导数中的构造函数(最全精编)

1、利用 f (x ) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x ),
f (x )
；这类形式是对u ⋅ v , u
型
数导数计算的推广及应用，我们对u ⋅ v , u
的导函数观察可得知， u ⋅ v 型导函数中
体现的是“ + ”法， u
型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当
导函数形式出现的是“ + ”法形式时，优先考虑构造u ⋅ v 型，当导函数形式出现
的是“－”法形式时，优先考虑构造 u
，我们根据得出的“优先”原则，看一看
例 1，例 2.
【例 1】 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，当 x < 0 时， f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，且
f (-4) = 0 ，则不等式 xf (x ) > 0 的解集为
【解析】构造 F (x ) = xf (x ) ，则 F ' (x ) = f (x ) + xf ' (x ) ，当 x < 0 时，f (x ) + xf ' (x ) < 0 ， 可以推出 x < 0 ， F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在(-∞,0) 上单调递减.∵ f (x ) 为偶函数， x 为奇函数， 所以 F (x ) 为奇函数， ∴ F (x ) 在 (0,+∞) 上也单调递减. 根据 f (-4) = 0 可得
F (-4) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (x ) > 0 的解 集为(-∞,-4) ⋃ (0,4) .
❀❀❀思路点拨：出现“ + ”形式，优先构造 F (x ) = xf (x ) ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.
导数小题中构造函数的技巧
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想， 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

（一）利用 f (x ) 进行抽象函数构造
【例 2 】设
f (x ) 是定义在 R 上的偶函数， 且
f (1) = 0 ， 当 x < 0 时， 有
xf ' (x ) - f (x ) > 0 恒成立，则不等式 f (x ) > 0 的解集为
x n
然 后 利 用
F (x ) = f (x ) ❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x ) - nf (x ) ”形式，优先构造 函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.
时， 2 f (x ) > xf ' (x ) ，则使得 f (x ) > 0 成立的 x 的取值范围是
xf (x ),
f (x )
是比较简单常见的 f (x ) 与 x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，
不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式. 我们根据得出的结论去解决例 3 题
【例 3】已知偶函数 f (x )(x ≠ 0) 的导函数为 f ' (x ) ，且满足 f (-1) = 0 ，当 x > 0
xf ' (x ) - f (x ) > 0 ，可以推出 x < 0 ， F ' (x ) > 0 ， F (x ) 在(-∞,0) 上单调递增.∵ f (x ) 为偶函数， x 为奇函数，所以 F (x ) 为奇函数，∴ F (x ) 在(0,+∞) 上也单调递减.根据f (1) = 0 可得 F (1) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 f (x ) > 0 的解集为(-∞,-1) ⋃(1,+∞) .
f '
(x ) ⋅ x - f (x ) ， 当 x < 0 时 ， x 2
， 则 F (x ) = f (x ) 【 解 析 】 构 造 F (x ) = 然后利用函数的单调
F (x ) = f (x )
❀❀❀思路点拨：出现“ ”形式，优先构造 性、奇偶性和数形结合求解即可.
x
n 出现 xf ' (x ) - nf (x ) 形式，构造函数 F (x ) =
f (x )
. 结论：
出现nf (x ) + xf ' (x ) 形式，构造函数 F (x ) = x n f ； xf ' (x ) - nf (x ) x n +1
f ' (x ) ⋅ x n - nx n -1 f (x ) = x 2n
， F (x ) = f (x ) x n F (x ) = F (x ) = x n f (x ) ， F ' (x ) = nx n -1 f (x ) + x n f (x ) = x n -1[nf (x ) + f ' (x )] ；
x
n '
❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x ) + nf (x ) ”形式，优先构造 F (x ) = xf (2x ) ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意 f (-2) = 0 和 F (x ) 的转化.
xf ' (x ) - 2 f (x ) < 0 ，可以推出 x > 0 ，F ' (x ) < 0 ，F (x ) 在(0,+∞) 上单调递减.∵ f (x ) 为偶函数， x 2 为偶函数，所以 F (x ) 为偶函数，∴ F (x ) 在(-∞,0) 上单调递增.根据f (-1) = 0 可得 F (-1) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 f (x ) > 0 的解集为(-1,0)⋃(0,1) .
【变式提升】设函数 f (x ) 满足 x 3
f '
(x ) + 3x 2
f (x ) = 1+ ln x ，且 f (
则 x > 0 时， f (x ) （ ） A 、有极大值，无极小值 B 、有极小值，无极大值 C 、既有极大值又有极小值
D 、既无极大值也无极小值
e ) = 1 ， 2e
【例 4】设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，在(-∞,0) 上有2xf ' (2x ) + f (2x ) < 0 ， 且 f (-2) = 0 ，则不等式 xf (2x ) < 0 的解集为
.
【 解 析 】 构 造 F (x ) = f (x ) x 2 ， 则 F (x ) f '
(x ) ⋅ x - 2 f (x ) ， 当 x > 0 时 ， x 3
❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x ) + nf (x ) ”形式，为n = 3 时情况，优先构造 F (x ) = f (x )
， 然后利用积分、函数的性质求解即可.
【 解 析 】 构 造 F (x ) = xf (2x ) ， 则 F ' (x ) = 2xf ' (x ) + f (2x ) ， 当 x < 0 时 ， F ' (x ) = 2xf ' (x ) + f (2x ) < 0 ，可以推出 x < 0 ， F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在(-∞,0) 上单调递减.
∵ f (x ) 为奇函数， x 为奇函数，所以 F (x ) 为偶函数，∴ F (x ) 在(0,+∞) 上单调递增. 根据 f (-2) = 0 可得 F (-1) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (2x ) < 0 的解集为(-1,0) ⋃ (0,1) .
（2） 利用 f (x ) 与e x 构造；
f (x ) 与 e x 构造， 一方面是对 u ⋅ v , u
v
函数形式的考察， 另外一方面是对
(e x ) = e x 的考察.所以对于 f (x ) ± f ' (x ) 类型，我们可以等同
xf (x ), f (x ) 的类型处 x
理，“ + ”法优先考虑构造 F (x ) = f (x ) ⋅ e x
，“ ”法优先考虑构造 F (x ) = f (x ) e
x .
我们根据得出的结论去解决例 6 题.
【例 5】已知 f (x ) 是定义在(-∞,+∞) 上的函数，导函数 f ' (x ) 满足 f ' (x ) < f (x ) 对于 x ∈ R 恒成立，则（
）
A 、 f (2) > e 2 f (0), f (2014) > e 2014 f (0)
B 、 f (2) < e 2 f (0), f (2014) > e 2014 f (0)
C 、 f (2) > e 2 f (0), f (2014) < e 2014 f (0)
D 、 f (2) < e 2 f (0), f (2014) < e 2014 f (0)
e
x 见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？ 同样e x f (x ), f (x )
是比较简单常见的 f (x ) 与e x 之间的函数关系式，如果碰
函数 f ' (x ) 满足 f ' (x ) < f (x ) ，则 F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在 R 上单调递减，根据单调性可
知
，导 f ' (x ) - f (x ) e x
e x
f ' (x ) - e x f (x ) = e 2 x
形式，则 F (x ) f (x ) e x 【解析】构造 F (x ) = 函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
e
x ❀❀❀思路点拨：满足“ f ' (x ) - f (x ) < 0 ”形式，优先构造 F (x ) = f (x )
，然后利用 e
nx 2、出现 f ' (x ) - nf (x ) 形式，构造函数 F (x ) =
f (x )
. 结论：1、出现 f ' (x ) + nf (x ) 形式，构造函数 F (x ) = e nx f (x ) ；
； f ' (x )e nx - ne nx f (x ) = [ f ' (x ) - nf (x )] e 2nx
e nx ，
F (x ) = f (x ) e nx F (x ) = F (x ) = e nx f (x ) ， F ' (x ) = n ⋅ e nx f (x ) + e nx f ' (x ) = e nx [ f ' (x ) + nf (x )]；
'
e 2 x
e 2 x
❀❀❀思路点拨：利用通式构造函数时考虑- 4 如何转化.构造函数 F (x ) =
f (x ) - 2
'
e
x
【例 6】若定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f ' (x ) - 2 f (x ) > 0, f (0) = 1 ，则不等式 f (x ) > e 2 x 的解集为
【变式提升】若定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f ' (x ) - 2 f (x ) - 4 > 0, f (0) = -1，
则不等式 f (x ) > e 2 x - 2 的解集为
【例 7】已知函数 f ( x ) 在 R 上可导，其导函数为 f '( x ) ，若 f ( x ) 满足： (x -1)[ f '( x ) - f (x )] > 0 ， f (2 - x ) = f (x )e 2-2 x ，则下列判断一定正确的是（
）
（A ） f (1) < f (0)
（B） f (2) > e 2 f (0)
（C） f (3) > e 3 f (0)
（D） f (4) < e 4 f (0)
❀❀❀思路点拨：满足“ f ' (x ) - 2 f (x ) < 0 ”形式，优先构造 F (x ) =
f (x )
，然后利用 函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
【解析】构造 F (x ) = f (x ) e 2 x 形式，则 F (x ) =
e 2 x
f ' (x ) - 2e 2 x f (x ) = e 4 x f ' (x ) - 2 f (x ) e 2 x
， 导函数 f ' (x ) 满足 f ' (x ) - 2 f (x ) > 0 ， 则 F ' (x ) > 0 ， F (x ) 在 R 上单调递增. 又
f (0) = 1，则 F (0) = 1 ， f (x ) > e 2 x ⇔
f (x )
> 1 ⇔ F (x ) > F (0) ，根据单调性得 x > 0 . e 2 x e
2 x ❀❀❀思路点拨：满足“ f ' (x ) - f (x ) ”形式，优先构造 F (x ) =
f (x )
，然后利用函数 的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
【解析】构造 F (x ) = f (x ) e x 形式，则 F (x ) e x f ' (x ) - e x f (x ) = e 2 x f ' (x ) - f (x ) e
x
，导 函数 f ' (x ) 满足(x -1)[ f ' (x ) - f (x )] > 0 ，则 x ≥ 1时 F ' (x ) ≥ 0 ， F (x ) 在[1,+∞) 上单调递增 . 当 x < 1 时 F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在 (-∞,1] 上 单 调 递 减 . 又 由 f (2 - x ) = f (x )e 2-2 x ⇔ F (2 - x ) = F (x ) ⇒ F (x ) 关于 x = 1 对称，根据单调性和图像， 可知选 C.
根据得出的关系式，我们来看一下例 8
【 例 8 】 已 知 函 数 y = f ( x )
对 于 任 意 的 x ∈(-
π π
2 2
, ) 满 足
f '( x ) c os x + f (x )sin x > 0 （其中 f '( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数），则下列不等式 不成立的是（
）
A 、 2 f π < f π ( )
( )
B、 2 f (- π < f (- π
C、 f (0) < 2 f π
( )
D、 f (0) < 2 f (π
化后可知选 B.
2 2
π π
满足 f ' x cos x + f x sin x > 0 ，则
F (x ) > 0 ，F (x ) 在(- , ) 上单调递增.把选项转 ，导函数 f (x )
f ' (x ) cos x + f (x ) s in x 2
形式，则 F (x ) = f (x ) cos x
【解析】构造 F (x ) 然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. cos
x
❀❀❀思路点拨：满足“ f '( x ) c os x + f (x )sin x > 0 ”形式，优先构造 F (x ) = f (x )
. f ' (x ) cos x + f (x ) s in x 2
, F (x ) = f (x ) cos x
F (x ) F (x ) = f (x ) cos x , F ' (x ) = f ' (x ) cos x - f (x ) sin x ； ； f ' (x ) sin x - f (x ) cos x 2
, F (x ) = f (x ) sin x
F (x ) F (x ) = f (x ) s in x , F ' (x ) = f ' (x ) sin x + f (x ) cos x ；
（3） 利用 f (x ) 与sin x , cos x 构造.
sin x , cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.
【变式提升】定义在(0,
π
) 上的函数，函数 f 2
' (x ) 是它的导函数，且恒有
f (x ) < f ' (x ) tan x 成立，则（ ）
π π π
A 、 f ( ) > 4
f ( ) 3 B 、 f (1) < 2 f ( ) sin1
6 π π π π
C 、 f ( ) > 6 f ( ) 4 D、 f ( ) < 6
f ( )
3
则 f ' (0) = （ ）
A 、26
B 、29
C 、212
D 、215
（二）构造具体函数关系式构造
这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.
【例 9】α,β∈[- π,π
，且αsin α- βsin β> 0 ，则下列结论正确的是（
2 2
）
A、α> β
B、α2 > β2
C、α< β
D、α+ β> 0
【变式提升】定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (1) = 1 且对∀x ∈ R , f ' (x ) < 1
则
，
不等式 f (log x ) >
log 2 x +1
的解集为 .
【例10】等比数列
中，
，
，函数
，
f ' (x ) ≥ 0 ， f (x ) 单调递增；x ∈[- π
,0) 时导函数 f ' (x ) < 0 ， f (x ) 单调递减.有∵ f (x )
为偶函数，根据单调性和图像可知选 B.
【解析】构造 f (x ) = x sin x 形式，则 f (x ) = sin x + x cos x ， x ∈[0, ] 时导函数
❀❀❀思路点拨：构造函数 f (x ) = x sin x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.
，利用单调性求解集，然后解对数不等式即可.
t +1
f (t ) > ❀❀❀思路点拨：构造函数 F (x ) = f (x ) - 1
x 2 ，令t = log x ，然后原不等式等价于 ❀❀❀思路点拨：满足“ f ' (x ) sin x - f (x ) cos x ”形式，优先构造 F (x ) = f (x )
，然后
sin x
利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
) )
f ' (x ) < sin 2x ，且∀x ∈ R ，有 f (-x ) + f (x ) = 2 sin 2 x ，则以下大小关系一定
正确的是（ ）
f (5π 4π π
A、 ) < f ( ) 6 3
B、 f ( ) < 4
f (π)
C、 f (- 5π
< 6
f (- 4π 3 D 、 f (- π
> 4
f (-π)
1 2 f ' (x ) = g (x ) + xg ' (x ) ，∴ f ' (0) = g (0) = a ⋅ a ⋅...⋅ a = (2 ⨯ 4)4 = 212
，故选 C.
【 解 析 】 令 g (x ) = (x - a 1 )(x - a 2 )...(x - a 8 ) 形 式 ， 则 f (x ) = xg (x ) ，
❀❀❀思路点拨：构造函数 f (x ) = xg (x ) ，然后利用整体代换思想和数列的性质求解即可.
【例 11】已知实数a , b , c 满
足
a - 2e a 1- c
d -1 = 1 ，其中
e 是自然对数的底数， 那么(a - c )2 + (b - d )2 的最小值为( )
A 、8
B 、10
C 、12
D 、18
【变式提升】已知实数a , b 满足2a 2 - 5 ln a - b = 0 ，c ∈ R ，则 (a - c )2 + (b + c )2 的最小值为
【课后作业】设函数 f (x ) 在 R 上的导函数 f ' (x ) ， 在(0,+∞) 上
⎪ = 8
1+1 ⎛ | 0 - 2 - 2 ⎫2
为(0,-2) ，所以(a - c )2 + (b - d )2 的最小值为
d -1
1- c = 1 ⇒ d = 2 - c ⇒ g (x ) = 2 - x ；由 f ' (x ) = 1- 2e x = -1，得 x = 0 ，所以切点坐标
1 ⇒ b = a - 2e 进 而 ⇒ f (x ) = x - 2e ； 又 由
a - 2e a =
【 解 析 】 由 ❀❀❀思路点拨：把(a - c )2 + (b - d )2 看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可.
❀❀❀思路点拨：构造函数 f (x ) = 2x 2 - 5 ln x ， g (x ) = -x ，然后利用两点之间的距
离公式和数形结合思想求解即可.
)
构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力，是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。