专题11 平面解析几何选择填空题-高考数学(理)十年真题(2010-2019)深度思考(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

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十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题12 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

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十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学真题2008-21 ．（12 分）双曲线的中心为原点O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1uuur uuur uuur uuur uuur的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、、成等差数列，且 BF 与 FA 同向．AB OB（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为4 ，求双曲线的方程．2009-21 ．（12 分）如图，已知抛物线 E : y 2x 与圆 M : ( x 4)2y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点。

（I ）求 r 的取值范围：(II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线A 、B 、C 、D 的交点 p 的坐标。

2010-21 (12分 )已知抛物线 C : y 24x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D .（Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上；uuur uuur8（Ⅱ）设 FAgFBBDK 的内切圆 M 的方程 .，求91 / 132011-20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。

（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。

2012-20 （12 分）设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l ， AC ，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点；（1）若BFD90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A, B, F 三点在同一直线m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m, n 距离的比值。

2010-2019“十年高考”数学真题立体几何解析版专项汇总(理数可下载)

可得 AC⊥平面 PBG，则 PB⊥AC.
因为 E，F 分别是 PA，AB 的中点，所以 EF P PB .又 CEF 90 ，即 EF⊥CE，
所以 PB⊥CE，得 PB⊥平面 PAC.所以 PB⊥PA，PB⊥PC. 又因为 PA PB PC ，△ABC 是正三角形，所以 △PAC≌△PBC≌△PAB ，故 PA PC ，所以正三棱锥 P ABC 的三
【解析】如图所示，联结 BE ， BD .因为点 N 为正方形 ABCD 的中心， △ECD 为正三角形，平面 ECD 平面 ABCD ， M 是线段 ED 的中点，所以 BM 平面 BDE ， EN 平面 BDE ，因为 BM 是△BDE 中 DE 边上的中线， EN 是△BDE 中 BD 边上的中线，直线 BM ， EN 是相交直线，设 DE a ，则
则点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1 d 4 6 ，
所以三棱锥
D

ABC
体积的最大值 Vmax

1 3
S
ABC

6

19 3
3 6 18
3．
故选 B．
8.（2018 北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
对于 B，内有两条相交直线与平行，则∥ ；
对于 C，，平行于同一条直线，则与相交或∥ ，排除；
对于 D，，垂直于同一平面，则与相交或∥ ，排除．故选 B．
2.（2019 全国Ⅲ理 8）如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥ 平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 A．BM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C．BM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线【答案】B．

(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题11平面解析几何解答题文(含解析)

专题11平面解析几何解答题历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 椭圆2019年北京文科19解答题2018 椭圆2018年北京文科20解答题2017 椭圆2017年北京文科19解答题2016 椭圆2016年北京文科19解答题2015 椭圆2015年北京文科20解答题2014 椭圆2014年北京文科19解答题2013 椭圆2013年北京文科19解答题2012 椭圆2012年北京文科19解答题2011 椭圆2011年北京文科19解答题2010 椭圆2010年北京文科19历年高考真题汇编1．【2019年北京文科19】已知椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．可得b＝c＝1，a，则椭圆方程为y2＝1；（Ⅱ）证明：y＝kx+t与椭圆方程x2+2y2＝2联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），△＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，x1+x2，x1x2，AP的方程为y x+1，令y＝0，可得y，即M（，0）；AQ的方程为y x+1，令y＝0，可得y．即N（，0）．（1﹣y1）（1﹣y2）＝1+y1y2﹣（y1+y2）＝1+（kx1+t）（kx2+t）﹣（kx1+kx2+2t）＝（1+t2﹣2t）+k2•（kt﹣k）•（），|OM|•|ON|＝2，即为|•|＝2，即有|t2﹣1|＝（t﹣1）2，由t≠±1，解得t＝0，满足△＞0，即有直线l方程为y＝kx，恒过原点（0，0）．2．【2018年北京文科20】已知椭圆M：1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D 和点Q（，）共线，求k．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c＝2，则c，椭圆的离心率e，则a，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设直线AB的方程为：y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3＝0，△＝（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，x1+x2，x1x2，∴|AB|，∴当m＝0时，|AB|取最大值，最大值为；（Ⅲ）设直线PA的斜率k PA，直线PA的方程为：y（x+2），联立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）＝0，由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）＝0，x1•x C，x C，则y C（2），则C（，），同理可得：D（，），由Q（，），则（，），（，），由与共线，则，整理得：y2﹣x2＝y1﹣x1，则直线AB的斜率k1，∴k的值为1．3．【2017年北京文科19】已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（a＞b＞0），则a＝2，e，则c，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，则直线AM的斜率k AM，直线DE的斜率k DE，直线DE的方程：y（x﹣x0），直线BN的斜率k BN，直线BN的方程y（x﹣2），，解得：，过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，则|EH|，则，∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．4．【2016年北京文科19】已知椭圆C：1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【解答】（1）解：∵椭圆C：1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a＝2，b＝1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y，取x＝0，得；，PB所在直线方程为，取y＝0，得．∴|AN|，|BM|＝1．∴．∴四边形ABNM的面积为定值2．5．【2015年北京文科20】已知椭圆C：x2+3y2＝3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2＝3，∴椭圆C的标准方程为：y2＝1，∴a，b＝1，c，∴椭圆C的离心率e；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1＝（1﹣y1）（x﹣2），令x＝3，得M（3，2﹣y1），∴直线BM的斜率k BM1；（3）结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知k BM＝1，又∵直线DE的斜率k DE1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1（x﹣2），令x＝3，则点M（3，），∴直线BM的斜率k BM，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3＝0，由韦达定理，得x1+x2，x1x2，∵k BM﹣1＝0，∴k BM＝1＝k DE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．6．【2014年北京文科19】已知椭圆C：x2+2y2＝4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2＝4化为标准方程为，∴a＝2，b，c，∴椭圆C的离心率e；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴0，∴tx0+2y0＝0，∴t，∵，∴|AB|2＝（x0﹣t）2+（y0﹣2）2＝（x0）2+（y0﹣2）2＝x02+y024＝x0244（0＜x02≤4），因为4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02＝4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．7．【2013年北京文科19】直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．【解答】解：（I）∵点B的坐标为（0，1），当四边形OABC为菱形时，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0），∴线段OB的垂直平分线为y，将y代入椭圆方程得x＝±，因此A、C的坐标为（，），如图，于是AC＝2．（II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，利用反证法，假设四边形OABC为菱形，则有OA＝OC，设OA＝OC＝r，则A、C为圆x2+y2＝r2与椭圆的交点，故，x2（r2﹣1），则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．从而得到点B是W的顶点．这与题设矛盾．于是结论得证．8．【2012年北京文科19】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A（2，0），离心率为，∴∴b∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y＝k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，∴|MN|∵A（2，0）到直线y＝k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S∵△AMN的面积为，∴∴k＝±1．9．【2011年北京文科19】已知椭圆G：1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c，，解得a，又b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12＝0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0，y0＝x0+m，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k，解得m＝2．此时方程①为4x2+12x＝0．解得x1＝﹣3，x2＝0，所以y1＝﹣1，y2＝2，所以|AB|＝3，此时，点P（﹣3，2）．到直线AB：y＝x+2距离d，所以△PAB的面积s|AB|d．10．【2010年北京文科19】已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y ＝t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（Ⅱ）由题意知p（0，t）（﹣1＜t＜1）由得所以圆P的半径为，则有t2＝3（1﹣t2），解得所以点P的坐标是（0，）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2+（y﹣t）2＝3（1﹣t2）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以设t＝cosθ，θ∈（0，π），则当，即，且x＝0，y取最大值2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.【答案】（1）22113y x +=；（2）见解析. 【解析】（1）解：因为1C，所以22619b a=-，解得223a b =.①将点⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =，故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310kxkmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程，得()222136330kxkmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+，所以AB ===. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=u u u vu u u u v，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得3λ=（3λ=-舍去），所以3ON MO =u u u vu u u u v，从而()31NM OM =+.又因为点O 到直线l 的距离为21m d k=+，所以点N 到直线l 的距离为()(231311m d k+⋅+=+，所以()()221126131312231NABmk S d AB m k∆+=+⋅=+⋅⋅+ 62=+，综上，NAB ∆的面积为定值62+. 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，3-)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3，由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与x 轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意；当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③，联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++，代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得m =20y ±=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （x 0，y 0），则PM•PN＝|（x 0﹣2）（x 0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴x 0﹣2，x 0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =．当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++，10200PM y ,PN y ,PF =-=-=．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号，∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点．【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-，此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=，整理得12122(2)()0my y b y y +++=，即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r ，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)3【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ，而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k--=+，以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，||PQ =u u ur 3=≤，当2219k k =时，即k =时取等号，max ||3PQ =u u u r ，又||AB =u u u r，maxλ==，∴λ取得最大值时的PQ的长为3． 5．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值；（2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-，由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+，又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =，所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ），令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x -+'=+-=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增，所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r，过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. （Ⅰ）求曲线τ的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22105x y y +=≠；.【解析】（Ⅰ）因为,AD AC EB AC =∥，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+==由题设得()()2,02,04A B AB -=，，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()22105x y y +=≠.（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆O 相切，1=，∴221m k =+，由221,5,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2221510550k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理知：()1212122210221515km mx x y y k x x m k k +=-+=++=++，. 所以PQ 中点N 的坐标为225,1515kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以弦PQ 的垂直平分线方程为22151515m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即 24015kmx ky k++=+.所以MN =.将m =MN =得2441155||||kMNk kk====++…（当且仅当k=，即m=取等号）.所以三角形MON的面积为11122S OM MN=⨯⨯⨯≤，综上所述，三角形MON.7．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，F是椭圆C的一个焦点．点(02)M,，直线MF的．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A B，两点，线段AB的中点为N，且AB MN＝．求l的方程．【答案】（1）22182x y+=；（2）2y x=+【解析】（1）由题意，可得23cac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得ac⎧=⎪⎨=⎪⎩，则222=2b a c=-，故椭圆C的方程为22182x y+=．（2）当l 的斜率不存在时，=2AB MN AB MN≠=，，，不合题意，故l的斜率存在．设l的方程为2y kx=+，联立221822x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(14)1680k x kx+++＝，设1122(()A x yB x y，)，，，则12122216k8,14k14kx x x x+=-=++，()222(16)3214128320k k k∆=-+=->即214k>，设00()N x y ，，则12028214x x kx k+==-+，120||||,0AB MN x =-=-Q0x =，即28||14k k =+整理得21124k =>．故k =，l 的方程为2y x =+．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标:若不存在，说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】（1）因为椭圆C 过点，所以221231a b +=，又抛物线的焦点为()2,0，所以2c =. 所以2212314a a +=-，解得23a =（舍去）或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r .①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-u u u u r ，(2,3)QN m =--u u u r，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-u u u u r u u u r ，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--u u u u r ，(4,0)QN m =-u u u r，由21351616QM QN m ⋅=-=-u u u u r u u u r ，解得114m =-或114m =.由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630kxk x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-•-=-++，所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫•=-•-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦点为F ，求证：MF AB ⊥.【答案】（1）240x y +-=（2）见证明【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.(2)设(4,)M t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y+=，因为(4,)M t 在两条切线上，114143x y t ⨯∴+=，224143x y t⨯+=，所以A ，B 两点均在直线4143x yt +=上，即直线AB 的方程为13tyx +=，当0t ≠时，3AB k t=-，又(1,0)F ，0413MF t t k -==-，313AB MF tk k t ⋅=-⨯=-，所以MF AB ⊥，若0t =，点(4,0)M 在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF AB ⊥.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若12AF F △．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由题意，当P 在上或下顶点时，12PF F ∆的面积取值最大值，即最大值为bc = 又12c a =，且222a c b =+，解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）易知()11,0F -，设直线l 的方程为1x my =-，()()()11220,,,,,0A x y B x y Q x ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(34)690m y my +--=，则122634my y m +=+，122934y y m =-+， ()()()()10120200212,,y QA QB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+u u u r u u u r()212001212x x x x x x y y =+-++，∵111x my =-，221x my =-，∴()()()2212121212215111134m x x my my m y y m y y m =--=+-+=-+， ()()()212122226112234m x x my my m y y m +=-+-=+-=-+， ∴222000222156912343434m m QA QB x x x m m m ⋅=-+-+-+++u u u r u u u r 2202281253434m x x m m +=+-++()222000231248534x m x x m -++-=+，要使QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值，则2200031248534x x x -+-=，解得0118x =-，所以在x 轴上存在点11,08Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值． 11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】(1) 24y x = (2)见解析【解析】（1）设(,)P x y ，则(1,)Q y -，QP QF FP FQ •=•u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y ∴+•-=-•-，即22(1)2(1)x x y +=--+，即24y x =，所以动点P 的轨迹的方程24y x =.（2）联立方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440ky y b -+=，依题意，0k ≠，且124y y k+=，124b y y k =，由12y y a -=得()2212124y y y y a +-=，即221616ba k k-=，整理得：221616kb a k -=，所以2216(1)a k kb =-，① 因为AB 的中点222,bk M k k -⎛⎫⎪⎝⎭，所以点212,D k k ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意， 122111||22BD bkS DM y y a k∆∆-=-=，由方程2440ky y b -+=中的判别式16160kb ∆=->，得10kb ->，所以2112ABD bkS a k∆-=••，由①知22116a k kb -=，所以23121632MBDa a S a ∆=••=，又a 为常数，故ABD S ∆的面积为定值. 12．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．【答案】(1) 24x y = (2)4 【解析】（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p=， ∴P （2，2p），2244OP p =+，点P 到准线的距离为22p d p =+， ∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24p =，∴2p =，∴抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，；设()()1122A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，∴121244x x k x x +==-，，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-，又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=，即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=，则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义:()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ；（2）证明:存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系. 【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】（1）因为8443(1)233PFk y x ==⇒=-. 联立方程24(1)1344Qy x x y x ⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩，则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P -，易得2()2a d P PF =-=，不妨设()1,P P y -，0P y >，直线:1PF x my =+，则2P my =-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my --=，2Q y m ==+()222212()||212221P P Q y m d P PF m y y m m m +-=-+=+++ 2212122m m m m m+-+=-+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()13224d P d P d P +-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++222131344242y y y y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =++++因为()222213134416y y y y ⎡⎤++-++⎣⎦22131224428y y y y =++-，又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ∆的面积.【答案】(1)2(2) 2ABC S b ∆=【解析】解：（1）根据题意可知2p =所以抛物线方程为24x y =则抛物线C 焦点为(0,1)F ，准线为1y =-；记点,P E 到抛物线C 准线的距离分别为12,d d ，故12||||||2PE PF PE d d +=+≥=，等号成立当且仅当PE 垂直于准线，故||||PE PF +的最小值为2（2）设()11,A x y ，()22,B x y由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为：y kx b =+将y kx b =+与24x y =联立得2440x kx b --=，由韦达定理得12124,4x x k x x b +==-，由()0,2M 到直线l 的距离为12d ==得：2244b b k -=，又||AB ==点O 到直线l 的距离为2d =所以2|ABC S b b ∆=== 15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：x=-12的距离与到点F （102，）的距离相等．（1）求曲线C 的方程；（2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （-1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，直线AB 的斜率为k ，证明：22212112k k k+-为定值．【答案】（1）y 2=2x ；（2）见解析【解析】（1）由条件可知，此曲线是焦点为F 的抛物线，p122=，p=1．∴抛物线的方程为y 2=2x ；（2）根据已知，设直线AB 的方程为y=k （x -1）（k ≠0），由()2y k x 1y 2x ⎧=-⎨=⎩，可得ky 2-2y -2k=0．设A （211y y 2，），B （222y y 2，），则122y y k +=，y 1y 2=-2． ∵1112211y2y k y y 212==++，2222222y 2y k y y 212==++． ∴22221222221212(y 2)(y 2)11k k 4y 4y +++=+=22222212212212(y 2)y (y 2)y 4y y +++ =()42422222122112122212y y y y 8y y 4y y 4y y ++++=()2221212128y y 32(y y )2y y 4162+++-+= =22482k 42k +=+．∴222121124k k k +-=．。

十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编：专题11 直线与圆 (含答案解析)

十年(2010-2019年)高考数学真题分类汇编专题11 直线与圆一、选择题1.(2019·全国2·理T11文T12)设F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5【答案】A【解析】如图,设PQ 与x 轴交于点A,由对称性可知PQ ⊥x 轴. ∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2.∴PA 为以OF 为直径的圆的半径,A 为圆心, ∴|OA|=c 2.∴P c 2,c2.又点P 在圆x 2+y 2=a 2上,∴c 24+c 24=a 2,即c 22=a 2, ∴e2=c 2a 2=2,∴e=√2,故选A.2.(2018·北京·理T7)在平面直角坐标系中,记d 为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m 变化时,d 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C【解析】设P(x,y),则{x =cosθ,y =sinθ,x 2+y 2=1.即点P 在单位圆上,点P 到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+2=1+2.当m=0时,d max =3.3.(2018·全国3·理T6文T8)直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8]C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]【答案】A【解析】设圆心到直线AB 的距离d=√2=2√2.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即√2≤d'≤3√2.又AB=2√2,∴S△ABP=12·|AB|·d'=√2d',∴2≤S△ABP≤6.4.(2016·山东·文T7)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离【答案】B【解析】圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=√1+1=√22a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2√R2-d2=2√a2-(√22a)2=√2a,由题意可得√2a=2√2,故a=2.而|MN|=√(1-0)2+(1-2)2=√2,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.(2016·全国2·理T4文T6)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-4B.-3C.√3D.2【答案】A【解析】圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,圆心坐标为(1,4).所以d=2=1,解得a=-43,故选A.6.(2015·全国2·理T7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.10【答案】C【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得{D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得{D=-2,E=4,F=-20.则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根, 由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√16+80=4√6.7.(2015·全国2·文T7)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.√213C.2√53D.43【答案】B【解析】由题意知,△ABC 外接圆的圆心是直线x=1与线段AB 垂直平分线的交点为P,而线段AB 垂直平分线的方程为y-√32=√33(x -12),它与x=1联立得圆心P 坐标为(1,2√33),则|OP|=√12+(2√33)2=√213.8.(2015·北京·文T2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2 【答案】D【解析】圆的半径r=√2 ,标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.9.(2015·广东·理T5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0 【答案】A【解析】设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m ≠1), 因为直线2x+y+m=0与圆x 2+y 2=5相切, 所以√5=√5,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.10.(2015·山东·理T9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-53或-35 B.-32或-23 C.-54或-45D.-43或-34【答案】D【解析】如图,作出点P(-2,-3)关于y 轴的对称点P 0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0. ∴圆心到直线的距离d=√1+k=1,解得k=-43或k=-34.11.(2015·重庆·理T8)已知直线l:x+ay-1=0(a ∈R)是圆C:x 2+y 2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|=( ) A.2 B.4√2 C.6 D.2√10【答案】C【解析】依题意,直线l 经过圆C 的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A 的坐标为(-4,-1).又圆C 的半径r=2,由△ABC 为直角三角形可得|AB|=√|AC |2-r 2. 又|AC|=2√10,所以|AB|=√(2√10)2-22=6.12.(2014·全国2·文T12)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是( ) A.[-1,1] B.[-12,12] C.[-√2,√2] D.[-√22,√22]【答案】A【解析】建立三角不等式,利用两点间距离公式找到x 0的取值范围.如图,过点M 作☉O 的切线,切点为N,连接ON.M 点的纵坐标为1,MN 与☉O 相切于点N. 设∠OMN=θ,则θ≥45°,即sin θ≥√22, 即ON OM ≥√22.而ON=1,∴OM≤√2.∵M 为(x 0,1),∴√x 02+1≤√2,∴x 02≤1,∴-1≤x 0≤1,∴x 0的取值范围为[-1,1].13.(2014·浙江·文T5)已知圆x 2+y 2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( ) A.-2B.-4C.-6D.-8【答案】B【解析】圆的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r=√2-a .圆心到直线x+y+2=0的距离d=√2=√2,又弦长为4,因此由勾股定理可得(√2)2+(42)2=(√2-a )2, 解得a=-4.故选B.14.(2014·安徽·文T6)过点P(-√3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.(0,π] B.(0,π] C.[0,π6] D.[0,π3]【答案】D【解析】设过点P 的直线方程为y=k(x+√3)-1,则由直线和圆有公共点知√3k √1+k ≤1,解得0≤k≤√3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0,π3].15.(2014·北京·文T7)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C 上存在点P,使得∠APB=90°,则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】因为A(-m,0),B(m,0)(m>0),所以使∠APB=90°的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O(0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C(3,4),半径为1. 由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点. 所以两圆的位置关系为外切、相交或内切, 故m-1≤|CO|≤m+1,即m-1≤5≤m+1,解得4≤m ≤6. 所以m 的最大值为6.故选B.16.(2014·四川·文T9)设m ∈R,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( ) A.[√5,2√5] B.[√10,2√5] C.[√10,4√5] D.[2√5,4√5]【答案】B【解析】由题意,得A(0,0),B(1,3),因为1×m+m×(-1)=0,所以两直线垂直,所以点P在以AB为直径的圆上,所以PA⊥PB.所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,设∠ABP=θ,则|PA|+|PB|=√10sin θ+√10cos θ=2√5sin(θ+π4).因为|PA|≥0,|PB|≥0,所以0≤θ≤π2.所以√10≤|PA|+|PB|≤2√5,故选B.17.(2013·重庆·理T7)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P 为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )A.5√2-4B.√17-1C.6-2√2D.√17【答案】A【解析】圆C1,C2的圆心分别为C1,C2,由题意知|PM|≥|PC1|-1,|PN|≥|PC2|-3,∴|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4,故所求值为|PC1|+|PC2|-4的最小值.又C1关于x轴对称的点为C3(2,-3),所以|PC1|+|PC2|-4的最小值为|C3C2|-4=√(2-3)2+(-3-4)2-4=5√2-4,故选A.18.(2013·湖南·理T8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )A.2B.1C.83D.43【答案】D【解析】以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示. 则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC的重心为D,则D点坐标为(43,43 ).设P点坐标为(m,0),则P点关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线BC方程为x+y-4=0,所以P点关于BC 的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上,∴k P 1D =k P 2D ,即4343+m=43-4+m 43-4, 解得,m=43或m=0.当m=0时,P 点与A 点重合, 故舍去.∴m=43.19.(2012·浙江·理T3)设a ∈R,则“a=1”是“直线l 1:ax+2y-1=0与直线l 2:x+(a+1)y+4=0平行”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】l 1与l 2平行的充要条件为a(a+1)=2×1且a×4≠1×(-1),可解得a=1或a=-2,故a=1是l 1∥l 2的充分不必要条件.20.(2010·安徽·文T4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 【答案】A【解析】设直线方程为x-2y+c=0,将点(1,0)代入,解得c=-1,故直线方程为x-2y-1=0. 二、填空题1.(2019·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y=x+4x (x>0)上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是 . 【答案】4【解析】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x 相切位置时,切点Q 即为点P 到直线x+y=0的最小距离的点,有y'=(x +4x )'=1-4x 2=-1(x>0),得x=√2(-√2舍). 此时y=√2√2=3√2,即切点Q(√2,3√2),则切点Q 到直线x+y=0的距离为d=√2+3√2|√1+1=4,即为所求最小值.2.(2019·天津·理T12)设a ∈R,直线ax-y+2=0和圆{x =2+2cosθ,y =1+2sinθ(θ为参数)相切,则a 的值为____.【答案】34【解析】由{x =2+2cosθ,y =1+2sinθ(θ为参数),得(x-2)2+(y-1)2=4, 圆心为(2,1),r=2. 由直线与圆相切,得√2=2,解得a=3.3.(2019·浙江·T12)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A(-2,-1),则m= ,r= . 【答案】-2 √5【解析】由题意知k AC =-12⇒AC:y+1=-12(x+2),把(0,m)代入得m=-2,此时r=|AC|=√4+1=√5. 4.(2018·天津·文T12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 【答案】x 2+y 2-2x=0【解析】画出示意图如图所示,则△OAB 为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x=0.5.(2018·全国1·文T15)直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A,B 两点,则|AB|= . 【答案】2【解析】圆的方程可化为x 2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=√2=√2,所以弦长|AB|=2√r 2-d 2=2√4-2=2√2.6.(2018·天津·理T12)已知圆x 2+y 2-2x=0的圆心为C, 直线{x =-1+√22t ,y =3-√22t (t 为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC 的面积为_____________. 【答案】12【解析】圆C 的方程可化为(x-1)2+y 2=1,得圆心为C(1,0),半径为1.由{x =-1+√22t ,y =3-√22t(t 为参数),可得直线的普通方程为x+y-2=0.所以圆心C(1,0)到直线x+y-2=0的距离d=√1+1=√22.所以|AB|=2√1-(√22)2=√2. 所以S △ABC =12·|AB|·d=12×√2×√22=12.7.(2016·全国1·文T15)设直线y=x+2a 与圆C:x 2+y 2-2ay-2=0相交于A,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 . 【答案】4π【解析】圆C 的方程可化为x 2+(y-a)2=2+a 2,直线方程为x-y+2a=0, 所以圆心坐标为(0,a),半径r 2=a 2+2,圆心到直线的距离d=√2.由已知(√3)2+a 22=a 2+2,解得a 2=2,故圆C 的面积为π(2+a 2)=4π.8.(2016·上海·理T3)已知平行直线l 1:2x+y-1=0,l 2:2x+y+1=0,则l 1,l 2的距离是 . 【答案】2√55 【解析】d=12√A +B =√2+1=2√55.9.(2016·浙江·文T10)已知a ∈R,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .【答案】(-2,-4) 5【解析】由题意,可得a 2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x 2+y 2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x 2+4y 2+4x+8y+10=0,(x +12)2+(y+1)2=-54不表示圆.10.(2016·天津·文T12)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为4√55,则圆C 的方程为 . 【答案】(x-2)2+y 2=9【解析】设圆心C 的坐标为(a,0)(a>0),√5=4√55⇒a=2.又点M(0,√5)在圆C 上,则圆C 的半径r=√22+5=3.故圆C 的方程为(x-2)2+y 2=9.11.(2016·全国3·理T16文T15)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .【答案】4【解析】因为|AB|=2√3,且圆的半径R=2√3,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-√3=0的距离为√R 2-(|AB |2)2=3.由√3|2=3,解得m=-√33.将其代入直线l 的方程,得y=√33x+2√3,即直线l 的倾斜角为30°. 由平面几何知识知在梯形ABDC 中, |CD|=|AB |cos30°=4. 12.(2015·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】(x-1)2+y 2=2【解析】(方法一)设A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P 的直线系方程.当直线与AP 垂直时,所求圆的半径最大.此时,半径为|AP|=√(2-1)2+(-1-0)2=√2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y 2=2.(方法二)设圆的半径为r,根据直线与圆相切的关系得r=√2=√m 2+2m+1m 2+1=√1+2mm 2+1,当m<0时,1+2m m 2+1<1,故1+2mm 2+1无最大值; 当m=0时,r=1;当m>0时,m 2+1≥2m(当且仅当m=1时取等号). 所以r≤√1+1=√2,即r max =√2, 故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y 2=2. 13.(2015·全国1·理T14)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为___________. 【答案】(x -32)2+y 2=254【解析】由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以√(a -0)2+(0-2)2=4-a,解得a=32,故圆心为(32,0),此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是(x -3)2+y 2=25.14.(2014·重庆·理T13)已知直线ax+y-2=0与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a= . 【答案】4±√15【解析】由△ABC 为等边三角形可得,C 到AB 的距离为√3,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d=2=√3,即a 2-8a+1=0,可求得a=4±√15.15.(2014·陕西·理T12)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x 对称,则圆C 的标准方程为 .【答案】x 2+(y-1)2=1【解析】因为(1,0)关于y=x 的对称点为(0,1),所以圆C 是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆,其方程为x 2+(y-1)2=1.16.(2011·浙江·文T12)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= . 【答案】1【解析】由题意知1×2+(-2)·m=0,即m=1.17.(2010·全国·理T15)过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C 的方程为 . 【答案】(x-3)2+y 2=2【解析】由题意知A,B 两点在圆C 上, ∴线段AB 的垂直平分线x=3过圆心C. 又圆C 与直线y=x-1相切于点B(2,1), ∴k BC =-1.∴直线BC 的方程为y-1=-(x-2), 即y=-x+3.y=-x+3与x=3联立得圆心C 的坐标为(3,0),∴r=|BC|=√(3-2)2+(0-1)2=√2.∴圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2.18.(2010·全国·文T13)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为 . 【答案】x 2+y 2=2【解析】圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离R=√1+1=√2.∴圆的方程为x 2+y 2=2.三、计算题1.(2015·全国1·文T20)已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 【解析】(1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1. 因为l 与C 交于两点, 所以√1+k <1.解得4-√73<k<4+√73.所以k 的取值范围为(4-√73,4+√73). (2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k 2)x 2-4(1+k)x+7=0. 所以x 1+x 2=4(1+k )1+k2,x 1x 2=71+k2.OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k2+8.由题设可得4k (1+k )1+k2+8=12,解得k=1,所以l 的方程为y=x+1. 故圆心C 在l 上,所以|MN|=2.2.(2015·广东·理T20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】(1)由x 2+y 2-6x+5=0,得(x-3)2+y 2=4, 从而可知圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M(x,y), 由弦的性质可知C 1M ⊥AB,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C (32,0),半径r=12|OC 1|=12×3=32,其方程为(x -32)2+y 2=(32)2,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内,所以√(x -3)2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>53.易知x≤3,所以53<x≤3. 所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0(53<x ≤3). (3)存在实数k 满足题意. 由(2)知点M 的轨迹是以C (32,0)为圆心,32为半径的圆弧EF ⏜(如图所示,不包括两个端点),且E (53,2√53),F (53,-2√53).又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0), 当直线L 与圆C 相切时,由|k (32-4)-0|√k +1=32,得k=±34.又k DE =-k DF =-0-(-2√53)4-53=2√5,结合上图可知当k ∈{-3,3}∪[-2√5,2√5]时,直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点.3.(2014·全国1·文T20)已知点P(2,2),圆C:x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积. 【解析】设M(x,y),则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-4),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x,2-y). 由题设知CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心,√2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM. 因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为-13,故l 的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=2√2,O 到l 的距离为4√105,|PM|=4√105,所以△POM 的面积为165.4.(2013·江苏·T17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C 的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.【解析】(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,√k+1=1,解得k=0或k=-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点M(x,y),因为MA=2MO,所以√x2+(y-3)2=2√x2+y2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1, 即1≤√a2+(2a-3)2≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤125.所以点C的横坐标a的取值范围为[0,125].。

十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题10平面解析几何选择填空题文(含解析)

∪[4，+∞）【解答】解：假设椭圆的焦点在 x 轴上，则 0＜m＜3 时，
C．（0，1]∪[4，+∞） D．（0， ]
设椭圆的方程为：
（a＞b＞0），设 A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），y＞0，
则 a2﹣x2
，
∠MAB＝α，∠MBA＝β，∠AMB＝γ，tanα
，tanβ
，
则 tanγ ＝ tan[π ﹣ （ α+β ） ] ＝ ﹣ tan （ α+β ）
，
∴e
．
故选：D． 2．【2019 年新课标 1 文科 12】已知椭圆 C 的焦点为 F1（﹣1，0），F2（1，0），过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的方程为（）
A． y2＝1
B．
1
C．
1
D．
1
【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，
∴△APF 的面积 S 丨 AP 丨×丨 PF 丨，
3
同理当 y＜0 时，则△APF 的面积 S ，故选：D．
5．【2017 年新课标 1 文科 12】设 A，B 是椭圆 C：
1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB
＝120°，则 m 的取值范围是（
）
A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0， ]∪[9，+∞）
1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，
点 A 的坐标是（1，3），则△APF 的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由双曲线 C：x2

高中数学-平面解析几何(选择题、填空题) (解析版)

平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若，，则C 的方程为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B ．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得121,01,0F F -()，()22||2||AF F B =1||||AB BF =2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=1AF B △22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅12AF F △2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=12AF F △12BF F △2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩2121,AF F BF F ∠∠2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=2121cos cos AF F BF F ∠∠,，解得．所求椭圆方程为，故选B ．解析：本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D ．解析：本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P ，Q 两点．若，则C 的离心率为ABC．2D 【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，∴，， 223611n n +=n =22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=2231x y pp+=22(0)y px p =>(,0)2p 2231x y p p +=23()2p p p -=8p =p p 2p =22221(0,0)x y a b a b-=>>O OF 222x y a +=PQ OF =PQ x A PQ x ⊥||PQ OF c ==||,2cPA PA ∴=∴OF ||2c OA =,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭又点在圆上，，即．A ．解析：本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若，则△PFO 的面积为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由，又P 在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，故选A ． P 222x y a +=22244c c a ∴+=22222,22cc a e a =∴==e ∴=2242x y -=PO PF 422,,a b c ====,P PO PF x =∴=b y x a =222P P b y x a =⋅==11224PFO P S OF y ∴=⋅==△解析：本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆（a ＞b ＞0）的离心率为，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B.解析：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】由得，，， 2222 1x y a b+=122221,2c e c a b a ===-2234a b =,,a b c 221||x y x y +=+221x y x y +=+221y x y x -=-2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔所以可取的整数有0，−1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离结论②正确.如图所示，易知，四边形的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.解析：本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为 ABC ．Dx 22:1C x y x y +=+221x y x y +=+222212x y x y +++…222x y +≤C ()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -ABCD 13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=四边形2ABCD S 四边形24y x =F l l 22221(0,0)x y a b a b-=>>A B ||4||AB OF =O 2【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，∴，，， ∴.故选D.解析：本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 AB ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率故选C. 解析：本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9．【2018年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C 【解析】P 为单位圆上一点，而直线过点A （2，0），所以d 的最24y x =l 1x =-by x a=±(1,),(1,)b b A B a a ---2b AB a =24ba=2b a =c e a a===4AB OF =,,a b c 0x y ±=a b =c ==ce a==a b =20x my --=22cos sin 1θθ+=∴，20x my --=大值为OA +1=2+1=3,故选C.解析：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．10．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，,则. 点P 在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离故点P 到直线的距离的范围为，则. 故答案为A.解析：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.11．【2017年高考浙江卷】椭圆的离心率是ABC ．D ．【答案】B【解析】椭圆的离心率，故选B ．解析：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．12．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知，是椭圆的左、右焦点，是的左20x y ++=x y A B P 22(2)2x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣20x y ++=x y A B ()()2,0,0,2A B ∴--AB =22(2)2x y -+=∴1d ==20x y ++=2d []2212,62ABP S AB d ==∈△AB ，22194x y +=235922194x y +=e =,,a b c ,,a b c b ,a c ,,a b c 1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】因为为等腰三角形，，所以，由所以，，由正弦定理得，所以，所以，，故选D ．解析：解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.13．【2017年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆C ：的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线相切，则C 的离心率为 ABC ． D．【答案】AP A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 2312131412PF F △12120F F P ∠=︒212||2||PF F F c ==AP 2tan PAF ∠=2sin PAF ∠=2cos PAF ∠=2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠2225sin()3c a c PAF ==+-∠4a c =14e =22220)1(x y a ba b +=>>20bx ay ab -+=313【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A ．解析：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).14．【2018年高考浙江卷】双曲线的焦点坐标是A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0) D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设的焦点坐标为，因为，，所以焦点坐标为，故选B ．15．【2017年高考天津卷理数】已知双曲线的左焦点为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．B ．C ．D ．12A A (0,0)r a =222x y a +=20bx ay ab -+=d a ==223a b =2223()a a c =-2223a c =22223c e a ==c e a ===ca2213x y -=2213x y -=(,0)c ±222314c a b =+=+=2c =(2,0)±22221(0,0)x y a b a b-=>>F F (0,4)P 22144x y -=22188x y -=22148x y -=22184x y -=【答案】B【解析】由题意得，故选B ．解析：利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程（组），解方程（组）求出的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为，②与共渐近线的双曲线可设为，③等轴双曲线可设为．16．【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为，所以因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选A ． 17．【2017年高考全国Ⅱ理数】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 A ．2 BCD【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，2240,14,10()88xy a b c ab c -==⇒===⇒-=--,,a b c ,a b 221(0)mx ny mn -=>22221x y a b-=2222x y a b -(0)λλ=≠22(0)x y λλ-=≠22221(0,0)x y a b a b-=>>y =y =y x =y x =c e a ==2222221312b c a e a a-==-=-=b a =by x a=±y =:C 22221x y a b-=0a >0b >()2224x y -+=C ()222210,0x y a b a b-=>>0bx ay ±=()2,0d ==则点到直线的距离为，整理可得，则双曲线的离心率．故选A ．解析：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．18．【2017年高考全国III 理数】已知双曲线C：(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C 的方程为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】双曲线C ：(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为，在椭圆中：，，故双曲线C 的焦点坐标为，据此可得双曲线中的方程组：，解得，则双曲线的方程为．故选B ．解析：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方()2,00bx ay +=2bd c===2224()3c a c -=224c a =2e ===c e a=22221x y a b-=2y x =221123x y +=221810x y -=22145x y -=22154x y -=22143x y -=22221x y a b -=by x a=±2212,3a b ==2229,3c a b c ∴=-==(3,0)±2223,b c c a b a ===+224,5a b ==C 2145x y 2-=程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.19．【2018年高考全国III 理数】设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 AB ． CD【答案】C【解析】由题可知，，，在中，，在中，，，即，C ．20．【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则= A ．5 B ．6 C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立得，消元整理得：，解得，又，所以，()2220x y a bλλ2-=≠1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>O 2F C P 1|||PF OP =C 22PF b =2OF c =PO a ∴=2Rt POF △222cos PF bPF O OF c∠==12Rt PF F △22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==b c=223c a =e ∴=23FM FN ⋅23()223y x =+()22234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2680y y -+=()()1,2,4,4M N ()1,0F ()()0,2,3,4FM FN ==从而可以求得，故选D.解析：该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果.21．【2017年高考全国I 理数】已知F 为抛物线C ：的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．10【答案】A【解析】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号．故选A ．解析：对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以． 03248FM FN ⋅=⨯+⨯=()()1,2,4,4M N ()1,0F 24y x =11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y 1l 1(1)y k x =-214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212124k k +=2l 22342224k x x k ++=2112342124||||2k AB DE x x x x p k ++=++++=+2222244k k ++=2212448k k ++≥816=121k k =-=1-α22||sin pAB α=2222||πcos sin (+)2p pDE αα==222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=22．【2018年高考全国I 理数】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则 A ．B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线的渐近线的斜率为，且右焦点为，从而可得，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，，所以，故选B． 23．【2018年高考天津卷理数】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A ．B．C ．D ．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c >0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，22:13x C y -=O F C F C M N OMN △||MN =32C (2,0)F 30FON ∠=︒MN 60︒120︒60︒MN 2)y x =-3y x =3y x =-M 3(,22N -||3MN ==22221(0,0)x y a b a b-=>>1d 2d 126d d +=221412x y -=221124x y -=22139x y -=22193x y -=(),0F c A B x x c ==22221c y a b -=2b y a=±22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0bx ay -=据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择C 选项.解析：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得A ,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.24．【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C 相切于点，则=___________，=___________．【答案】【解析】由题意可知，把代入直线AC 的方程得，此时解析：本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.25．【2019年高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知， 21bc b d c -==22bc b d c +==12226bcd d b c+===23,9b b ==2c e a ====23a =22139x y -=()22220x y a bλλ-=≠C (0,)m r 230x y -+=(2,1)A --m r 2-11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+(0,)m 2m =-||r AC ===AC (0,)m m 22195x y +=F P x PF O OF PF ||=|2OF OM |=c =由中位线定理可得，设，可得，与方程联立，可解得（舍），又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，由中位线定理可得，即，从而可求得，所以解析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.26．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设为椭圆C :的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】【解析】由已知可得，12||4PF OM ==(,)P x y 22(2)16x y -+=22195x y +=321,22x x =-=P x 3,22P ⎛- ⎝⎭212PFk ==|2OF |=|OM |=c =12||4PF OM ==342p p a ex x -=⇒=-3,22P ⎛- ⎝⎭212PF k ==12F F ，22+13620x y=12MF F △(2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，∴．设点的坐标为，则，又，，解得（舍去），的坐标为．解析：本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.27．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若，，则C 的离心率为____________．【答案】2 【解析】如图，由得又得OA 是三角形的中位线，即由，得∴，，又OA 与OB 都是渐近线，∴又，∴11228MF F F c ∴===24MF =M ()()0000,0,0x y x y >>121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△1201442MF F S y =⨯=∴=△0y 22013620x ∴+=03x =03x =-M \(12MF MF 、M M 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F A AB =120F B F B ⋅=1,F A AB =1.F A AB =12,OF OF =12F F B 22,2.BF OA BF OA =∥120F B F B ⋅=121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥1OB OF =1AOB AOF ∠=∠21,BOF AOF ∠=∠21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为∴该双曲线的离心率为．解析：本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到和，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由. 28．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ . 【答案】【解析】由已知得，解得，因为，所以因为，所以双曲线的渐近线方程为.解析：双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 29．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由，得，，则切点Q 到直线x +y =0，故答案为．解析：本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法tan 60b a =︒=2c e a ====1F A AB =1OA F A ⊥1AOB AOF ∠=∠21,BOF AOF ∠=∠2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=tan 60ba=︒=xOy 2221(0)y x b b-=>y =222431b-=b =b =0b >b =1a =y =,a b xOy 4(0)y x x x=+>4y x x=+2411y x '=-=-)x x ==y =Q 4=4和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.30．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，A 为直线上在第一象限内的点，，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以解析：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足=2，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】【解析】设，，由得，，所以，因为，在椭圆上，所以，，所以，所以，与对应相减得，， xOy :2l y x =(5,0)B 0AB CD ⋅=(),2(0)A a a a >C AB 5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭()()():520C x x a y y a --+-=2y x =D 1,D x =()1,2D ()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭0AB CD ⋅=()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭1a =-0a > 3.a =24x AP PB 511(,)A x y 22(,)B x y 2AP PB =122x x -=1212(1)y y -=-1223y y -=-A B 22114x y m +=22224x y m +=22224(23)4x y m +-=224x +22324()m y -=22224x y m +=234m y +=2221(109)44x m m =--+≤当且仅当时取最大值．解析：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.32．【2017年高考北京卷理数】若双曲线，则实数m =_______________．【答案】2【解析】，所以．解析：本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系，即，以及当焦点在轴时，哪些量表示，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.33．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点，则其离心率的值是________________．【答案】【解析】因为双曲线的焦点到渐近线，即，所以，因此，，． 34．【2018年高考北京卷理数】已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为________________；双曲线的离心率为________________．【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆的离心率为．双曲线的渐近线方程为，由题意得双曲线5m=221y x m-=221,ab m ==c a ==2m =a b c 222c a b =+x 22,a b xOy 22221(0,0)x y a b a b-=>>(,0)F c 2(,0)F c by x a =±0bx ay ±=bc b c ==b =2222223144a c b c c c =-=-=12a c =2e =2222:1(0)x y M a b a b +=>>2222:1x y N m n-=NM M M N 12c 2c a =M 1c a ==N ny x m=±的一条渐近线的倾斜角为，所以，所以，所以．35．【2017年高考山东卷理数】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_____________．【答案】【解析】由抛物线定义可得：, 因为,所以渐近线方程为. 解析：1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．36．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，则四边形的面积是_______________．【答案】【解析】右准线方程为， N π3222πtan 33n m ==222222234m n m m e m m ++===2e =xOy 22221(0,0)x y a b a b-=>>F ()220x px p =>,A B 4AF BF OF +=2y x =±||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩222A B pb y y p a a +==⇒=⇒y x =122=+By Ax 0>A 0>B B A ≠0<AB xOy 2213x y -=P Q 12,F F 12F PF Q x ==y =±设，则，，，所以四边形的面积解析：（1）已知双曲线方程求渐近线：；（2）已知渐近线可设双曲线方程为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点．37．【2017年高考全国I 理数】已知双曲线C ：的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为_______________．【解析】如图所示，作，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，，而，所以，点到直线的距离，在中，，代入计算得，即，P Q 1(F2F 12F PF Q 10S ==22221(0,0)x y a b a b -=>>22220x y by x a b a-=⇒=±y mx =222(0)m x y λλ-=≠b 22221(0,0)x y a b a b-=>>AP MN ⊥MN by x a=(,0)A a ||||AM AN b ==AP MN ⊥30PAN ∠=(,0)A a by x a=||AP =Rt PAN △||cos ||PA PAN NA ∠=223a b =a =由得，所以．解析：双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是；③双曲线的顶点到渐近线的距离是. 38．【2017年高考全国II 理数】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_______________．【答案】【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．解析：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．39．【2018年高考全国Ⅲ理数】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【答案】2222c a b =+2c b=c e a ===b ab cF :C 28y x =M C FM yN M FN FN =6x F'MB l ⊥B NA l ⊥A 2x =-||2,||4AN FF'==ANFF'||||||32AN FF'BM +==||||3MF MB ==||||3MN MF ==336FN FM NM =+=+=()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB ∠=︒k =【解析】设，则，所以，所以. 取AB 中点,分别过点A ,B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为，设F 为的焦点. 因为,所以. 因为为AB 中点，所以平行于x 轴.因为M (−1,1)，所以，则，即. 故答案为2.解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB 中点,分别过点A ,B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率.()()1122,,,A x y B x y 21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩22121244y y x x -=-1212124y y k x x y y -==-+()00M x y ',1x =-,A B ''C 90AMB ︒∠=()()111222MM AB AF BF AA BB ''==++'=M 'MM '01y =122y y +=2k =()()1122,,,A x y B x y 1212124y y k x x y y -==-+()00M x y ',1x =-,A B ''()12MM AA BB '=''+。

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题09 立体几何与空间向量选择填空题(新课标Ⅰ卷)(解析版

专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π【解答】解：如图，由P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G，则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，∵E，F分别是P A，AB的中点，∴EF∥PB，又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面P AC，∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为D．半径为，则球O的体积为．故选：D．2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3 D．2【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：2．故选：B．3．【2018年新课标1理科12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，α截此正方体所得截面最大值为：6．故选：A．4．【2017年新课标1理科07】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形2×（2+4）＝6，∴这些梯形的面积之和为6×2＝12，故选：B．5．【2016年新课标1理科06】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：，R＝2．它的表面积是：4π•2217π．故选：A．6．【2016年新课标1理科11】平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD ＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA1B1＝n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．7．【2015年新课标1理科06】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r，故米堆的体积为π×（）2×5，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴ 1.62≈22，故选：B．8．【2015年新课标1理科11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r＝（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：4πr2πr22r×2πr+2r×2rπr2＝5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2＝16+20π，解得r＝2，故选：B．9．【2014年新课标1理科12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6 C．4D．4【解答】解：几何体的直观图如图：AB＝4，BD＝4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC6，AD＝4，显然AC最长．长为6．故选：B．10．【2013年新课标1理科06】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2＝（R﹣2）2+42，解出R＝5，∴根据球的体积公式，该球的体积V．故选：A．11．【2013年新课标1理科08】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积＝4×2×2＝16，半个圆柱的体积22×π×4＝8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．12．【2012年新课标1理科07】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V6×3×3＝9．故选：B．13．【2012年新课标1理科11】已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1，∴OO1，∴高SD＝2OO1，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC，∴V三棱锥S﹣ABC．故选：C．14．【2011年新课标1理科06】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D．15．【2010年新课标1理科10】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa2【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选：B．16．【2017年新课标1理科16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△F AB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△F AB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG＝，则BC＝2，DG＝5﹣，三棱锥的高h，3，则V，令f（）＝254﹣105，∈（0，），f′（）＝1003﹣504，令f′（）≥0，即4﹣23≤0，解得≤2，则f（）≤f（2）＝80，∴V4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为，则OG，∴FG＝SG＝5，SO＝h，∴三棱锥的体积V，令b（）＝54，则，令b′（）＝0，则430，解得＝4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．17．【2011年新课标1理科15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：8．故答案为：818．【2010年新课标1理科14】正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在四棱锥P ABCD -中，所有侧棱都为42，底面是边长为26的正方形，O 是P 在平面ABCD 内的射影，M 是PC 的中点，则异面直线OP 与BM 所成角为（） A ．30o B ．45oC ．60oD ．90o【答案】C 【解析】由题可知O 是正方形ABCD 的中心，取N 为OC 的中点，所以OP MN P ，则BMN ∠是异面直线OP 与BM 所成的角. 因为OP ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥平面ABCD ，因为在四棱锥P ABCD -中，所有侧棱都为42，底面是边长为26的正方形，所以23OC =，所以321225OP =-=，因此5MN =，又在PBC ∆中，2223232245cos 22328PB PC BC BPC PB PC +-+-∠===•⨯，所以22252cos 32824222208BM PB PM PB PM BPC =+-••∠=+-⨯⨯⨯=，即25BM =，所以1cos 2MN BMN MB ∠==，则异面直线OP 与BM 所成的角为60o . 故选C2．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A ．若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβPB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβPC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m αP ，n β⊥，则αβ⊥ 【答案】B 【解析】A 选项，若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP 或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP ，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m αP ，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故D 错；故选B3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（） A ．1 B ．2C ．2D ．3 【答案】D 【解析】作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，根据面面垂直的性质定理，可得11,MM NN ,都垂直于平面ABCD ，由线面垂直的性质，可知11MM NN P ，易知：1111//M M A N N ACC 平面，由面面平行的性质定理可知：//11M N AC ，设11DM DN x ==，在直角梯形11MM N N 中，222211(2)(12)633MN x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，当13x =时，||MN 的最小值为33，故本题选D.4．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．3B ．23C ．3D ．3【答案】A 【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：故：V 11321332=⨯⨯⨯=．故选：A ．5．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，2PA AB ==，则球O 的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π【答案】C 【解析】解：∵正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，P A ＝AB ＝2， ∴连结AC ，BD ，交于点O ，连结PO ，则PO ⊥面ABCD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD 221122222AC ==+=， OP 22422PB OB =-=-=，∴O 是球心，球O 的半径r 2=，∴球O 的表面积为S ＝4πr 2＝8π．故选：C ．6．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（） A ．4 B 29C ．223D ．17【答案】B 【解析】设长方体的三条棱的长分别为：,,x y z ，则2()524()36xy yz zx x y z ++=⎧⎨++=⎩，22222()2()95229x y z x y z xy yz zx ++=++-++=-=．故选：B ．7．如图所示，边长为a 的空间四边形ABCD 中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD ，则异面直线AD 与BC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴BD＝2a，∴∠BAD＝90°，取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝22a，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，由题意得AE＝a，ED＝a，∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．故选：C．8．鲁班锁起于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为A ．334000mmB ．333000mmC ．332000mmD ．330000mm【答案】C 【解析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V ＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm 3）．故选：C ．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积( )A ．与,x y 都有关B ．与,x y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】B 【解析】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，又AO∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O AEF -的体积与,x y 都无关，选B 。

2010-2019“十年高考”数学真题分类汇总直线与圆 (可下载)

2010-2019“十年高考”数学真题分类汇总解析几何——直线与圆（附详细答案解析）1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β。

图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β（B ）4β+4sin β（C ）2β+2cos β（D ）2β+2sin β【答案】（B）.【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧 AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-.此时阴影部分面积BOP AOP AOB S S S S ∆∆++=扇形()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=βπβsin 2221222212ββsin 44+=.故选B.2.（2019北京文11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】()2214x y -+=.【解析】24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，故符合条件的圆为()2214x y -+=.3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当︒<∠90OBP 时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当︒≥∠90OBP 时，对线段PB 上任意一点F ，OB OF ≥，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ==此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，∴直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+- .在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+4.（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r 。

2010-2019年十年高考数学真题分类汇编.docx

A．1
B．2
C．3
D．4
31（. 2017Ⅲ理 1）已知集合 A = (x, y) x2 + y2 = 1 ，B = (x, y) y = x ，则 A I B 中元素的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
32.（2018Ⅰ文 1）已知集合 A = 0，2 ， B = -2，-1，0，1，2 ，则 A I B = ( )
A．（-14，16）
B．（-14，20）
C．（-12，18）
D．（-12，20）
x-3 2.（2010Ⅱ文 2）不等式 0 的解集为( )
x+2
A．{x｜-2< x<3} B．{ x｜x<-2}
C．{ x｜x<-2,或 x>3} D．{ x∣x>3}
x -1
3.(2010Ⅱ文
5
理
3）若变量
x，y
1.集合
1.（2010Ⅰ文理 1）已知集合 A = x | x 2，x R，B = x | x 4，x Z ,则 A I B ＝( )
A．（0，2）
B．[0，2]
C．{0，2}
D．{0，1，2}
2.（2010Ⅱ文 1）设全集 U= x N * | x 6 ,集合 A＝{1，3}，B＝{3，5}，则 CU A U B ＝( )
A．{-1，0}
B．{0，1}
C．{-1，0，1}
D．{0，1，2}
20.（2016Ⅰ文 1）设集合 A={1，3，5，7}，B＝{x| 2 x 5}，则 A∩B=( )
A．{1,3}
B．{3,5}
C．{5,7}
D．{1,7}
21.（2016Ⅰ理 1）设集合 A＝{x|x2－4x+3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则 A I B = ( )

十年高考数学试卷汇编(10~19年选择题和填空题部分)

全国卷•十年高考（选择填空题部分）2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (2)2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (6)2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (9)2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (13)2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (16)2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (19)2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (22)2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (26)2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (30)2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (33)2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2019•新课标Ⅰ）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．（2019•新课标Ⅰ）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1 3．（2019•新课标Ⅰ）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（2019•新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 5．（2019•新课标Ⅰ）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（2019•新课标Ⅰ）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（2019•新课标Ⅰ）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）（2019•新课标Ⅰ）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1 B．+＝1C．+＝1 D．+＝111．（2019•新课标Ⅰ）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（2019•新课标Ⅰ）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题10 平面解析几何选择填空题-领军高考数学(文)十年真题(2010-2019)深度思考(北京卷)(解析版)

）
A．7
B．6
C．5
D．4
【解答】解：圆 C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1 的圆心 C（3，4），半径为 1，
∵圆心 C 到 O（0，0）的距离为 5，
∴圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6．
再由∠APB＝90°可得，以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点，
可得 PO AB＝m，故有 m≤6，故选：B．
历年高考真题汇编
1．【2019 年北京文科 05】已知双曲线 y2＝1（a＞0）的离心率是，则 a＝（）
A．
B．4
C．2
D．
【解答】解：由双曲线 y2＝1（a＞0），得 b2＝1，
又e
，得
，即
，
1
解得
，a ．
故选：D．
2．【2016 年北京文科 05】圆（x+1）2+y2＝2 的圆心到直线 y＝x+3 的距离为（
积为 2 的点 C 的个数为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【解答】解：设 C（a，a2），由已知得直线 AB 的方程为
，即：x+y﹣2＝0
点 C 到直线 AB 的距离为：d
，
有三角形 ABC 的面积为 2 可得：
|a+a2﹣2|＝2
3
得：a2+a＝0 或 a2+a﹣4＝0，显然方程共有四个根，可知函数 y＝x2 的图象上存在四个点（如上面图中四个点 C1，C2，C3，C4）使得△ABC 的面积为 2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故选：A．
7．【2019 年北京文科 11】设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为．

专题12 平面解析几何解答题-高考数学(理)十年真题(2010-2019)深度思考(新课标Ⅰ卷)(解析版)

专题12平面解析几何解答题历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科19】已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若3，求|AB|．【解答】解：（1）设直线l的方程为y（x﹣t），将其代入抛物线y2＝3x得：x2﹣（t+3）x t2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x22t，①，x1x2＝t2②，由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝2t4，解得t，直线l的方程为y x．（2）若3，则y1＝﹣3y2，∴（x1﹣t）＝﹣3（x2﹣t），化简得x1＝﹣3x2+4t，③由①②③解得t＝1，x1＝3，x2，∴|AB|．2．【2018年新课标1理科19】设椭圆C：y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．【解答】解：（1）c1，∴F（1，0），∵l与x轴垂直，∴x＝1，由，解得或，∴A（1.），或（1，），∴直线AM的方程为y x，y x，证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2，直线MA，MB的斜率之和为k MA，k MB之和为k MA+k MB，由y1＝kx1﹣k，y2＝kx2﹣k得k MA+k MB，将y＝k（x﹣1）代入y2＝1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，∴x1+x2，x1x2，∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）＝0从而k MA+k MB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，∴∠OMA＝∠OMB，综上∠OMA＝∠OMB．3．【2017年新课标1理科20】已知椭圆C：1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2＝4，b2＝1，∴椭圆C的方程为1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x＝m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴1，解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y＝kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，，x1x2，则1，又t≠1，∴t＝﹣2k﹣1，此时△＝﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y＝kx﹣2k﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．4．【2016年新课标1理科20】设圆x2+y2+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15＝0即为（x+1）2+y2＝16，可得圆心A（﹣1，0），半径r＝4，由BE∥AC，可得∠C＝∠EBD，由AC＝AD，可得∠D＝∠C，即为∠D＝∠EBD，即有EB＝ED，则|EA|+|EB|＝|EA|+|ED|＝|AD|＝4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a＝4，即a＝2，c＝1，b，则点E的轨迹方程为1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：1，设直线l：x＝my+1，由PQ⊥l，设PQ：y＝﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2，y1y2，则|MN|•|y1﹣y2|••12•，A到PQ的距离为d，|PQ|＝22，则四边形MPNQ面积为S|PQ|•|MN|••12•＝24•24，当m＝0时，S取得最小值12，又0，可得S＜24•8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．5．【2015年新课标1理科20】在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：y＝kx+a（a＞0）交于M，N 两点．（Ⅰ）当k＝0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？（说明理由）【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y可得：y′，∴曲线C在M点处的切线斜率为，其切线方程为：y﹣a，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM＝∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4a．∴k1+k2．当b＝﹣a时，k1+k2＝0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM＝∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．6．【2014年新课标1理科20】已知点A（0，﹣2），椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得，所以a＝2b2＝a2﹣c2＝1，故E的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y＝kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，当△＝16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积，设，则t＞0，，当且仅当t＝2，k＝±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y x﹣2或y x﹣2．…7．【2013年新课标1理科20】已知圆M：（x+1）2+y2＝1，圆N：（x﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2＝1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2＝9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝R+1+（3﹣R）＝4，而|NM|＝2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|＝2R﹣2≤3﹣1＝2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R＝2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2＝4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y＝k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8＝0．∴，．∴|AB|由于对称性可知：当时，也有|AB|．综上可知：|AB|或．8．【2012年新课标1理科20】设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n 距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|＝2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD，∴，解得p＝2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2＝8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．9．【2011年新课标1理科20】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y＝﹣3上，M 点满足∥，•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所（﹣x，﹣1﹣y），（0，﹣3﹣y），（x，﹣2）．再由题意可知（）•0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）＝0．所以曲线C的方程式为y2．（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y2上一点，因为y′x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02＝0．则o点到l的距离d．又y02，所以d2，所以x02＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．10．【2011年新课标1理科22】如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m＝4，n＝6时，方程x2﹣14x+mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12．故AD＝2，AB＝12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF（12﹣2）＝5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为511．【2010年新课标1理科20】设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|P A|＝|PB|，求E的方程．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y＝x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）＝0则因为直线AB 斜率为1，|AB ||x 1﹣x 2|，得，故a 2＝2b 2所以E 的离心率（II ）设AB 的中点为N （x 0，y 0），由（I ）知，．由|P A |＝|PB |，得k PN ＝﹣1，即得c ＝3，从而故椭圆E 的方程为．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点⎝⎭.（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.【答案】（1）22113y x +=；（2）见解析. 【解析】（1）解：因为1C所以22619b a=-，解得223a b =.①将点⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =，故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310kxkmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程，得()222136330kxkmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+，所以AB ===. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=，所以3ON MO =，从而)1NM OM =. 又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N 到直线l的距离为)11m d ⋅=所以))111122NABS d AB ∆=⋅==，综上，NAB ∆32．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b＞0)经过点(0，)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（220y ±-=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与x 轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意；当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③，联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++，代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得m 5=±20y ±=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （x 0，y 0），则PM•PN＝|（x 0﹣2）（x 0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴x 0﹣2，x 0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =．当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++，10200PM y ,PN y ,PF =-=-=．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号， ∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点．【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-，此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EAEB k k =，即121222y y x x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=，整理得12122(2)()0my y b y y +++=，即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=，||2||OC OB AB BC -=+．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λ？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+．即||2||BC AC =， ∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ，而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k --=+，以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+．∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥， ∴存在实数λ，使得PQ AB =λ，||PQ ⎛==≤当2219k k =时，即k =时取等号，max ||3PQ =，又||10AB =，maxλ==，∴λ取得最大值时的PQ的长为35．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值；（2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-，由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+，又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =，所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ），令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x-+'=+-=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增，所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()01AC AD CB CD λλ===<<，过点B 作AC 的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. （Ⅰ）求曲线τ的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22105x y y +=≠；. 【解析】（Ⅰ）因为,AD AC EB AC =∥，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+==由题设得()()2,02,04A B AB -=，，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()22105x y y +=≠.（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆O 相切，1=，∴221m k =+，由221,5,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2221510550k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理知：()1212122210221515km mx x y y k x x m k k+=-+=++=++，. 所以PQ 中点N 的坐标为225,1515kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，所以弦PQ 的垂直平分线方程为22151515m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即 24015kmx ky k ++=+.所以MN =将m =MN =2441155||||k MN k k k ====++…（当且仅当k =m =取等号）.所以三角形MON的面积为111=2255S OM MN =⨯⨯⨯⨯≤，综上所述，三角形MON. 7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF 的．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程．【答案】（1）22182x y +=；（2）22y x =±+【解析】（1）由题意，可得2cac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则222=2b a c =-，故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）当l 的斜率不存在时，=2AB MN AB MN ≠=，，，不合题意，故l 的斜率存在．设l 的方程为2y kx =+，联立221822x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(14)1680k x kx +++＝，设1122(()A x y B x y ，)，，，则12122216k 8,14k 14k x x x x +=-=++， ()222(16)3214128320k k k ∆=-+=->即214k >，设00()N x y ，，则12028214x x kx k +==-+，120||||,0AB MN x =-=-0x =，即228||1414k k k=++ 整理得21124k=>．故k =，l 的方程为2y x =+． 8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-恒成立?若存在求出点Q 的坐标:若不存在，说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】（1）因为椭圆C 过点，所以221231a b+=，又抛物线的焦点为()2,0，所以2c =. 所以2212314a a +=-，解得23a =（舍去）或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-. ①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-，(2,3)QN m =--，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--，(4,0)QN m =-，由21351616QM QN m ⋅=-=-，解得114m =-或114m =.由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭.下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-恒成立. 当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630kxk x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-∙-=-++，所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫∙=-∙-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-恒成立. 9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦点为F ，求证：MF AB ⊥.【答案】（1）240x y +-=（2）见证明【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.(2)设(4,)M t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y+=，因为(4,)M t 在两条切线上，114143x y t ⨯∴+=，224143x y t⨯+=，所以A ，B 两点均在直线4143x yt +=上，即直线AB 的方程为13tyx +=，当0t ≠时，3AB k t=-，又(1,0)F ，0413MF t t k -==-，313AB MF tk k t ⋅=-⨯=-，所以MF AB ⊥，若0t =，点(4,0)M 在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF AB ⊥.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若12AF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ⋅为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由题意，当P 在上或下顶点时，12PF F ∆的面积取值最大值，即最大值为bc = 又12c a =，且222a c b =+，解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）易知()11,0F -，设直线l 的方程为1x my =-，()()()11220,,,,,0A x y B x y Q x ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(34)690m y my +--=，则122634my y m +=+，122934y y m =-+， ()()()()10120200212,,y QA QB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+()212001212x x x x x x y y =+-++，∵111x my =-，221x my =-，∴()()()2212121212215111134m x x my my m y y m y y m =--=+-+=-+， ()()()212122226112234m x x my my m y y m +=-+-=+-=-+， ∴222000222156912343434m m QA QB x x x m m m ⋅=-+-+-+++22002281253434m x x m m +=+-++()222000231248534x m x x m -++-=+，要使QA QB ⋅为定值，则2200031248534x x x -+-=，解得0118x =-，所以在x 轴上存在点11,08Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅为定值． 11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】(1) 24y x = (2)见解析【解析】（1）设(,)P x y ，则(1,)Q y -，QP QF FP FQ ∙=∙，(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y ∴+∙-=-∙-，即22(1)2(1)x x y +=--+，即24y x =，所以动点P 的轨迹的方程24y x =.（2）联立方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440ky y b -+=，依题意，0k ≠，且124y y k+=，124b y y k =，由12y y a -=得()2212124y y y y a +-=，即221616ba k k-=，整理得：221616kb a k -=，所以2216(1)a k kb =-，①因为AB 的中点222,bk M k k -⎛⎫⎪⎝⎭，所以点212,D k k ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意， 122111||22BD bkS DM y y a k ∆∆-=-=，由方程2440ky y b -+=中的判别式16160kb ∆=->，得10kb ->，所以2112ABD bkS a k∆-=∙∙，由①知22116a k kb -=，所以23121632MBDa a S a ∆=∙∙=，又a 为常数，故ABD S ∆的面积为定值. 12．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．【答案】(1) 24x y = (2)4 【解析】（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p=， ∴P （2，2p），2244OP p =+，点P 到准线的距离为22p d p =+， ∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24p =，∴2p =，∴抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，；设()()1122A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，∴121244x x k x x +==-，，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-，又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=，即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=，则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义:()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ；（2）证明:存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系. 【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】（1）因为8443(1)233PFk y x ==⇒=-. 联立方程24(1)1344Q y x x y x⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩，则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P -，易得2()2a d P PF =-=，不妨设()1,P P y -，0P y >，直线:1PF x my =+，则2P my =-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my --=，2Q y m ==+2()||2P P Q y d P PF y -==2=-+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()13224d P d P d P +-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-===因为()221316y y ⎡⎤-++⎣⎦1228y y =-，又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求A O B ∆的面积.【答案】(1)2(2) 2ABC S b ∆=【解析】解：（1）根据题意可知2p = 所以抛物线方程为24x y =则抛物线C 焦点为(0,1)F ，准线为1y =-；记点,P E 到抛物线C 准线的距离分别为12,d d ，故12||||||2PE PF PE d d +=+≥=，等号成立当且仅当PE 垂直于准线，故||||PE PF +的最小值为2 （2）设()11,A x y ，()22,B x y由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为：y kx b =+ 将y kx b =+与24x y =联立得2440x kx b --=，由韦达定理得12124,4x x k x x b +==-，由()0,2M 到直线l的距离为12d ==得：2244b b k -=，又||AB ==点O 到直线l 的距离为2d =所以2|ABC S b b ∆=== 15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：x=-12的距离与到点F （102，）的距离相等．（1）求曲线C 的方程；（2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （-1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，直线AB 的斜率为k ，证明：22212112k k k +-为定值．【答案】（1）y 2=2x ；（2）见解析【解析】（1）由条件可知，此曲线是焦点为F 的抛物线，p 122=，p=1． ∴抛物线的方程为y 2=2x ；（2）根据已知，设直线AB 的方程为y=k （x -1）（k ≠0），由()2y k x 1y 2x⎧=-⎨=⎩，可得ky 2-2y -2k=0．设A （211y y 2，），B （222y y 2，），则122y y k +=，y 1y 2=-2．∵1112211y 2y k y y 212==++，2222222y 2y k y y 212==++． ∴22221222221212(y 2)(y 2)11k k 4y 4y +++=+=22222212212212(y 2)y (y 2)y 4y y +++=()42422222122112122212y y y y 8y y 4y y 4y y ++++=()2221212128y y 32(y y )2y y 4162+++-+= =22482k 42k+=+．∴222121124k k k +-=．。

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题12 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(解析版)

专题12平面解析几何解答题历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 抛物线2019年新课标1理科19解答题2018 椭圆2018年新课标1理科19解答题2017 椭圆2017年新课标1理科20解答题2016 圆的方程2016年新课标1理科20解答题2015 抛物线2015年新课标1理科20解答题2014 椭圆2014年新课标1理科20解答题2013 圆的方程2013年新课标1理科20解答题2012 抛物线2012年新课标1理科20解答题2011 抛物线2011年新课标1理科20解答题2011 圆的方程2011年新课标1理科22解答题2010 椭圆2010年新课标1理科20历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科19】已知抛物线C：y2＝3的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若3，求|AB|．【解答】解：（1）设直线l的方程为y（﹣t），将其代入抛物线y2＝3得：2﹣（t+3）t2＝0，设A（1，y1），B（2，y2），则1+22t，①，12＝t2②，由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝1+2+p＝2t4，解得t，直线l的方程为y．（2）若3，则y1＝﹣3y2，∴（1﹣t）＝﹣3（2﹣t），化简得1＝﹣32+4t，③由①②③解得t＝1，1＝3，2，∴|AB|．2．【2018年新课标1理科19】设椭圆C：y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．【解答】解：（1）c1，∴F（1，0），∵l与轴垂直，∴＝1，由，解得或，∴A（1.），或（1，），∴直线AM的方程为y，y，证明：（2）当l与轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，当l与轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，当l与轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝（﹣1），≠0，A（1，y1），B（2，y2），则1，2，直线MA，MB的斜率之和为MA，MB之和为MA+MB，由y1＝1﹣，y2＝2﹣得MA+MB，将y＝（﹣1）代入y2＝1可得（22+1）2﹣42+22﹣2＝0，∴1+2，12，∴212﹣3（1+2）+4（43﹣4﹣123+83+4）＝0从而MA+MB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，∴∠OMA＝∠OMB，综上∠OMA＝∠OMB．3．【2017年新课标1理科20】已知椭圆C：1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2＝4，b2＝1，∴椭圆C的方程为1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：＝m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴1，解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y＝+t，（t≠1），A（1，y1），B（2，y2），联立，整理，得（1+42）2+8t+4t2﹣4＝0，，12，则1，又t≠1，∴t＝﹣2﹣1，此时△＝﹣64，存在，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y＝﹣2﹣1，当＝2时，y＝﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．4．【2016年新课标1理科20】设圆2+y2+2﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆2+y2+2﹣15＝0即为（+1）2+y2＝16，可得圆心A（﹣1，0），半径r＝4，由BE∥AC，可得∠C＝∠EBD，由AC＝AD，可得∠D＝∠C，即为∠D＝∠EBD，即有EB＝ED，则|EA|+|EB|＝|EA|+|ED|＝|AD|＝4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a＝4，即a＝2，c＝1，b，则点E的轨迹方程为1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：1，设直线l：＝my+1，由PQ⊥l，设PQ：y＝﹣m（﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设M（1，y1），N（2，y2），可得y1+y2，y1y2，则|MN|•|y1﹣y2|••12•，A到PQ的距离为d，|PQ|＝22，则四边形MPNQ面积为S|PQ|•|MN|••12•＝24•24，当m＝0时，S取得最小值12，又0，可得S＜24•8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．5．【2015年新课标1理科20】在直角坐标系Oy中，曲线C：y与直线l：y＝+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当＝0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当变动时，总有∠OPM＝∠OPN？（说明理由）【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y可得：y′，∴曲线C在M点处的切线斜率为，其切线方程为：y﹣a，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM＝∠OPN．M（1，y1），N（2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：1，2．联立，化为2﹣4﹣4a＝0，∴1+2＝4，12＝﹣4a．∴1+2．当b＝﹣a时，1+2＝0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM＝∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．6．【2014年新课标1理科20】已知点A（0，﹣2），椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，故E的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥轴不合题意，故设直线l：y＝﹣2，设P（1，y1），Q（2，y2）将y＝﹣2代入，得（1+42）2﹣16+12＝0，当△＝16（42﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积，设，则t＞0，，当且仅当t＝2，＝±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y﹣2或y﹣2．…7．【2013年新课标1理科20】已知圆M：（+1）2+y2＝1，圆N：（﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【解答】解：（I）由圆M：（+1）2+y2＝1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（﹣1）2+y2＝9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝R+1+（3﹣R）＝4，而|NM|＝2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．∴曲线C的方程为（≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（，y），由于|PM|﹣|PN|＝2R﹣2≤3﹣1＝2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R＝2时，其半径最大，其方程为（﹣2）2+y2＝4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与轴不平行，设l与轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y＝（+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到72+8﹣8＝0．∴，．∴|AB|由于对称性可知：当时，也有|AB|．综上可知：|AB|或．8．【2012年新课标1理科20】设抛物线C：2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|＝2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD，∴，解得p＝2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为2+（y﹣1）2＝8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．9．【2011年新课标1理科20】在平面直角坐标系Oy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y＝﹣3上，M点满足∥，•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（，y），由已知得B（，﹣3），A（0，﹣1）．所（﹣，﹣1﹣y），（0，﹣3﹣y），（，﹣2）．再由题意可知（）•0，即（﹣，﹣4﹣2y）•（，﹣2）＝0．所以曲线C的方程式为y2．（Ⅱ）设P（0，y0）为曲线C：y2上一点，因为y′，所以l的斜率为0，因此直线l的方程为y﹣y00（﹣0），即0﹣2y+2y0﹣02＝0．则o点到l的距离d．又y02，所以d2，所以02＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．10．【2011年新课标1理科22】如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于的方程2﹣14+mn＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m＝4，n＝6时，方程2﹣14+mn＝0的两根为1＝2，2＝12．故AD＝2，AB＝12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF（12﹣2）＝5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为511．【2010年新课标1理科20】设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|P A|＝|PB|，求E的方程．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y＝+c，其中．设A（1，y1），B（2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）2+2a2c+a2（c2﹣b2）＝0则因为直线AB斜率为1，|AB||1﹣2|，得，故a2＝2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（0，y0），由（I）知，．由|P A|＝|PB|，得PN＝﹣1，即得c＝3，从而故椭圆E的方程为．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.【答案】（1）22113y x +=；（2）见解析. 【解析】（1）解：因为1C，所以22619b a=-，解得223a b =.①将点22⎛ ⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =，故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310kxkmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程，得()222136330kxkmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+，所以AB =2313k m==+. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=u u u v u u u u v，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=，所以ON =u u u vu u u v，从而)1NM OM =. 又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N到直线l 的距离为)11m d ⋅=所以()()221126131312231NABmk S d AB m k∆+=+⋅=+⋅⋅+ 62=+，综上，NAB ∆的面积为定值62+. 2．如图，在平面直角坐标系Oy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，3-)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3，由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意；当直线l 与轴不重合时，设直线l 的方程为＝my+1，M （1，y 1），N （2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③，联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++，代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得m 5=±20y ±-=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （0，y 0），则PM•PN＝|（0﹣2）（0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴0﹣2，0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =．当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++，10200PM y ,PN y ,PF =-=-=．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号，∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点．【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-，此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=，整理得12122(2)()0my y b y y +++=，即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ，而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k--=+，以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ，∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，||PQ =u u ur =≤ 当2219k k =时，即3k =±时取等号，max ||PQ =u u u r又||AB =u u u rmaxλ==，∴λ取得最大值时的PQ5．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值；（2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-，由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+，又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =，所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ），令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x-+'=+-=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增，所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r，过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. （Ⅰ）求曲线τ的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22105x y y +=≠；. 【解析】（Ⅰ）因为,AD AC EB AC =∥，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+==由题设得()()2,02,04A B AB -=，，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()22105x y y +=≠.（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆O 相切，1=，∴221m k =+，由221,5,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2221510550k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理知：()1212122210221515km mx x y y k x x m k k +=-+=++=++，. 所以PQ 中点N 的坐标为225,1515kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，所以弦PQ 的垂直平分线方程为22151515m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即 24015kmx ky k ++=+.所以MN =将m =MN =得2441155||||k MN k k k ====++…k =，即m =取等号）.所以三角形MON的面积为11122S OM MN =⨯⨯⨯≤，综上所述，三角形MON. 7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF 的斜率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程．【答案】（1）22182x y +=；（2）22y x =±+【解析】（1）由题意，可得223cac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则222=2b a c =-，故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）当l 的斜率不存在时，=2AB MN AB MN ≠=，，，不合题意，故l 的斜率存在．设l 的方程为2y kx =+，联立221822x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(14)1680k x kx +++＝，设1122(()A x y B x y ，)，，，则12122216k 8,14k 14kx x x x +=-=++， ()222(16)3214128320k k k ∆=-+=->即214k >，设00()N x y ，，则12028214x x kx k+==-+，120||||,0AB MN x =-=-Q0x =，即28||14k k =+整理得21124k =>．故k =，l 的方程为22y x =±+．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标若不存在，说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】（1）因为椭圆C 过点，所以221231a b+=，又抛物线的焦点为()2,0，所以2c =. 所以2212314a a +=-，解得23a =（舍去）或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r. ①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-u u u u r ，(2,3)QN m =--u u u r，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-u u u u r u u u r ，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--u u u u r，(4,0)QN m =-u u u r，由21351616QM QN m ⋅=-=-u u u u r u u u r ，解得114m =-或114m =.由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630kxk x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-•-=-++，所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫•=-•-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立. 9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦点为F ，求证：MF AB ⊥.【答案】（1）240x y +-=（2）见证明【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.(2)设(4,)M t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y+=，因为(4,)M t 在两条切线上，114143x y t ⨯∴+=，224143x y t⨯+=，所以A ，B 两点均在直线4143x yt +=上，即直线AB 的方程为13tyx +=，当0t ≠时，3AB k t=-，又(1,0)F ，0413MFt t k -==-，313AB MF t k k t ⋅=-⨯=-，所以MF AB ⊥，若0t =，点(4,0)M 在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF AB ⊥.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若12AF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由题意，当P 在上或下顶点时，12PF F ∆的面积取值最大值，即最大值为bc = 又12c a =，且222a c b =+，解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）易知()11,0F -，设直线l 的方程为1x my =-，()()()11220,,,,,0A x y B x y Q x ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(34)690m y my +--=，则122634my y m +=+，122934y y m =-+， ()()()()10120200212,,y QA QB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+u u u r u u u r()212001212x x x x x x y y =+-++，∵111x my =-，221x my =-，∴()()()2212121212215111134m x x my my m y y m y y m =--=+-+=-+，()()()212122226112234m x x my my m y y m +=-+-=+-=-+， ∴222000222156912343434m m QA QB x x x m m m ⋅=-+-+-+++u u u r u u u r 2202281253434m x x m m +=+-++()222000231248534x m x x m -++-=+，要使QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值，则2200031248534x x x -+-=，解得0118x =-，所以在x 轴上存在点11,08Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值． 11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】(1) 24y x = (2)见解析【解析】（1）设(,)P x y ，则(1,)Q y -，QP QF FP FQ •=•u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y ∴+•-=-•-，即22(1)2(1)x x y +=--+，即24y x =，所以动点P 的轨迹的方程24y x =.（2）联立方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440ky y b -+=，依题意，0k ≠，且124y y k+=，124b y y k =，由12y y a -=得()2212124y y y y a +-=，即221616b a k k-=，整理得：221616kb a k -=，所以2216(1)a k kb =-，① 因为AB 的中点222,bk M k k -⎛⎫⎪⎝⎭，所以点212,D k k ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意， 122111||22BD bkS DM y y a k ∆∆-=-=，由方程2440ky y b -+=中的判别式16160kb ∆=->，得10kb ->，所以2112ABD bkS a k∆-=••，由①知22116a k kb -=，所以23121632MBDa a S a ∆=••=，又a 为常数，故ABD S ∆的面积为定值. 12．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．【答案】(1) 24x y = (2)4 【解析】（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p=， ∴P （2，2p），2244OP p =+，点P 到准线的距离为22p d p =+，∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24p =，∴2p =，∴抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，；设()()1122A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，∴121244x x k x x +==-，，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-，又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=，即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=，则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ；（2）证明存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系. 【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】（1）因为8443(1)233PFk y x ==⇒=-. 联立方程24(1)1344Q y x x y x ⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩，则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P -，易得2()2a d P PF =-=，不妨设()1,P P y -，0P y >，直线:1PF x my =+，则2P my =-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my --=，2Q y m ==+2()||2P P Q y d P PF y m -==2=-+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()13224d P d P d P +-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++222131344242y y y y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =++++因为(()222213134416y y y y ⎡⎤++-++⎣⎦22131224428y y y y =++-，又因()()()()2222213131313444480yy y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ∆的面积.【答案】(1)2(2) 2ABC S b ∆=【解析】解：（1）根据题意可知2p =所以抛物线方程为24x y =则抛物线C 焦点为(0,1)F ，准线为1y =-；记点,P E 到抛物线C 准线的距离分别为12,d d ，故12||||||2PE PF PE d d +=+≥=，等号成立当且仅当PE 垂直于准线，故||||PE PF +的最小值为2 （2）设()11,A x y ，()22,B x y由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为：y kx b =+ 将y kx b =+与24x y =联立得2440x kx b --=，由韦达定理得12124,4x x k x x b +==-，由()0,2M 到直线l的距离为12d ==得：2244b b k -=，又||AB ==点O 到直线l 的距离为2d =所以2|ABC S b b ∆=== 15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：=12的距离与到点F （102，）的距离相等．（1）求曲线C 的方程；（2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为1，直线BQ 的斜率为2，直线AB 的斜率为，证明：22212112k k k +-为定值．【答案】（1）y 2=2；（2）见解析【解析】（1）由条件可知，此曲线是焦点为F 的抛物线，p 122=，p=1． ∴抛物线的方程为y 2=2；（2）根据已知，设直线AB 的方程为y=（1）（≠0），由()2y k x 1y 2x ⎧=-⎨=⎩，可得y 22y2=0．设A （211y y 2，），B （222y y 2，），则122y y k +=，y 1y 2=2． ∵1112211y 2y k y y 212==++，2222222y 2y k y y 212==++． ∴22221222221212(y 2)(y 2)11k k 4y 4y +++=+=22222212212212(y 2)y (y 2)y 4y y +++ =()42422222122112122212y y y y 8y y 4y y 4y y ++++=()2221212128y y 32(y y )2y y 4162+++-+= =22482k 42k+=+．∴222121124k k k +-=．。

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题12 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(解析版)

专题12平面解析几何解答题历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 抛物线2019年新课标1理科19解答题2018 椭圆2018年新课标1理科19解答题2017 椭圆2017年新课标1理科20解答题2016 圆的方程2016年新课标1理科20解答题2015 抛物线2015年新课标1理科20解答题2014 椭圆2014年新课标1理科20解答题2013 圆的方程2013年新课标1理科20解答题2012 抛物线2012年新课标1理科20解答题2011 抛物线2011年新课标1理科20解答题2011 圆的方程2011年新课标1理科22解答题2010 椭圆2010年新课标1理科20历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科19】已知抛物线C：y2＝3的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若3，求|AB|．【解答】解：（1）设直线l的方程为y（﹣t），将其代入抛物线y2＝3得：2﹣（t+3）t2＝0，设A（1，y1），B（2，y2），则1+22t，①，12＝t2②，由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝1+2+p＝2t4，解得t，直线l的方程为y．（2）若3，则y1＝﹣3y2，∴（1﹣t）＝﹣3（2﹣t），化简得1＝﹣32+4t，③由①②③解得t＝1，1＝3，2，∴|AB|．2．【2018年新课标1理科19】设椭圆C：y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．【解答】解：（1）c1，∴F（1，0），∵l与轴垂直，∴＝1，由，解得或，∴A（1.），或（1，），∴直线AM的方程为y，y，证明：（2）当l与轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，当l与轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，当l与轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝（﹣1），≠0，A（1，y1），B（2，y2），则1，2，直线MA，MB的斜率之和为MA，MB之和为MA+MB，由y1＝1﹣，y2＝2﹣得MA+MB，将y＝（﹣1）代入y2＝1可得（22+1）2﹣42+22﹣2＝0，∴1+2，12，∴212﹣3（1+2）+4（43﹣4﹣123+83+4）＝0从而MA+MB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，∴∠OMA＝∠OMB，综上∠OMA＝∠OMB．3．【2017年新课标1理科20】已知椭圆C：1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2＝4，b2＝1，∴椭圆C的方程为1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：＝m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴1，解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y＝+t，（t≠1），A（1，y1），B（2，y2），联立，整理，得（1+42）2+8t+4t2﹣4＝0，，12，则1，又t≠1，∴t＝﹣2﹣1，此时△＝﹣64，存在，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y＝﹣2﹣1，当＝2时，y＝﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．4．【2016年新课标1理科20】设圆2+y2+2﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆2+y2+2﹣15＝0即为（+1）2+y2＝16，可得圆心A（﹣1，0），半径r＝4，由BE∥AC，可得∠C＝∠EBD，由AC＝AD，可得∠D＝∠C，即为∠D＝∠EBD，即有EB＝ED，则|EA|+|EB|＝|EA|+|ED|＝|AD|＝4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a＝4，即a＝2，c＝1，b，则点E的轨迹方程为1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：1，设直线l：＝my+1，由PQ⊥l，设PQ：y＝﹣m（﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设M（1，y1），N（2，y2），可得y1+y2，y1y2，则|MN|•|y1﹣y2|••12•，A到PQ的距离为d，|PQ|＝22，则四边形MPNQ面积为S|PQ|•|MN|••12•＝24•24，当m＝0时，S取得最小值12，又0，可得S＜24•8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．5．【2015年新课标1理科20】在直角坐标系Oy中，曲线C：y与直线l：y＝+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当＝0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当变动时，总有∠OPM＝∠OPN？（说明理由）【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y可得：y′，∴曲线C在M点处的切线斜率为，其切线方程为：y﹣a，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM＝∠OPN．M（1，y1），N（2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：1，2．联立，化为2﹣4﹣4a＝0，∴1+2＝4，12＝﹣4a．∴1+2．当b＝﹣a时，1+2＝0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM＝∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．6．【2014年新课标1理科20】已知点A（0，﹣2），椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，故E的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥轴不合题意，故设直线l：y＝﹣2，设P（1，y1），Q（2，y2）将y＝﹣2代入，得（1+42）2﹣16+12＝0，当△＝16（42﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积，设，则t＞0，，当且仅当t＝2，＝±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y﹣2或y﹣2．…7．【2013年新课标1理科20】已知圆M：（+1）2+y2＝1，圆N：（﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【解答】解：（I）由圆M：（+1）2+y2＝1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（﹣1）2+y2＝9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝R+1+（3﹣R）＝4，而|NM|＝2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．∴曲线C的方程为（≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（，y），由于|PM|﹣|PN|＝2R﹣2≤3﹣1＝2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R＝2时，其半径最大，其方程为（﹣2）2+y2＝4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与轴不平行，设l与轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y＝（+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到72+8﹣8＝0．∴，．∴|AB|由于对称性可知：当时，也有|AB|．综上可知：|AB|或．8．【2012年新课标1理科20】设抛物线C：2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|＝2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD，∴，解得p＝2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为2+（y﹣1）2＝8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．9．【2011年新课标1理科20】在平面直角坐标系Oy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y＝﹣3上，M 点满足∥，•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（，y），由已知得B（，﹣3），A（0，﹣1）．所（﹣，﹣1﹣y），（0，﹣3﹣y），（，﹣2）．再由题意可知（）•0，即（﹣，﹣4﹣2y）•（，﹣2）＝0．所以曲线C的方程式为y2．（Ⅱ）设P（0，y0）为曲线C：y2上一点，因为y′，所以l的斜率为0，因此直线l的方程为y﹣y00（﹣0），即0﹣2y+2y0﹣02＝0．则o点到l的距离d．又y02，所以d2，所以02＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．10．【2011年新课标1理科22】如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于的方程2﹣14+mn＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m＝4，n＝6时，方程2﹣14+mn＝0的两根为1＝2，2＝12．故AD＝2，AB＝12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF（12﹣2）＝5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为511．【2010年新课标1理科20】设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|P A|＝|PB|，求E的方程．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y＝+c，其中．设A（1，y1），B（2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）2+2a2c+a2（c2﹣b2）＝0则因为直线AB斜率为1，|AB||1﹣2|，得，故a2＝2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（0，y0），由（I）知，．由|P A|＝|PB|，得PN＝﹣1，即得c＝3，从而故椭圆E的方程为．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>，椭圆22222:1(0)33x yC a ba b+=>>经过点,22⎛⎝⎭.（1）求椭圆1C的标准方程；（2）设点M是椭圆1C上的任意一点，射线MO与椭圆2C交于点N，过点M的直线l与椭圆1C有且只有一个公共点，直线l与椭圆2C交于,A B两个相异点，证明：NAB△面积为定值.【答案】（1）22113yx+=；（2）见解析.【解析】（1）解：因为1C，所以22619ba=-，解得223a b=.①将点,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭代入2222133x ya b+=，整理得2211144a b+=.②联立①②，得21a=，213b=，故椭圆1C的标准方程为22113yx+=.（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，点M为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M，由（1）知椭圆2C的方程为2213xy+=，所以有()N.将1x =代入椭圆2C的方程得y =，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310kxkmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程，得()222136330kxkmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+，所以AB =2313k m==+. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=u u u v u u u u v，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=，所以ON =u u u vu u u v，从而)1NM OM =. 又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N到直线l 的距离为)11m d ⋅=所以()()221126131312231NABmk S d AB m k∆+=+⋅=+⋅⋅+ 62=+，综上，NAB ∆的面积为定值62+. 2．如图，在平面直角坐标系Oy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，3-)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意；当直线l 与轴不重合时，设直线l 的方程为＝my+1，M （1，y 1），N （2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③，联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++，代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得m 5=±20y ±=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （0，y 0），则PM•PN＝|（0﹣2）（0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴0﹣2，0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =．当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++，10200PM y ,PN y ,PF =-=-=．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号，∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点．【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-，此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=，整理得12122(2)()0my y b y y +++=，即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ，而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k--=+，以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ，∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，||PQ =u u ur =≤ 当2219k k =时，即3k =±时取等号，max ||PQ =u u u r ，又||AB =u u u r，maxλ==，∴λ取得最大值时的PQ5．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值；（2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-，由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+，又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =，所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ），令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x-+'=+-=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增，所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r，过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. （Ⅰ）求曲线τ的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22105x y y +=≠；. 【解析】（Ⅰ）因为,AD AC EB AC =∥，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+==由题设得()()2,02,04A B AB -=，，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()22105x y y +=≠.（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆O 相切，1=，∴221m k =+，由221,5,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2221510550k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理知：()1212122210221515km mx x y y k x x m k k +=-+=++=++，. 所以PQ 中点N 的坐标为225,1515kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，所以弦PQ 的垂直平分线方程为22151515m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即 24015kmx ky k ++=+.所以MN =.将m =MN =2441155||||k MN k k k ====++…k =，即m =取等号）.所以三角形MON的面积为11122S OM MN =⨯⨯⨯≤，综上所述，三角形MON. 7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF 的斜率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程．【答案】（1）22182x y +=；（2）22y x =±+【解析】（1）由题意，可得223cac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则222=2b a c =-，故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）当l 的斜率不存在时，=2AB MN AB MN ≠=，，，不合题意，故l 的斜率存在．设l 的方程为2y kx =+，联立221822x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(14)1680k x kx +++＝，设1122(()A x y B x y ，)，，，则12122216k 8,14k 14kx x x x +=-=++， ()222(16)3214128320k k k ∆=-+=->即214k >，设00()N x y ，，则12028214x x kx k+==-+，120||||,0AB MN x =-=-Q0x =，即28||14k k =+ 整理得21124k =>．故k =，l 的方程为22y x =±+．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标若不存在，说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】（1）因为椭圆C 过点，所以221231a b+=，又抛物线的焦点为()2,0，所以2c =. 所以2212314a a +=-，解得23a =（舍去）或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r. ①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-u u u u r ，(2,3)QN m =--u u u r，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-u u u u r u u u r ，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--u u u u r，(4,0)QN m =-u u u r，由21351616QM QN m ⋅=-=-u u u u r u u u r ，解得114m =-或114m =.由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630kxk x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-•-=-++，所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫•=-•-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立. 9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦点为F ，求证：MF AB ⊥.【答案】（1）240x y +-=（2）见证明【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.(2)设(4,)M t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y+=，因为(4,)M t 在两条切线上，114143x y t ⨯∴+=，224143x y t⨯+=，所以A ，B 两点均在直线4143x yt +=上，即直线AB 的方程为13tyx +=，当0t ≠时，3AB k t=-，又(1,0)F ，0413MFt t k -==-，313AB MF t k k t ⋅=-⨯=-，所以MF AB ⊥，若0t =，点(4,0)M 在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF AB ⊥.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若12AF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由题意，当P 在上或下顶点时，12PF F ∆的面积取值最大值，即最大值为bc = 又12c a =，且222a c b =+，解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）易知()11,0F -，设直线l 的方程为1x my =-，()()()11220,,,,,0A x y B x y Q x ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(34)690m y my +--=，则122634my y m +=+，122934y y m =-+， ()()()()10120200212,,y QA QB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+u u u r u u u r()212001212x x x x x x y y =+-++，∵111x my =-，221x my =-，∴()()()2212121212215111134m x x my my m y y m y y m =--=+-+=-+，()()()212122226112234m x x my my m y y m +=-+-=+-=-+， ∴222000222156912343434m m QA QB x x x m m m ⋅=-+-+-+++u u u r u u u r 2202281253434m x x m m +=+-++()222000231248534x m x x m -++-=+，要使QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值，则2200031248534x x x -+-=，解得0118x =-，所以在x 轴上存在点11,08Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值． 11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】(1) 24y x = (2)见解析【解析】（1）设(,)P x y ，则(1,)Q y -，QP QF FP FQ •=•u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y ∴+•-=-•-，即22(1)2(1)x x y +=--+，即24y x =，所以动点P 的轨迹的方程24y x =.（2）联立方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440ky y b -+=，依题意，0k ≠，且124y y k+=，124b y y k =，由12y y a -=得()2212124y y y y a +-=，即221616b a k k-=，整理得：221616kb a k -=，所以2216(1)a k kb =-，① 因为AB 的中点222,bk M k k -⎛⎫⎪⎝⎭，所以点212,D k k ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意， 122111||22BD bkS DM y y a k ∆∆-=-=，由方程2440ky y b -+=中的判别式16160kb ∆=->，得10kb ->，所以2112ABD bkS a k∆-=••，由①知22116a k kb -=，所以23121632MBDa a S a ∆=••=，又a 为常数，故ABD S ∆的面积为定值. 12．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．【答案】(1) 24x y = (2)4 【解析】（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p=， ∴P （2，2p），2244OP p =+，点P 到准线的距离为22p d p =+，∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24p =，∴2p =，∴抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，；设()()1122A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，∴121244x x k x x +==-，，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-，又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=，即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=，则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ；（2）证明存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系. 【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】（1）因为8443(1)233PFk y x ==⇒=-. 联立方程24(1)1344Q y x x y x ⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩，则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P -，易得2()2a d P PF =-=，不妨设()1,P P y -，0P y >，直线:1PF x my =+，则2P my =-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my --=，2Q y m ==+2()||2P P Q y d P PF y m -==+2=-=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()13224d P d P d P +-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++222131344242y y y y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =++++因为()222213134416y y y y ⎡⎤++-++⎣⎦22131224428y y y y =++-，又因()()()()2222213131313444480yy y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ∆的面积.【答案】(1)2(2) 2ABC S b ∆=【解析】解：（1）根据题意可知2p =所以抛物线方程为24x y =则抛物线C 焦点为(0,1)F ，准线为1y =-；记点,P E 到抛物线C 准线的距离分别为12,d d ，故12||||||2PE PF PE d d +=+≥=，等号成立当且仅当PE 垂直于准线，故||||PE PF +的最小值为2 （2）设()11,A x y ，()22,B x y由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为：y kx b =+ 将y kx b =+与24x y =联立得2440x kx b --=，由韦达定理得12124,4x x k x x b +==-，由()0,2M 到直线l的距离为12d ==得：2244b b k -=，又||AB =点O 到直线l 的距离为2d =所以2|ABC S b b ∆=== 15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：=12的距离与到点F （102，）的距离相等．（1）求曲线C 的方程；（2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为1，直线BQ 的斜率为2，直线AB 的斜率为，证明：22212112k k k +-为定值．【答案】（1）y 2=2；（2）见解析【解析】（1）由条件可知，此曲线是焦点为F 的抛物线，p 122=，p=1． ∴抛物线的方程为y 2=2；（2）根据已知，设直线AB 的方程为y=（1）（≠0），由()2y k x 1y 2x ⎧=-⎨=⎩，可得y 22y2=0．设A （211y y 2，），B （222y y 2，），则122y y k +=，y 1y 2=2． ∵1112211y 2y k y y 212==++，2222222y 2y k y y 212==++． ∴22221222221212(y 2)(y 2)11k k 4y 4y +++=+=22222212212212(y 2)y (y 2)y 4y y +++ =()42422222122112122212y y y y 8y y 4y y 4y y ++++=()2221212128y y 32(y y )2y y 4162+++-+= =22482k 42k+=+．∴222121124k k k +-=．。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题11直线与圆 Word版含答案解析版

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题11 直线与圆一、选择题1.(2019·全国2·理T11文T12)设F为双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.√2B.√3C.2D.√52.(2018·北京·理T7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m 变化时,d的最大值为( )A.1B.2C.3D.43.(2018·全国3·理T6文T8)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )A.[2,6]B.[4,8]C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]4.(2016·山东·文T7)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离5.(2016·全国2·理T4文T6)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-43B.-34C.√3D.26.(2015·全国2·理T7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.107.(2015·全国2·文T7)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.√213C.2√53D.438.(2015·北京·文T2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=29.(2015·广东·理T5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=010.(2015·山东·理T9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-53或-35B.-32或-23C.-5或-4D.-4或-311.(2015·重庆·理T8)已知直线l:x+ay-1=0(a ∈R)是圆C:x 2+y 2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|=( ) A.2B.4√2C.6D.2√1012.(2014·全国2·文T12)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是( ) A.[-1,1] B.[-1,1] C.[-√2,√2]D.[-√22,√22]13.(2014·浙江·文T5)已知圆x 2+y 2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( ) A.-2B.-4C.-6D.-814.(2014·安徽·文T6)过点P(-√3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.(0,π6] B.(0,π3] C.[0,π6]D.[0,π3]15.(2014·北京·文T7)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C 上存在点P,使得∠APB=90°,则m 的最大值为( ) A.7B.6C.5D.416.(2014·四川·文T9)设m ∈R,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( ) A.[√5,2√5] B.[√10,2√5] C.[√10,4√5]D.[2√5,4√5]17.(2013·重庆·理T7)已知圆C 1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C 2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆C 1,C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5√2-4 B.√17-1 C.6-2√2D.√1718.(2013·湖南·理T8)在等腰直角三角形ABC 中,AB=AC=4,点P 为边AB 上异于A,B 的一点,光线从点P 出发,经BC,CA 反射后又回到点P.若光线QR 经过△ABC 的重心,则AP 等于( )A.2B.1C.83D.4319.(2012·浙江·理T3)设a ∈R,则“a=1”是“直线l 1:ax+2y-1=0与直线l 2:x+(a+1)y+4=0平行”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件20.(2010·安徽·文T4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 二、填空题1.(2019·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y=x+4x (x>0)上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是 .2.(2019·天津·理T12)设a ∈R,直线ax-y+2=0和圆{x =2+2cosθ,y =1+2sinθ(θ为参数)相切,则a 的值为____.3.(2019·浙江·T12)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A(-2,-1),则m= ,r= .4.(2018·天津·文T12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .5.(2018·全国1·文T15)直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A,B 两点,则|AB|= .6.(2018·天津·理T12)已知圆x 2+y 2-2x=0的圆心为C, 直线{x =-1+√22t ,y =3-√22t(t 为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC 的面积为_____________.7.(2016·全国1·文T15)设直线y=x+2a 与圆C:x 2+y 2-2ay-2=0相交于A,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 .8.(2016·上海·理T3)已知平行直线l 1:2x+y-1=0,l 2:2x+y+1=0,则l 1,l 2的距离是 . 9.(2016·浙江·文T10)已知a ∈R,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .10.(2016·天津·文T12)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为4√55,则圆C 的方程为 .11.(2016·全国3·理T16文T15)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .12.(2015·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .13.(2015·全国1·理T14)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为___________. 14.(2014·重庆·理T13)已知直线ax+y-2=0与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a= .15.(2014·陕西·理T12)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x 对称,则圆C 的标准方程为 .16.(2011·浙江·文T12)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .17.(2010·全国·理T15)过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C 的方程为 . 18.(2010·全国·文T13)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为 . 三、计算题1.(2015·全国1·文T20)已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 2.(2015·广东·理T20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.3.(2014·全国1·文T20)已知点P(2,2),圆C:x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积.4.(2013·江苏·T17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y=x-1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M,使MA=2MO,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题11 直线与圆一、选择题1.(2019·全国2·理T11文T12)设F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5【答案】A【解析】如图,设PQ 与x 轴交于点A,由对称性可知PQ ⊥x 轴. ∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2.∴PA 为以OF 为直径的圆的半径,A 为圆心, ∴|OA|=c 2.∴P c 2,c2.又点P 在圆x 2+y 2=a 2上,∴c 24+c 24=a 2,即c 22=a 2,∴e2=c 2a 2=2,∴e=√2,故选A.2.(2018·北京·理T7)在平面直角坐标系中,记d 为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m 变化时,d 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C【解析】设P(x,y),则{x =cosθ,y =sinθ,x 2+y 2=1.即点P 在单位圆上,点P 到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+2=1+2.当m=0时,d max =3.3.(2018·全国3·理T6文T8)直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8]C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]【答案】A【解析】设圆心到直线AB 的距离d=√2=2√2. 点P 到直线AB 的距离为d'. 易知d-r≤d'≤d+r,即√2≤d'≤3√2. 又AB=2√2,∴S △ABP =12·|AB|·d'=√2d', ∴2≤S △ABP ≤6.4.(2016·山东·文T7)已知圆M:x 2+y 2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M 与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离【答案】B【解析】圆M 的方程可化为x 2+(y-a)2=a 2,故其圆心为M(0,a),半径R=a. 所以圆心到直线x+y=0的距离d=√1+1=√22a.所以直线x+y=0被圆M 所截弦长为2√R 2-d 2=2√a 2-(√22a)2=√2a,由题意可得√2a=2√2,故a=2.而|MN|=√(1-0)2+(1-2)2=√2,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.(2016·全国2·理T4文T6)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-43B.-34C.√3D.2【答案】A【解析】圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,圆心坐标为(1,4).所以d=2=1,解得a=-43,故选A.6.(2015·全国2·理T7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.10【答案】C【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得{D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得{D=-2,E=4,F=-20.则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|=√(y1+y2)2-4y1y2=√16+80=4√6.7.(2015·全国2·文T7)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.√213C.2√53D.43【答案】B【解析】由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点为P,而线段AB垂直平分线的方程为y-√32=√33(x-12),它与x=1联立得圆心P坐标为(1,2√33),则|OP|=√12+(2√33)2=√213.8.(2015·北京·文T2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2【答案】D【解析】圆的半径r=√2 ,标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.9.(2015·广东·理T5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0 【答案】A【解析】设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m ≠1), 因为直线2x+y+m=0与圆x 2+y 2=5相切, 所以√5=√5,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.10.(2015·山东·理T9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-53或-35 B.-32或-23 C.-54或-45 D.-43或-34【答案】D【解析】如图,作出点P(-2,-3)关于y 轴的对称点P 0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0. ∴圆心到直线的距离d=√1+k =1,解得k=-43或k=-34.11.(2015·重庆·理T8)已知直线l:x+ay-1=0(a ∈R)是圆C:x 2+y 2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|=( ) A.2 B.4√2 C.6 D.2√10【答案】C【解析】依题意,直线l 经过圆C 的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A 的坐标为(-4,-1).又圆C 的半径r=2,由△ABC 为直角三角形可得|AB|=√|AC |2-r 2. 又|AC|=2√10,所以|AB|=√(2√10)2-22=6.12.(2014·全国2·文T12)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是( ) A.[-1,1] B.[-12,12] C.[-√2,√2] D.[-√22,√22]【答案】A【解析】建立三角不等式,利用两点间距离公式找到x 0的取值范围.如图,过点M 作☉O 的切线,切点为N,连接ON.M 点的纵坐标为1,MN 与☉O 相切于点N. 设∠OMN=θ,则θ≥45°,即sin θ≥√22, 即ON OM ≥√22.而ON=1,∴OM≤√2.∵M 为(x 0,1),∴√x 02+1≤√2,∴x 02≤1,∴-1≤x 0≤1,∴x 0的取值范围为[-1,1].13.(2014·浙江·文T5)已知圆x 2+y 2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( ) A.-2B.-4C.-6D.-8【答案】B【解析】圆的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r=√2-a . 圆心到直线x+y+2=0的距离d=√2=√2,又弦长为4,因此由勾股定理可得(√2)2+(42)2=(√2-a )2, 解得a=-4.故选B.14.(2014·安徽·文T6)过点P(-√3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.(0,π6] B.(0,π3] C.[0,π6] D.[0,π3]【答案】D【解析】设过点P 的直线方程为y=k(x+√3)-1,则由直线和圆有公共点知√3k √1+k≤1,解得0≤k≤√3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0,π3].15.(2014·北京·文T7)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C 上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( )A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】因为A(-m,0),B(m,0)(m>0),所以使∠APB=90°的点P在以线段AB为直径的圆上,该圆的圆心为O(0,0),半径为m.而圆C的圆心为C(3,4),半径为1.由题意知点P在圆C上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故m-1≤|CO|≤m+1,即m-1≤5≤m+1,解得4≤m≤6.所以m的最大值为6.故选B.16.(2014·四川·文T9)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( )A.[√5,2√5]B.[√10,2√5]C.[√10,4√5]D.[2√5,4√5]【答案】B【解析】由题意,得A(0,0),B(1,3),因为1×m+m×(-1)=0,所以两直线垂直,所以点P在以AB为直径的圆上,所以PA⊥PB.所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,设∠ABP=θ,).则|PA|+|PB|=√10sin θ+√10cos θ=2√5sin(θ+π4.因为|PA|≥0,|PB|≥0,所以0≤θ≤π2所以√10≤|PA|+|PB|≤2√5,故选B.17.(2013·重庆·理T7)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P 为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )A.5√2-4B.√17-1C.6-2√2D.√17【答案】A【解析】圆C1,C2的圆心分别为C1,C2,由题意知|PM|≥|PC1|-1,|PN|≥|PC2|-3,∴|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4,故所求值为|PC1|+|PC2|-4的最小值.又C1关于x轴对称的点为C3(2,-3),所以|PC1|+|PC2|-4的最小值为|C3C2|-4=√(2-3)2+(-3-4)2-4=5√2-4,故选A.18.(2013·湖南·理T8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )A.2B.1C.83D.43【答案】D【解析】以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示.则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC的重心为D,则D点坐标为(4,4).设P点坐标为(m,0),则P点关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线BC方程为x+y-4=0,所以P点关于BC 的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上,∴k P1D =k P2D,即4343+m=43-4+m43-4,解得,m=4或m=0.当m=0时,P点与A点重合,故舍去.∴m=43.19.(2012·浙江·理T3)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】l1与l2平行的充要条件为a(a+1)=2×1且a×4≠1×(-1),可解得a=1或a=-2,故a=1是l1∥l2的充分不必要条件.20.(2010·安徽·文T4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 【答案】A【解析】设直线方程为x-2y+c=0,将点(1,0)代入,解得c=-1,故直线方程为x-2y-1=0. 二、填空题1.(2019·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y=x+4(x>0)上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是 . 【答案】4【解析】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时,切点Q 即为点P 到直线x+y=0的最小距离的点,有y'=(x +4x )'=1-4x 2=-1(x>0),得x=√2(-√2舍). 此时y=√2√2=3√2,即切点Q(√2,3√2),则切点Q 到直线x+y=0的距离为d=√2+3√2|√1+1=4,即为所求最小值.2.(2019·天津·理T12)设a ∈R,直线ax-y+2=0和圆{x =2+2cosθ,y =1+2sinθ(θ为参数)相切,则a 的值为____.【答案】34【解析】由{x =2+2cosθ,y =1+2sinθ(θ为参数),得(x-2)2+(y-1)2=4, 圆心为(2,1),r=2. 由直线与圆相切,得2=2,解得a=34.3.(2019·浙江·T12)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A(-2,-1),则m= ,r= . 【答案】-2 √5【解析】由题意知k AC =-12⇒AC:y+1=-12(x+2),把(0,m)代入得m=-2,此时r=|AC|=√4+1=√5. 4.(2018·天津·文T12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 【答案】x 2+y 2-2x=0【解析】画出示意图如图所示,则△OAB 为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x=0.5.(2018·全国1·文T15)直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A,B 两点,则|AB|= . 【答案】2【解析】圆的方程可化为x 2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=√2=√2,所以弦长|AB|=222√4-2=2√2.6.(2018·天津·理T12)已知圆x 2+y 2-2x=0的圆心为C, 直线{x =-1+√22t ,y =3-√22t(t 为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC 的面积为_____________. 【答案】12【解析】圆C 的方程可化为(x-1)2+y 2=1,得圆心为C(1,0),半径为1. 由{x =-1+√22t ,y =3-√22t(t 为参数),可得直线的普通方程为x+y-2=0.所以圆心C(1,0)到直线x+y-2=0的距离d=√1+1=√22.所以|AB|=2√1-(√22)2=√2.所以S △ABC =12·|AB|·d=12×√2×√22=12.7.(2016·全国1·文T15)设直线y=x+2a 与圆C:x 2+y 2-2ay-2=0相交于A,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 . 【答案】4π【解析】圆C 的方程可化为x 2+(y-a)2=2+a 2,直线方程为x-y+2a=0, 所以圆心坐标为(0,a),半径r 2=a 2+2,圆心到直线的距离d=2.由已知(√3)2+a 22=a 2+2,解得a 2=2,故圆C 的面积为π(2+a 2)=4π.8.(2016·上海·理T3)已知平行直线l 1:2x+y-1=0,l 2:2x+y+1=0,则l 1,l 2的距离是 .【答案】2√55 【解析】d=12√A +B =√2+1=2√55. 9.(2016·浙江·文T10)已知a ∈R,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .【答案】(-2,-4) 5【解析】由题意,可得a 2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x 2+y 2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x 2+4y 2+4x+8y+10=0,(x +12)2+(y+1)2=-54不表示圆.10.(2016·天津·文T12)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为4√55,则圆C 的方程为 . 【答案】(x-2)2+y 2=9【解析】设圆心C 的坐标为(a,0)(a>0),√5=4√55⇒a=2.又点M(0,√5)在圆C 上,则圆C 的半径r=√22+5=3.故圆C 的方程为(x-2)2+y 2=9.11.(2016·全国3·理T16文T15)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点.若|AB|=2√3,则|CD|= . 【答案】4【解析】因为|AB|=2√3,且圆的半径R=2√3,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-√3=0的距离为√R 2-(|AB |)2=3.由√3|2=3,解得m=-√3.将其代入直线l 的方程,得y=√33x+2√3,即直线l 的倾斜角为30°. 由平面几何知识知在梯形ABDC 中, |CD|=|AB |cos30°=4.12.(2015·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】(x-1)2+y 2=2【解析】(方法一)设A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P 的直线系方程.当直线与AP 垂直时,所求圆的半径最大.此时,半径为|AP|=√(2-1)2+(-1-0)2=√2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y 2=2.(方法二)设圆的半径为r,根据直线与圆相切的关系得r=√2=√m 2+2m+1m 2+1=√1+2mm 2+1,当m<0时,1+2mm 2+1<1,故1+2mm 2+1无最大值; 当m=0时,r=1;当m>0时,m 2+1≥2m(当且仅当m=1时取等号). 所以r≤√1+1=√2,即r max =√2, 故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y 2=2. 13.(2015·全国1·理T14)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为___________. 【答案】(x -3)2+y 2=25【解析】由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以√(a -0)2+(0-2)2=4-a,解得a=32,故圆心为(32,0),此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是(x -32)2+y 2=254.14.(2014·重庆·理T13)已知直线ax+y-2=0与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a= . 【答案】4±√15【解析】由△ABC 为等边三角形可得,C 到AB 的距离为√3,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d=√2=√3,即a 2-8a+1=0,可求得a=4±√15.15.(2014·陕西·理T12)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x 对称,则圆C 的标准方程为 .【答案】x 2+(y-1)2=1【解析】因为(1,0)关于y=x 的对称点为(0,1),所以圆C 是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆,其方程为x 2+(y-1)2=1.16.(2011·浙江·文T12)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= . 【答案】1【解析】由题意知1×2+(-2)·m=0,即m=1.17.(2010·全国·理T15)过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C 的方程为 . 【答案】(x-3)2+y 2=2【解析】由题意知A,B 两点在圆C 上, ∴线段AB 的垂直平分线x=3过圆心C. 又圆C 与直线y=x-1相切于点B(2,1), ∴k BC =-1.∴直线BC 的方程为y-1=-(x-2), 即y=-x+3.y=-x+3与x=3联立得圆心C 的坐标为(3,0),∴r=|BC|=√(3-2)2+(0-1)2=√2.∴圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2.18.(2010·全国·文T13)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为 . 【答案】x 2+y 2=2【解析】圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离R=√1+1=√2.∴圆的方程为x 2+y 2=2.三、计算题1.(2015·全国1·文T20)已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 【解析】(1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1. 因为l 与C 交于两点, 所以√1+k <1.解得4-√73<k<4+√73.所以k 的取值范围为(4-√73,4+√73). (2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k 2)x 2-4(1+k)x+7=0. 所以x 1+x 2=4(1+k )1+k2,x 1x 2=71+k2.OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k2+8.由题设可得4k (1+k )1+k2+8=12,解得k=1,所以l 的方程为y=x+1. 故圆心C 在l 上,所以|MN|=2.2.(2015·广东·理T20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】(1)由x 2+y 2-6x+5=0,得(x-3)2+y 2=4, 从而可知圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M(x,y), 由弦的性质可知C 1M ⊥AB,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆, 该圆的圆心为C (32,0),半径r=12|OC 1|=12×3=32,其方程为(x -32)2+y 2=(32)2,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内,所以√(x -3)2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>53.易知x≤3,所以53<x≤3. 所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0(53<x ≤3).(3)存在实数k 满足题意. 由(2)知点M 的轨迹是以C (32,0)为圆心,32为半径的圆弧EF⏜(如图所示,不包括两个端点),且E (53,2√53),F (53,-2√53). 又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0), 当直线L 与圆C 相切时,由|k (32-4)-0|√k +1=32,得k=±34.又k DE =-k DF =-0-(-2√53)4-53=2√57,结合上图可知当k ∈{-34,34}∪[-2√57,2√57]时,直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点.3.(2014·全国1·文T20)已知点P(2,2),圆C:x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积. 【解析】设M(x,y),则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-4),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x,2-y). 由题设知CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心,√2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM. 因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为-13,故l 的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=2√2,O 到l 的距离为4√105,|PM|=4√105,所以△POM 的面积为165.4.(2013·江苏·T17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y=x-1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M,使MA=2MO,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【解析】(1)由题设,圆心C 是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y=kx+3, 由题意,√k +1=1,解得k=0或k=-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点M(x,y),因为MA=2MO,所以√x2+(y-3)2=2√x2+y2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1, 即1≤√a2+(2a-3)2≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;.由5a2-12a≤0,得0≤a≤125].所以点C的横坐标a的取值范围为[0,125。

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专题11平面解析几何选择填空题历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科10】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．y2＝1 B． 1C． 1 D． 12．【2018年新课标1理科08】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•（）A．5 B．6 C．7 D．83．【2018年新课标1理科11】已知双曲线C：y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）A．B．3 C．2D．44．【2017年新课标1理科10】已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．105．【2016年新课标1理科05】已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．【2016年新课标1理科10】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．87．【2015年新课标1理科05】已知M（x0，y0）是双曲线C：1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．8．【2014年新课标1理科04】已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m9．【2014年新课标1理科10】已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF 与C的一个交点，若4，则|QF|＝（）A．B．3 C．D．210．【2013年新课标1理科04】已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y B．y C．y＝±x D．y11．【2013年新课标1理科10】已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．12．【2012年新课标1理科04】设F1、F2是椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．13．【2012年新课标1理科08】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于点A和点B，|AB|＝4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．814．【2011年新课标1理科07】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．315．【2010年新课标1理科12】已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．16．【2019年新课标1理科16】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，•0，则C的离心率为17．【2017年新课标1理科15】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b 为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为．18．【2015年新课标1理科14】一个圆经过椭圆1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．19．【2011年新课标1理科14】在平面直角坐标系xOy ，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在x 轴上，离心率为．过F 1的直线交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为．20．【2010年新课标1理科15】过点A （4，1）的圆C 与直线x ﹣y ＝1相切于点B （2，1），则圆C 的方程为．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若3AF FB =，则该双曲线的离心率为（）AB ．2C ．3D2．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(, 0)F c ，若a 、b 、c 成等比数列，则该双曲线的离率e =（）A ．12+ B ．12C ．12D 13．已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（）A ．2B C D ．124．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A B ，两点，若四边形AOBF 的面积为()2212a b +，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±5．已知12F F 、分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(B ．)+∞C ．()1,2D ．()2,+∞6．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若|AF|=3，则|BF|=( ) A ．2B ．32C ．1D ．127．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，抛物线C 上动点A ，B 满足4AF FB =，若A ，B 的准线上的射影分别为M ，N 且MFN ∆的面积为5,则AB =（） A ．94B ．134C ．214D ．2548．已知直线1y kx =-与抛物线28x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率为（）A B CD 9．过点(2,1)P 作直线l 与圆22:240C x y x y a +--+=交于A ，B 两点，若P 为A ，B 中点，则直线l 的方程为( ) A ．3y x =-+ B ．23y x =- C ．23y x =-+D ．1y x =-10．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c=2,213PF F S ∆=，则双曲线的两条渐近线的夹角为（） A ．5π B ．4π C ．6π D ．3π11．直线:2l x ay +=被圆224x y +=所截得的弦长为l 的斜率为（）A B ．C ．3D ．3±12．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点A ，抛物线2:12C y ax =的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是（）A ．()1,2B ．⎛ ⎝⎦C ．()2,+∞D ．3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭13．已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（）A ．4-B ．14-C ．D ．14．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则（）A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线 C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线15．已知抛物线2:4C y x =的焦点F 和准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-，则||AB =（）A ．23B ．43C ．323D ．16316．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C的左支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为（）AB C ．43D ．5317．已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点()01,M y 在抛物线C 上，05||4y MF =，则tan FAM ∠=（） A ．25B ．52C ．54D ．4518．已知圆C ：22430x y x +-+=，则圆C 关于直线4y x =--的对称圆的方程是（） A ．22(4)(6)1x y +++= B ．22(6)(4)1x y +++= C ．22(5)(7)1x y +++=D ．22(7)(5)1x y +++=19．已知椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（）A B ．12C ．2D ．1320．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )A B 1-C D ．221．已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，则过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆的方程为______．22．已知点(3,3)P -，过点(3,0)M 作直线，与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=____.23．已知圆C ：22(1)()16x y a -+-=，若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且CA CB ⊥，则实数a 的值为_______.24．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．25．已知点()2,0A -、()02,B ，若点C 是圆222210x ax y a -++-=上的动点，ABC ∆面积的最小值为3，则a 的值为__________．26．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过2F 的直线交椭圆于A ，B两点，1ABF ∆的周长为8，则该椭圆的短轴长为__________.27．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点、右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为______.28．已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，,与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:2FM MN =，则实数a 的值为______．29．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.30．椭圆T ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点(,0)A a ，(0,)B b ，过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆T 于D ，C （不同于顶点），若3BC AD =，则椭圆T 的离心率为_____．。

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