向量数量积的坐标表示、模、夹角
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1 3，1)，b＝2，0，则
a⊗b＝ ( )
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3 A. 2 2 C. 2
1 B. 2 3 D. 3
[答案] B
第二章
平面向量
a· b [解析] ∵cosθ＝ |a|· |b|
1 (－ 3，1)×2，0 1 2 2 (－ 3) ＋1 · 22＋02
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，
1 x0＝3(2x－1) ∴ y0＝1(2y＋1) 3
x ＝2x＋1 0 或 y0＝2y－1
，
第二章
平面向量
代入圆方程中得(2x＋5)2 ＋(2y－2)2 ＝81或(2x＋3)2 ＋
(2y－2)2＝9. 即为所求的轨迹方程．
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M是⊙C上任意一点，点N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|， 动点N的轨迹为C，求C的轨迹方程．
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第二章
平面向量
[错解] 设 N(x，y)，M(x0，y0)，∵N 在射线 AM 上， → → 且|AM|＝2|MN|，∴AM＝2MN， → → ∵AM＝(x0＋1，y0－1)，MN＝(x－x0，y－y0)， 1 x ＋1＝2(x－x ) x0＝3(2x－1) 0 0 ∴ ，∴ y0－1＝2(y－y0) y0＝1(2y＋1) 3 ∵M(x0，y0)在⊙C 上， 1 1 2 ∴[ (2x－1)＋2] ＋[ (2y＋1)－1]2＝9， 3 3
第二章
平面向量
重点：用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹
角． 难点：对向量的模及其夹角的理解和应用．
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第二章
平面向量
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第二章
平面向量
1．注意两向量平行与垂直关系的区别
对于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有 ①a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0； ②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 2．平面向量数量积的坐标表示式的推证
[点评] ∵b与a夹角180°，∴b与a方向相反，故可设 b＝ka(k<0)，∴b＝(k，－2k)，由|b|＝3 得k2＋4k2＝45，
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∴k＝－3，∴b＝(－3,6)．
第二章
平面向量
3．定义一种新运算 a⊗b＝|a||b|sinθ，其中 θ 为 a 与 b 的 夹角，已知 a＝(－
样点 C 的坐标中只含有一个未知数 t， 由数量积的坐标表示 → CB → 知CA· 为 t 的二次函数， 由二次函数取最小值的条件可求 出 t，代入夹角公式可求 cos∠ACB.
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第二章
平面向量
[解析]
→ (1)因为点 C 是直线 OP 上一点， 所以向量OC与
→ → → → OP共线，设OC＝tOP，则OC＝(2t，t)． → → → → → → CA＝OA－OC＝(1－2t,7－t)，CB＝OB－OC ＝(5－2t,1 －t)， → CB → CA · ＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2 －20t＋12＝ 5(t－2)2－8， → CB → → 当 t＝2 时，CA· 取得最小值，此时OC＝(4,2)． → → → (2)当OC＝(4,2)时，CA＝(－3,5)，CB＝(1，－1)， → → → CB → 所以|CA|＝ 34，|CB|＝ 2，CA· ＝－8. → CB → CA· 4 17 cos∠ACB＝ ＝－ 17 . → ||CB| → |CA
→ → －1)， · ＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x AP BP → BP → －3) ＋1，∴当 x＝3 时AP· 有最小值，
2
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∴P(3,0)．
第二章
平面向量
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第二章
平面向量
[例6] 已知⊙C：(x＋2)2＋(y－1)2＝9及定点A(－1,1)，
＝
3 －2 3 ＝ 1 ＝－ 2 ， 2× 2 又∵0° ≤θ≤180° ，∴θ＝150° ， 1 1 所以 a⊗b＝|a|· |b|sinθ＝2×2· sin150° 2. ＝
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第二章
平面向量
二、填空题
4．已知a＝(1,2)，b＝(3,1)，则|3a－2b|＝________. [答案] 5 [解析] ∵3a－2b＝(－3,4)，
5 ∵b＝－2a，∴a＋b＝－a，∴a· c＝－2， 5 －2 1 a· c ∴cosθ＝|a||c|＝ ＝－2， 5· 5 ∴θ＝120° ，故选 C.
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第二章
平面向量
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第二章
平面向量
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第二章
平面向量
[分析]
→ → 由 C 是直线 OP 上一点知，OC与OP共线，这
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又|e|＝1，∴选B.
第二章
平面向量
已知向量 a＝(1,2)， b＝(－2， －4)，|c|＝ 5， 若(a＋b)· c 5 ＝2，则 a 与 c 的夹角为 ( A．30° C．120°
[答案] C
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)
B．60° D．150°
第二章
平面向量
[解析]
设 a 与 c 的夹角为 θ，
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第二章
平面向量
已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)， D(－1,4)，求证：四边形ABCD是正方形．
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第二章
平面向量
[解析]
∵A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(－1,4)，
→ ∴AB＝(5－2,4－1)＝(3,3)， → DC＝(2＋1,7－4)＝(3,3)． → → ∴AB＝DC，从而四边形 ABCD 为平行四边形． → 又∵AD＝(－1－2,4－1)＝(－3,3)， → AB → ∴AD· ＝(－3,3)· (3,3)＝－9＋9＝0. → → ∴AD⊥AB.∴平行四边形 ABCD 为矩形． → → 又∵|AB|＝|AD|＝3 2.∴矩形 ABCD 为正方形．
设 N(x，y)，M(x0，y0)，
∵N 在射线 AM 上，且|AM|＝2|MN|， → → → → ∴AM＝2MN或AM＝－2MN， → → AM＝(x0＋1，y0－1)，MN＝(x－x0，y－y0)，
x ＋1＝2(x－x ) 0 0 ∴ y0－1＝2(y－y0) x ＋1＝－2(x－x ) 0 0 或 y0－1＝－2(y－y0)
且|b|＝3 ，则b等于 ( A．(－3,6) C．(6，－3) B．(3，－6) D．(－6,3) )
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[答案] A
第二章
平面向量
[解析]
a· b＝|a||b|cos180° ＝－ 12＋(－2)2 ×3 5＝－
15，设 b＝(x2，y2)，则 a· b＝1·2＋(－2)·2＝x2－2y2＝－15， x y 所以选项 A 中(－3,6)满足 x2－2y2＝－15，即(－3,6)＝(x2， y2)，故选 A.
5 2 81 x＋ ＋(y－1)2＝ . 整理得 2 4
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，
第二章
平面向量
[辨析]
由点 N 在射线 AM 上，|AM|＝2|MN|可能得出
→ → → → AM＝2MN，也可能得出AM＝－2MN，错解考虑问题不够 全面．
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第二章
平面向量
[正解]
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第二章
平面向量
→ → 已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在 x 轴上有一点 P， → BP → 使AP· 有最小值，则 P 点坐标为 ( A．(－3,0) C．(2,0)
[答案] B
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)
B．(3,0) D．(4,0)
第二章
平面向量
[解析]
→ → 设 P(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，
第二章
平面向量
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第二章
平面向量
[例1] 已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋ λb与向量－b互相垂直，则实数λ的值为 ( )
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[分析] 利用向量线性运算和垂直的坐标表示求解．
第二章
平面向量
[解析]
b＝(－2,1)，
a＋λb＝(3,4)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，4－λ)，－
第二章
平面向量
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第二章
平面向量
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第二章
平面向量
1．平面向量数量积的坐标表示
(1)设两非零向量a＝(x1 ，y1)，b＝(x2 ，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 .
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第二章
平面向量
2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求a·b，|a|，|b|，
第二章
平面向量
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第二章
平面向量
一、选择题
1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x 等于 ( A．3 B．1 )
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C．－1
[答案] B
D．－3
[解析] 由3x＋1×(－3)＝0得x＝1.
第二章
平面向量
2．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，
∵(a＋λb)⊥(－b)，∴－2(3＋2λ)＋4－λ＝0， ∴λ＝－ ，故选D.
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第二章
平面向量
(09·宁夏、海南文)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量 λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为 ( )
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[答案] A
第二章
平面向量
[解析] ∵a＝(－3,2)，b＝(－1,0)
△ABC 是直角三角形，求 k 的值．
[分析] △ABC是直角三角形，但未指明哪个角为直 角，故须分类讨论，依据向量垂直的坐标表示列方程求k.
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第二章
平面向量
[解析]
→ → 若∠A＝90° ，则AB⊥AC，于是有 2×1＋3k＝
2 0，解得 k＝－ ； 3 若∠B＝90° 则AB⊥BC，→ ＝AC－AB＝(－1， ， → → BC → → k－3)， 11 故 2×(－1)＋3(k－3)＝0，解得 k＝ 3 ； → → 当∠C＝90° 时，AC⊥BC，即 1×(－1)＋k(k－3)＝0， 3± 13 解得 k＝ . 2 2 11 3± 13 所以所求的 k 值为－3， 3 或 2 .
a与b的夹角θ.
[解析]
a· b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，
|a|＝ 32＋(－1)2＝ 10， |b|＝ 12＋(－2)2＝ 5， a· b 5 2 cosθ＝|a|· ＝ ＝2， |b| 10× 5 π ∵0≤θ≤π，∴θ＝ . 4
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第二章
平面向量
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第二章
平面向量
5．已知a＝(2,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，则a·(b＋c)
＝________. [答案] 12 [解析] 原式＝(2,3)·(－3,6)＝－6＋18＝12.
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第二章
平面向量
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第二章
平面向量
[分析] 若设所求向量为e＝(x，y)，则可由e与a，b的
夹角相等，及|e|＝1建立x、y的两个方程，解方程组可求得 e.
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第二章
平面向量
[解析] 设所求向量为e＝(x，y)，
∵|a|＝|b|，且|e|＝1，<a，e>＝<b，e>， ∴a·e＝b·e，
λa＋b＝λ(－3,2)＋(－1,0)＝(－3λ－1,2λ) a－2b＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2) ∵λa＋b与a－2b垂直， ∴(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0
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7λ＋1＝0，∴λ＝－
第二章
平面向量
[例 2]
→ → 在△ABC 中，设AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，且
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设i、j为x轴、y轴上的单位向量，即i＝(1,0)，j＝(0,1)，
且a、b为两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则i·i＝ 1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝ x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.
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第二章
平面向量
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第二章
平面向量
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[答案] C
第二章
平面向量
[解析] ∵a＝(2,1)，∴|a|2＝5，
又a·b＝10，|a＋b|＝5 ∴|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝5＋20＋|b|2＝50， ∴|b|2＝25，∴|b|＝5.
a⊗b＝ ( )
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3 A. 2 2 C. 2
1 B. 2 3 D. 3
[答案] B
第二章
平面向量
a· b [解析] ∵cosθ＝ |a|· |b|
1 (－ 3，1)×2，0 1 2 2 (－ 3) ＋1 · 22＋02
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，
1 x0＝3(2x－1) ∴ y0＝1(2y＋1) 3
x ＝2x＋1 0 或 y0＝2y－1
，
第二章
平面向量
代入圆方程中得(2x＋5)2 ＋(2y－2)2 ＝81或(2x＋3)2 ＋
(2y－2)2＝9. 即为所求的轨迹方程．
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M是⊙C上任意一点，点N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|， 动点N的轨迹为C，求C的轨迹方程．
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第二章
平面向量
[错解] 设 N(x，y)，M(x0，y0)，∵N 在射线 AM 上， → → 且|AM|＝2|MN|，∴AM＝2MN， → → ∵AM＝(x0＋1，y0－1)，MN＝(x－x0，y－y0)， 1 x ＋1＝2(x－x ) x0＝3(2x－1) 0 0 ∴ ，∴ y0－1＝2(y－y0) y0＝1(2y＋1) 3 ∵M(x0，y0)在⊙C 上， 1 1 2 ∴[ (2x－1)＋2] ＋[ (2y＋1)－1]2＝9， 3 3
第二章
平面向量
重点：用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹
角． 难点：对向量的模及其夹角的理解和应用．
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第二章
平面向量
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第二章
平面向量
1．注意两向量平行与垂直关系的区别
对于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有 ①a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0； ②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 2．平面向量数量积的坐标表示式的推证
[点评] ∵b与a夹角180°，∴b与a方向相反，故可设 b＝ka(k<0)，∴b＝(k，－2k)，由|b|＝3 得k2＋4k2＝45，
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∴k＝－3，∴b＝(－3,6)．
第二章
平面向量
3．定义一种新运算 a⊗b＝|a||b|sinθ，其中 θ 为 a 与 b 的 夹角，已知 a＝(－
样点 C 的坐标中只含有一个未知数 t， 由数量积的坐标表示 → CB → 知CA· 为 t 的二次函数， 由二次函数取最小值的条件可求 出 t，代入夹角公式可求 cos∠ACB.
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第二章
平面向量
[解析]
→ (1)因为点 C 是直线 OP 上一点， 所以向量OC与
→ → → → OP共线，设OC＝tOP，则OC＝(2t，t)． → → → → → → CA＝OA－OC＝(1－2t,7－t)，CB＝OB－OC ＝(5－2t,1 －t)， → CB → CA · ＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2 －20t＋12＝ 5(t－2)2－8， → CB → → 当 t＝2 时，CA· 取得最小值，此时OC＝(4,2)． → → → (2)当OC＝(4,2)时，CA＝(－3,5)，CB＝(1，－1)， → → → CB → 所以|CA|＝ 34，|CB|＝ 2，CA· ＝－8. → CB → CA· 4 17 cos∠ACB＝ ＝－ 17 . → ||CB| → |CA
→ → －1)， · ＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x AP BP → BP → －3) ＋1，∴当 x＝3 时AP· 有最小值，
2
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∴P(3,0)．
第二章
平面向量
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第二章
平面向量
[例6] 已知⊙C：(x＋2)2＋(y－1)2＝9及定点A(－1,1)，
＝
3 －2 3 ＝ 1 ＝－ 2 ， 2× 2 又∵0° ≤θ≤180° ，∴θ＝150° ， 1 1 所以 a⊗b＝|a|· |b|sinθ＝2×2· sin150° 2. ＝
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平面向量
二、填空题
4．已知a＝(1,2)，b＝(3,1)，则|3a－2b|＝________. [答案] 5 [解析] ∵3a－2b＝(－3,4)，
5 ∵b＝－2a，∴a＋b＝－a，∴a· c＝－2， 5 －2 1 a· c ∴cosθ＝|a||c|＝ ＝－2， 5· 5 ∴θ＝120° ，故选 C.
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第二章
平面向量
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第二章
平面向量
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第二章
平面向量
[分析]
→ → 由 C 是直线 OP 上一点知，OC与OP共线，这
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又|e|＝1，∴选B.
第二章
平面向量
已知向量 a＝(1,2)， b＝(－2， －4)，|c|＝ 5， 若(a＋b)· c 5 ＝2，则 a 与 c 的夹角为 ( A．30° C．120°
[答案] C
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)
B．60° D．150°
第二章
平面向量
[解析]
设 a 与 c 的夹角为 θ，
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平面向量
已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)， D(－1,4)，求证：四边形ABCD是正方形．
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第二章
平面向量
[解析]
∵A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(－1,4)，
→ ∴AB＝(5－2,4－1)＝(3,3)， → DC＝(2＋1,7－4)＝(3,3)． → → ∴AB＝DC，从而四边形 ABCD 为平行四边形． → 又∵AD＝(－1－2,4－1)＝(－3,3)， → AB → ∴AD· ＝(－3,3)· (3,3)＝－9＋9＝0. → → ∴AD⊥AB.∴平行四边形 ABCD 为矩形． → → 又∵|AB|＝|AD|＝3 2.∴矩形 ABCD 为正方形．
设 N(x，y)，M(x0，y0)，
∵N 在射线 AM 上，且|AM|＝2|MN|， → → → → ∴AM＝2MN或AM＝－2MN， → → AM＝(x0＋1，y0－1)，MN＝(x－x0，y－y0)，
x ＋1＝2(x－x ) 0 0 ∴ y0－1＝2(y－y0) x ＋1＝－2(x－x ) 0 0 或 y0－1＝－2(y－y0)
且|b|＝3 ，则b等于 ( A．(－3,6) C．(6，－3) B．(3，－6) D．(－6,3) )
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[答案] A
第二章
平面向量
[解析]
a· b＝|a||b|cos180° ＝－ 12＋(－2)2 ×3 5＝－
15，设 b＝(x2，y2)，则 a· b＝1·2＋(－2)·2＝x2－2y2＝－15， x y 所以选项 A 中(－3,6)满足 x2－2y2＝－15，即(－3,6)＝(x2， y2)，故选 A.
5 2 81 x＋ ＋(y－1)2＝ . 整理得 2 4
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，
第二章
平面向量
[辨析]
由点 N 在射线 AM 上，|AM|＝2|MN|可能得出
→ → → → AM＝2MN，也可能得出AM＝－2MN，错解考虑问题不够 全面．
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第二章
平面向量
[正解]
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第二章
平面向量
→ → 已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在 x 轴上有一点 P， → BP → 使AP· 有最小值，则 P 点坐标为 ( A．(－3,0) C．(2,0)
[答案] B
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)
B．(3,0) D．(4,0)
第二章
平面向量
[解析]
→ → 设 P(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，
第二章
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平面向量
[例1] 已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋ λb与向量－b互相垂直，则实数λ的值为 ( )
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[分析] 利用向量线性运算和垂直的坐标表示求解．
第二章
平面向量
[解析]
b＝(－2,1)，
a＋λb＝(3,4)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，4－λ)，－
第二章
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第二章
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平面向量
1．平面向量数量积的坐标表示
(1)设两非零向量a＝(x1 ，y1)，b＝(x2 ，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 .
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平面向量
2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求a·b，|a|，|b|，
第二章
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平面向量
一、选择题
1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x 等于 ( A．3 B．1 )
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C．－1
[答案] B
D．－3
[解析] 由3x＋1×(－3)＝0得x＝1.
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平面向量
2．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，
∵(a＋λb)⊥(－b)，∴－2(3＋2λ)＋4－λ＝0， ∴λ＝－ ，故选D.
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(09·宁夏、海南文)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量 λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为 ( )
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[答案] A
第二章
平面向量
[解析] ∵a＝(－3,2)，b＝(－1,0)
△ABC 是直角三角形，求 k 的值．
[分析] △ABC是直角三角形，但未指明哪个角为直 角，故须分类讨论，依据向量垂直的坐标表示列方程求k.
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平面向量
[解析]
→ → 若∠A＝90° ，则AB⊥AC，于是有 2×1＋3k＝
2 0，解得 k＝－ ； 3 若∠B＝90° 则AB⊥BC，→ ＝AC－AB＝(－1， ， → → BC → → k－3)， 11 故 2×(－1)＋3(k－3)＝0，解得 k＝ 3 ； → → 当∠C＝90° 时，AC⊥BC，即 1×(－1)＋k(k－3)＝0， 3± 13 解得 k＝ . 2 2 11 3± 13 所以所求的 k 值为－3， 3 或 2 .
a与b的夹角θ.
[解析]
a· b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，
|a|＝ 32＋(－1)2＝ 10， |b|＝ 12＋(－2)2＝ 5， a· b 5 2 cosθ＝|a|· ＝ ＝2， |b| 10× 5 π ∵0≤θ≤π，∴θ＝ . 4
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第二章
平面向量
5．已知a＝(2,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，则a·(b＋c)
＝________. [答案] 12 [解析] 原式＝(2,3)·(－3,6)＝－6＋18＝12.
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平面向量
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[分析] 若设所求向量为e＝(x，y)，则可由e与a，b的
夹角相等，及|e|＝1建立x、y的两个方程，解方程组可求得 e.
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平面向量
[解析] 设所求向量为e＝(x，y)，
∵|a|＝|b|，且|e|＝1，<a，e>＝<b，e>， ∴a·e＝b·e，
λa＋b＝λ(－3,2)＋(－1,0)＝(－3λ－1,2λ) a－2b＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2) ∵λa＋b与a－2b垂直， ∴(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0
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7λ＋1＝0，∴λ＝－
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[例 2]
→ → 在△ABC 中，设AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，且
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设i、j为x轴、y轴上的单位向量，即i＝(1,0)，j＝(0,1)，
且a、b为两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则i·i＝ 1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝ x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.
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[答案] C
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[解析] ∵a＝(2,1)，∴|a|2＝5，
又a·b＝10，|a＋b|＝5 ∴|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝5＋20＋|b|2＝50， ∴|b|2＝25，∴|b|＝5.