ，H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则
BC ＝ ．
12．如图，ADCFBE 是某工厂车间的一种剩余残料，且∠ACB ＝90°，现需要利用这块残料在△ABC 的外部制作3个等边△ADC 、△CBF 、△ABE 的内切圆⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3，若其中最大圆⊙O 3的半径为0.5米，可使生产成本节约3元（节约成本与圆面积成正比），照此计算，则10块这样的残料可使生产成本节约 元．
13．如图，在△ABC 中M 为垂心，O 为外心，∠BAC ＝60°，且△ABC 外接圆直径为10，则
AM ＝ ．
14．如图，锐角三角形ABC 内接于半径为R 的⊙O ，H 是三角形ABC 的垂心，AO 的延长线与
BC 交于点M ，若OH ⊥AO ，BC ＝10，OA ＝6，则OM 的长＝ ．
15．设凸四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，△OAB ，△OBC ，△OCD ，△ODA 的重心分别为E ，F ，G ，H ，则S EFGH ：S ABCD ＝ ．
16．如图，I 是Rt △ABC （∠C ＝90°）的内心，过I 作直线EF ∥AB ，分别交CA 、CB 于E 、F ．已
知EI＝m，IF＝n，则用m、n表示S
△ABC
＝．
17．已知点I是锐角三角形ABC的内心，A
1、B
1
、C
1
分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，
若点B在△A
1B
1
C
1
的外接圆上，则∠ABC等于．
三．解答题
18．如图所示，已知锐角△ABC的外接圆半径R＝1，∠BAC＝60°，△ABC的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P
（1）求凹四边形ABHC的面积；
（2）求PO•OH的值．
19．如图，AD，BE，CF是△ABC的高，K，M，N分别为△AEF，△BFD，△CDE的垂心，求证：△DEF≌△KMN．
20．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O
1和△BCH的外接圆⊙O
2
相交于点D，延
长AD交CH于点P，
求证：点P为CH的中点．
21．如图，△ABC的三边满足关系BC＝（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC 的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，
求证：（1）AI＝BD；
（2）OI＝AE．
22．如图，H是锐角△ABC的垂心，O为△ABC的外心，过O作OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AH＝2OD；
（2）若AO＝AH，求∠BAC的度数．
23．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且∠FDE ＝∠A ，∠DEF ＝∠B ．又设△AFE ，△BDF ，△CED 均为锐角三角形，它们的垂心依次为H 1，H 2，H 3，求证： 1．∠H 2DH 3＝∠FH 1E ； 2．△H 1H 2H 3≌△DEF ．
24．如图，△ABC 为锐角三角形，CF ⊥AB 于F ，H 为△ABC 的垂心．M 为AH 的中点，点G 在线段CM 上，且CG ⊥GB ． （1）求证：∠MFG ＝∠GCF ； （2）求证：∠MCA ＝∠HAG ．
25．如图，已知H 为锐角△ABC 的垂心，D 是使四边形AHCD 为平行四边形的一点，过BC 的中点M 作AB 的垂线，垂足为N ，K 为MN 的中点，过点A 作BD 的平行线交MN 于点G ，若
A ，K ，M ，C 四点共圆．求证：直线BK 平分线段CG ．
参考答案
一．选择题
1．解：如图1，
过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F
∵MN∥AB，OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）
如图2，
过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'，
由裁剪知，OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，
∴OD'＝OE'＝OF'，
∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，
∴点O是△ABC的内心，
故选：C．
2．解：内心是三角形的三条内角平分线的交点，而角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以在三角形的四“心”中，到三角形三边距离相等的是内心；
到三个顶点的距离相等的是外心．
故选：C．
3．解：
如图，连接OA、OB、OC、OD，
设每一个小方格的边长为1，
由勾股定理可求得OA＝OB＝OC＝，OD＝2，
∴O点在AB、AC、BC的垂直平分线上，
∴点O为△ABC的外心，
∵OA＝OC≠OD，
∴点O即不是△ACD的重心，也不是△ACD的内心，故选：B．
4．解：如图，连接OA、OB、OC；
∵∠BOC＝2∠BAC＝2∠BOD，
∴∠BAC＝∠BOD；
同理可得：∠BOF＝∠BCA，∠AOE＝∠ABC；
设⊙O的半径为R，则：
OD＝R•cos∠BOD＝R•cos∠A，
OE＝R•cos∠AOE＝R•cos∠B，
OF＝R•cos∠BOF＝R•cos∠C，
故OD：OE：OF＝cos∠A：cos∠B：cos∠C，
故选：D．
5．解：∵点G是△ABC的重心，
∴＝2，
作CE⊥AG于点E，连接EF，
∴△CEG是直角三角形，
∵∠EGC＝60°，
∴∠ECG＝30°，
那么EG＝CG＝GF，
∴GE＝GF，
∠FGE＝120°，
∴∠GFE＝∠FEG＝30°，
而∠ECG＝30°，
∴EF＝EC，
∵∠EFA＝45°﹣30°＝15°，
∠FAD＝∠AGC﹣∠AFC＝15°，
∴∠FAD＝∠EFA，
∴EF＝AE，
∴AE＝EC，
∵△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACF＝∠ACE+∠ECF＝30°+45°＝75°，
故选：D．
6．解：结论：△ABC的垂心也一定在该函数图象上；
理由：∵A、B、C都在y＝上，
∴可设A、B、C的坐标依次是：（a，）、（b，）、（c，）．令H的坐标为（x，y）．
容易得出：
AB的斜率＝＝﹣，
BC的斜率＝＝﹣，
AH的斜率＝，CH的斜率＝，
∵AH⊥BC，CH⊥AB，
∴＝，＝，
∴a•＝c•，
∴（k﹣ay）（c﹣x）＝（k﹣cy）（a﹣x），
∴ck﹣kx﹣acy+axy＝ak﹣kx﹣acy+cxy，
∴（a﹣c）xy＝（a﹣c）k．
显然，a﹣c≠0，
∴xy＝k，即：y＝．
∴点H（x，y）在反比例函数y＝的图象上．
故选：D．
7．解：如图，
延长AD交△ABC的外接圆于G，连接BG，CG，
∴△ABC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，
∵△ABC的外接圆半径为R，
∴△BGC的外接圆半径为R，
∵点H是△ABC的垂心，
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠CAD+∠ACB＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠CBG＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠CBG，
同理：∠BCF＝∠BCG，
在△BCH和△BCG中，，
∴△BCH≌△BCG（ASA），
∴△BHC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，∵△BHC的外接圆半径为r，
∴△BGC的外接圆的半径为r，
∴R＝r，
故选：A．
8．解：如图，
连接CE，AF，延长EB交MF于G，延长FB交ME于H，
∵以Rt△ABC的两条直角边AB，BC为边作等边△ABE和等边△BCF，
∴∠CBE＝90°+60°＝150°，∠FBE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，在△CBE与△FBE中，，
∴△CBE≌△FBE（SAS）；
∴CE＝FE，∠FEB＝∠CEB，
∴BE⊥CF于G，
∴EG是△MEF的边FM上的高，
同理：FH是△MEF的边EM上的高，
∴点B是△MEF的三边的高，
即：点B是△MEF的垂心．
故选：A．
9．解：∵BE丄AC，CF丄AB，
∴四点B、C、E、F共圆（以BC为直径），
∴∠EBF＝∠FCE，
∵HD丄BD，HF丄BF，
∴四点B、D、H、F共圆（以BH为直径），
∴∠HBF＝∠FDH，
同理，四点C、D、H、E共圆，（以CH为直径），∠HDE＝∠HCE，
∴∠HDE＝∠HDF，
∴DA平分∠EDF即可．
同理可证EB平分∠DEF，FC平分∠EFD，
∴H是△DEF的角平分线的交点，
∴H是△DEF的内心．
故选：C．
10．解：延长AH交BC于E点，延长CH交AB于F点，如图，
∵三个等圆O
1，O
2
，O
3
有公共点H，
∴∠1所对的弧BH与∠4所对的弧BH为等弧；∠2所对的弧CH与∠5所对的弧CH为同弧；∠3所对的弧AH与∠6所对的弧AH为同弧，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠3＝∠6，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，
∴2∠2+2∠3+2∠4＝180°，2∠1+2∠3+2∠2＝180°，
∴∠2+∠3+∠4＝90°，∠1+∠3+∠2＝90°，
∴AE⊥BC，CF⊥AB，
∴点H为△ABC的垂心．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．解：设AL与⊙O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GA、GB、AO，如图所示，
∵CG是⊙O的直径，∴∠CBG＝∠CAG＝90°，
∴BG⊥BC，AG⊥AC．
∵H为△ABC的垂心，
∴AE⊥BC，BF⊥AC，
∴AE∥BG，AG∥BF，
∴四边形AGBH是平行四边形，
∴BG＝AH．
∵AL平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，
根据垂径定理的推论可得：OD⊥BC．∵AE⊥BC，∴OD∥AE，
∴∠ODA＝∠EAD．
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EAD．
∵AL垂直于OH，
∴∠ANO＝∠ANH＝90°．
在△ANO和△ANH中，
，
∴△ANO≌△ANH（ASA），
∴AO＝AH，
∴BG＝AH＝AO＝1．
在Rt△GBC中，
∵BG＝1，GC＝2，
∴BC＝＝．
故答案为：．
12．解：由勾股定理和相似图形的性质可知，⊙O
1的面积+⊙O
2
的面积＝⊙O
3
的面积，
∵⊙O
3
可使生产成本节约3元，
∴1块这样的残料可使生产成本节约6元．
则10块这样的残料可使生产成本节约6×10＝60元．
故答案为：60．
13．解：延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连结AF，如图，∵BF为⊙的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴sin F＝＝，
∴AB＝10•sin F＝10•sin∠ACB，
又∵点M为△ABC的垂心，
∴AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴△AEM∽△ADB，
∴＝，即AM＝，
在Rt△AEC中，∠EAC＝60°，AC＝2AE，即AE＝AC，
在Rt△ADC中，sin∠ACD＝，即AD＝AC•sin∠ACD，
∴AM＝＝5．
故答案为5．
14．解：如图，连接BO并延长交圆于F，连接CF，AH，连接AF，CH，过点O作ON⊥BC于N，∵BF是⊙O的直径，
∴∠BCF＝∠BAF＝90°，
∴ON∥FC，
∵OB＝OF，
∴ON是△BCF的中位线，
∴CF＝2ON．
∴BN＝CN＝BC＝5，
在Rt△OBN中，OB＝OA＝6，BN＝5，∴ON＝＝，
∴CF＝2ON＝2，
∵H是△ABC的垂心，
∴AH⊥BC，
∵CF⊥BC，
∴AH∥CF，
同理可得：CH∥AF，
∴四边形AHCF是平行四边形，
∴AH＝CF＝2
∵H是△ABC的垂心，
∴AH⊥BC，
∵ON⊥BC，
∴AH∥ON，
∴∠OAH＝∠NOM，
∵OH⊥AM，
∴∠AOH＝∠ONM＝90°，
∴△AOH∽△ONM，
∴，
∴，
∴OM＝．
故答案为．
15．解：如图：
∵E、F分别是△OAB与△OBC的重心，
∴，
∴EF∥AC，
同理：FG∥BD，HG∥AC，HE∥BD，
∴ERUQ，RUSF，USGT，THQU，EFGH是平行四边形，
∵，∴，
同理：，
∴，
∴，
同理：，，．
∴．
16．解：如图，过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，ID＝IH＝IG＝r，
由△ABC∽△EIG∽△IFH，得＝，＝，
解得a＝，b＝，
由勾股定理，得c2＝a2+b2，得1＝+，
解得r＝，
又ab＝2S
△ABC
＝r（a+b+c），
∴＝r（++c），
解得c＝m+n+＝m+n+，
∴S
△ABC
＝ab＝
＝（）2（m+n+）2
＝．
故答案为：．
17．解：∵I是锐角三角形ABC的内心，
∴∠DBI＝∠ABC，
∵A
1、B
1
、C
1
分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，
∴ID＝A
1D＝IA
1
，∠BDI＝90°，
∵点B在△A
1B
1
C
1
的外接圆上，
∴IB＝IA
1
，
∴ID＝IB，
∴∠IBD＝30°，∴∠ABC＝60°．故答案为：60°．
三．解答题（共8小题）
18．解：（1）如图：连接BO并延长交⊙O于点G，连接AG、CG、CO，延长CH交AB于F，延长BH交AC于E，延长AH交BC于N，作OM⊥BC于M．
∵BG是直径，
∴GA⊥AB，GC⊥BC，
∵H为垂心，
∴BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，
∴GA∥CH，GC∥AH，
∴AGCH是平行四边形，
∴AG＝GC，
∵∠BA C＝60°，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴OM＝OB＝，BM＝，
∴BC＝，
又∵OM＝CG，
∴AH＝2OM＝1，
设凹四边形的面积为S，则S＝S△AHB+S△AHC＝×AH×BN+×AH×CN＝×AH×BC＝，
（2）∵BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∠BAC＝60°，
∴∠ACF＝30°，
∴∠CHE＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∴B、C、H、O四点共圆，
∵∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠CHP＝∠OBC＝30°，
∴∠OHC＝∠OCP＝150°，
∴△OHC∽△OCP，
∴OH•OP＝OC2＝1．
19．证明：如图：
∵OD⊥BC，FM⊥BC，
∴OD∥FM，
∵OF⊥AB，DM⊥AB，
∴OF∥DM，
∵DMFO是平行四边形，
同理OFKE，ODNE均为平行四边形，
∴MD∥KE，MD＝KE，
∴MDEK也是平行四边形，
∴DE＝MK，
同理DF＝KN，EF＝MN
∴△DEF≌△KMN（SSS）．
于点Q，20．证明：如图，延长AP交⊙O
2
连接AH，BD，QB，QC，QH．
因为AB为⊙O
的直径，
1
所以∠ADB＝∠BDQ＝90°．（5分）
故BQ为⊙O
的直径．
2
于是CQ⊥BC，BH⊥HQ．（10分）
又因为点H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，BH⊥AC．所以AH∥CQ，AC∥HQ，
四边形ACQH为平行四边形．（15分）
所以点P为CH的中点．（20分）
21．证明：（1）作IG⊥AB于G点，连BI，BD，如图，∴AG＝（AB+AC﹣BC），
而BC＝（AB+AC），
∴AG＝BC，
又∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角，
∴∠EAD＝90°，
∴O点在DE上，即ED为⊙O的直径，
而BD弧＝DC弧，
∴ED垂直平分BC，即BH＝BC，
∴AG＝BH，
而∠BAD＝∠DAC＝∠DBC，
∴Rt△AGI≌Rt△BHD，
∴AI＝BD；
（2）∵∠BID＝∠BAI+∠ABI，
而∠BAI＝∠DBC，∠ABI＝∠CBI，
∴∠DBI＝∠BID，
∴ID＝DB，
而AI＝BD，
∴AI＝ID，
∴OI为三角形AED的中位线，
∴OI＝AE．
22．（1）证明：如图1，连接BH并延长交AC于E，∴BE⊥AC，
过O作OF⊥AC于F，
则F为AC的中点，
连接CH，取CH中点N，连接FN，DN，
则FN∥AM，AH＝2FN，DN∥BE，
∵AM⊥BC，OD⊥BC，
∴OD∥AM，
∴FN∥OD，
∵BE⊥AC，OF⊥AC，
∴BE∥OF，
∵OD⊥BC，
∴D为BC中点，
∵N为CH中点，
∴DN∥BE，
∴DN∥OF，
∴四边形ODNF是平行四边形，
∴OD＝FN，
∵AH＝2FN，
∴AH＝2OD．
（2）解：如图2，连接OB，OC，
∴OA＝OB，
∵OA＝AH，
∴OB＝AH，
由（1）知，AH＝2OD，
∴OB＝2OD，
在Rt△ODB中，cos∠BOD＝＝，∴∠BOM＝60°，
∵OD⊥BC，
∴∠BOC＝2∠BOD＝120°，
∴∠BAC＝∠BOC＝60°．
23．证明：（1）∵H2是△BDF的垂心，⊥BF，
∴DH
2
DB＝90°﹣∠B，
∴∠H
2
同理：∠H 3DC ＝90°﹣∠C ，
∴∠H 2DH 3＝180°﹣∠H 2DB ﹣∠H 3DC ＝∠B +∠C ， ∵H 1是△AEF 的垂心，
∴∠H 1EF ＝90°﹣∠AFE ，∠H 1FE ＝90°﹣∠AEF ， ∴∠EH 1F ＝180°﹣∠H 1EF ﹣∠H 1FE ＝180°﹣（90°﹣∠AFE ）﹣（90°﹣∠AEF ） ＝180°﹣∠A ＝∠B +∠C ，
∴∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；
（2）如图，由（1）知，∠FH 1E ＝∠B +∠C ， ∵∠FDE ＝∠A ，∠A +∠B +∠C ＝180°， ∴∠FH 1E +∠EDF ＝180°，
∴H 1在△DEF 的外接圆上，
同理：H 2，H 3也在△DEF 的外接圆上， ∴D ，H 2，F ，H 1，E ，H 3六点共圆， 由（1）知，∠EH 1F ＝∠H 2DH 3，
∴EF ＝H 2H 3，
同理：DF ＝H 1H 3，DE ＝H 1H 2，
∴△DEF ≌△H 1H 2H 3（SSS ）．
24．证明：（1）如图延长AH 交BC 于T ．
∵H 是△ABC 的垂心，
∴∠THC ＝∠HFA ＝90°，
∵∠THC ＝∠AHF ，
∴∠HCT ＝∠FAH ，
在Rt △AFH 中，∵AM ＝MH ，
∴FM＝AM＝MH，
∴∠FAH＝∠MFA，
∴∠MFA＝∠HCT，
∵BG⊥CM，
∴∠BFC＝∠BGC＝90°，
∴B、C、G、F四点共圆，
∴∠AFG＝∠BCG，
∴∠AFM+∠MFG＝∠HCT+∠MCF，
∴∠MFG＝∠GCF．
（2）∵∠FMG＝∠FMC，∠MFG＝∠MCF，∴△MFG∽△MCF，
∴＝，
∴MF2＝MG•MC，
∵MA＝MF，
∴MA2＝MG•MC，
∴＝，∵∠AMG＝∠AMC，
∴△MAG∽△MCA，
∴∠MCA＝∠HAG．
25．证明：如图，
设BK交CG于E，连接AG，AK，
∵A，K，M，C四点共圆，
∴∠AC B＝∠AKG（外角等于内对角），
∵H是△ABC的垂心，
∴AH⊥BC，CH⊥AB，
∵四边形AHCD是平行四边形，
∴CH∥AD，AH∥CD，
∴CD⊥BC，AD⊥AB，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴点A，B，C，D四点共圆，
∴∠5＝∠ACB＝∠AKG，
∵AH⊥BC，
MN⊥AB，AD⊥AB，
∴∠1＝∠2＝∠4，
∵AG∥BD，
∴∠3＝∠4＝∠2，
在△ANG和△ANK中，，∴△ANG≌△ANK，
∴GN＝KN＝MK，
∴MK＝KG，
∵直线BKE截得△GMC，
由梅涅劳斯定理得：，∵点M是CB中点，
∴CB＝2BM，
∴GE＝EC，
∴直线BK平分线段CG．。