2023-2024学年宁夏回族自治区银川高一下学期期中考试数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年宁夏回族自治区银川高一下册期中考试数学模拟试题
一、单选题
1．已知复数12z i =-，则z 的虚部为（）
A ．2
B ．2i
C ．2
-D ．2i
-【正确答案】C
【分析】根据复数的概念判断即可.【详解】复数12z i =-的虚部为2-.故选：C
2．如图所示的ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 、AD 上，
且BD DC =.2ED AE =，则向量AE =
（）
A ．1133
AB AC
+uu u
r uuu r B ．1166AB AC
+
C ．1566AB AC
+
D ．1233
AB AC
+
【正确答案】B
根据题目条件，结合平面向量运算的三角形法则，进行推导即可．
【详解】解：AD AB BD =+ ，AD AC CD =+
，
又BD DC = ，BD CD ∴=-
，
()
12
AD AB AC ∴=+ ，
又2ED AE = ，1
3
AE AD ∴=
，111366
AE AD AB AC ∴==+ .
故选：B.
本题考查了平面向量运算的三角形法则，难度不大，属于基础题．
3．已知非零向量a ，b 满足2a b = =2，且()
-⊥a b b r r r ，则a 与b
的夹角为（
）
A ．
π
6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
【正确答案】B
【分析】利用两向量的垂直关系及向量的夹角公式即可求解.
【详解】因为()
-⊥a b b r
r r ，
所以()
0a b b -⋅= ，即20a b b ⋅-= ，于是有2a b b ⋅= ，
设a 与b
的夹角为θ，则
221
cos 22b a b a b b
θ⋅===
，
因为0πθ<<，所以π
3
θ=
.故选：B.
4．ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，a =1b =，π
4
C =，则ABC 的外接圆的直径为（）A
．B ．5
C
．D
．【正确答案】C
【分析】由余弦定理求出c ，再由正弦定理计算可得.
【详解】由余弦定理得5c =，
所以2sin c
R C
=
=故选：C ．
5．
如图所示，在DEF 中，M 在线段DF 上，2DE DM EM ===，3
sin 5
F =，则边EF 的长为（
）
A ．
B
．16
C
D
【正确答案】D
【分析】依题意可得DEM △为等边三角形，即可求出EMD ∠，由此求得EMF ∠，利用正弦定理求得EF .
【详解】在三角形DEM 中2DE DM EM ===，所以DEM △为等边三角形，所以60EMD ∠=︒，则120EMF ∠=︒，
在三角形EFM 中，由正弦定理得
sin sin EF EM
EMF F
=∠，
所以3225
3EF =
=.故选：D
6．如图，已知圆锥的母线长为2，底面半径为23
，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面爬行一周返回A 点，则蚂蚁爬行的最短距离为（
）
A ．1B
C
．D ．4
【正确答案】C
【分析】利用圆锥展开图得出蚂蚁爬行的最短距离，结合圆心角公式及余弦定理即可求解.【详解】由题意可知，圆锥的母线长为2，底面半径为23
，所以圆锥底面周长为242π2ππ33
r =⨯
=，所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为π24π
233
α==
，如图所示在AOB 中，2
π,23
AOB AO BO ∠=
==，由余弦定理可知，22222
12cos 22222122AB AO BO AO BO AOB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
所以AB =
所以蚂蚁爬行的最短距离为故选：C.
7．
一个侧棱长为
O A B C ''''，其中2O A ''=，则该直棱柱的体积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．【正确答案】C
【分析】根据斜二测画法的定义，求出四边形OABC 的面积，然后根据棱柱的体积公式计算即可.【详解】解：根据题意，四边形OABC 为矩形，因为2,2O C O A ''''==，所以4,2OC OA ==，所以矩形OABC 的面积为428⨯=，
所以直棱柱的体积为8⨯=故选：C.
8．在ABC 中，9sin cos sin 6ABC AB AC B A C S ⋅===
，
，，P 为线段AB 上的动点，且CA CB CP x y CA CB
=⋅+⋅
，则11x y +最小值为（
）
A ．76+
B ．
7123
+C ．
76
D ．
712
【正确答案】B
【分析】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求cos 0C =，可得2
C π
=
，再由已知条件求得4a =，3b =，5c =，考虑建立以AC 所在的直
线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312x y +=，然后利用基本不等式可求得
11
x y
+的最小值.【详解】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，
sin cos sin B A C = ，即()sin cos sin A C A C +=，
即sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=，sin cos 0A C ∴=，
0A π<< ，sin 0A ∴>，cos 0C ∴=，0C π<< ，2
C π∴=
，9AB AC ⋅= ，即cos 9cb A =，又1
sin 62
ABC S bc A == ，sin 4tan cos 3
bc A a A bc A
b
∴=
==，162ABC
S ab == ，则12ab =，所以，4
312
a b ab ⎧=
⎪⎨⎪=⎩，解得4
3
a b =⎧⎨=⎩
，5c ∴==.
以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y
轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则()0,0C 、()3,0A 、()0,4B ，
P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()3,43,401AP AB λλλλ
λ==-=-≤≤
，
()33,4CP CA AB λλλ∴=+=-
，设1CA e CA
= ，1C e B
CB
=
，则121e e == ，()11,0e ∴= ，()20,1e =u r ，()12,CA CB CP x y xe ye x
y CA CB =⋅+⋅=+=
，334x y λλ
=-⎧∴⎨=⎩，消去λ得4312x y +=，134x y
∴+=，
所以，117734341211127123
x y x y x x y y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎝⎭⎭+⎪⎝，
当且仅当x y =
时，等号成立，因此，11x y +
的最小值为7123
+.
故选：B.
关键点点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦
公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解CA
CA
是一个单位向量，从而可用x 、y 表示CP
，
建立x 、y 与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由33x λ=-，4y λ=发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解.二、多选题
9．下列有关向量命题，正确的是（
）
A ．若a b = ，则a b
= B ．已知0c ≠
，且a c b c ⋅=⋅ ，则a b
= C ．若a b = ，b c =
，则a c = D ．若a b = ，则a b = 且//a b
【正确答案】CD
【分析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项．
【详解】对于A ：若()0,1a = ，()1,0b = ，此时满足a b = ，但是a b ≠ ，故A 错误；
对于B ：若//a b
，且与c 垂直，此时0a c b c ⋅=⋅= ，但a 不一定等于b ，故B 错误；
对于C ：若a b = ，b c =
，则a c = ，故C 正确；
对于D ：若a b =
，则a b = 且a 与b 同向，故D 正确；
故选：CD
10．已知复数23i z =-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）
A ．z 的模等于13
B ．z 在复平面内对应的点位于第四象限
C ．z 的共轭复数为23i --
D ．若(4i)z m +是纯虚数，则6
m =-【正确答案】BD
【分析】根据复数的模值运算、坐标表示、共轭复数的定义进行逐项判断，即可求解.【详解】解：由题意得：
对于选项A
：z =A 错误；
对于选项B ：z 在复平面内对应的点的坐标表示为(2,3)-，位于第四象限，故B 正确；对于选项C ：根据共轭复数的定义z 的共轭复数为23i z =+，故C 错误；
对于选项D ：()(4i)(4i)212(83)i 23i z m m m m +=+--=++，若(4i)z m +是纯虚数，则2120m +=，解得：6m =-，故D 正确.故选：BD
11．已知两条不重合的直线a 和b 两个不重合的平面α和β，则下列说法不正确的为（）
A ．若//a α ，//b α ，则//a b
B ．若a α⊂，b β⊂，则a ，b 为异面直线
C ．若//a b ，a α⊂，则//b α 或b α⊂
D ．若a α⊂，βb ⊂，//αβ ，则//a b 【正确答案】ABD
【分析】利用空中线线、线面平行，面面平行的位置关系即可求解.
【详解】对于A ，若//a α ，//b α ，则//a b 或a 与b 相交或a 与b 异面，故A 错误；对于B ，若a α⊂，b β⊂，则a ，b 的位置关系是平行、相交或异面，故B 错误；对于C ，若//a b ，a α⊂，则//b α 或b α⊂，故C 正确；
对于D ，若a α⊂，βb ⊂，//αβ ，则//a b 或a 与b 异面，故D 错误.故选：ABD.
12．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A B C '''拼成的一个大等边三角形ABC ，对于图2，下列结论正确的是（
）
A ．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形
B ．若3BB '=，sin ABB '∠=
2A B ''=C ．若
2AB A B ''=，则AB '='
D ．若A '是AB '的中点，则三角形ABC 的面积是三角形A B C '''面积的7倍【正确答案】ABD
【详解】利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式即可求解.根据对称性AA BB ''=，所以BB AB ''<，故A 正确；
在ABB ' 中，sin ABB '∠=
120AB B '∠= ，
所以11cos 14
ABB '∠==，
()c s o n s i sin 60sin60cos 60sin BAB ABB ABB ABB ''''∠=-∠=∠-∠=
，由正弦定理得
sin sin BB AB BAB ABB ''
=''
∠∠，解得5AB '=，
又因为3AA BB ''==，所以2A B AB AA ''''=-=，故B 正确;不妨设22AB A B ''==，BB x '=，
由余弦定理2
2
22cos120AB BB AB BB AB ''''=+-⋅ ，解得x =
所以
1AB x BB x '+='C 错误；若A '是AB '的中点，12061sin si 20n 2
ABB A B C S BB AB B C A B S ''''''''''=⋅=⋅=
，
所以7ABC A B C S S '''=!!,故D 正确.故选：ABD ．三、填空题
13．i 是虚数单位，则51i
i
-+的值为__________.
【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．
【详解】
5(5)(1)
231(1)(1)
i i i i i i i ---==-++-．本题考查了复数模的运算，是基础题.
14．直三棱柱ABC A B C '''-的各个顶点都在球O 的球面上，且1,AB AC BC ===．若球O 的
表面积为3π，则这个三棱柱的体积是_________．【正确答案】1
2
【分析】由已知直三棱柱ABC A B C '''-的底面为直角三角形，所以其外接球的球心位于侧面
BCC B ''的中心，根据球的半径计算棱柱的高即可求出棱柱的体积．
【详解】解：1AB AC ==
，BC =AB AC ∴⊥，
∴直三棱柱ABC A B C '''-外接球的球心O 即为侧面BCC B ''
的中心，
设球O 半径为r ，则243r ππ=
，
r ∴=
，即OC r ==∴直三棱柱ABC A B C '''-
的高1h =，
∴直三棱柱ABC A B C '''-的体积1
111122
ABC V S h =⨯⨯⨯⋅==
，故1
2．
15．在三棱锥-P ABC 中，6PB =，4AC =，M 为PC 上一点，1
2
A MP
B A CPB V V --=，过点M 作三棱锥的一个截面α，//PB α，//A
C α，则截面的周长为__________．【正确答案】10【分析】根据
A MP
B M APB
A CP
B
C APB
V V V V ----=得到M 为PC 的中点，取BC 的中点N ，AB 的中点E ，PA 的中点F ，连接MN 、NE 、EF 、FM ，即可得到平面MNEF 为截面α，根据三角形中位线的性质求出线段，即可得解.【详解】因为
1
2
A MP
B A CPB V V --=，所以12M APB
C APB V V --=，又M 为PC 上一点，所以M 为PC 的中点，
取BC 的中点N ，AB 的中点E ，PA 的中点F ，连接MN 、NE 、EF 、FM ，则//MN PB 且12
MN PB =
，//EF PB 且1
2EF PB =，
所以//EF MN 且EF MN =，所以MNEF 为平行四边形，
同理可证//MF NE 且1
2
MF NE AC ==
，又过点M 作三棱锥的一个截面α，//PB α，//AC α，所以平面MNEF 即为截面α，
又6PB =，4AC =，所以3EF MN ==、2MF NE ==，所以截面周长为322210⨯+⨯=.
故10
16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-，若
△ABC 的面积为ABC 的周长的最小值为____________________.【正确答案】12
【分析】利用正弦定理将题中的边角关系转化为角的关系，结合余弦定理得到角C 的余弦值，进而得到角C 的正弦值，根据三角形的面积得到ab ，从而利用基本不等式和函数的单调性求解三角形周长的最小值.
【详解】()sin sin sin a b A c C b B -⋅=- ，
∴由正弦定理可得()22a b a c b -=-，化简得222a b c ab +-=，
∴由余弦定理可得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，则sin C ==
∵△ABC 的面积为1sin 24
ab C ab =
=，解得16ab =，由222a b c ab +-=得()22
2483a b ab c c ==+++，
由余弦定理可得222216c a b ab ab ab ab =+-≥-==，即4c ≥，当且仅当4a b ==时等号成立，
∴△ABC 的周长为a b c c ++=+，
易得函数y c =+在[)4,+∞上单调递增，
则12a b c c ++=≥，当且仅当4a b c ===时等号成立，即△ABC 的周长的最小值为12．故12.四、解答题
17．已知平面向量,a b ，(a = ，1b = ，且a 与b 的夹角为π
3
．
(1)求a b ⋅ ；
(2)若2a b + 与
()2R a b λλ+∈ 垂直，求λ的值．【正确答案】(1)1(2)4
-【分析】（1）根据数量积得定义计算即可；
（2）由2a b +
与()2R a b λλ+∈ 垂直，得
()()
220a b a b λ+⋅+= ，再根据数量积的运算律计算即可.
【详解】（1）(a = ，1b = ，且a 与b
的夹角为π3
，
1
cos ,2112
a b a b a b ∴⋅==⨯⨯= ；
（2）若2a b + 与()2R a b λλ+∈ 垂直，
则()()
220a b a b λ+⋅+=
，
即222240a b a b a b λλ++⋅+⋅=
，
8240λλ∴+++=，
4λ∴=-．
18．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1
cos 4
B =，2b =，sin 2sin
C A =.（1）求a ；
（2）求ABC ∆的面积.【正确答案】（1）1a =；
（2【分析】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得2c a =，再由余弦定理，列出方程，即可求解a 得值；
（2）由（1）求得2c =，利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积．【详解】（1）在ABC ∆中，1
cos 4
B =，2b =，sin 2sin
C A =，由正弦定理得2c a =，
由余弦定理得22222
21
2cos 422444
b a
c ac B a a a a a =+-=+-⋅⋅
==，解得1a =或1(a =-不合题意，舍去)，（2）由（1）知2c a =，所以2c =，
所以ABC ∆的面积为11sin 12224S ac B ==⨯⨯．本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
19．如图，某组合体是由正方体1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111P A B C D -组成，已知6AB =，且
1PA =
．
(1)求该组合体的体积；(2)求该组合体的表面积.【正确答案】(1)252
(2)(365【分析】（1）连接11A C 、11B D 交于点O ，连接PO ，取11A B 的中点E ，连接OE 、PE ，求出PO ，再根据锥体的体积公式及柱体的体积公式计算可得；（2）求出正四棱锥的斜高PE ，再根据表面积公式计算可得.
【详解】（1）在正四棱锥1111P A B C D -中，连接11A C 、11B D 交于点O ，连接PO ，取11A B 的中点E ，
连接OE 、PE ，
因为6AB =，且12
PA AB =
，则162PA ==
所以11AC =，所以3PO =，所以11116636A B C D S =⨯=，所以1111111111
3633633
P A B C D A B C D V S PO -=⋅=⨯⨯=，
又正方体1111ABCD A B C D -的体积11113
6216ABCD A B C D V -==，
所以1111111121636252ABCD A D P A B C D B C V V V --=+=+=.
（2）由（1）可知11PE A B ⊥，所以PE ==
所以111
62
PA B S =
⨯⨯=
所以2456180S =⨯⨯=+.
20．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面PAD ⋂平面PBC 于直线l .
（1）判断MN 与平面PAD 的位置关系，并证明你的结论；（2）判断BC 与l 的位置关系，并证明你的结论.
【正确答案】（1）MN ∕∕平面PAD ，证明见解析；（2）BC l ∕∕，证明见解析.【分析】（1）取PD 中点E ，连接AE ，NE ，可得NE DC ∕∕，且1
2
NE DC =
，又M 为AB 中点，可得AM NE ∕∕，且AM NE =，所以四边形AMNE 为平行四边形，可得AE MN ∕∕，根据线面平行的判定定理，可证MN ∕∕
平面PAD .
（2）根据线面平行的判定定理，可证BC ∕∕平面PAD ，又BC ⊂平面PBC ，结合题意，根据线面平行的性质定理，可证BC l ∕∕.
【详解】（1）MN ∕∕平面PAD ，证明如下：取PD 中点E ，连接AE ，NE ，因为N ，E 分别为PC ，PD 中点，所以NE DC ∕∕，且1
2
NE DC =
，又M 为AB 中点，AB DC ∕∕，AB DC =，所以AM NE ∕∕，且AM NE =，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以AE MN ∕∕，
又AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，所以MN ∕∕
平面PAD .
（2）BC l ∕∕，证明如下：
因为AD BC ∕
∕，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∕∕
平面PAD ，又BC ⊂平面PBC ，且平面PAD ⋂平面PBC l =，根据线面平行的性质定理可得BC l ∕∕.
21．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C .测量得到数据：=90ACD ∠︒，60ADC ∠=︒，15ACB ∠=︒，
105BCE ∠=︒，45CEB ∠=︒，1DC CE ==.
（1）求CDE 的面积；（2）求A ，B 之间的距离.【正确答案】（1）
1
4
；（223-（1）可求得150DCE ∠= ，再利用面积公式即可求出；
（2）先在Rt ACD 中求出AC ，再在BCE 中利用正弦定理求出BC ，则在ABC 中利用余弦定理即可求出.
【详解】（1）3609015105150DCE ∠=---= ，1111
sin150112224
CDE S CD CE ∴=
⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ；（2）由题可得在Rt ACD 中，tan 1tan 603AC DC ADC =⋅∠=⨯=
，
在BCE 中，1801054530CBE ∠=--= ，
由正弦定理可得sin sin BC CE
CEB CBE
=
∠∠1
122
2
BC =
，解得2BC =()62
cos15cos 6045cos 60cos 45sin 60sin 45+=-=+=
，则在ABC 中，由余弦定理可得22
2
62
32
32234
AB +=+
-⨯⨯
=-23AB ∴=-本题考查利用正余弦定理测量距离，解题的关键是分别在ACD 和BCE 中求出AC 和BC .22．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()()sin =sin b c B b A C --(1)求角A ；
(2)若ABC 为锐角三角形，且ABC 的面积为S ，求
222
a b c S
++的取值范围．
【正确答案】(1)3
A π
=
(2)3⎡⎢⎣⎭
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到1
cos 2
A =，再结合()0,A π∈，即可得到A ；
（2）根据3A π
=和三角形面积公式将222
a b c S ++
b c c b ⎫+⎪⎝⎭
再根据锐角三角形和
正弦定理得到b
c
的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可.
【详解】（1）()()sin sin b c B b A C -=-，所以()()sin sin cos cos sin b c B b A C A C -=-，
所以222222
2
22cos cos 22a b c b c a b bc ab C bc A a c +-+--=-=-=-，
又2222cos a b c bc A =+-，所以1
cos 2
A =，
因为()0,A π∈，所以3
A π
=．
（2）由（1
）可知1csin 2S b A bc =
，222a b c bc =+-．
则
2222222222a b c a b c b c bc b c S bc bc c b +++++-⎫===+-⎪⎝⎭
因为ABC 锐角三角形，所以02
2032C C πππ
⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
，整理得62C ππ<<．
因为
(
)sin sin sin cos cos sin 1
sin sin sin 2tan 2
A C b
B A
C A C c C C C C ++====+，所以122b c <<．
令b t c =，则函数1y t t =+在12,1⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，所以52,2y ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，即52,2b c c b ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭
，故222a b c S ++
的取值范围为⎡⎢⎣⎭
.。