2020高考数学刷题首秧第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试39复数文含解析

考点测试39 复数
高考概览
高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，低难度 考纲研读
1.理解复数的基本概念 2．理解复数相等的充要条件
3．了解复数的代数表示法及其几何意义 4．会进行复数代数形式的四则运算
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义
一、基础小题
1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i ＝( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i 答案 D
解析 ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i)＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎨
⎧
2＋a ＝0，
b ＋1＝0，∴
⎩
⎨⎧
a ＝－2，
b ＝－1，∴a ＋b i ＝－2－i ，故选D.
2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3，2 C ．3，－3 D ．－1，4 答案 A
解析 由于(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ，所以3－2i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等定义，
a ＝3，且
b ＝－2，故选A.
3．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－4 答案 B
解析 z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4，故选B.
4．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，由图中表示z 的共轭复数的点是( )
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D 答案 B
解析 表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B. 5．已知复数z ＝1－i ，则
z 2
z －1
＝( )
A ．2
B ．－2
C ．2i
D ．－2i 答案 A
解析 z 2
z －1＝(1－i )2
1－i －1
＝2，故选A.
6．已知z ＝2＋i
－2i ＋1(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是( )
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．2 答案 A
解析 因为z ＝2＋i －2i ＋1＝i (1－2i )
－2i ＋1＝i ，所以复数z 的实部为0，故选A.
7．复数i 2
＋i 3
＋i
4
1－i ＝( )
A ．－12－12i
B ．－12＋12i
C.12－12i
D.12＋12i 答案 C
解析 i 2
＋i 3
＋i 4
1－i ＝(－1)＋(－i )＋11－i ＝－i 1－i
＝
－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－1
2
i.
8．设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为( )
A ．2
B ．－2
C ．－12 D.1
2
答案 A
解析 解法一：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )
(2－i )(2＋i )
＝
2－a ＋(2a ＋1)i
5
为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2.
解法二：令1＋a i
2－i ＝m i(m ≠0)，∴1＋a i ＝(2－i)m i ＝m ＋2m i.∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝1，a ＝2m ，∴a ＝2.
9．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →
对应的复数为( )
A ．1－2i
B ．－1＋2i
C ．3＋4i
D ．－3－4i 答案 D
解析 CA →＝CB →－AB →
＝－1－3i －2－i ＝－3－4i ，故选D. 10．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2
≥0，则z 是实数 B ．若z 2
<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2
≥0 D．若z 是纯虚数，则z 2
<0 答案 C
解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2
＝a 2
－b 2
＋2ab i ，由z
2
≥0，得⎩
⎪⎨⎪⎧
ab ＝0，
a 2≥
b 2
，即
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，|a |≥|
b |或⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝0，
|a |≥|b |.所以a ＝0时b ＝0，b ＝0时a ∈R .故z 是实数，所以A 为真
命题；由于实数的平方不小于0，所以当z 2
<0时，z 一定是虚数，且为纯虚数，故B 为真命题；由于i 2
＝－1<0，故C 为假命题，D 为真命题．
11．已知z 是复数z 的共轭复数，若z ·z ＝2(z ＋i)，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1＋i D ．1－i 答案 C
解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z ＝2(z ＋i)，有(a ＋b i)(a －b i)＝2(a －b i ＋i)，解得a ＝b ＝1，所以z ＝1＋i ，故选C.
12．在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z ＝________. 答案 1＋2i
解析 由复数z 在复平面内的坐标有z ＝1－2i ，所以共轭复数z ＝1＋2i. 二、高考小题
13．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.2
2
C. 2 D ．2
解析 解法一：∵(1＋i)z ＝2i ，∴z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2(1＋i )
2
＝1＋i.∴|z |＝12
＋12
＝ 2.
解法二：∵(1＋i)z ＝2i ，∴|1＋i|·|z |＝|2i|，即12
＋12
·|z |＝2，∴|z |＝ 2. 14．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i
1＋i ＋2i ，则|z |＝( )
A ．0 B.1
2 C ．1 D. 2
答案 C
解析 因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2
(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，所以|z |＝0＋12
＝1，故
选C.
15．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i
1－2i ＝( )
A ．－45－35i
B ．－45＋35i
C ．－35－45i
D ．－35＋45i
答案 D
解析 ∵1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2
5＝－3＋4i 5，∴选D.
16．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－i D ．3＋i 答案 D
解析 (1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2
＝3＋i ，故选D. 17．(2018·浙江高考)复数
2
1－i
(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 B
解析 ∵21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴2
1－i
的共轭复数为1－i.
18．(2018·北京高考)在复平面内，复数1
1－i 的共轭复数对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析 ∵
11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，∴其共轭复数为12－12i ，又12－12
i 在复平面内对应的点12，－1
2
在第四象限，故选D.
19．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，－1)
C ．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案 B
解析 ∵复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i 在复平面内对应的点在第二象限，∴
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋1＜0，1－a ＞0，∴a ＜－1.故选B.
20．(2017·山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3 答案 A
解析 ∵z ＝a ＋3i ，∴z ＝a －3i.又∵z ·z ＝4，∴(a ＋3i)(a －3i)＝4，∴
a 2＋3＝4，∴a 2＝1，∴a ＝±1.故选A.
21．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：
p 1：若复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R ；
p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为( )
A ．p 1，p 3
B ．p 1，p 4
C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4 答案 B
解析 对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b i
a 2＋
b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈
R 成立，故正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2
＝(a 2
－b 2
)＋2ab i ∈R ，得a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 为实数或纯虚数，故错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定
有z 1＝z 2，故错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z ＝
a ∈R 成立，故正确．故选B.
22．(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i
1＋2i ＝________.
答案 4－i 解析
6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i
5
＝4－i. 23．(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则a
b
的值为________．
答案 2
解析 由(1＋i)(1－b i)＝a ，得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＋1＝a ，1－b ＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝1，所
以a b
＝2.
24．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2
＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2
＋b 2
＝________，ab ＝________.
答案 5 2
解析 解法一：∵(a ＋b i)2
＝a 2
－b 2
＋2ab i ，a ，b ∈R ，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
－b 2
＝3，2ab ＝4
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－4a 2＝3，a
b ＝2
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＝4，ab ＝2.
∴a 2
＋b 2
＝2a 2
－3＝5，ab ＝2. 解法二：由解法一知ab ＝2，
又|(a ＋b i)2
|＝|3＋4i|＝5，∴a 2
＋b 2
＝5. 三、模拟小题
25．(2018·郑州质检一)复数3－i
i (i 为虚数单位)的值为( )
A ．－1－3i
B ．－1＋3i
C ．1＋3i
D ．1－3i 答案 A
解析 3－i i ＝3i －i 2
i
2＝－1－3i ，故选A.
26．(2018·唐山模拟)复数z ＝3＋i
1－i 的共轭复数为( )
A ．1＋2i
B ．1－2i
C ．2－2i
D ．－1＋2i
答案 B
解析 因为z ＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )
(1－i )(1＋i )
＝1＋2i ，所以z ＝1－2i.
27．(2018·沈阳质检一)已知i 为虚数单位，复数1－i
1＋2i 的共轭复数在复平面内对应的
点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 答案 B 解析 因为
1－i 1＋2i ＝(1－i )(1－2i )5＝－15－35i ，所以其共轭复数为－15＋3
5
i ，在复平面内所对应的点为－15，3
5
，在第二象限，故选B.
28．(2018·长春质检二)已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2
＋z ＝( ) A ．1－2i B ．1＋3i C ．1－3i D ．1＋2i 答案 B
解析 z 2
＋z ＝(1＋i)2
＋1＋i ＝1＋2i ＋i 2
＋1＋i ＝1＋3i.故选B. 29．(2018·湖北八市联考)设复数z ＝2
1－i
(i 为虚数单位)，则下列命题错误的是( ) A ．|z |＝ 2 B.z ＝1－i C ．z 的虚部为i
D ．z 在复平面内对应的点位于第一象限 答案 C
解析 依题意，有z ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )
＝1＋i ，则其虚部为1，故选C.
30．(2018·石家庄质检二)已知复数z 满足z i ＝i ＋m (i 为虚数单位，m ∈R )，若z 的虚部为1，则复数z 在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 答案 A
解析 依题意，设z ＝a ＋i(a ∈R )，则由z i ＝i ＋m ，得a i －1＝i ＋m ，从而⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
m ＝－1，故z ＝1＋i ，在复平面内对应的点为(1，1)，在第一象限，故选A.
31．(2018·太原模拟)设复数z 满足1－z
1＋z ＝i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )
A ．i
B ．－i
C ．2i
D ．－2i 答案 A
解析 由1－z 1＋z ＝i ，整理得(1＋i)z ＝1－i ，z ＝1－i 1＋i ＝(1－i )
2
(1＋i )(1－i )＝－i ，所以z 的共
轭复数为i.故选A.
32．(2018·南昌一模)欧拉公式e i x
＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e π
3i 表示的复数
位于复平面内的( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 答案 A
解析 由欧拉公式e π3i ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i ，所以e π
3i 表示的复数位于复平面
内的第一象限．选A.
33．(2018·衡阳三模)若复数z 满足z ＋i ＝2－i
1＋2i (i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为
( )
A ．2
B ．2i
C ．－2
D ．－2i 答案 C
解析 由z ＋i ＝2－i
1＋2i ，得z ＋i ＝－i ，z ＝－2i ，故复数z 的虚部为－2，故选C.
34．(2018·青岛模拟)在复平面内，设复数z 1，z 2对应的点关于虚轴对称，z 1＝1＋2i(i 是虚数单位)，则z 1z 2＝( )
A ．5
B ．－5
C ．－1－4i
D ．－1＋4i 答案 B
解析 由题意z 2＝－1＋2i ，所以z 1z 2＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－1＋4i 2
＝－5.故选B.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题
1．(2018·成都诊断)已知关于t 的一元二次方程t 2
＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i ＝0(x ，y ∈R )．
(1)当方程有实根时，求点(x ，y )的轨迹方程； (2)求方程的实根的取值范围． 解 (1)设实根为m ，
则m 2
＋(2＋i)m ＋2xy ＋(x －y )i ＝0， 即(m 2＋2m ＋2xy )＋(m ＋x －y )i ＝0.
根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨
⎪⎧
m 2
＋2m ＋2xy ＝0 ①，m ＋x －y ＝0 ②，
由②得m ＝y －x ，
代入①得(y －x )2
＋2(y －x )＋2xy ＝0， 即(x －1)2
＋(y ＋1)2＝2 ③.
故点(x ，y )的轨迹方程为(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2.
(2)由(1)知点(x ，y )的轨迹是一个圆，圆心为(1，－1)，半径r ＝2， 设方程的实根为m ，
则直线m ＋x －y ＝0与圆(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2有公共点， 所以|1－(－1)＋m |
2≤2，即|m ＋2|≤2，即－4≤m ≤0.
故方程的实根的取值范围是[－4，0]．
2．(2018·九江高二质检)已知M ＝{1，(m 2
－2m )＋(m 2
＋m －2)i}，P ＝{－1，1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．
解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P .
即(m 2
－2m )＋(m 2
＋m －2)i ＝－1或(m 2
－2m )＋(m 2
＋m －2)i ＝4i. 当(m 2
－2m )＋(m 2
＋m －2)i ＝－1时，
有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2
＋m －2＝0，
解得m ＝1；
当(m 2
－2m )＋(m 2
＋m －2)i ＝4i 时，
有⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
－2m ＝0，m 2
＋m －2＝4，
解得m ＝2.
综上可知m ＝1或m ＝2.。