三者容斥问题公式

三者容斥问题公式
三者容斥问题是一种涉及三个集合的计数问题，它的基本思想是利用包含与排除原理，也叫容斥原理，来避免重复计数或漏算。

三者容斥问题有一个基本公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|
这个公式的含义是，要求出三个集合的并集的元素个数，可以先分别求出每个集合的元素个数，然后减去两两相交的部分，因为这些部分被重复计算了，最后加上三个集合都相交的部分，因为这部分被多次减去了。

三者容斥问题的推导
为了理解这个公式是如何推导出来的，我们可以用维恩图来进行说明。

如下图所示，我们用三个圆形来表示三个集合A、B、C，它们之间有七个不同的区域，分别用1、2、3、4、5、6、7来标记。

如果我们要求出三个集合的并集A∪B∪C，那么就相当于求出这七个区域的总和。

我们可以用下面的方法来计算：
首先，我们可以求出每个集合自身的元素个数，即|A|=1+4+5+7，|B|=2+4+6+7，|C|=3+5+6+7。

如果我们把这三个数相加，就得到了1+4+5+7+2+4+6+7+3+5+6+7=63。

但是这个数显然大于A∪B∪C的元素个数，因为有些区域被重复计算了。

其次，我们可以看到两两相交的部分被重复计算了两次，即A∩B=4+7，B∩C=6+7，C∩A=5+7。

如果我们把这三个数相减，就可以消除重复计算的部分。

即63−4−7−6−7−5−7=27。

但是这个数又小于
A∪B∪C的元素个数，因为有一个区域被多次减去了。

最后，我们可以看到三个集合都相交的部分被多次减去了，即A∩B∩C=7。

如果我们把这个数再加回来，就可以得到正确的结果。

即27+7=34。

综上所述，我们就得到了三者容斥问题的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|
三者容斥问题的应用
三者容斥问题在实际生活中有很多应用场景，例如：
统计某高校做有关碎片化学习的问卷调查结果²。

问卷回收率为90%，在调查对象中有180人会利用网络课程进行学习，200人利用书本进行学习，100人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50人，同时使用两种方式学习的有20人，不存在三种学习方式都不用的人。

那么，这次共发放了多少份问卷？
我们可以把网络课程、书本、移动设备分别看作三个集合A、B、C，那么根据题意，我们有：
|A|=180
|B|=200
|C|=100
|A∩B∩C|=50
|A∩B|+|B∩C|+|C∩A|=20
我们要求的是A∪B∪C的元素个数，即做了问卷调查的人数。

根据公式，我们有：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|将已知数据代入，得：
|A∪B∪C|=180+200+100−20−2×50=360
因此，做了问卷调查的人数为360人。

由于问卷回收率为90%，那么发放的问卷份数为：
360×100
90
=400
所以，这次共发放了400份问卷。

计算某种食品添加剂达标的食品种类³。

有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有（）种。

我们可以把抗氧化剂、防腐剂、漂白剂分别看作三个集合A、B、C，那么根据题意，我们有：
|A|=68
|B|=77
|C|=59
|A∩B|=54
|B∩C|=43
|C∩A|=35
|A∩B∩C|=30
我们要求的是(A∪B∪C)′的元素个数，即三种食品添加剂都不达标的食品种类。

根据公式，我们有：(A∪B∪C)′=120−|A∪B∪C|=120−(|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|)将已知数据代入，得：
(A∪B∪C)′=120−(68+77+59−54−43−35+30)=18
所以，三种食品添加剂都不达标的食品种类有18种。

总结
三者容斥问题是一种常见的计数问题，它可以用一个简洁的公式来解决。

这个公式可以用维恩图来直观地理解和推导。

在实际应用中，我们只需要根据题目给出的条件来确定每个集合和相交部分的元素个数，然后代入公式就可以求出并集或补集的元素。