高考数学一轮复习专题四立体几何课时作业(含解析)文(2021年整理)

立体几何
1．（2017·南宁模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2,点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．
(1）求证：AD⊥平面PNB;
（2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积．
解：（1)证明：∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD。

∵底面ABCD为菱形,∠BAD＝60°，
∴BN⊥AD。

∵PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB。

(2）∵PA＝PD＝AD＝2.
∴PN＝NB＝错误!。

∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD.∴PN⊥平面ABCD,
∴PN⊥NB，
∴S△PNB＝1
2
×3×3＝错误!.
∵AD⊥平面PNB,AD∥BC,
∴BC⊥平面PNB.
∵PM＝2MC，
∴V P－NBM＝V M－PNB＝错误!V C－PNB＝错误!×错误!×错误!×2＝错误!.
2．（2017·山西四校联考)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB＝4，BE＝1。

(1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2)当三棱锥C－ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离．
解：(1）证明:∵AB是直径,∴BC⊥AC.
又四边形DCBE为矩形，
∴CD⊥DE，BC∥DE,
∴DE⊥AC.
∵CD∩AC＝C，∴DE⊥平面ACD。

又DE⊂平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACD。

(2)由（1)知V C－ADE＝V E－ACD＝错误!×S△ACD×DE＝错误!×错误!×AC×CD×DE＝错误!×AC×BC≤错误!×(AC2＋BC2)＝错误!×AB2＝错误!。

当且仅当AC＝BC＝2错误!时等号成立．
∴当AC＝BC＝22时，三棱锥C－ADE的体积最大,为错误!。

此时,AD＝错误!＝3，S△ADE＝错误!×AD×DE＝3错误!，设点C到平面ADE的距离为h，则V C－ADE＝错误!×S△ADE×h＝错误!，h＝错误!。

3．（2017·长春模拟)如图,在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形,∠DAB＝60°,PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD的中点．
(1）求证：直线AF ∥平面PEC ； （2）求三棱锥P －BEF 的表面积．
解：(1)证明:如图，作FM ∥CD 交PC 于M ，连接ME .
∵点F 为PD 的中点，∴FM 綊错误!CD , 又AE 綊错误!CD ，∴AE 綊FM ， ∴四边形AEMF 为平行四边形， ∴AF ∥EM ，
∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ， ∴直线AF ∥平面PEC 。

(2）连接ED ,BD ，可知ED ⊥AB ，
错误!
⎭
⎬⎫
⇒AB ⊥平面PEF
PE ，FE ⊂平面PEF ⇒AB ⊥PE ，AB ⊥FE .
故S △PEF ＝1
2
PF ×ED
＝错误!×错误!×错误!＝错误!；
S △PBF ＝错误!PF ×BD ＝错误!×错误!×1＝错误!;
S
＝错误!PE×EB＝错误!×错误!×错误!＝错误!；
△PBE
S
＝错误!EF×EB＝错误!×1×错误!＝错误!.
△BEF
因此三棱锥P－BEF的表面积S P－BEF＝S△PEF＋S△PBF＋S△PBE＋S△BEF＝错误!.
1．在如图①所示的半圆O中，AB为直径，C为半圆O（A，B除外）上任一点，D、E分别在AO、AC上，DE⊥AB.现将△ABC沿DE折起使得AD⊥BD，从而构成四棱锥A－BCED，如图②所示．
（1）在图②中,若F是BC上的点,且EC∥平面ADF，求证:BC⊥AF;
(2)若翻折前DC＝错误!，AD＝1，∠BAC＝30°，求翻折后四棱锥A－BCED的体积．
解：(1)证明:因为EC∥平面ADF,平面BCED∩平面ADF＝DF，所以EC∥DF.由已知可得EC⊥BC，所以DF⊥BC.
又AD⊥BD，AD⊥DE,DE∩BD＝D，所以AD⊥平面BCED,
又BC⊂平面BCED，所以AD⊥BC.
又AD∩DF＝D，所以BC⊥平面ADF.
又AF⊂平面ADF,所以BC⊥AF.
（2)设半圆O的半径为R，在图中连接OC，
因为∠BAC＝30°，AB⊥DE,AC⊥BC，AD＝1,
所以DE＝AD·tan30°＝错误!,
∠AOC＝120°，DO＝R－1，OC＝R。

又DC＝错误!,在△OCD中，由余弦定理得DC2＝OD2＋OC2－2OD·OC·cos120°，即7＝（R －1）2＋R2－2（R－1)·R·错误!，即(R－2)(R＋1)＝0，解得R＝2或R＝－1(舍去)．所以AC ＝2R·cos30°＝2错误!，BC＝2R·sin30°＝2.
所以S四边形BCED＝S△ABC－S△ADE＝错误!×2错误!×2－错误!×1×错误!＝错误!.
由(1）知四棱锥A－BCED的高为AD＝1，
所以四棱锥A－BCED的体积为
V＝错误!×AD×S
＝错误!×1×错误!＝错误!。

四边形BCED
2．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥BC，且A1A＝AB＝BC＝1，CD ＝2。

（1）求证：AB1⊥平面A1BC；
（2)在线段CD上是否存在点N，使得D1N∥平面A1BC？若存在，求出三棱锥N－AA1C
的体积，若不存在,请说明理由．
解：（1)证明：因为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以A1A⊥BC。

因为AB⊥BC，AB∩A1A＝A，所以BC⊥平面AA1B1B。

又AB1⊂平面AA1B1B，所以AB1⊥BC.
因为A1A⊥AB，A1A＝AB＝1，所以四边形AA1B1B是正方形,所以AB1⊥A1B.
因为A1B∩BC＝B，所以AB1⊥平面A1BC。

（2）法1：存在，当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC.理由如下：
若N为CD的中点,连接BN，因为AB∥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，所以AB∥DN，AB＝DN，所以四边形ABND为平行四边形，所以BN∥AD，BN＝AD.
在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AD∥A1D1，AD＝A1D1，所以BN＝A1D1，BN∥A1D1，所以四边形
A 1BND
1
为平行四边形，所以A1B∥D1N。

又D1N⊄平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，
所以D1N∥平面A1BC.
易知S△ACN＝S△BCN＝错误!CN×BC
＝错误!×1×1＝错误!，
又A1A⊥平面ABCD,A1A＝1，
所以V三棱锥N－AA1C＝V三棱锥A1－ACN＝错误!S△ACN×A1A＝错误!×错误!×1＝错误!，即三棱锥N－AA1C
的体积为错误!.
法2：存在，当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC。

理由如下：若N为CD的中点,取C1D1的中点M，连接BN，A1M，MC,如图所示，因为在直四棱柱
ABCD－A
1B
1
C
1
D
1
中，A1B1∥C1D1，A1B1＝1，C1D1＝2，所以A1B1∥MC1,A1B1＝MC1，所以四边形
A 1B
1
C
1
M为平行四边形，所以A
1
M∥B
1
C
1
,A1M＝B1C1.
又BC∥B1C1，BC＝B1C1，所以A1M∥BC,A1M＝BC，所以四边形A1BCM为平行四边形，所以
A 1B∥CM.又D
1
M＝NC＝1，D
1
M∥NC，所以四边形D
1
MCN为平行四边形，所以MC∥D
1
N，所以
D 1N∥A
1
B。

又D1N⊄平面A1BC，且A1B⊂平面A1BC，
所以D1N∥平面A1BC.
易知S△ACN＝S△BCN＝
1
2
CN×BC＝错误!×1×1＝错误!,又AA
1
⊥平面ABCD,AA1＝1，所以V三棱锥N－
AA1C
＝V三棱锥A1－ACN＝错误!S△ACN×A1A＝错误!×错误!×1＝错误!，即三棱锥N－AA1C的体积为错误!。