关系数据库的基本理论.
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关系数据库模式是对关系数据库结构的描述，或者说是对关系数据 库框架的描述，也就是前面所讲过的关系的头，可以看作是关系的型。 与关系数据库模式对应的数据库中的当前值就是关系数据库的内容，成 为关系数据库的实例，即前面所讲过的关系体，可以看作是关系的值。 例如，在教学数据库中，共有五个关系，其关系模式分别为：
学生关系R1的主键为学号，系部关系R2的主键为系编号，在R1中系 编号是它的外键，即系编号是R2的主键，将它作为外键放在R1中，实 现两关系的联系。
4)主属性和非主属性。包含在任何一个候选主键字中的属性称为主属性， 不包含在任何一个候选关键字中的属性称为非主属性。
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2．关系模式
学生（学号，姓名，性别，年龄，系别） 教师（教师号，姓名，性别，年龄，职称，工资，岗位津贴，系别） 课程（课程号，课程名，课时） 选课（学号，课程名，成绩） 授课（教师号，课程号） 在每个关系中，又有其相应的数据库的实例（元组）。
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2.5.2 关系的完整性
关系模型的完整性规则是对关系的某种约束条件。关系的完整性约 束条件包括三大类：实体完整性，参照完整性和用户定义的完整性。
在定义中，n=1的关系只含有一个属性，称为单元关系。n=2为二 元关系，以此类推。
在 SQL Server 数据库中，通常关系被称为数据表，属性被称为字 段，元组则被称为记录。
如下表给出了一张学生选课表，该表由学生姓名、性别和所选课程 组成，该关系的名字为学生选课表，属性名就是域名，即姓名，性别和
所选课程，这个关系可表示为
任何一种运算都是将一定的运算操作应用于一定的运算对象上， 得到预期的运算结果。所以运算对象、运算符、运算结果是运算的三 大要素。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
关系代数的运算符包括四类：集合运算符、专门的关系运算符、 比较运算符和逻辑运算符（如下页（表一）所示）
关系代数的运算按运算符的不同可分为传统的集合运算和专门的 关系运算两类。其中传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算 是从关系的“水平”方向即行的角度来进行的。而专门的关系运算不 仅涉及行而且涉及列。比较运算符和逻辑运算符是用来辅助专门的关 系运算符进行操作的。
关系数据库采用数学的方法来处理数据库中的数据，是建立在严密的数学 基础之上的一种数据组织存储方式。关系数据库理论是IBM公司的E.F.Codd 提 出来的，他从1970年开始连续发表了多篇论文，奠定了关系数据库的理论基础。
从1975 年到1979 年的5月间，关系方法的理论和软件系统的研制取得了很 大成功，IBM 公司的 San Jose实验室在 IBM370系列机上研制成功了一个实现 SQL语言的关系数据库实验系统原型System R。1981年IBM公司又宣布具有 System R全部特征的新的数据库软件产品SQL/DS问世。之后，IBM公司又将 SQL语言引入到DB2（IBM Data Base 2）中，配置在MVS上运行，并于1983 年推出了DB2产品。
设关系名为REL，其属性为A1，A2…，An，则关系模式为： REL (A1，A2，…，An)
对每个Ai（i=1，…，n）还包括该属性到值域的映象，即属性的取值范围
（1）关系模型
所有的关系模式、属性名和关键字的汇集，是模式描述的对象
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（2）关系数据库模式
一组关系模式的集合叫作关系数据库模式。
2)主键。如果一个关系中有多个候选键，则可选定其中一个为关系的主键。
3)外键。如果一个关系R1中包含有另一个关系R2的主键所对应的属性组 F，则称F为R1的外键，并称关系R1为参照关系，关系R2为信赖关系。
例如，学生关系和系部关系分别为： R1:学生(学号，姓名，性别，年龄，系编号) R2:系部(系编号，系名，系主任)
计算机语言 数据结构 计算机网络 计算机语言 数据结构 计算机网络
其中（王芳，男，计算机语言），（王雷，男，数据结构 ）， （李平，男，计算机网络）等都是元组。王芳、男、计算机
语言、王天雷、男、数据库系统与应用、郑蕾、男、计算机网络等都
是分量。该笛卡儿积的基数为3×2×3=18，这也就是说D1×D2×D3一 共有3×2×3=18个元组。
1．关系的数学定义
（1）域（Domain）
定ห้องสมุดไป่ตู้1： 域是一组具有相同数据类型的值的集合，又称为值域（用
D 表示）。例如整数、实数和字符串的集合都是域。域中所包含的
值的个数称为域的基数（用m 表示）。在关系中就是用域来表示属
性的取值范围的。
例：
D1 =｛李力，王平，刘伟｝，m1=3 D2 =｛男，女｝；m2 = 2 D3 =｛18，20，18｝；m3 = 3
20世纪70年代末期，美国加州大学伯克利分校也研制了 Ingres关系数据库 实验系统，并由Ingres公司发展成为Ingres数据库产品。
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2.5.1 关系数据模型及其描述
在前面已经非形式化地介绍了关系模型及有关的基本概念。在关 系模型中，无论是实体还是实体之间的联系均由单一的结构类型即关 系来表示。关系模型是建立在集合代数基础上的，这里将从集合角度 给出关系数据结构的形式化定义。
1．实体完整性（Entity Integrity）
实体完整性是指主关系键的值不能为空或部分为空
在任何关系的任何一个元组中，主键的任一分量都不允许为空值， 即若属性 A是基本关系 R的主属性，则属性 A不能取空值，也即要求关 系中元组在组成主键的属性上不能有空值。
因为在一个关系中，主键是惟一标识一个元组的，因而它也是惟一标 识该元组所表示的某个实体的。
如果主键属性中某些分量为空值，将难以判断该元组与其他元组的区 别。这将带来复杂的语义问题，禁止主键属性值为空值即可避免这一问题。
例如，在学生关系 “ 学生自然情况（学号，班级号，姓名，性别， 出生年月，入学成绩）”中，“ 学号 ”为主键，那么“学号”这个属性 不能取空值。
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2．参照完整性（Referential Integrity）
级号的值，因为该学生不能属于一个不存在的班级
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3． 用户定义的完整性 （User-defined Integrity）
任何关系数据库系统都应该支持实体完整性和参照完整性。除此之 外，不同的关系数据库系统根据其应用环境的不同，往往还需要一些特 殊的约束条件，用户定义的完整性就是针对某一具体关系数据库的约束 条件由应用环境决定的。它反映一具体应用所涉及的数据必须满足的语 义要求。例如某个属性必须取惟一值，某些属性值之间应满足一定的函 数关系，学生的年龄定义为两位整数，且范围在15 ~ 30之间，性别只接 受“男”或“女”等等。系统提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统 一的系统方法处理它们，而不再由应用程序承担这项工作。
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运算符分类 集合运算符 专门的关系运算符
比较运算符 逻辑运算符
运算符 ∪ －
∩ ×
σ π ∞ ÷ ＞ ≥ ＜ ≤ ＝ ≠ ┑ ∧ ∨
（表一）
含义 并运算 差运算 交运算 笛卡儿积 选择运算 投影运算 连接运算 除法运算
大于 大于等于
小于 小于等于
等于 不等于 非运算
与运算
或运算
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姓名
性别
所选课程
学生选课表 （姓名，性别，所选课程）
王芳
男
计算机语言
王天
女
数据库系统及应用
郑蕾
男
计算机网络
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在关系模型中，关键字(简称键)是一个重要概念，通常由一个或 多个属性组成。
1)候选键。如果一个属性集能惟一标识元组，且又不含有多余的属性， 那么这个属性集称为关系的候选键。
（3）关系（Relation）
定义3
D1×D2×…×Dn的子集叫做在域D1×D2×…×Dn上的关系， 用R（D1×D2×…×Dn）表示。这里R表示关系的名字，n 是 关系的目或度，也称为元数。
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关系中的每个元素是关系中的元组。
关系是笛卡尔积的子集，所以关系也是一个二维表，表的每行对 应一个元组，表的每列对应一个域，由于域可以相同，为了加以区分， 必须对每列起一个名字。关系中的每一列称为属性，列名称为属性名， n 目关系必有n 个属性。
n
m mi i 1
笛卡儿积可表示为一个二维表。表中的每行对应一个元组，表中的 每列对应一个域。如果我们给出三个域：
D1=｛王芳，王雷，李平｝（学生集合） D2=｛男，女｝（性别集合） D3=｛计算机语言，数据结构，计算机网络｝（课程集合） 则D1×D2×D3=
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王芳 男 计算机语言 王雷 男 计算机语言 李平 男 王芳 男 数据结构 王雷 男 数据结构 李平 男 王芳 男 计算机网络 王雷 男 计算机网络 李平 男 王芳 女 计算机语言 王雷 女 计算机语言 李平 女 王芳 女 数据结构 王雷 女 数据结构 李平 女 王芳 女 计算机网络 王雷 女 计算机网络 李平 女
2.5.3.1 传统的集合运算
（1）并（Union）
定义 设关系R和关系S具有相同的关系模式（即两个关系都有相同的属性）， 且相应的属性取自同一个域，则关系R和关系S的并是由属于关系R或 关系S的元组构成的集合，即R和S的所有元组合并，删去重复元组， 组成一 个新关系，其结果仍为n目关系。
记为R∪S={t|t∈R∨t∈S} 其中t是元组变量，关系R和关系S的元数相同。 对于关系数据库，记录的插入和添加可通过并运算实现。
例：有两个基本关系为 学生表（学号，班级号，姓名，性别，出生年月，入学成绩） 班级表（班级号，班级名称，所属系部，入学时间，系别）
学生表的主码为学号，而班级表的主码为班级号，因而班级号 是学生表的外键。 按照参照完整性，学生表中的外键即班级号的取值有两种可能：
① 取空值，表明该学生尚未分配到任何班级 ② 若取非空值，则它必须是参照关系班级表中某个元组中的班
在关系的完整性规则中，实体完整性和参照完整性是关系模型必须 满足的完整性的约束条件，被称做是关系的两个关系不变性，应由关系 系统自动支持；而用户完整性反映了用户的要求，是用户自行定义的。
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2.5.3 关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传 统表达式，它是用对关系的运算来表达查询的。
2.5 关系数据库的基本理论
关系数据库是目前应用最广泛，也是最重要、最流行的数据库。 本节 将介绍关系数据库的一些基本理论，包括关系数据结构、关系 的完整性、关系代数、关系数据库管理系统及关系数据库标准语言。
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关系数据库概述
数据库模型依赖于数据的存储模式，即数据存储的模式不同，数据库的性 质亦不同。以关系模型作为数据的组织存储方式的数据库称为关系数据库。
关系模式是对关系的描述，通常它包括关系名、组成该关系的多 个属性名、域名、属性向域的映像（即属性与域之间的映像关系）等 4 个部分。通常记为R（D1，D2，…，Dn），R 为关系名，D1，D2， …Dn为属性名。属性向域的映像常用属性的类型、长度来说明。关系 实际上就是关系模式在某一时刻的状态或内容。也就是说关系模式是 型，关系模式就是二维表的表框架或结构，它相当于文件结构或者记 录结构。关系是它们的值。在实际中，常常把关系模式和关系统称为 关系，大家可以从上下文中加以区别。
现实世界中的实体之间往往存在某种联系，在关系模型中实体及实 体间的联系都是用关系来描述的。这样就自然存在着关系与关系间的引 用。我们先引进一个“外键”的概念。
若某个属性或属性不是关系 A 的主码，但它是另一关系B的主码， 则该属性或属性组称为关系A 的外键。在关系A 中，外键或取空值或者 等于关系 B中某个元组的主码值。
其中，D1 、 D2 、D3 为域名，分别表示教师关系中姓名、性别和 年龄的集合。域名无排列次序，如D2 =｛男，女｝=｛女，男｝。
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（2）笛卡儿积（Cartesian Product）
定义2 给定一组域D1，D2，…Dn，这些域可以完全不同，也可以 部分或全部相同。D1，D2，…Dn，的笛卡儿积为 D1×D2×…×Dn= ｛（d1，d2，…dn，）叫做一个n元组，或简称为元组。元素中每一个 值di叫做一个分量。若Di为 有限集，其基数为mi(i=1,2,…,n)， 则 D1×D2×…×Dn的基数为
学生关系R1的主键为学号，系部关系R2的主键为系编号，在R1中系 编号是它的外键，即系编号是R2的主键，将它作为外键放在R1中，实 现两关系的联系。
4)主属性和非主属性。包含在任何一个候选主键字中的属性称为主属性， 不包含在任何一个候选关键字中的属性称为非主属性。
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2．关系模式
学生（学号，姓名，性别，年龄，系别） 教师（教师号，姓名，性别，年龄，职称，工资，岗位津贴，系别） 课程（课程号，课程名，课时） 选课（学号，课程名，成绩） 授课（教师号，课程号） 在每个关系中，又有其相应的数据库的实例（元组）。
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2.5.2 关系的完整性
关系模型的完整性规则是对关系的某种约束条件。关系的完整性约 束条件包括三大类：实体完整性，参照完整性和用户定义的完整性。
在定义中，n=1的关系只含有一个属性，称为单元关系。n=2为二 元关系，以此类推。
在 SQL Server 数据库中，通常关系被称为数据表，属性被称为字 段，元组则被称为记录。
如下表给出了一张学生选课表，该表由学生姓名、性别和所选课程 组成，该关系的名字为学生选课表，属性名就是域名，即姓名，性别和
所选课程，这个关系可表示为
任何一种运算都是将一定的运算操作应用于一定的运算对象上， 得到预期的运算结果。所以运算对象、运算符、运算结果是运算的三 大要素。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
关系代数的运算符包括四类：集合运算符、专门的关系运算符、 比较运算符和逻辑运算符（如下页（表一）所示）
关系代数的运算按运算符的不同可分为传统的集合运算和专门的 关系运算两类。其中传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算 是从关系的“水平”方向即行的角度来进行的。而专门的关系运算不 仅涉及行而且涉及列。比较运算符和逻辑运算符是用来辅助专门的关 系运算符进行操作的。
关系数据库采用数学的方法来处理数据库中的数据，是建立在严密的数学 基础之上的一种数据组织存储方式。关系数据库理论是IBM公司的E.F.Codd 提 出来的，他从1970年开始连续发表了多篇论文，奠定了关系数据库的理论基础。
从1975 年到1979 年的5月间，关系方法的理论和软件系统的研制取得了很 大成功，IBM 公司的 San Jose实验室在 IBM370系列机上研制成功了一个实现 SQL语言的关系数据库实验系统原型System R。1981年IBM公司又宣布具有 System R全部特征的新的数据库软件产品SQL/DS问世。之后，IBM公司又将 SQL语言引入到DB2（IBM Data Base 2）中，配置在MVS上运行，并于1983 年推出了DB2产品。
设关系名为REL，其属性为A1，A2…，An，则关系模式为： REL (A1，A2，…，An)
对每个Ai（i=1，…，n）还包括该属性到值域的映象，即属性的取值范围
（1）关系模型
所有的关系模式、属性名和关键字的汇集，是模式描述的对象
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（2）关系数据库模式
一组关系模式的集合叫作关系数据库模式。
2)主键。如果一个关系中有多个候选键，则可选定其中一个为关系的主键。
3)外键。如果一个关系R1中包含有另一个关系R2的主键所对应的属性组 F，则称F为R1的外键，并称关系R1为参照关系，关系R2为信赖关系。
例如，学生关系和系部关系分别为： R1:学生(学号，姓名，性别，年龄，系编号) R2:系部(系编号，系名，系主任)
计算机语言 数据结构 计算机网络 计算机语言 数据结构 计算机网络
其中（王芳，男，计算机语言），（王雷，男，数据结构 ）， （李平，男，计算机网络）等都是元组。王芳、男、计算机
语言、王天雷、男、数据库系统与应用、郑蕾、男、计算机网络等都
是分量。该笛卡儿积的基数为3×2×3=18，这也就是说D1×D2×D3一 共有3×2×3=18个元组。
1．关系的数学定义
（1）域（Domain）
定ห้องสมุดไป่ตู้1： 域是一组具有相同数据类型的值的集合，又称为值域（用
D 表示）。例如整数、实数和字符串的集合都是域。域中所包含的
值的个数称为域的基数（用m 表示）。在关系中就是用域来表示属
性的取值范围的。
例：
D1 =｛李力，王平，刘伟｝，m1=3 D2 =｛男，女｝；m2 = 2 D3 =｛18，20，18｝；m3 = 3
20世纪70年代末期，美国加州大学伯克利分校也研制了 Ingres关系数据库 实验系统，并由Ingres公司发展成为Ingres数据库产品。
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2.5.1 关系数据模型及其描述
在前面已经非形式化地介绍了关系模型及有关的基本概念。在关 系模型中，无论是实体还是实体之间的联系均由单一的结构类型即关 系来表示。关系模型是建立在集合代数基础上的，这里将从集合角度 给出关系数据结构的形式化定义。
1．实体完整性（Entity Integrity）
实体完整性是指主关系键的值不能为空或部分为空
在任何关系的任何一个元组中，主键的任一分量都不允许为空值， 即若属性 A是基本关系 R的主属性，则属性 A不能取空值，也即要求关 系中元组在组成主键的属性上不能有空值。
因为在一个关系中，主键是惟一标识一个元组的，因而它也是惟一标 识该元组所表示的某个实体的。
如果主键属性中某些分量为空值，将难以判断该元组与其他元组的区 别。这将带来复杂的语义问题，禁止主键属性值为空值即可避免这一问题。
例如，在学生关系 “ 学生自然情况（学号，班级号，姓名，性别， 出生年月，入学成绩）”中，“ 学号 ”为主键，那么“学号”这个属性 不能取空值。
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2．参照完整性（Referential Integrity）
级号的值，因为该学生不能属于一个不存在的班级
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3． 用户定义的完整性 （User-defined Integrity）
任何关系数据库系统都应该支持实体完整性和参照完整性。除此之 外，不同的关系数据库系统根据其应用环境的不同，往往还需要一些特 殊的约束条件，用户定义的完整性就是针对某一具体关系数据库的约束 条件由应用环境决定的。它反映一具体应用所涉及的数据必须满足的语 义要求。例如某个属性必须取惟一值，某些属性值之间应满足一定的函 数关系，学生的年龄定义为两位整数，且范围在15 ~ 30之间，性别只接 受“男”或“女”等等。系统提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统 一的系统方法处理它们，而不再由应用程序承担这项工作。
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运算符分类 集合运算符 专门的关系运算符
比较运算符 逻辑运算符
运算符 ∪ －
∩ ×
σ π ∞ ÷ ＞ ≥ ＜ ≤ ＝ ≠ ┑ ∧ ∨
（表一）
含义 并运算 差运算 交运算 笛卡儿积 选择运算 投影运算 连接运算 除法运算
大于 大于等于
小于 小于等于
等于 不等于 非运算
与运算
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姓名
性别
所选课程
学生选课表 （姓名，性别，所选课程）
王芳
男
计算机语言
王天
女
数据库系统及应用
郑蕾
男
计算机网络
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在关系模型中，关键字(简称键)是一个重要概念，通常由一个或 多个属性组成。
1)候选键。如果一个属性集能惟一标识元组，且又不含有多余的属性， 那么这个属性集称为关系的候选键。
（3）关系（Relation）
定义3
D1×D2×…×Dn的子集叫做在域D1×D2×…×Dn上的关系， 用R（D1×D2×…×Dn）表示。这里R表示关系的名字，n 是 关系的目或度，也称为元数。
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关系中的每个元素是关系中的元组。
关系是笛卡尔积的子集，所以关系也是一个二维表，表的每行对 应一个元组，表的每列对应一个域，由于域可以相同，为了加以区分， 必须对每列起一个名字。关系中的每一列称为属性，列名称为属性名， n 目关系必有n 个属性。
n
m mi i 1
笛卡儿积可表示为一个二维表。表中的每行对应一个元组，表中的 每列对应一个域。如果我们给出三个域：
D1=｛王芳，王雷，李平｝（学生集合） D2=｛男，女｝（性别集合） D3=｛计算机语言，数据结构，计算机网络｝（课程集合） 则D1×D2×D3=
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王芳 男 计算机语言 王雷 男 计算机语言 李平 男 王芳 男 数据结构 王雷 男 数据结构 李平 男 王芳 男 计算机网络 王雷 男 计算机网络 李平 男 王芳 女 计算机语言 王雷 女 计算机语言 李平 女 王芳 女 数据结构 王雷 女 数据结构 李平 女 王芳 女 计算机网络 王雷 女 计算机网络 李平 女
2.5.3.1 传统的集合运算
（1）并（Union）
定义 设关系R和关系S具有相同的关系模式（即两个关系都有相同的属性）， 且相应的属性取自同一个域，则关系R和关系S的并是由属于关系R或 关系S的元组构成的集合，即R和S的所有元组合并，删去重复元组， 组成一 个新关系，其结果仍为n目关系。
记为R∪S={t|t∈R∨t∈S} 其中t是元组变量，关系R和关系S的元数相同。 对于关系数据库，记录的插入和添加可通过并运算实现。
例：有两个基本关系为 学生表（学号，班级号，姓名，性别，出生年月，入学成绩） 班级表（班级号，班级名称，所属系部，入学时间，系别）
学生表的主码为学号，而班级表的主码为班级号，因而班级号 是学生表的外键。 按照参照完整性，学生表中的外键即班级号的取值有两种可能：
① 取空值，表明该学生尚未分配到任何班级 ② 若取非空值，则它必须是参照关系班级表中某个元组中的班
在关系的完整性规则中，实体完整性和参照完整性是关系模型必须 满足的完整性的约束条件，被称做是关系的两个关系不变性，应由关系 系统自动支持；而用户完整性反映了用户的要求，是用户自行定义的。
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关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传 统表达式，它是用对关系的运算来表达查询的。
2.5 关系数据库的基本理论
关系数据库是目前应用最广泛，也是最重要、最流行的数据库。 本节 将介绍关系数据库的一些基本理论，包括关系数据结构、关系 的完整性、关系代数、关系数据库管理系统及关系数据库标准语言。
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关系数据库概述
数据库模型依赖于数据的存储模式，即数据存储的模式不同，数据库的性 质亦不同。以关系模型作为数据的组织存储方式的数据库称为关系数据库。
关系模式是对关系的描述，通常它包括关系名、组成该关系的多 个属性名、域名、属性向域的映像（即属性与域之间的映像关系）等 4 个部分。通常记为R（D1，D2，…，Dn），R 为关系名，D1，D2， …Dn为属性名。属性向域的映像常用属性的类型、长度来说明。关系 实际上就是关系模式在某一时刻的状态或内容。也就是说关系模式是 型，关系模式就是二维表的表框架或结构，它相当于文件结构或者记 录结构。关系是它们的值。在实际中，常常把关系模式和关系统称为 关系，大家可以从上下文中加以区别。
现实世界中的实体之间往往存在某种联系，在关系模型中实体及实 体间的联系都是用关系来描述的。这样就自然存在着关系与关系间的引 用。我们先引进一个“外键”的概念。
若某个属性或属性不是关系 A 的主码，但它是另一关系B的主码， 则该属性或属性组称为关系A 的外键。在关系A 中，外键或取空值或者 等于关系 B中某个元组的主码值。
其中，D1 、 D2 、D3 为域名，分别表示教师关系中姓名、性别和 年龄的集合。域名无排列次序，如D2 =｛男，女｝=｛女，男｝。
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（2）笛卡儿积（Cartesian Product）
定义2 给定一组域D1，D2，…Dn，这些域可以完全不同，也可以 部分或全部相同。D1，D2，…Dn，的笛卡儿积为 D1×D2×…×Dn= ｛（d1，d2，…dn，）叫做一个n元组，或简称为元组。元素中每一个 值di叫做一个分量。若Di为 有限集，其基数为mi(i=1,2,…,n)， 则 D1×D2×…×Dn的基数为