新人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试(含答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，在ABC 和AEF 中，EAC BAF ∠=∠，EA BA =，添加下面的条件：①EAF BAC ∠=∠；②E B ∠=∠；③AF AC =；④EF BC =，其中可以得到ABC AEF ≌△△的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝50°，BD ＝CF ，BE ＝CD ，则∠EDF 的度数是（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．30°
3．如图，BD 是四边形ABCD 的对角线， AD//BC ，AB AD <，分别过点A ，C 作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为点E ，F ，若BE DF =，则图中全等的三角形有
( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
4．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为
( )
A ．40︒
B ．45︒
C ．50︒
D ．55︒
5．下列说法正确的是（ ）
①近似数232.610⨯精确到十分位；
②在2，()2--，38-，2--中，最小的是38-；
③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为15-+；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；
⑤如图，在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．对于ABC 与DEF ，已知∠A=∠D ，∠B=∠E ，则下列条件：①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④ 7．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )
A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．HL
8．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
9．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）
A ．BC ED =
B ．A F ∠=∠
C ．B E ∠=∠
D ．//AB EF 10．下列命题，真命题是（ ）
A ．全等三角形的面积相等
B ．面积相等的两个三角形全等
C ．两个角对应相等的两个三角形全等
D ．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
11．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）
A ．134°
B ．124°
C ．114°
D ．104°
12．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）
A ．CD ⊥AD ，BD ⊥AD
B ．CD ＝BD
C ．∠1＝∠2
D ．∠CAD ＝∠B AD
二、填空题
13．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AC 平分DAB ∠，CM AB ⊥于点M ，若4cm AM =， 2.5cm BC =，则四边形ABCD 的周长为______cm ．
14．如图，已知//AD BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分DAB ∠，CBA ∠．若3cm AE =，4cm BE =，则四边形ABCD 的面积是________．
15．已知70COB ∠=，30AOB ∠=，OD 平分AOC ∠，则BOD ∠=_________ 16．如图，AD 为∠CAF 的角平分线，BD=CD ，∠DBC=∠DCB ，∠DCA=∠ABD ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；
②CE=AB+AE ；③∠DAF=∠CBD ．其中正确的结论有_____．（填序号）
17．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为_______．
18．如图所示，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，∠A=∠F ，AC=FE ，要使
△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是___________________ ．（只需填一个即可）
19．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；
如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；
如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．
20．如图，已知点(44)A -，
，一个以A 为顶点的45︒角绕点A 旋转，角的两边分别交x 轴正半轴，y 轴负半轴于E 、F ，连接EF ．当△AEF 直角三角形时，点E 的坐标是________．
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（不与点B ，C 重合），过点C 作CE ⊥AD ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ．
（1）请直接写出∠CAD 与∠BCF 的数量关系；
（2）若点D 是BC 中点，在图2中画出图形，猜想线段AD ，CF ，FD 之间的数量关系，并证明你的猜想．
22．如图，在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，BC 、EF 交于点M ，AC DF =，AB DE =．
求证：（1）CBA FED ∠=∠；
（2）AM DM =．
23．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上的一点，过D 作DE ⊥AB 交AC 于点E ，CE=DE ．连接CD 交BE 于点F ．
（1）求证：BC=BD ；
（2）若点D 为AB 的中点，求∠AED 的度数．
24．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．
（1）观察发现：如图1，当60β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______；
（2）探究证明：如图2，当90β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的
度数是______，根据图2证明你的猜想；
（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______．（用含β的式子表示）
25．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，D 是BC 的中点，证明：∠B =∠C ．
26．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB ∥CD ，试用不同的方法证明∠B +∠C ＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B +∠C ＝∠BEC
求证：AB ∥CD
证明：如图2，过点E ，作EF ∥AB ，
∴∠B ＝∠
∵∠B +∠C ＝∠BEC ，∠BEF +∠FEC ＝∠BEC （已知）
∴∠B +∠C ＝∠BEF +∠FEC （等量代换）
∴∠ ＝∠ （等式性质）
∴EF ∥
∵EF ∥AB
∴AB ∥CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB ∥CD ，在∠BCD 的平分线上取两个点M 、N ，使得∠BMN ＝∠BNM ，求证：∠CBM ＝∠ABN ．
（3）如图4，已知AB ∥CD ，点E 在BC 的左侧，∠ABE ，∠DCE 的平分线相交于点F ．请直接写出∠E 与∠F 之间的等量关系．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠，经推到得EAF BAC ∠=∠；再结合全等三角形判定的性质分析，即可得到答案．
【详解】
∵EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠ ∴EAF BAC ∠=∠
E B ∠=∠，即E B EA
F BAC EA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABC AEF ≌△△()ASA ，故②符合题意；
AF AC =，即AF AC EAF BAC EA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABC AEF ≌△△()SAS ，故③符合题意；
①和④不构成三角形全等的条件，故错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．
2．B
解析：B
【分析】
由SAS 证明△BDE ≌△CFD ，得出∠BDE=∠CFD ，∠EDF 可由180°与∠BDE 、∠CDF 的差表示，进而求解即可．
【详解】
解：在△BDE 与△CFD 中，
BD CF B C BE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△BDE ≌△CFD （SAS ）；
∴∠BDE=∠CFD ，
∴∠EDF=180°-（∠BDE+∠CDF ）=180°-（∠CFD+∠CDF ）=180°-（180°-∠C ）=50°； 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 3．C
解析：C
【分析】
根据AD //BC 证得ADB CBD ∠=∠，由BE DF =得到BF=DE ，由此证明
△ADE ≌△CBF ，得到AE=CF ，AD=CB ，由此证得△ABE ≌△CDF ，得到AB=CD ，由此利用SSS 证明△ABD ≌△CDB.
【详解】
解：∵AD //BC ，
∴ADB CBD ∠=∠，
BE DF =，
BF DE ∴=，
AE BD ⊥，CF BD ⊥，
AED CFB ∠∠∴=90=，
()ADE CBF ASA ∴≅，
AE CF ∴=，AD CB =，
∵∠AEB=∠CFD 90=，BE=DF ，
()ABE CDF SAS ∴≅，
AB CD ∴=，
BD DB =，AB=CD ，AD CB =，
()ABD CDB SSS ∴≅,
则图中全等的三角形有：3对，
故选:C .
【点睛】
此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据已知条件找到对应的边或角是解题的关键.
4．A
解析：A
【分析】
由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．
【详解】
解：∵点O 到ABC 三边的距离相等，
∴BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，
∴ ()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠
()1802OBC OCB =︒-∠+∠
()1802180BOC =︒-⨯︒-∠
()1802180110︒=︒-⨯-︒
40=︒．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据近似数的精确度定义，可判断①；根据实数的大小比较，可判断②；根据点在数轴上所对应的实数，即可判断③；根据反证法的概念，可判断④；根据角平分线的性质，可判断⑤．
【详解】
①近似数232.610⨯精确到十位，故本小题错误；
()22--=2=-，-=
③在数轴上点P 所表示的数为1-+
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角或三个钝角”，故本小题错误；
⑤在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点，故本小题正确．
故选B
【点睛】
本题主要考查近似数的精确度定义，实数的大小比较，点在数轴上所对应的实数，反证法的概念，角平分线的性质，熟练掌握上述知识点，是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
根据已知条件，已知两角对应相等，所以要证两三角形全等，可以根据角边角、角角边、边角边判定定理添加条件，再根据选项选取答案即可；
【详解】
题意已知：∠A=∠D ，∠B=∠E ，
∴①根据“ASA”可添加AB=DE ，故①正确；
②根据“AAS” 可添加AC=DF ，故②正确；
③根据“AAS” 可添加BC=EF ，故③错误；
④根据“ASA”可添加AB=DE ，故④错误；
所以补充①②可判定两三角形全等；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定，根据不同的判定方法可选择不同的条件，所以对三角形全等的判定定理要熟练掌握并归纳总结；
7．D
解析：D
【分析】
直接证明全等三角形，即可确定判断方法.
【详解】
解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，
∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，
又AC DB =，BC CB =， ∴()ABC DCB HL ≅,
故选：D.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.
8．A
解析：A
【分析】
根据两条平行线之间的距离可知当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，先利用角平分线的性质得出AD =AE =3，利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3，进而解答即可．
【详解】
解：由题意得，
当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，
∵OB 平分∠MON ，AE ⊥ON 于点E ，CD ⊥OM ，
∴AD =AE =3，
∵BC ∥OM ，
∴∠DOA =∠B ，
∵A 为OB 中点，
∴AB =AO ，
在△ADO 与△ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ADO ≌△ABC (SAS ),
∴AC =AD =3，
∴336CD AC AD =+=+=，
故选A ．
【点睛】
此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3．
9．C
解析：C
【分析】
由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．
【详解】
∵AD FC =，
∴AC=FD ，
∵AB FE =，
∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△， 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，
故选：C ．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】
解：A 、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；
B 、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；
C 、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；
D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题； 故选：A ．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键． 11．B
解析：B
【分析】
根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；
【详解】
∵AE 平分∠BAC ，∠BAE ＝34°，
∴34EAC ∠=︒，
∵ED ∥AC ，
∴18034146
AED
∠=︒-︒=︒，
∵BE⊥AE，
∴90
AEB=︒
∠，
∴36090146124
BED
∠=︒-︒-︒=︒；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键。

12．C
解析：C
【分析】
在△ACD和△ABD中，AD=AD，AB=AC，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．
【详解】
解：添加A选项中条件可用HL判定两个三角形全等，故选项A不符合题意；
添加B选项中的条件可用SSS判定两个三角形全等，故选项B不符合题意；
添加C选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA，结合已知条件不SS判定两个三角形全等，故选项C符合题意；
添加D选项中的条件可用SAS判定两个三角形全等，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，判断直角三角形全等的方法：“HL”．
二、填空题
13．13【分析】过点C作CN⊥AD交AD延长线于点N由角平分线的性质得到CN=CM然后证明△CDN≌△CBM得到DN=BMCD=CB=25然后求出AN=AM=4则AD=4DN即可求出四边形的周长【详解】
解析：13
【分析】
过点C作CN⊥AD，交AD延长线于点N，由角平分线的性质，得到CN=CM，然后证明
△CDN≌△CBM，得到DN=BM，CD=CB=2.5，然后求出AN=AM=4，则AD=4-DN，即可求出四边形的周长．
【详解】
解：根据题意，过点C作CN⊥AD，交AD延长线于点N，如图：
∵CM AB ⊥，CN ⊥AD ，
∴∠N=∠CMB=90°，
∵180B ADC ∠+∠=︒，180CDN ADC ∠+∠=︒，
∴B CDN ∠=∠，
∵AC 平分DAB ∠，
∴CN=CM ，
∴△CDN ≌△CBM ，
∴DN=BM ，CD=CB=2.5，
∵AC=AC ，∠N=∠CMA=90°，
∴△ACN ≌△ACM （HL ），
∴AN=AM=4，
∴AD=4-DN ，
∴AB=4+BM=4+DN ，
∴四边形ABCD 的周长为：
4 2.
5 2.5413AD DC CB AB DN DN +++=-++++=；
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用所学的知识，正确得到AD=4-DN ，AB=4+DN ．
14．【分析】如图延长AEBC 交于点M 通过条件证明再证明可知即可求解出结果【详解】解：如图延长AEBC 交于点MAE 平分又BE 平分BE=BE 故答案为：
【点睛】本题考查全等三角形的综合问题需要熟练掌握全等三角
解析：212cm
【分析】
如图，延长AE ，BC 交于点M ，通过条件证明()ABE MBE AAS ≅，再证明()ADE MCE ASA ≅，可知ADE MCE S
S =，=2ABE ABCD S S 四边形即可求解出结果．
【详解】 解：如图，延长AE ，BC 交于点M ，
AE 平分DAB ∠，
BAE DAE ∴∠=∠，
//AD BC ，
//AD BM ∴，
BAE DAE CME ∴∠=∠=∠，
又 BE 平分CBA ∠，
ABE MBE ∴∠=∠，
BAE CME ABE MBE ∠=∠∠=∠，，BE=BE ，
()ABE MBE AAS ∴≅，
90BEA BEM AE ME ∴∠=∠=︒=，，
DAE CME AE ME ∠=∠=，，
AED MEC ∠=∠，
()ADE MCE ASA ∴≅，
ADE MCE S S ∴=，
3cm AE =，4cm BE =，
21==2234122
ABM ABE ABCD S S S cm ∴=⨯⨯⨯=四边形， 故答案为：212cm ．
【点睛】
本题考查全等三角形的综合问题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，能根据条件和图像做出合适的辅助线是解决本题的关键．
15．20°或50°【分析】根据题意分两种情况进行讨论然后根据角平分线的性质计算解决即可【详解】解:①如图∵∠BOC=70°∴∠AOC=100°∵OD 平分∠AOC ∴∠AOD=∠AOC=50°∠AOD-=2
解析：20°或50°
【分析】
根据题意,分两种情况进行讨论,然后根据角平分线的性质计算解决即可.
【详解】
解:①如图
∵30
∠=︒,
AOB
∠BOC=70°,
∴∠AOC=100°,
∵OD平分∠AOC
∠AOC=50°,
∴∠AOD=1
2
∠=20°;
∠=∠AOD-AOB
BOD
②如图,
∵30
∠=︒,
AOB
∠BOC=70°,
∴∠AOC=40°,
∵OD平分∠AOC
∠AOC=20°,
∴∠AOD=1
2
∠=50°;
∠=∠AOD+AOB
BOD
故答案为：20°或50°
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握角平分线的性质，能够由角平分线得出相等的角，在解决问题时注意要分类讨论.
16．①②③【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF
再利用HL 证明Rt △CDE 和Rt △BDF 全等根据全等三角形对应边相等可得CE ＝AF 利用HL 证明Rt △ADE 和Rt △ADF 全等根据全等三
解析：①②③．
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE ＝DF ，再利用“HL”证明Rt △CDE 和Rt △BDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE ＝AF ，利用“HL”证明Rt △ADE 和Rt △ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE ＝AF ，然后求出CE ＝AB ＋AE ；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF ＝∠DCE ，利用“8字型”证明∠BDC ＝∠BAC ；根据三角形内角和定理及平角的性质，可得∠DAF ＝∠CBD ．
【详解】
解：如图
∵AD 平分∠CAF ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，
∴DE ＝DF ，
在Rt △CDE 和Rt △BDF 中，
BD CD
DE DF ⎧⎨⎩＝＝
∴Rt △CDE ≌Rt △BDF （HL ），故①正确；
∴CE ＝BF ，
在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，
AD AD
DE DF ＝＝⎧⎨⎩ ，
∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ），
∴AE ＝AF ，
∴CE ＝AB ＋AF ＝AB ＋AE ，故②正确；
∵Rt △CDE ≌Rt △BDF ，
∴∠DBF ＝∠DCE ，
∵∠AOB ＝∠COD ，（设AC 交BD 于O ），
∴∠BDC ＝∠BAC ，
∵AD 平分∠FAE ，
∴∠DAF ＝∠DAE
∵BD ＝CD
∴∠DBC ＝∠DCB
∵∠BAC ＋∠DAF ＋∠DAE ＝180°，
∠BDC ＋∠DBC ＋∠DCB ＝180°，
∠BDC ＝∠BAC
∴∠DAF ＋∠DAE ＝∠DBC ＋∠DCB
∴∠DAF ＝∠CBD ，故③正确
综上所述，正确的结论有①②③．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等． 17．3【分析】过点D 作于点H 先证明BD 是的角平分线然后根据角平分线的性质得到当点P 运动到点H 的位置时DP 的长最小即DH 的长【详解】解：如图过点D 作于点H ∵∴∵∴∴BD 是的角平分线∵∴∵点D 是直线BC 外一 解析：3
【分析】
过点D 作DH BC ⊥于点H ，先证明BD 是ABC ∠的角平分线，然后根据角平分线的性质得到3AD DH ==，当点P 运动到点H 的位置时，DP 的长最小，即DH 的长．
【详解】
解：如图，过点D 作DH BC ⊥于点H ，
∵BD CD ⊥，
∴90BDC ∠=︒，
∵180C BDC DBC ∠+∠+∠=︒，180ADB A ABD ∠+∠+∠=︒，ADB C ∠=∠，90A ∠=︒，
∴ABD CBD ∠=∠，
∴BD 是ABC ∠的角平分线，
∵AD AB ⊥，DH BC ⊥，
∴3AD DH ==，
∵点D 是直线BC 外一点，
∴当点P 在BC 上运动时，点P 运动到与点H 重合时DP 最短，其长度为DH 长，即DP 长的最小值是3．
故答案是：3．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练运用角平分线的性质定理．
18．∠C ∠E 或ABFD(ADFB)或∠ABC ∠FDE 或DE ∥BC 【分析】要判定
△ABC ≌△FDE 已知∠A=∠FAC=FE 具备了一组角和一组边对应相等故可以添加∠C ∠E 利用ASA 可证全等（也可添加其它条件
解析：∠C =∠E 或AB =FD(AD =FB)或∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC
【分析】
要判定△ABC ≌△FDE ，已知∠A=∠F ，AC=FE ，具备了一组角和一组边对应相等，故可以添加∠C =∠E ，利用ASA 可证全等．（也可添加其它条件）．
【详解】
增加一个条件：∠C =∠E ，
在△ABC 和△FDE 中，
C E AC FE A F ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ABC ≌△FDE(ASA)；
或添加AB =FD(AD =FB) 利用SAS 证明全等；
或添加∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC 利用AAS 证明全等．
故答案为：∠C =∠E 或AB =FD(AD =FB)或∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC （答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA 、AAS 、SAS 、SSS 等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
19．【分析】根据图形得出当有1点D 时有1对全等三角形；当有2点DE 时有3对全等三角形；当有3点DEF 时有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时图中有个全等三角形即可【详解】解：当有1点D 时有1对全 解析：)(12n n +
【分析】
根据图形得出当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时，图中有)(12n n +个全等三角形即可．
【详解】
解：当有1点D 时，有1对全等三角形；
当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；
当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n 个点时，图中有)
(12n n +个全等三角形．
故答案为：
)(12n n +．
【点睛】 本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．
20．或【分析】根据等腰三角形的性质作辅助线构造全等三角形得到对应线段相等即可得到结论【详解】①如图所示：∴∵∴∵∴∴在△和中
∴△△FDE ∴∴②当时同①的方法有：∴综上所述满足条件的点坐标为或故答案为：或
解析：(8)0，
或(40)， 【分析】
根据等腰三角形的性质，作辅助线构造全等三角形，得到对应线段相等即可得到结论．
【详解】
①如图所示：
90AFE ︒∠=，
∴90AFD OFE ︒∠+∠=，
∵90OFE OEF ︒∠+∠=，
∴AFD OEF ∠=∠，
∵90AFE ︒∠=，45EAF ︒∠=，
∴45AEF EAF ︒∠==∠，
∴AF EF =，
在△ADF 和FOE 中，
ADE FOE AFD OEF AF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△FDE ，
∴4FO AD ==，8OE DF OD FO ==+=，
∴(40)E ，．
②当90AEF ︒∠=时，同①的方法有：8OF =，4OE =，
∴(40)E ，
， 综上所述，满足条件的点E 坐标为(8)0，
或(40)， 故答案为：(8)0，
或(40)， 【点睛】
本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解．
三、解答题
21．（1）∠BCF ＝∠CAD ；（2）AD ＝CF +DF ，证明见解析
【分析】
（1）由余角的性质可求解；
（2）过点B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ，由“ASA ”可证△ACD ≌△CBG ，可得CD ＝BG ，AD ＝CG ，由“SAS ”可证△BDF ≌△BGF ，可得DF ＝GF ，可得结论．
【详解】
解：（1）∠BCF ＝∠CAD ，
理由如下：∵CE ⊥AD ，
∴∠CED ＝∠ACD ＝90°，
∴∠CAD +∠ADC ＝90°＝∠ADC +∠BCF ，
∴∠CAD ＝∠BCF ；
（2）如图所示：
猜想：AD ＝CF +DF ，
理由如下：过点B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ，
则∠ACB +∠CBG ＝180°，
∴∠CBG ＝∠ACD ＝90°，
在△ACD 和△CBG 中，
∵CAD BCF AC BC ACD CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ACD ≌△CBG （ASA ），
∴CD ＝BG ，AD ＝CG ，
∵D 是BC 的中点，
∴CD ＝BG ＝BD ，
∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，
∴∠CBA ＝∠CAB ，
∴∠CBA ＝45°，
∴∠FBG ＝∠CBG ﹣∠CBA ＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FBG ＝∠FBD ，
在△BDF 和△BGF 中，
BF BF FBD FBG BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDF ≌△BGF （SAS ），
∴DF ＝GF ，
∵AD ＝CG ＝CF +FG ，
∴AD ＝CF +DF ．
【点睛】
本题主要考查余角的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据HL 定理可得Rt △ABC ≌ Rt △DEF ，从而得到∠CBA=∠FED ；
（2）由（1）所得结论和已知条件可以证得△AEM ≌△DBM ，从而可得AM=DM ．
【详解】
证明：（1）在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒
AC DF AB DE =⎧⎨=⎩
∴()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△
∴CBA FED ∠=∠．
（2）∵CBA FED ∠=∠
∴ME MB =，且AEM
DBM ∠=∠ 又∵AB DE =
∴AB EB DE EB -=-
即AE DB =
在AEM △和DBM △中
AE DB AEM DBM ME MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()AEM DBM SAS △≌△
∴AM DM =．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理HL 、SAS 及三角形全等的性质是解题关键．
23．（1）见详解；（2）60°．
【分析】
（1）利用HL 直接证明Rt △DEB ≌Rt △CEB ，即可解决问题．
（2）首先证明△ADE ≌△BDE ，进而证明∠AED=∠DEB=∠CEB ，即可解决问题．
【详解】
证明：（1）∵DE ⊥AB ，∠ACB=90°，
∴△DEB 与△CEB 都是直角三角形，
在△DEB 与△CEB 中，
EB EB DE CE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △DEB ≌Rt △CEB （HL ），
∴BC=BD ．
（2）∵DE ⊥AB ，
∴∠ADE=∠BDE=90°；
∵点D 为AB 的中点，
∴AD=BD ；
在△ADE 与△BDE 中，
AD BD ADE BDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△BDE （SAS ），
∴∠AED=∠DEB ；
∵△DEB ≌△CEB ，
∴∠CEB=∠DEB ，
∴∠AED=∠DEB=∠CEB ；
∵∠AED+∠DEB+∠CEB=180°，
∴∠AED=60°．
【点睛】
该命题以三角形为载体，以考查全等三角形的判定及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定及其性质，来分析、判断或推理．
24．（1）AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°，理由见解析；（3）AD BE =，β
【分析】
（1）设AF 交BD 于G ，证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，得
到60AFB AOB ∠=∠=︒；
（2）证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，根据
OFA DFB ∠=∠及三角形内角和定理即可证得90AFB AOB ∠=∠=︒；
（3）根据（1）与（2）直接得到结论．
【详解】
（1）证明：设AF 交BO 于G ，
∵60AOB DOE ∠=∠=︒，
∴AOB BOD DOE BOD ∠-∠=∠-∠，
即AOD BOE ∠=∠，
∵OA OB =，OD OE =，
∴AOD BOE ≌△△，
∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，
∵
OGA FGB ∠=∠，
∴180180OGA OAD FGB OBE ∠-∠=∠--∠︒-︒，
∴60AFB AOB ∠=∠=︒， 故答案为：AD BE =，60°；
（2）AD BE =，90°
证明：设AF 交BO 于G ，
∵90AOB DOE ︒∠=∠=，
∴AOB BOD DOE BOD ∠+∠=∠+∠，
即AOD BOE ∠=∠，
∵OA OB =，OD OE =，
∴AOD BOE ≌△△，
∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，
∵OGA DGB ∠=∠，
∴90AFB AOB ∠=∠=︒；
故答案为：AD BE =，90°；
（3）证明：由（1）与（2）可得AD BE =，AFB AOB β∠=∠=
故答案为：AD BE =，β．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
25．见解析
【分析】
通过角平分线上点的性质、D 为BC 中点、DE ⊥AB 、DF ⊥AC 证明出BDE CDF ≌，从而证明∠B =∠C ．
【详解】
∵AD 是AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE =DF ，
∵D 是BC 的中点，
∴BD =CD
∵△BDE 与△CDF 是直角三角形
∴
BDE CDF ≌
∴∠B =∠C ．
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线上点的性质，正确证明全等三角形并得出各角之间的关系是本题的关键．
26．（1）BEF ，C ，CEF ，CD ；（2）证明见解析；（3）∠E ＝2∠F
【分析】
（1）过点E ，作EF ∥AB ，根据内错角性质即可得出∠B ＝∠BEF ，利用等量代换即可证出∠C ＝∠CEF ，进而得出EF ∥CD ．
（2）如图3，过点N 作NG ∥AB ，交BM 于点G ，可以知道NG ∥AB ∥CD ，由平行线的性质得出∠ABN ＝∠BNG ，∠GNC ＝∠NCD ，由三角形的外角性质得出∠BMN ＝
∠BCM +∠CBM ，证出∠BCM +∠CBM ＝∠BNG +∠GNC ，进而得出∠BCM +∠CBM ＝∠ABN +∠NCD ，由角平分线得出∠BCM ＝∠NCD ，即可得出结论．
（3）如图4，分别过E ，F 作EG ∥AB ，FH ∥AB ，则EG ∥CD ，FH ∥CD ，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），
∴∠C＝∠CEF（等式性质），
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：BEF，C，CEF，CD；
（2）如图3所示，过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠BMN是△BCM的一个外角，
∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，
又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，
∵CN平分∠BCD，
∴∠BCM＝∠NCD，
∴∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，
同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，
∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，
∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．
【点睛】
本题考察了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．。