高中数学《均值不等式》精品PPT课件

考点突破 考点二 利用基本不等式求最值
训练 2 (1)(2014·闽南四校联考)设 a＞0,若关于 x 的不等式 x＋ax≥4 在 x∈(0，＋∞)上恒成立，则 a 的最小值为( ) A．4 B．2 C．16 D．1
(2)设 0＜x＜52，则函数 y＝4x(5－2x)的最大值为____．((3)见下页) 解析 要使(1)x因＋为ax≥x4＞在0，x∈a＞(00，，＋所∞以)上x恒＋成ax≥立2 ，a则，需 2 a≥4，所以 a≥4，
a＝18，b＝12时，
凑”了吗？ (利用基本不等式求解最
等所号以成ab立的．最∴大值ab为≤11614.，∴ab≤116.
法二 ∵a＞0，b＞0，4a＋b＝1，
值问题，要根据代数式或 函数解析式的特征灵活变 形，凑积或和为常数的形 式；条件最值问题要注意
当∴且ab仅＝当14·4a4＝a·b＝b12≤，14即4aa＝＋2 18b，2b＝＝11126时，，等号成常 等立数 式．所的 的以代 形换 式ab， 求的凑 解最成 最大基 值值本 ．为不)116.
≥15(13＋2 1x2y·3yx)＝15(13+12)=5 当 等解且 号得仅 成yx当 立＝＝1，121x2.，此y＝时3y由x，xx即＋＝32xyy＝＝，25yxy时，，
≤ 当且 －仅2＋当3＝5－1.4x＝5－14x，即 x ＝1 时，等号成立． 故 f(x)＝4x－2＋4x1－5 的最大值为 1.
从而 a 的最小值为 4，故选 A. (2)因为 0＜x＜52，所以 5－2x＞0，
当所 故且函 以仅数y＝当y＝4x2(4x5＝ x－(552－－x)22＝xx)，的2×即最2x大(x5＝－值542为时x)2等25.≤号2成2x立＋，52－2x2凑＝和225为，常数
考点突破 考点二 利用基本不等式求最值
规律方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或 乘积为定值，主要有两种思路：
①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解． ②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值． (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件， 但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等 式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数 法、换元法、整体代换法等．
训练 2 (3)设 x＞－1，则函数 y＝(x＋x5＋)(x1＋2)的最小值为_____．
(3)因为 x＞－1，所以 x＋1＞0， 所以 y＝(x＋x5＋)(x1＋2)＝x2＋x7＋x＋1 10 ＝（x＋1）2＋x＋5（1 x＋1）＋4＝x＋1＋x＋4 1＋5
≥2 （x＋1）×x＋4 1＋5＝9，
当且仅当 x＋1＝x＋4 1，即 x＝1 时等号成立，
训练 1 已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明
∵a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1，
∴1a＋b1＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ab＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ba＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当 a＝b＝c＝31时，取等号．
考点突破 考点二 利用基本不等式求最值
【例题 2】(4)已知函数 f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在 x＝3 时 取得最小值，求 a 的值．
(4)∵f(x)＝4x＋ax≥2 4x·ax＝4 a，
当且仅当 4x＝ax，即 36.
考点突破 考点二 利用基本不等式求最值
故函数 y＝(x＋x5＋)(x1＋2)的最小值为 9.
考点突破 考点二 利用基本不等式求最值
【例题 2】解下列问题：(共有 4 个小题) (1)已知 a＞0，b＞0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值；
解析（1）法一 ∵a＞0，b＞0，4a＋b＝1，
深度思考 解决与基本不等式有关
∴1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab，
的最值问题，你学会“拼
当且仅当
4a＝b＝12，即
等式对所证明的不等 式中的某些部分放大
∴xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥
8
yz· xz· xyz
xy＝8.
或者缩小，在含有三 个字母的不等式证明 中要注意利用对称 性．
当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．
考点突破 考点一 利用基本不等式证明简单不等式
例 1 已知 x＞0，y＞0，z＞0.求证：xy＋xzxy＋yzxz＋yz≥8.
证明 ∵x＞0，y＞0，z＞0，
规律方法 利用基本不等式证
∴xy＋xz≥2
x yz＞0，xy＋yz≥2
y xz＞0，
明新的不等式的基本 思路是：利用基本不
xz＋yz≥2 z xy＞0，
均值不等式
夯基释疑
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当
a≥0，b≥0
时，a＋b≥ 2
ab.(
)
(2)两个不等式
a2＋b2≥2ab
与a＋b≥ 2
ab成立的条件是相同
的．( )
(3)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( )
(4)x＞0 且 y＞0 是xy＋xy≥2 的充要条件．( )
考点突破 考点一 利用基本不等式证明简单不等式
考点突破 考点二 利用基本不等式求最值
(2)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，求 3x＋4y 的最小值；
(3)已知 x＜54，求 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值； 凑积为常数
∴＝解315（x（＋21）43y＋由＝115xx2＋y(＋33xy3＋y＝x）45yx)y3x得＋3x1y＋ 1y＝5，(则＝3)因－f(为 x(5)＝－x＜44xx54－＋，25所＋－1以44xx1－)5＋－534x＞0，