集合训练题

第一节集合
知识回顾
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
A B或
B A
集合的并集集合的交集集合的补集
A∪B＝A∩B＝∁A＝
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．
(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；
∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．
课前检测
1.已知数集A ＝{0,1,x ＋2},那么x 的取值集合为 ( )
A ．{x |x ≠－2}
B ．{x |x ≠－1}
C ．{x |x ≠－2且x ≠－1}
D ．x ∈R
2.下列判断正确的命题个数为( )
①a ∈{a };
②{a }∈{a ,b }；
③{a ,b }⊆{b ,a };
④∅⊆{0}．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 3.集合A ＝{1,2,3}的非空真子集的个数为( )
A ．3个
B ．6个
C ．7个
D ．8个
4.已知{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5},则集合A 的个数为 ____________ .
5.设全集U ＝R ,A ＝{x |1≤x ≤3},B ＝{x |2＜x ＜4},则A ∩B ＝ ____________；A ∪B ＝____________；A ∪∁U B ＝____________．
课中讲解
考点一. 集合的基本概念
例1. 若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b
a
，b }，求b －a 的值．
变式1.设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b .
例2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0
D ．0或9
8
变式2．已知集合A ＝{x ∈N|1＜x ＜log 2k }，若集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为( ) A ．(8，＋∞) B ．[8，＋∞) C ．(16，＋∞)
D ．[16，＋∞)
考点二. 集合间的关系
例1.设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q
D ．Q ⊆∁R P
变式1.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．
例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则M 与N 之间有什么关系？
变式2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则集合P 与Q 之间的关系为________．
变式3.已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+ax +a =0},是否存在这样的实数a ,使得B ⊆A ?若存在这样的实数a ,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.
考点三 集合的运算
例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4 B ．–2 C ．2
D ．4
变式1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U
A B =
A ．{−2，3}
B ．{−2，2，3}
C ．{−2，−1，0，3}
D ．{−2，−1，0，2，3}
例2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中
元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4
D ．6
变式2．（2020·全国新课标Ⅰ理科试卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B
中元素的个数为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
例3．(多选)已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是( ) A ．A ∩B ＝∅
B ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}
C ．A ∪∁R B ＝{x |x ≤－1或x >2}
D ．A ∩∁R B ＝{x |2<x ≤3}
变式3．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是( ) A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝R C ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2} D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R
考点四．集合的新定义问题
例1.如图所示的Venn 图中，A ，B 是两个非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B 为( )
A ．{x |0＜x ＜2}
B ．{x |1＜x ≤2}
C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}
D ．{x |0≤x ≤1或x >2} 变式1.给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；
③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是________．
例2．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B
A
∪B 中的元素个数为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
变式2．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x ||x －2|＜1}，那么P －Q ＝( )
A ．{x |0＜x ＜1}
B ．{x |0＜x ≤1}
C ．{x |1≤x ＜2}
D ．{x |2≤x ＜3}
课后习题
一 单选
1．（2020·河北衡水中学高三月考）已知集合{}
2|20A x x x =-≤，{}|1381x
B x =<<，
{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋃⋂=（ ）
A ．{}2
B ．{}0,2
C ．{}0,2,4
D ．{}2,4
2．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知集合{}
|21x A x =>，{}
2|560B x x x =+-<，则A
B =（ ）
A ．()1,0-
B ．()0,6
C ．()0,1
D ．()6,1-
3．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）已知全集为实数集R ，集合{}
36A x x =-<<，
{}
29140B x x x =-+<，则()U A B ⋂=（ ）
A ．()2,6
B ．()2,7
C ．(]3,2-
D ．()3,2-
4．（2020·云南高三其他模拟（理））设集合{
}2
*
20,A x x x x N =--<∈，集合{B x y ==
，则
集合A B 等于（ ）
A ．1
B ．[)1,2
C ．{}1
D ．{
}
1x x ≥
5．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =
A ．{x |2<x ≤3}
B ．{x |2≤x ≤3}
C ．{x |1≤x <4}
D ．{x |1<x <4}
6．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P ∩Q =
A ．{|12}x x <≤
B ．{|23}x x <<
C ．{|34}x x ≤<
D ．{|14}x x <<
7. 已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15 B ．16 C ．20 D ．21
8．已知全集U ＝{x ∈Z|0＜x ＜8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )
A ．M ∩(∁U N )
B ．∁U (M ∩N )
C ．∁U (M ∪N )
D ．(∁U M )∩N
9．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
y |
x 4＋y 3＝1，则M ∩N ＝( ) A ．∅ B ．{(4,0)，(3,0)} C ．[－3,3]
D ．[－4,4]
10．在实数集R 上定义运算*：x *y ＝x ·(1－y )．若关于x 的不等式x *(x －a )>0的解集是集合{x |－1≤x ≤1}的子集，则实数a 的取值范围是( )
A ．[0,2]
B ．[－2，－1)∪(－1,0]
C ．[0,1)∪(1,2]
D ．[－2,0]
11．非空数集A 满足：(1)0∉A ；(2)若∀x ∈A ，有1
x
∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：
①{x ∈R|x 2＋ax ＋1＝0}； ②{x |x 2－4x ＋1＜0}；
③⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
y ⎪
⎪y ＝ln x
x ，x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1∪1，e]；
④⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫y ⎪⎪⎪⎪
y ＝⎩⎨⎧ 2x ＋25，x ∈[0，1，
x ＋1x ，x ∈[1，2]. 其中“互倒集”的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
二．多选
12. (多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a
b ∈P (除数b ≠0)，
则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( ) A ．数域必含有0,1两个数 B ．整数集是数域
C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域
D ．数域必为无限集
13．(多选)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题中是真命题的有( )
A ．集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集
B ．若S 为封闭集，则一定有0∈S
C ．封闭集一定是无限集
D ．若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集 三．填空
14. 对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－1，x ∈M ，
1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－
1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．
15．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x |ax 2－1
＝0，a >0}，N ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
－12，12，1，若M 与N “相交”，则a ＝________.
四．解答题
16．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．
(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；
(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．
参考答案
1.已知数集A ＝{0,1,x ＋2},那么x 的取值集合为 ( )
A ．{x |x ≠－2}
B ．{x |x ≠－1}
C ．{x |x ≠－2且x ≠－1}
D ．x ∈R
答案：C
解析：因为集合的元素满足互异性,所以x ＋2≠0且x ＋2≠1,得x ≠－2且x ≠－1,故选C ． 2.下列判断正确的命题个数为( ) ①a ∈{a };
②{a }∈{a ,b }；
③{a ,b }⊆{b ,a };
④∅⊆{0}． A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
答案：C
解析：①元素与集合的关系的表示方法,正确； ②两个集合之间的关系,不正确； ③正确； ④∅是任何集合的子集,正确,故选C ．
3.集合A ＝{1,2,3}的非空真子集的个数为( ) A ．3个 B ．6个 C ．7个
D ．8个 答案：B
解析：若一个集合的元素个数为n ,则其子集个数为2n , 真子集的个数为2n －1,非空子集的个数为2n －1, 则非空真子集的个数为2n －2,故选B.
4.已知{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5},则集合A 的个数为 ____________ . 答案：8
解析：问题可转化为求集合{3,4,5}的子集个数,即集合A 的个数为8.
5.设全集U ＝R ,A ＝{x |1≤x ≤3},B ＝{x |2＜x ＜4},则A ∩B ＝ ____________；A ∪B ＝____________；A ∪∁U B ＝____________．
答案：{x |2＜x ≤3} {x |1≤x ＜4} {x |x ≤3或x ≥4}
解析：在数轴上分别表示出集合A ,B ,∁U B ,即得∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}． 课中讲解
考点一. 集合的基本概念
例1. 若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b
a
，b }，求b －a 的值．
解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．
解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，b
a ，
b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝0，b
a ＝a ，
b ＝1
① 或⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝0，
b ＝a ，
b a ＝1.
②
由①得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1，符合题意；②无解．
∴b －a ＝2.
变式1.设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 由元素的互异性知，
a ≠1，
b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，
得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝
b ，ab ＝1，
解得a ＝－1，b ＝0. 例2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )
A.92
B.98 C ．0
D ．0或9
8
解析：选D 当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝9
8
.
变式2．已知集合A ＝{x ∈N|1＜x ＜log 2k }，若集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为( ) A ．(8，＋∞) B ．[8，＋∞) C ．(16，＋∞)
D ．[16，＋∞)
解析：选C 因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k >4，所以k >24＝16，故选C. 考点二. 集合间的关系
例1.设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q
D ．Q ⊆∁R P
变式1.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． [解析] 例1.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，故选C.
变式1.∵B ⊆A ，
∴①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪
⎧
2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，
2m －1≤5，
解得2≤m ≤3.
由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． [答案] (1)C (2)(－∞，3]
例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则M 与N 之间有什么关系？ 解题导引 一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．
解 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}， N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R }＝{y |y ≥1}．∴M ＝N .
变式2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则集合P 与Q 之间的关系为________． 答案 P ⊆Q
解析 P ＝{m |－1<m <0}，
Q ：⎩
⎪⎨⎪⎧
m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0.∴－1<m ≤0.
∴Q ＝{m |－1<m ≤0}．∴P ⊆Q
变式3.已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+ax +a =0},是否存在这样的实数a ,使得B ⊆A ?若存在这样的实数a ,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.
【思路点拨】判断集合与集合的关系，基本方法是归纳为判断元素与集合的关系．对于用描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素及它的属性，可将元素列举出来直接观察或通过元素特征，求同存异，定性分析．
解:A ={0,-4}.
若B ⊆A ,则B =∅,{0},{-4},{0,-4}.
当B =∅时,则x 2+ax +a =0无解,所以a 2-4a <0,解得0<a <4; 当B ={0}时,则x 2+ax +a =0有两个相等的根0,所以a =0;
当B ={-4}时,则x 2+ax +a =0有两个相等的根-4,所以a 2-4a =0且14-4a +a =0,无解; 当B ={0.-4}时,则x 2+ax +a =0有两个根0和-4,无解.
综上,存在实数 a 满足 0≤a <4,使得B ⊆A .
【点评】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．
空集是任意集合的子集,解题时不能忽视! 考点三 集合的运算
例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧
⎫=≤-⎨⎬⎩⎭
. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12
a
-=， 解得2a =-.
故选B ．
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 变式1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U
A B =
A ．{−2，3}
B ．{−2，2，3}
C ．{−2，−1，0，3}
D ．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A 【解析】 【分析】
首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U
2,3A B =-.
故选A
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
例2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中
元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
采用列举法列举出A B 中元素的即可.
【详解】由题意，A
B 中的元素满足8
y x
x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y ∈N ，
由82x y x +=≥，得4x ≤，
所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故A
B 中元素的个数为4.
故选C ．
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
.
变式2．（2020·全国新课标Ⅰ理科试卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
【答案】C
【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*
,x y N ∈，
由82x y x +=≥，得4x ≤，
所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，
故A B 中元素的个数为4.
故选：C.
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
例3．(多选)已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是( )
A ．A ∩
B ＝∅
B ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}
C ．A ∪∁R B ＝{x |x ≤－1或x >2}
D ．A ∩∁R B ＝{x |2<x ≤3}
答案 BD
解析 ∵A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x ||x |≤2}＝{x |－2≤x ≤2}，
∴A ∩B ＝{x |－1<x ≤3}∩{x |－2≤x ≤2}＝{x |－1<x ≤2}，A 不正确；
A ∪
B ＝{x |－1<x ≤3}∪{x |－2≤x ≤2}＝{x |－2≤x ≤3}，B 正确；
∵∁R B ＝{x |x <－2或x >2}，
∴A ∪∁R B ＝{x |－1<x ≤3}∪{x |x <－2或x >2}＝{x |x <－2或x >－1}，C 不正确；
A ∩∁R
B ＝{x |－1<x ≤3}∩{x |x <－2或x >2}＝{x |2<x ≤3}，D 正确．
变式3．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是(
) A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝R
C ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2}
D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R
答案 ABD
解析 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}；
因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．
所以A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．
(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．
考点四．集合的新定义问题
例1.如图所示的Venn 图中，A ，B 是两个非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B 为( )
A ．{x |0＜x ＜2}
B ．{x |1＜x ≤2}
C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}
D ．{x |0≤x ≤1或x >2}
变式1.给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；
②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；
③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．
其中正确结论的序号是________．
[解析] 例1.因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}，所以A ⊗B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}．
(2)①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以①不正确；②中，设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；③中，令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z}，则A 1，A 2为闭集合，但3k ＋2k ∉(A 1∪A 2)，故A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．
[答案] (1)D (2)②
例2．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A
∪B 中的元素个数为( ) A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，
B A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫0，12，14，16，1，13， 则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫0，12，14，16，1，13，2， 共有7个元素，故选B.
变式2．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x ||x －2|＜1}，那么P －Q ＝( )
A ．{x |0＜x ＜1}
B ．{x |0＜x ≤1}
C ．{x |1≤x ＜2}
D ．{x |2≤x ＜3} 解析：选B 由log 2x ＜1，得0＜x ＜2，
所以P ＝{x |0＜x ＜2}．
由|x －2|＜1，得1＜x ＜3，
所以Q ＝{x |1＜x ＜3}．
由题意，得P －Q ＝{x |0＜x ≤1}.
课后习题
一 单选
1．（2020·河北衡水中学高三月考）已知集合{}
2|20A x x x =-≤，{}|1381x B x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋃⋂=（ ）
A ．{}2
B ．{}0,2
C ．{}0,2,4
D ．{}2,4 【答案】B
【详解】∵集合{}2|20A x x x =-≤∴{}02A x x =≤≤∵集合{}|1381x B x =<<∴{}
04A x x =<< ∴{}04A B x x ⋃=≤<∵集合{}|2,C x x n n N ==∈∴{}()0,2A B C ⋃⋂=
故选B.
2．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知集合{}|21x A x =>，{}2|560B x x x =+-<，则A B =（ ）
A ．()1,0-
B ．()0,6
C ．()0,1
D ．()6,1-
【答案】C 【详解】{}{}
{}0|21|22=|0x x A x x x x =>=>>， {}{}{}2|560|(6)(10|61B x x x x x x x x =+-<=+-<=-<<），∴A B =()0,1．
故选：C.
3．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）已知全集为实数集R ，集合{}
36A x x =-<<，{}29140B x x x =-+<，则()U A B ⋂=（ ）
A ．()2,6
B ．()2,7
C ．(]3,2-
D ．()3,2- 【答案】C 【详解】{}
{}2914027B x x x x x =-+<=<<, {2U B x x ∴=≤或}7x ≥，
{}(]()323,2U A B x x ∴⋂=-<≤=-.
故选：C.
4．（2020·云南高三其他模拟（理））设集合{}2*20,A x x x x N
=--<∈，集合{B x y ==，则集合A B 等于（ ） A ．1
B ．[)1,2
C ．{}1
D ．{}1x x ≥ 【答案】C 【详解】由题得{}{}{}2**
20,12,1A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=N N ， {{}{}{}
222log 0log log 11B x y x x x x x x ===≥=≥=≥，
{}1A B ∴⋂=.
故选： C. 5．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =
A ．{x |2<x ≤3}
B ．{x |2≤x ≤3}
C ．{x |1≤x <4}
D ．{x |1<x <4} 【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合并集概念求解.
【详解】[1,3](2,4)[1,4)A
B ==. 故选C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P
Q = A ．{|12}x x <≤
B ．{|23}x x <<
C ．{|34}x x ≤<
D ．{|14}x x << 【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合交集定义求解
【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==.
故选B.
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
7. 已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( )
A ．15
B ．16
C ．20
D ．21
答案 D
解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.
8．已知全集U ＝{x ∈Z|0＜x ＜8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )
A ．M ∩(∁U N )
B ．∁U (M ∩N )
C ．∁U (M ∪N )
D ．(∁U M )∩N
解析：选C 由已知得U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，N ＝{2,6}，M ∩(∁U N )＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M ∩N ＝{2}，∁U (M ∩N )＝{1,3,4,5,6,7}，M ∪N ＝{2,3,5,6}，∁U (M ∪N )＝{1,4,7}，(∁U M )∩N ＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.
9．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |
x 4＋y 3＝1，则M ∩N ＝( ) A ．∅
B ．{(4,0)，(3,0)}
C ．[－3,3]
D ．[－4,4]
解析：选D 由题意可得M ＝{x |－4≤x ≤4}，N ＝{y |y ∈R}，所以M ∩N ＝[－4,4]．故选D.
10．在实数集R 上定义运算*：x *y ＝x ·(1－y )．若关于x 的不等式x *(x －a )>0的解集是集合{x |－1≤x ≤1}的子集，则实数a 的取值范围是( )
A ．[0,2]
B ．[－2，－1)∪(－1,0]
C ．[0,1)∪(1,2]
D ．[－2,0]
解析：选D 依题意可得x (1－x ＋a )>0.因为其解集为{x |－1≤x ≤1}的子集，所以当a ≠－1时，0＜1＋a ≤1或－1≤1＋a ＜0，即－1＜a ≤0或－2≤a ＜－1.当a ＝－1时，x (1－x ＋a )>0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a ≤0.
11．非空数集A 满足：(1)0∉A ；(2)若∀x ∈A ，有1x
∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集： ①{x ∈R|x 2＋ax ＋1＝0}；
②{x |x 2－4x ＋1＜0}；
③⎩⎨⎧⎭⎬⎫
y ⎪⎪y ＝ln x x ，x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1∪1，e]；
④⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪ y ＝⎩⎨⎧ 2x ＋25，x ∈[0，1
，x ＋1x ，x ∈[1，2]. 其中“互倒集”的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：选C 对于①，当－2＜a ＜2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x |x 2－4x ＋1＜0}＝{x |2－3＜x ＜2＋3}，所以12＋3＜1x ＜12－3，即2－3＜1x ＜2＋3，所以②是“互倒集”；对于③，y ′＝1－ln x x 2≥0，故函数y ＝ln x x
是增函数，当x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1时，y ∈[－e,0)，当x ∈(1，e]时，y ∈⎝⎛⎦⎤0，1e ，所以③不是“互倒集”；对于④，y ∈⎣⎡⎭⎫25，125∪⎣⎡⎦⎤2，52＝⎣⎡⎦⎤25，52且1y ∈⎣⎡⎦⎤25，52，所以④是“互倒集”．故选C.
二．多选
12. (多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b
∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( )
A ．数域必含有0,1两个数
B ．整数集是数域
C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域
D ．数域必为无限集
答案 AD
解析 当a ＝b 时，a －b ＝0，a b
＝1∈P ，故可知A 正确． 当a ＝1，b ＝2时，12
∉Z 不满足条件，故可知B 不正确． 当M 比Q 多一个元素i 时，则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知C 不正确．
根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D 正确．
13．(多选)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题中是真命题的有( )
A ．集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集
B ．若S 为封闭集，则一定有0∈S
C ．封闭集一定是无限集
D ．若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集
答案 AB
解析 两个复数的和、差、积仍是复数，且运算后的实部、虚部仍为整数，
所以集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集，A 正确．
当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，B 正确．
对于集合S ＝{0}，显然满足所有条件，但S 是有限集，C 错误．
取S ＝{0}，T ＝{0,1}，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0－1＝－1不属于T ，故T 不是封闭集，D 错误．
三．填空
14. 对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．
答案 {1,6,10,12}
解析 要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A △B ＝{1,6,10,12}．
15．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x |ax 2－1
＝0，a >0}，N ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－12，12，1，若M 与N “相交”，则a ＝________. 答案 1
解析 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，1a ，由1a ＝12，得a ＝4，由1a
＝1，得a ＝1. 当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意； 当a ＝1时，M ＝{－1,1}，满足题意．
四．解答题
16．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．
(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；
(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．
解：(1)∵3≤3x ≤27，即31≤3x ≤33，
∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}．
∵log 2x >1，即log 2x >log 22，
∴x >2，∴B ＝{x |x >2}．
∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．
∴∁R B ＝{x |x ≤2}，
∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}．
(2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，C ⊆A .
当C 为空集时，满足C ⊆A ，a ≤1；
当C 为非空集合时，可得1＜a ≤3.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，3]．。