新人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试题(答案解析)(3)

一、选择题
1．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）
A ．x d =或x a ≥
B ．x a ≥
C ．x d =
D ．x d =或x a > 2．如图，在ABC 和AEF 中，EAC BAF ∠=∠，EA BA =，添加下面的条件：①EAF BAC ∠=∠；②
E B ∠=∠；③A
F AC =；④EF BC =，其中可以得到ABC AEF ≌△△的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 4．如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加一个条件使ABC DCB △△≌，下列添加的条件不
能使ABC DCB △△≌的是（ ）
A ．A D ∠=∠
B ．AB D
C = C ．AC DB =
D ．ACB DBC ∠=∠ 5．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，BD C
E =，B
F CD =，则EDF ∠等于（ ）
A ．90A ︒-∠
B ．1802A ︒-∠
C ．1902A ︒-∠
D ．11802A ︒-∠ 6．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）
A ．HL
B ．SAS
C ．SSS
D ．ASA
7．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )
A ．2
B ．4
C ．7
D ．9 8．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为
（ ）
A ．21cm
B ．22cm
C ．23cm
D ．24cm 9．如图，AD 是ABC 的角平分线，:4:3AB AC = ，则ABD △与ACD △的面积比
为（ ）．
A ．4:3
B ．16:9
C ．3:4
D ．9:16 10．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，D
E ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE =2，AB =4，则
AC 长是（ ）
A ．2.5
B ．3
C ．3.5
D ．4
11．如图，在△ABC 中，点E 和F 分别是AC ，BC 上一点，EF ∥AB ，∠BCA 的平分线交AB 于点D ，∠MAC 是△ABC 的外角，若∠MAC ＝α，∠EFC ＝β，∠ADC ＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（ ）
A ．β＝α+γ
B ．β＝2γ﹣α
C ．β＝α+2γ
D ．β＝2α﹣2γ 12．下列命题，真命题是（ ）
A ．全等三角形的面积相等
B ．面积相等的两个三角形全等
C ．两个角对应相等的两个三角形全等
D ．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
二、填空题
13．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边AC 上，DE ⊥AB 于点E ，DC =DE ，∠A =32°，则∠BDC 的度数为________．
14．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AC 平分DAB ∠，CM AB ⊥于点M ，若4cm AM =， 2.5cm BC =，则四边形ABCD 的周长为______cm ．
15．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝_____．
16．如图，ABC ADE
≅，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若
120
EAB
∠=︒，30
B
∠=︒，10
CAD
∠=︒，则CFD
∠=________︒．
17．如图，线段AB，CD相交于点O，AO=BO，添加一个条件，能使AOC BOD
≅，所添加的条件的是___________________________．
18．如图，ABC的面积为2
15cm，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交
AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于1
2
MN的长为半径画弧，两
弧交于点P，作射线AP，过点C作CD AP
⊥于点D，连接DB，则DAB的面积是______2
cm．
19．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．
20．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．
三、解答题
21．如图，在五边形ABCDE 中，AB DE =，AC AD =．
（1）请你添加一个与角有关的条件，使得ABC DEA ≌，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若65CAD ∠=︒，110B ∠=︒，求BAE ∠的度数． 22．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足E 在CD 的延长线上．求证：CD=2BE ．
23．已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 绕点C 旋转，过点A 作AD l ⊥于D ，过点B 作BE l ⊥于E ，若6AD =，3BE =，画图并直接写出DE 的长． 24．如图，∠ACB 和∠ADB 都是直角，BC ＝BD ，E 是AB 上任意一点．
（1）求证：△ABC ≌△ABD ．
（2）求证：CE ＝DE ．
25．已知：在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．
（1）直线BF 垂直CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE ＝CG ；
（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），找出图中与BE 相等的线段，并说明理由．
26．如图，已知Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，CA CB =，D 是AC 上一点，E 在BC 的延长线上，且CE CD =，BD 的延长线与AE 交于点F ．求证：BF AE ⊥．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，可确定取值范围．
【详解】
解：若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则C 点唯一即可，
当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；
当x >a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有一个交点，
x =a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有两个交点，一个与A 重合， 所以，当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，
故选为：A ．
【点睛】
本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 2．B
解析：B
【分析】
根据EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠，经推到得EAF BAC ∠=∠；再结合全等三角形判定的性质分析，即可得到答案．
【详解】
∵EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠ ∴EAF BAC ∠=∠
E B ∠=∠，即E B EA
F BAC EA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABC AEF ≌
△△()ASA ，故②符合题意； AF AC =，即AF AC EAF BAC EA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABC AEF ≌△△()SAS ，故③符合题意；
①和④不构成三角形全等的条件，故错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．
3．C
解析：C
【分析】
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．
【详解】
如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.
∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD
∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝1
2AB·OE＋
1
2
BC·OD＋
1
2
AC·OF＝
1
2
×OD×(AB＋BC＋AC)＝
1
2
×OD×8＝12
OD=3
故选：C
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．
4．C
解析：C
【分析】
根据全等三角形的判定与性质综合分析即可；
【详解】
在ABC和DCB中，
A D
ABC DCB
BC CB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，故ABC DCB
△△
≌，A不符合题意；
在ABC和DCB中，
AB DC
ABC DCB
BC CB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，故ABC DCB
△△
≌，B不符合题意；
只有AC=BD，BC=CB，ABC DCB
∠=∠，不符合全等三角形的判定，故C符合题意；
在ABC和DCB中，
ACB DBC
CB BC
ABC DCB
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，故ABC DCB
△△
≌，D不符合题意；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析判断是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据∠B=∠C，BD=CE，BF=CD，可证出△BFD≌△CDE，继而得出∠BFD=∠EDC，再根据三角形内角和定理及平角等于180︒，即可得出∠B=∠EDF，进而得到答案．
【详解】
解：∵∠B=∠C，BD=CE，BF=CD，
∴△BFD≌△CDE，
∴∠BFD=∠EDC，
∴∠B+∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠EDF+∠EDC，
∴∠B=∠EDF，
又∵∠B=∠C=1801
90
22
A
A ︒-∠
=︒-∠，
∴∠EDF=1
90
2A
︒-∠，
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质找出∠BFD=∠EDC是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC≌△ONC(SSS)，即可得到结论.
【详解】
在△OMC和△ONC中，
OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，
∴∠MOC=∠NOC ，
∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，
故选：C.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.
7．D
解析：D
【分析】
求出DE 的值，代入面积公式得出关于AB 的方程，求出即可．
【详解】
解：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE=DF=2，
∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，
∴12=12×AB×DE+12
×AC×DF ， ∴24=AB×2+3×2，
∴AB=9，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
8．C
解析：C
【分析】
延长AP 交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC 的面积．
【详解】
解：延长AP 交BC 于E ，
∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，
∴∠ABP =∠EBP ，∠APB =∠BPE =90∘，
在△APB 和△EPB 中
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
APB EPB BP BP
ABP EBP ∴△APB ≌△EPB (ASA )，
∴APB EPB S S =△△，AP =PE ，
∴△APC 和△CPE 等底同高，
∴APC PCE S S =,
∴PBC PCE PCE S S S =+△△△
=1
2ABC S
=1632
⨯= 故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形的面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出
PBC PCE PCE S S S =+△△△=1
2ABC S ．
9．A
解析：A
【分析】
过点D 作DE 垂直于AB ，DF 垂直于AC ，由AD 为角BAC 的平分线，根据角平分线定理得到DE=DF ，再根据三角形的面积公式表示出△ABD 与△ACD 的面积之比，把DE=DF 以及AB ：AC 的比值代入即可求出面积之比．
【详解】
解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．
∵AD 为∠BAC 的平分线，
∴DE=DF ，又AB ：AC=4：3，
∴S △ABD ：S △ACD =（
12AB•DE ）：（12
AC•DF ）=AB ：AC=4：3． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．此类题经常过角平分线上作角两边的垂线，这样可以得到线段的相等，再结合其他的条件探寻结论解决问
题．
10．B
解析：B
【分析】
作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH=DE=2，根据三角形的面积公式得
1 2×2×AC+
1
2
×2×4=7，于是可求出AC的值．
【详解】
解：作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DE=2，
∵S△ABC=S△ADC+S△ABD，
∴1
2×2×AC+
1
2
×2×4=7，
∴AC=3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．
11．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=β，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD，根据∠ADC 是△BDC的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB，于是得到结果．
【详解】
解：∵EF∥AB，∠EFC=β，
∴∠B=∠EFC=β，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB=2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD，
∵∠ADC=γ，
∴∠BCD=γ-β，
∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC=∠B+∠ACB，
∵∠MAC=α，
∴α=β+2（γ-β），
∴β=2γ-α，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
12．A
解析：A
【分析】
根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】
解：A、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；
C、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；
D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键．
二、填空题
13．61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC的度数然后利用角平分线的判定方法得到BD为∠ABC的平分线再求出∠ABD的度数根据三角形外角的性质进而求得结论【详解】解：∵∠A=32°∠ACB=9
解析：61°
【分析】
首先利用直角三角形的性质求得∠ABC的度数，然后利用角平分线的判定方法得到BD为∠ABC的平分线，再求出∠ABD的度数，根据三角形外角的性质进而求得结论．
【详解】
解：∵∠A=32°，∠ACB=90°，
∴∠CBA=58°，
∵DE⊥AB，DC⊥BC，DC=DE，
∴BD为∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠EBD，
∴∠CBD=1
2∠CBA=1
2
×58°=29°,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+29°=61°．
故答案为：61°．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是根据已知条件得到BD 为∠ABC 的平分线，难度不大．
14．13【分析】过点C 作CN ⊥AD 交AD 延长线于点N 由角平分线的性质得到CN=CM 然后证明△CDN ≌△CBM 得到DN=BMCD=CB=25然后求出AN=AM=4则AD=4DN 即可求出四边形的周长【详解】
解析：13
【分析】
过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，由角平分线的性质，得到CN=CM ，然后证明△CDN ≌△CBM ，得到DN=BM ，CD=CB=2.5，然后求出AN=AM=4，则AD=4-DN ，即可求出四边形的周长．
【详解】
解：根据题意，过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，如图：
∵CM AB ⊥，CN ⊥AD ，
∴∠N=∠CMB=90°，
∵180B ADC ∠+∠=︒，180CDN ADC ∠+∠=︒，
∴B CDN ∠=∠，
∵AC 平分DAB ∠，
∴CN=CM ，
∴△CDN ≌△CBM ，
∴DN=BM ，CD=CB=2.5，
∵AC=AC ，∠N=∠CMA=90°，
∴△ACN ≌△ACM （HL ），
∴AN=AM=4，
∴AD=4-DN ，
∴AB=4+BM=4+DN ，
∴四边形ABCD 的周长为：
4 2.
5 2.5413AD DC CB AB DN DN +++=-++++=；
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用所学的知识，正确得到AD=4-DN ，AB=4+DN ．
15．55°【分析】由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD 根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°进而可求出∠EDF 的值【详解】解：∵∠DFC+∠AFD=180°∠
解析：55°
【分析】
由∠AFD ＝145°可求得∠CFD=35°，证明Rt △BDE ≌△Rt △CFD ，根据对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°，进而可求出∠EDF 的值．
【详解】
解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt △BDE 与△Rt △CFD 中，
BE CD BD CF
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌△Rt △CFD （HL ），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．
故答案是：55°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 16．95【分析】根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAE 结合三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求解【详解】解：∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的性质三角形外角的性质和三角形内角和定
解析：95
【分析】
根据全等三角形的性质，得∠BAC=∠DAE ，结合三角形外角的性质和三角形内角和定理，即可求解．
【详解】
解：∵ABC ADE ≅，
∴()
12010255BAC DAE ∠=∠=-÷=，
∴85ACF BAC B ∠=∠+∠=，
∴18085CFA ACF CAD ∠=-∠-∠=，
∴1808595CFD ∠=-=．
故答案为：95．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握上述定理和性质，是解题的关键．
17．或或或【分析】先根据对顶角相等可得再根据三角形全等的判定定理即可得【详解】由对顶角相等得：当时由定理可证当时由定理可证当时由定理可证当时则由定理可证故答案为：或或或【点睛】本题考查了对顶角相等三角形 解析：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD
【分析】
先根据对顶角相等可得AOC BOD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得．
【详解】
由对顶角相等得：AOC BOD ∠=∠，
AO BO =，
∴当CO DO =时，由SAS 定理可证AOC BOD ≅，
当A B ∠=∠时，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，
当C D ∠=∠时，由AAS 定理可证AOC BOD ≅，
当//AC BD 时，则A B ∠=∠，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，
故答案为：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD ．
【点睛】
本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
18．【分析】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP 平分∠CAB 证明
△ADC ≌△ADE 得到CD=DE 由此得到推出即可得到答案【详解】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP 平分∠CAB ∴∠CAD=∠EAD ∵CD ⊥A 解析：152
【分析】
如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，证明△ADC ≌△ADE ，得到CD=DE ，由此得到,ACD ADE BCD BED S
S S S ==，推出ACD BCD ADE BED S S S S +=+，即可得到答案．
【详解】
如图，延长CD 交AB 于E ，
由题意得AP 平分∠CAB ，
∴∠CAD=∠EAD,
∵CD ⊥AD ，
∴∠ADC=∠ADE ，
∵AD=AD ，
∴△ADC ≌△ADE ，
∴CD=DE ，
∴,ACD ADE BCD BED S S S S ==，
∴ACD BCD ADE BED S
S S S +=+， ∴12ABD ADE BED ABC S S S S =+==152
， 故答案为：152
． ．
【点睛】
此题考查三角形角平分线的作图方法，全等三角形的判定及性质，证出CD=DE 得到,ACD ADE BCD BED S S S S ==是解此题的关键．
19．15【分析】根据角平分线的性质可得DE=DC 然后求出DC 即得答案【详解】解：∵AC=40cmAD ：DC=5：3∴DC=15cm ∵BD 平分
∠ABCDE ⊥AB ∠C=90°∴DE=DC=15cm 即D 到AB
解析：15
【分析】
根据角平分线的性质可得DE=DC ，然后求出DC 即得答案．
【详解】
解：∵AC=40cm ，AD ：DC=5：3，
∴DC=15cm ，
∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，∠C=90°，
∴DE=DC=15cm ，即D 到AB 的距离为15cm ．
故答案为：15． 【点睛】
本题考查了角平分线的性质，属于基础题目，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 20．或【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：与全等解得:；如图2所示：点与点重合与全等解得:；故答案为:或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确 解析：1或
72
【分析】
对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；
【详解】
如图1所示：
PEC ∆与QFC ∆全等，
PC QC ，
683∴-=-t t ，
解得:1t =；
如图2所示：
点P 与点Q 重合， PEC 与QFC ∆全等，
638∴-=-t t ，
解得:72
t =； 故答案为:1或
72
． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题
21．（1）添加一个角有关的条件为BAC EDA ∠=∠，使得ABC DEA ≌，理由见解析；（2）BAE ∠的度数为135︒．
【分析】
(1)根据已知条件，选择SAS 原理，可确定添加的角；
(2)利用三角形全等，∠B 的度数，可求∠BAC+∠DAE ，问题可解.
【详解】
（1）添加一个角方面的条件为BAC EDA ∠=∠，使得ABC DEA ≌.
在ABC 和DEA △中
∵AB DE =，BAC EDA ∠=∠，AC DA =，
∴()SAS ABC DEA ≌
△△； （2）在（1）的条件下∵
ABC DEA ≌，
∴ACB DAE ∠=∠，
若65CAD ∠=︒，110B ∠=︒，
则18070ACB BAC B ∠+∠=︒-∠=︒，
∴70DAE BAC ACB BAC ∠+∠=∠+∠=︒，
∴7065135BAE DAE BAC CAD ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，
即BAE ∠的度数为135︒.
【点睛】
本题考查了三角形全等，熟练掌握全等三角形判定原理和性质是解题的关键.
22．见解析
【分析】
根据等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF ，再利用“角边角”证明△AFB ≌△ADC 可得CD=BF ，利用“角边角”证明△BCE 和△FCE 全等，根据全等三角形对应边相等BE=EF ，整理即可得证．
【详解】
证明：∵BE ⊥CD ，∠BAC=90°，
∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°，
∠ABF+∠F=180°-90°=90°，
∴∠ACD=∠ABF ，
在△AFB 和△ADC 中， 90ACD ABF AB AC
CAD BAF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩
＝＝＝＝， ∴△AFB ≌△ADC （ASA ）；
∴CD=BF ，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠BCE=∠FCE ，
在△BCE 和△FCE 中，
90BCE FCE CE CE
BEC FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩
＝＝＝＝， ∴△BCE ≌△FCE （ASA ），
∴BE=EF ，
∴BF=2BE
∴CD=2BE ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明方法并准确识图是解题
的关键．
23．图见解析，9DE =或3DE =
【分析】
分直线l 不经过线段AB 和直线l 经过线段AB 两种情况画图，证明△ACD ≌△CBE 即可求出DE 的长．
【详解】
解：如图1
∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∵90ACB ∠=︒，
∴∠BCE+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB
在△ACD 和△CBE 中，
===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴ △ACD ≌△CBE
∴AD=CE=6，DC=EB=3，
∴DE=DC+CE=9；
如图2，
∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∵90ACB ∠=︒，
∴∠BCE+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠ECB
在△ACD 和△CBE 中，
===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴ △ACD ≌△CBE
∴AD=CE=6，DC=EB=3，
∴DE=CE-CD=3；
∴9DE =或3DE =．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意分类画图证明全等三角形是解题关键． 24．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）利用“HL ”证明Rt △ACB ≌Rt △ADB 即可；
（2）由Rt △ACB ≌Rt △ADB 得到∠CAB ＝∠DAB ，AC ＝AD ，然后利用“SAS ”可证明△ACE ≌△ADE ，从而得到CE ＝DE ．
【详解】
证明：（1）在Rt △ACB 和Rt △ADB 中，
AB AB BC BD
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACB ≌Rt △ADB （HL ）；
（2）∵Rt △ACB ≌Rt △ADB ，
∴∠CAB ＝∠DAB ，AC ＝AD ，
在△ACE 和△ADE 中，
AC AD CAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△ADE （SAS ），
∴CE ＝DE ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，根据图形的特点确定对应相等的条件，利用：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 或HL 证明两个三角形全等由此解决问题是解题的关键．
25．（1）证明见详解；（2）BE=CM ，证明见详解；
【分析】
（1）首先根据点D 是AB 的中点，∠ACB=90° ，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC ≌△CGB ，即可得出AE=CG ；
（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC ，
∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE ≌△CAM ，进而证明出BE=CM ；
【详解】
（1）∵点D 是AB 的中点，AC=BC ，∠ACB=90°，
∴ CD ⊥AB ，∠ACD=∠BCD=45°，
∴ ∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG ，
又∵BF ⊥CE ，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG ，
在△AEC 和△CGB 中，
⎧⎪⎨⎪⎩
∠CAE=∠BCG AC=BC
∠ACE=∠CBG ∴△AEC ≌△CGB(ASA)，
∴AE=CG ；
（2）BE=CM ，
∵CH ⊥HM ，CD ⊥ED ，
∴∠CMA+∠MCH=90°，
∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC ，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE 和△CAM 中，
⎧⎪⎨⎪⎩
∠BEC=∠CMA ∠CBE=∠ACM BC=AC ， ∴△BCE ≌△CAM(AAS)，
∴ BE=CM ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS ）和全等三角形的性质是解题的关键；
26．证明见解析
【分析】
根据题意可以得到△ACE ≌△BCD ，然后根据全等三角形的性质和垂直的定义可以证明结论成立．
【详解】
证明：∵90ACB ︒∠=
∴90ACE BCD ︒∠=∠=
在ACE △和BCD △中，
CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ACE BCD SAS =
∴CAE CBD ∠=∠
∵Rt ACE △中，90CAE E ︒∠+∠=，
∴90CBD E ︒∠+∠=，
∴90BFE ︒∠=
∴BF AE ⊥
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直的定义，解题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质、数形结合的思想作答．。