灰色系统理论及其应用

灰色系统理论及其应用
第一章灰色系统的概念与基本原理
1.1灰色系统理论的产生和发展动态
1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生。

1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。

1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。

目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。

国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。

灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。

1.2几种不确定方法的比较
（系统科学---系统理论）概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。

其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。

也正是研究对象在不确定性上
的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。

模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。

比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。

概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。

要求大样本，并服从某种典型分布。

灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。

如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。

三种不确定性系统研究方法的比较分析
项目灰色系统概率统计模糊数学
研究对象贫信息不确
定
随机不
确定
认知不确
定
基础集合灰色朦胧集康托
集
模糊集方法依据信息覆盖映射映射途径手段灰序列算子频率统
计
截集数据要求任意分布典型分隶属度可
布知
侧重点内涵内涵外延
认知表达
目标现实规律历史统计
规律
特色小样本大样本凭经验
1.3灰色系统理论的基本概念
定义1.3.1信息完全明确的系统称为白色系统。

定义1.3.2信息未知的系统称为黑色系统。

定义1.3.3部分信息明确，部分不明确的系统称为灰色系统。

在工程技术、社会、经济、农业、生态、环境等各种系统中经常会遇到信息不完全的情况。

比如：农业方面，农田耕作面积往往因许多非农业的因素而改变，因此很难准确计算农田产量、产值，这是缺乏耕地面积信息；生物防治方面，害虫与天敌间的关系即使是明确的，但天敌与饵料、害虫与害虫间的许多关系却不明确，这是缺乏生物间的关联信息；一项土建工程，尽管材料、设备、施工计划、图纸是齐备的，可是还很难估计施工进度与质量，这是缺乏劳动力及技术水平的信息；一般社会经济系统，除了输出的时间数据列（比如产值、产量、总收入、总支出等）外，其输入数据列不明确或者缺乏，因而难以建立确定的完整的模型，这是缺乏系统信息；工程系统是客观实体，有明确的“内”、“外”关系（即系统内部与系统外部，或系统本体与系统环境），可以较清楚地明确输入与输出，因此可以较方便地分析输入对输
出的影响，可是社会、经济系统是抽象的对象，没有明确的“内”、“外”关系，不是客观实体，因此就难以分析输入（投入）对输出（产出）的影响，这是缺乏“模型信息”（即用什么模型，用什么量进行观测控制等信息）。

信息不完全的情况归纳起来有：元素（参数）信息不完全；结构信息不完全；关系信息（特指“内”、“外”关系）不完全；运行的行为信息不完全。

一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下，可算出该店的盈利大小、库存多少，可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等，这样的系统是白色系统。

遥远的某个星球，也可以看作一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距离地球多远，这些信息完全不知道，这样的系统是黑色系统。

人体是一个系统，人体的一些外部参数（如身高、体温、脉搏等）是已知的，而其他一些参数，如人体的穴位有多少，穴位的生物、化学、物理性能，生物的信息传递等尚未知道透彻，这样的系统是灰色系统。

显然，黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。

世界上没有绝对的白色系统，因为任何系统总有未确知的部分，也没有绝对的黑色系统，因为既然一无所知，也就无所谓该系统的存在了。

1.4灰色系统理论的基本原理
公理1(差异信息原理)“差异“即信息，凡信息必有差异。

公理2（解的非唯一性原理）信息不完全，不确定的解是非唯一的。

公理3（最少信息原理）灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息“。

公理4(认知根据原理)信息是认知的根据。

公理5（新信息优先原理）新信息对认知的作用大于老信息。

公理6（灰性不灭原理）：
“信息完全”是相对的,“信息不完全”是绝对的。

1.5灰色系统理论的主要内容
灰色系统理论经过20多年的发展，现在已经基本建立起一门新兴学科的结构体系。

其主要内容包括以灰色代数系统，灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系。

以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系。

以灰色模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析，评估，建模，预测，决策，控制，优化为主体的技术体系。

灰色系统的特点
灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。

（1）用灰色数学来处理不确定量，使之量化。

在数学发展史上，最早研究的是确定型的微分方程，即在拉普拉斯决定论框架内的数学。

他认为一旦有了描写事物的微分方程及初值，就能确知事物任何时候的运动。

随后发展了概率论与数理统计，用随机变量和随机过程来研究事物的状态和运动。

模
糊数学则研究没有清晰界限的事物，如儿童和少年之间没有确定的年龄界限加以截然划分等，它通过隶属函数来使模糊概念量化，因此能用模糊数学来描述如语言、不精确推理以及若干人文科学。

灰色系统理论则认为不确定量是灰数，用灰色数学来处理不确定量，同样能使不确定量予以量化。

1，2，3
不确定量量化（用确定量的方法研究）
1、概率论与数理统计；
2、模糊数学；
3、灰色数学（灰色系统理论）
（2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律。

研究灰色系统的关键是如何使灰色系统白化、模型化、优化。

灰色系统视不确定量为灰色量。

提出了灰色系统建模的具体数学方法，它能利用时间序列来确定微分方程的参数。

灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过程，而是看作随时间变化的灰色量或灰色过程，通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化，从而建立相应于微分方程解的模型并做出预报。

这样，对某些大系统和长期预测问题，就可以发挥作用。

（3）灰色系统理论能处理贫信息系统。

灰色预测模型只要求较短的观测资料即可，这和时间序列分析，多元分析等概率统计模型要求较长资料很不一样。

因此，对于某些只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具。

1.6灰数
灰数是灰色系统理论的基本“单元“或”细胞“。

我们把只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰数。

在应用中，灰
数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。

通常用记号“⊗”表示灰数。

灰数有以下几类：
1. 仅有下界的灰数。

有下界而无上界的灰数记为⊗∈
[,]a -∞，其中a 是灰数⊗的下确界，是确定的数，我
们称[,]a -
∞为⊗的取数域，简称⊗的灰域。

2. 仅有上界的灰数。

有上界而无下界的灰数记为⊗∈
[,]a --∞ ，其中a --
是灰数⊗的上确界，是确定的数。

3. 区间灰数。

既有下界又有上界的灰数称为区间灰数，
记为⊗∈[,]a a --
-- 4.
连续灰数与离散灰数。

5. 黑数与白数。

当⊗∈[,]-∞+∞，称⊗为黑数；当⊗∈
[,]a a ----且a a ----=时，称⊗为白数。

6. 本征灰数与非本征灰数。

本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值，宇宙的总能量等。

非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其代表的灰数。

我们称此白数为相应灰数的白化值。

第二章 序列算子与灰色序列生成
灰色系统理论的主要任务之一，是根据社会，经济，生态等系统的行为特征数据，寻找不同系统变量之间或某些系统变
量自身的数学关系和变化规律。

灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程。

灰色系统理论是通过对原始数据的挖掘，整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，我们称为灰色序列生成。

灰色系统理论认为，尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。

关键在于如何选择适当的方式去挖掘它和利用它。

一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。

例如考虑4个数据，记为)4(),3(),2(),1()0()0()0()0(X X X X ，其数据见下表： 序号
1 2 3 4 符号
)1()0(X )2()0(X )3()0(X )4()0(X 数据
1 2 1.5 4
将上表数据作图得
1
2
34
5
12
34
X Y
上图表明原始数据)0(X 没有明显的规律性，其发展态势是
摆动的。

如果将原始数据作累加生成，记第K 个累加生成为)()1(K X ,并且
1)1()1()0()1(==X X
321)2()1()2()0()0()1(=+=+=X X X
5.45.121)3()2()1()3()0()0()0()1(=++=++=X X X X
5.735.121)4()3()2()1()4()0()0()0()0()1(=+++=+++=X X X X X
得到数据如下表所示 序号
1 2 3 4 符号
)1()1(X )2()1(X )3()1(X )4()1(X 数据
1 3 4.5 7.5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
12
34X Y
上图表明生成数列X (1)是单调递增数列。

2.1冲击扰动系统与序列算子
定义2.1.1 设
0000((1),(2),,())X x x x n = 为系统真实行为序列，而观察到的系统行为数据序列为
000012((1),(2),,())((1),(2),,())n X x x x n x x x n X εεεε==+++=+
其中，12(,)n εεεε=为冲击扰动项（干扰项）。

X 称为冲击扰动序列。

所以本章我们的讨论围绕：由X →X 0展开（扰动还原真实）
2.2缓冲算子公理
定义2.2.1 设系统行为数据序列为((1),(2),,())X
x x x n =， 1. 若2,3,,()(1)0k n x k x k ∀=-->，则称X 为单调增长序列；
2. 若1中不等号反过来成立，则称X 为单调衰减序列；
3. 若,{2,3
,},()(1)0,()(1)0k k n x k x k x k x k '''∃∈-->--<有，则称X 为随机振荡序列。

4. 设{}{}max ()|12,3,,,()|12,3,,M x k k n m x k k n ====，，，则称M-m 为序列X 的振幅
定义2.2.2 设((1),(2),,())X x x x n =为系统行为数据系列，D 为作用于X 的算子，X 经过算子D 作用后所得序列记为
((1),(2),,())XD x d x d x n d =
称D 为序列算子，称XD 为一阶算子作用序列。

序列算子的作用可以多次，相应的，若123,,D D D 都是序列算子，
我们称12D D 为二阶算子，并称
12121212((1),(2),,())XD D x d d x d d x n d d =
为二阶算子作用序列，同理，123D D D 为三阶序列算子……
定义2.2.3 称下述三公理为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子D 称为缓冲算子，一阶，二阶，三阶……缓冲算子作用序列称为一阶，二阶，三阶……缓冲序列。

公理1（不动点公理） 设((1),(2),,())X x x x n =为系统行为
数据系列，D 为序列算子，则D 满足 ()()x n d x n =。

不动点公理限定在序列算子作用下，系统行为数据序列的数据()x n 保持不变。

根据定性分析的结论，亦可使()x n 以后的若干个数据在序列算子作用下保持不变。

例如，令
()()()()x j d x j x i d x i ≠=且
,1,2,1,1,,.j k i k k n =-=+其中
公理2.（信息充分利用公理）系统行为数据序列X 中的每一个数据(),1,2,x k k =，都要充分地参与算子的作用全过程
公理3（解析化、规范化公理） 任意的
(),(1,2,x k d k =，皆可由一个统一的(1),(2),,()x x x n 的初等解析式表达。

定义2.2.4 设X 为原始数据序列，D 为缓冲算子，当X 分别为增长序列，衰减序列或振荡序列时：
1.若缓冲序列XD 比原始序列X 的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，则称缓冲算子D 为弱化算子。

2.若缓冲序列XD 比原始序列X 的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大，则称缓冲算子D 为强化算子。

2.3实用缓冲算子的构造
定理 2.3.1 设原始数据序列((1),(2),,())X x x x n =令缓
冲序列 ((1),(2),,(X D x
d x d x n d = 其中1()[()(1)()]1x k d x k x k x n n k =++++-+；k=1,2,……，n,则当X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为弱化算子，并称为平均
弱化缓冲算子（AWBO ）
证明：直接利用(),(1,2,)x k d k =的定义，可知定理成立。

推论2.3.1对于定理1中定义的弱化算子D ，
令2222((1),(2),
,())XD XDD x d x d x n d == 21()[()(1)()],1,21x k d x k d x k d x n d k n n k =++++=-+，
则2D 对于增长序列，衰减序列或振荡序列时，皆为二阶弱化算子。

定理2.3.2设原始序列和其缓冲算子序列分别为
((1),(2),,())X x x x n =
((1),(2),
,())XD x d x d x n d = 其中(1)(2)(1)()(),1,2,121x x x k kx k x k d k n k +++-+=
=-- ()()x n d x n =
则当X 为增长序列（越来越大），衰减序列或振荡序列时，D 为强化算子。

推论2.3.2 设D 为定理2中定义的强化算子，令
2222((1),(2),,())
X D X D D x d x d x n d ==，其中 2()()()x n d x n d x n ==，
2(1)(2)(1)()(),1,2,121x d x d x k d kx k d
x k d k n k ++
+-+==-- 则2D 对于增长序列，衰减序列或振荡序列皆为二阶强化算子。

定理2.3.3 原始数据序列和其缓冲算子序列分别为
((1),(2),,())X x x x n =
((1),(2),,())XD x d x d x n d =
其中()(1)(1)()
(),1,2,()(1)/2kx k k x k nx n x k d k n n k n k +++++==+-+，则当X 为增长
序列，衰减序列或振荡序列时，D 为弱化算子，并称D 为加权平均弱化缓冲算子（WAWBO ）
定理2.3.4 设((1),(2),,())X x x x n =为非负的系统行为数据序列，令((1),(2),
,())XD x d x d x n d = 其中1
111()[()(1)()][()]
,1,2,n n k n k i k x k d x k x k x n x i k n -+-+==+==∏。

则当X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为弱化缓冲算子，并称D 为几何平均弱化缓冲算子（GAWBO ）
定理2.3.5 设((1),(2),,())X x x x n =为系统行为数据序列，各时点的权重向量为12
(,)n ωωωω=，则
((1),(2),,())XD x d x d x n d = 其中11()(1)()
(),1,2,k k n k k n x k x k x n x k d k n ωωωωωω++++++==+++。

则当X D 皆
为弱化缓冲算子，并称D 为加权平均弱化缓冲算子（WAWBO ）。

定理 2.3.6 设((1),(2),,())X
x x x n =，各时点的权重向量为12(,)n ωωωω=>0，
令 ((1),(2),
,())XD x d x d x n d = 其中
1111
1()[()(1)()][()]
,1,2,k k n k k n k k n n i k x k d x k x k x n x i k n
ωωωωωωωωω+++++++++==+==∏则当X D 为弱缓冲算子，并称D 为加权几何平均弱化缓冲算子（WGAWBO ）。

定理2.3.7 设((1),(2),,())X x x x n =为系统行为数据序
列，令((1),(2),
,())XD x d x d x n d = 其中2(1)()(),1,2,()(1)()n k x k x k d k n x k x k x n -+==++++。

则当X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为强化缓冲算子，并称D 为平均强化缓冲算子（ASBO ）
定理2.3.8 设((1),(2),,())X x x x n =为非负的系统行为数据序列，令((1),(2),
,())XD x d x d x n d = 其中221
111()
()(),1,2,[()(1)()][()]
n n k n k i k
x k x k x k d k n x k x k x n x i -+-+====+∏。

则当X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为强化缓冲算子，并称D 为几何平均强化缓冲算子（GASBO ）
以上列举了部分缓冲算子，当然，我们还可以考虑构造其它形式的实用缓冲算子，缓冲算子不仅可以用于灰色系统建模，而且还可以用于其它各种模型建模。

通常在建模之前根据定性分析结论对原始数据序列施以缓冲算子，淡化或消除冲击扰动对系统行为数据序列的影响，往往会收到预期的效果。

[例2.3.1] 河南省长葛县乡镇企业产值数据（1983年-1986年）为
(10155,12588,23480,35388)X =
其增长势头很猛，1983-1986年每年平均递增51.6%，尤其是1984-1986年，每年平均递增67.7%。

因此普遍认为今后不可能一直保持这么高的发展速度。

经过认真分析，大家认识到增长速度高主要是基数低，而基数低的原因是过去对有利与乡镇企业发展的政策没有用足，用活，用好。

要弱化序列增长趋势，就要将
乡镇企业发展比较有利的现行政策因素附加到过去的年份中去，为此，引进推论1所示的二阶弱化算子，得二阶缓冲序列 2(27260,29547,32411,35388)XD =
用XD 2建模预测得，1986-2000年该县乡镇企业每年平均递增
9.4%，这一结果是1987年得到的，与“八五”后半期和“九五”期间该县乡镇企业发展实际基本吻合。

2.4均值生成算子
在收集数据时，常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺（也称空穴），有些数据序列虽然完整，但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异常数据，剔除异常数据就会留下空穴，如何填补空穴，自然成为数据处理过程中首先遇到的问题，均值生成是常用的构造新数据，填补原序列空穴，生成新序列的方法。

定义2.4.1 设序列X 在k 出现有空穴，记为()k ∅，即
((1),(2),,(1),(),(1),,())X x x x k k x k x n =-∅+ 则称(1)(1)()(1)(1)x k x k k x k x k -+∅-+和为的界值，为前界，为后界
()(1)(1)(1)(1)]k x k x k x k x k ∅-+-+当是由和生成时，称生成值x(k)为[，的内点
定义2.4.2设序列
((1),(2),,(1),(),(1),,())X x x x k k x k x n =-∅+为k 处有空穴()k ∅的序列，而()k ∅* =()0.5(1)0.5()x k x k x k =-+称为非紧邻均值生成数，所得序列称为非紧邻生成序列。

定义2.4.3 设序列((1),(2),,())X x x x n =，若
* ()0.5(1)0.5()x k x k x k =-+，则称*()x k 为紧邻生成数，由紧邻生
成数构成的序列称为紧邻均值生成序列。

2.5序列的光滑性
定义2.5.1设序列((1),(2),,(),(1))X
x x x n x n =+，Z 是X 的均值生成序列：
((1),(2),,())Z z z z n =，其中 ()0.5(1)0.5()z k x k x k =-+， X *是某一可导函数的代表序列，d 为n 维空间的距离函数，我们将X 删去(1)x n +后所得的序列仍记X ，若X 满足
1. 当k 充分大时，1
1()()k i x k x i -=<∑
2. **11max ()()max ()()k n k n
x k x k x k z k ≤≤≤≤-≥- 则称Ｘ为光滑序列，１，２为序列光滑条件。

定义２.５.２ 称11()
();2,3,()
k i x k k k n x i ρ-===∑
为序列Ｘ的光滑比。

定义２.５.３若序列Ｘ满足
１. (1)1;2,3,1()k k n k ρρ+<=-
２. ()[0,];
3,4,k k n ρε∈=
３.0.5ε<
则称Ｘ为准光滑序列。

２.６级比生成算子 定义２.６.１设序列((1),(2),,())X x x x n =，则称
()();2,3,(1)x k k k n x k σ==-
为序列Ｘ的级比。

２.７累计生成算子与累减生成算子
累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法，它在灰色系统理论中占有极其重要的地位。

通过累加可以看出灰量积累过程的发展态势，使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来。

定义２.７.１设0000((1),(2),
,())X x x x n =，Ｄ为序列算子 0000((1),(2),,())X D x d x d x n d =，其中
01()();1,2,3,,k i x k d x i k n ===∑。

则称Ｄ为0X 的一次累加生成算子，记为１-ＡＧＯ（Accumulating Generation Operator ）,称r 阶算子r D 为0X 的r 次累加生成算子，记为r-AGO,习惯上，我们记
01111((1),(2),,())X D X x x x n ==
0((1),(2),,())r r r r r X D X x x x n ==
其中11()();
1,2,3,,k r r i x k d x i k n -===∑
定义2.7.2（累减）设0000((1),(2),
,())X x x x n =，D 为序列
算0000((1),(2),
,())X D x d x d x n d =，其中 000()()(1)1,2,3,,x k d x k x k k n =--=
2.8灰指数律
定义2.8.1 设序列((1),(2),,())X
x x x n =，若对于 1.
();,0;1,2ak x k ce c a k n =≠=则称X 为齐次指数序列。

2. ();,,0;1,2ak x k ce c a b k n =≠=，称X 为齐次指数序列。

定义2.8.2 设序列((1),(2),,())X
x x x n =若 1.(),()(0,1](1)x k k k x k σ∀=
∈-，则称序列X 具有负的灰指数规律。

2.
(),()(1,](1)x k k k b x k σ∀=∈-，则称序列X 具有正的灰指数规律。

3. (),()[,],(1)x k k k a b b a x k σδ∀=∈-=-则称序列X 具有绝对灰度为δ的灰指数规律。

4.0.5δ<时，称X 具有准指数规律。

定理2.8.1设序列0000((1),(2),,())X x x x n =为非负准光滑序列，则0X 的一次累加生成序列1X 具有准指数规律。

注：定理2.8.1是灰色系统建模的理论基础
第三章 灰色关联分析
对两个系统或两个因素之间关联性大小的量度，称为关联度。

它描述系统发展过程中因素间相对变化的情况，也就是变化大小、方向及速度等指标的相对性。

如果两者在系统发展过
程中相对变化基本一致，则认为两者关联度大；反之，两者关联度就小。

灰色系统理论的关联度分析与数理统计学的相关分析是不同的，两者的区别在于第一，它们的理论基础不同。

关联度分析基于灰色系统的灰色过程，而相关分析则基于概率论的随机过程；第二，分析方法不同。

关联分析是进行因素间时间序列的比较，而相关分析是因素间数组的比较；第三，数据量要求不同。

关联分析不要求数据太多，而相关分析则需有足够的数据量；第四，研究重点不同。

关联度分析主要研究动态过程，而相关分析则以静态研究为主。

因此，关联度分析适应性更广，在用于社会经济系统中的应用更有其独到之处。

一般的抽象系统，如社会系统，经济系统，农业系统，生态系统等都包含有许多种因素，多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。

我们常常希望知道众多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素，哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小，哪些因素对系统发展起推动作用需加强，哪些因素对系统发展起阻碍作用需抑制……
数理统计中的回归分析，方差分析，主成分分析等都是用来进行系统特征分析的方法。

但数理统计中的分析方法往往需要大量数据样本，且服从某个典型分布。

灰色关联分析方法弥补了采用数理统计方法作系统分析所导致的缺憾.它对样本量的多少和
样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。

灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。

曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。

例如某地区农业总产值0X ,种植业总产值
1X ，畜牧业总产值2X 和林业总产值3X ，从1997-2002年共6年的
统计数据如下：
0X =（18，20，22，35，41，46）
1X =（8，11，12，17，24，29）
2X =（3，2，7，4，11，6）
0X =（5，7，7，11，5，10） 产值散点图
10
20
3040
50
1997199819992000
20012001
年份产值农业
种植业
畜牧业
林果业
从直观上看，与农业总产值曲线最相似的是种植业总产值曲线，而畜牧业总产值曲线和林果业总产值去与农业总产值曲线在几何形状上差别较大。

因此我们可以说该地区的农业仍然是以种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达。

3.1灰色关联因素和关联算子集
进行系统分析，选准系统行为特征的映射量后，还需进一
步明确影响系统行为的有效因素。

如要作量化研究分析，则需要
对系统行为特征映射量和各有效因素进行处理，通过算子作用，
使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为
正相关因素。

定义3.1.1设((1),(2),,())i i i i X x x x n =为因素i X 的行为
序列，1D 为序列算子，且
1111((1),(2),,())i i i i X D x d x d x n d = 其中1()
()(1)0;1,2(1)i i i i x k x k d x k n x =≠=，则称1D 为
初值化算子。

1i X D 为i X 在初值化算子1D 的象，简称初值象。

定义3.1.2设((1),(2),,())i i i i X x x x n =为因素i X 的行为
序列，2D 为序列算子，且
2222((1),(2),,())i i i i X D x d x d x n d = 其中21()
();1,21
()i i n i
k x k x k d k n x k n ===∑，则称2D 为均
值化算子。

2i X D 为i X 在均值化算子2D 的象，简称均值象。

定义3.1.3设((1),(2),,())i i i i X x x x n =为因素i X 的行为
序列，3D 为序列算子，且
3333((1),(2),,())i i i i X D x d x d x n d = 其中3()min ()();1,2max ()min ()i i k i i i k k x k x k x k d k n x k x k -==-，
则称3D 为区间化算子。

3i X D 为i X 在区间化算子3D 的象，简称区间
值象。

命题4.1.1 初值化算子、均值化算子和区间值化算子皆可以使系
统行为序列无量纲化，且在数量上规一。

一般地， 不宜混合、重叠使用。

定义3.1.4设((1),(2),,())i i i i X x x x n =，()[0,1]x k ∈为因
素i X 的行为序列，4D 为序列算子，且
4444((1),(2),,())i i i i X D x d x d x n d =
其中4()1();1,2i i x k d x k k n =-=，则称4D 为逆化
算子。

4i X D 为i X 在逆化算子4D 的象，简称逆化象。

定义3.1.5设((1),(2),,())i i i i X x x x n =，()[0,1]x k ∈为因
素i X 的行为序列，5D 为序列算子，且
5555((1),(2),,())i i i i X D x d x d x n d = 其中51
()()0;1,2()i i i x k d x k k n x k =≠=，则称
5D 为倒数算子。

5i X D 为i X 在倒数化算子5D 的象，简称倒数化象。

命题4.1.3 若系统因素((1),(2),,())i
i i i X x x x n =与系统主行为呈负相关关系，则((1),(2),
,())i i i i X x x x n =的逆化算子作用像和倒数化作用像与X 0具有正相关关系。

定义 3.1.6称{|1,2,3,4,5}i D D i ==为灰色关联算子集（以上五个）。

定义3.1.7 设X 为系统因素集合，D 为灰色关联算子集，称（X,D ）为灰色关联因子空间。

3.2灰色关联公理与灰色关联度
灰色系统理论提出了一种新的分析方法—关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。

由于以发展态势为立足点，因此对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。

这种方法已应用到农业经济、水利、宏观经济等各方面，都取得了较好的效果。

灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。

通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。

但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。

尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。

事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系。