(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试(含答案解析)

一、选择题
1．已知函数x y a =（1a >）与log a
y x =（1a >）的图象有且仅有两个公共点，则实数
a 的取值范围是（ ）
A ．1
e 1e a << B ．1e a <<
C ．1
e e e a <<
D ．e a >
2．函数()[)(](),00,sin x
f x x x x
ππ=
∈--的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知函数322()f x =x ax bx a +++在1x =处的极值为10，则a b -=（ ）． A ．6-
B ．15-
C ．15
D ．6-或15
4．若函数()2
ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,4⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,8
⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
D ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
5．若1
201x x ，则（ ）
A ．2121ln ln x
x
e e x x ->- B ．2
121ln ln x x e e x x -<-
C ．1221x
x
x e x e > D ．1221x
x
x e x e <
6．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（ ） A ．(,2021)-∞- B ．(2021,2020)-- C ．(2021,0)-
D ．(2020,0)-
7．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ） A 23
B 3
C 33
D 3 9．奇函数()f x 满足0x ≥时,()cos 0f x x '+<，且()3,2
f π
=-则不等式
()cos 22
f x x π
+>--的解集为（ ）
A ．(,0)-∞
B ．(,)π-∞-
C ．(,)2
π
-∞-
D ．(,)π-∞
10．若函数1
()21
x
f x e x =
--(e 为自然对数的底数)，则()y f x =图像大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
11．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意的实数x ，都有()10f x '+<，且
(1)1f =-，则（ ）
A ．(0)0f <
B ．()f e e <-
C ．()(0)f e f >
D ．(2)(1)f f >
12．已知函数()2
4ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A ．1,6a ⎛
⎫∈-∞ ⎪⎝⎭
B ．1,2a ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,2a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
D ．11,26a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
二、填空题
13．已知函数()2
e 2=++x
f x ax a ，若不等式()()1≥+f x ax x 对任意[]2,5x ∈恒成立，则实
数a 的取值范围是____________．
14．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）+xf '（x ）＞0，且f （3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集是_____．
15．已知关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是___________．
16．已知函数()2x
e f x ax x =-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221
0f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为________. 17．3
21313
y x x x =
--+的极小值为______． 18．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e x
g x x x
=
+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．
19．设()22,0
ln ,0
x mx x f x x mx x ⎧-+<=⎨->⎩，若方程()f x x =恰有三个零点，则实数m 的取值范
围为______.
20．设函数3()32()f x ax x x =-+∈R ，若对于任意[1,1]x ∈-，都有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是_________.
三、解答题
21．已知函数()2
f x x ax b =++，不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-．
（1）求函数()f x 的解析式； （2）求方程()4ln f x x x =根的个数． 22．已知函数()()2
ln 1f x ax x =-+()0a ≠.
（1）讨论()f x 的极值点的个数；
（2）当0a >时，设()f x 的极值点为0x ，若()()
001
21f x x >-+，求a 的取值范围.
23．已知函数()2
12
f x x =
，()ln g x a x =.设()()()h x f x g x =+ （1）试讨论函数()h x 的单调性. （2）若对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()
1212
2h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范
围；
24．已知函数()2
(1)x
f x x e ax =--，（a R ∈）．
（1）若1
2
a =
，求()f x 的极值； （2）若0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围． 25．设函数()ln 1
x f x x
+=
， （1）求曲线()y f x =在点()()
,e f e 处的切线方程；
（2）当1≥x 时，不等式()()
211a x f x x x
--≥恒成立，求a 的取值范围． 26．已知函数()22
x b
g x ax +=+，()1,1x ∈-，从下面三个条件中任选一个条件，求出,a b
的值，并解答后面的问题.
①已知函数()3
f x b x a
=+-，满足()()220f x f x -++=；
②已知函数()()0,1x
f x a b a a =+>≠在[]1,2上的值域为[]
2,4
③已知函数()24f x x ax =-+，若
()1f x +在定义域[]1,1b b -+上为偶函数.
（1）证明()g x 在()1,1-上的单调性； （2）解不等式()()120g t g t -+<.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 将问题转化为()1x
y a a =>的图象与y x =有两个公共点，即ln ln x
a x
=
有两解，再构造新函数()ln x
f x x
=，根据()f x 的单调性和取值分析ln a 的取值即可得到结果. 【详解】
因为函数()()1,log 1x
a y a
a y x a =>=>的图象关于直线y x =对称，
所以两个图象的公共点在y x =上，所以()1x
y a a =>的图象与y x =有两个公共点，
即x x a =有两解，即ln ln x x a =有两解，即ln ln x
a x
=有两解， 令()ln x f x x =
，所以()2
1ln x
f x x -'=， 当()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，
()f x 大致图象如下图所示：
所以()1
0ln a f e e
<<=，所以11e a e <<， 故选：A. 【点睛】
结论点睛：函数图象的交点个数、方程根的数目、函数的零点个数之间的关系： 已知()()()h x f x g x =-，则有()h x 的零点个数⇔方程()()f x g x =根的数目⇔函数
()f x 与函数()g x 的图象的交点个数. 2．B
解析：B 【分析】
首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解； 【详解】 解：因为()[)(](),00,sin x
f x x x x
ππ=
∈--，定义域关于原点对称，又
()()()sin sin x x f x f x x x x x --===----，所以()[)(]()
,00,sin x f x x x x
ππ=∈--为偶函数，函数图象关于y 轴对称，所以排除A 、D ； ()()()()
()
2
2
sin sin cos sin sin sin x x x x x x
x x x
f x x x x x ''----'=
=
--
令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，所以当(]0,x π∈时()0g x '≤，所以
()cos sin g x x x x =-在(]0,x π∈上单调递减，又()00g =，所以()0g x <在(]0,x π∈上恒成立，所以()0f x '<在(]0,x π∈上恒成立，即函数()sin x
f x x x
=
-在
(]0,π上单调递减，故排除C ，
故选：B 【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
3．C
解析：C 【分析】 由题，可得(1)0
(1)10f f '=⎧⎨=⎩
，通过求方程组的解，即可得到本题答案，记得要检验.
【详解】
因为3
2
2
()f x =x ax bx a +++，所以2
()32f x x ax b '=++，由题，得(1)0
(1)10f f '=⎧⎨=⎩
，即
2
320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或3
3a b =-⎧⎨=⎩，因为当3,3a b =-=时，2()3(1)0f x x '=-≥恒成立，()f x 在R 上递增，无极值，故舍去，所以
4(11)15a b -=--=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查含参函数的极值问题，得到两组解后检验，是解决此题的关键.
4．C
解析：C 【分析】
先假设函数()f x 不存在增区间，则()f x 单调递减，利用()f x 的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数a 的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数a 的取值范围. 【详解】
若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减， 此时()1
210f x ax x
'=+-
≤在区间()0,∞+恒成立， 可得2112a x x ≤-，则2
2111111
244
x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-，
故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1
,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
．故选C. 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.
5．C
解析：C 【分析】
令()x e f x x
=，(01)x <<，()()ln 01x
g x e x x =-<<，求出函数的导数，通过讨论x
的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】
令()x e f x x =，(01)x <<，则2
(1)
()0x e x f x x
-'=<， 故()f x 在(0,1)递减，若1
201x x ，则12()()f x f x >，
故12
12
x x e e x x >，即1221x x
x e x e >，故C 正确，D 不正确；
令()()ln 01x
g x e x x =-<<，则11
()x x
xe g x e x x
-'=-=，
令()1x h x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，
且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =， 则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减， 当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增， 所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.
6．B
解析：B 【分析】
由题可得当(,0)x ∈-∞时，()2()0xf x f x '->，进而构造函数2
()
()f x g x x =
，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g +<-，利用()g x 的
单调性，可求出不等式的解集． 【详解】
解：构造2()()(0)f x g x x x =<，则243()2()()2()
()x f x x f x xf x f x g x x x
''⋅-⋅-'==，因为()2()0xf x f x '->，则()0g x '<
∴函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，
∵不等式2
(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，且()
2
(1)
(1)(1)1f g f --=
=--，
等价于
()
()
()
()
()2
2
20201120201f x f g x +-<
=-+-，
即为(2020)(1)g x g +<-，所以20201
20200x x +>-⎧⎨+<⎩
，解得20212020x -<<-．
故选：B 【点睛】
本题考查函数单调性的应用，构造函数2()
()f x g x x =是解决本题的关键，属于中档题． 7．C
解析：C 【解析】
构造函数1
ln ,0,10y x x x y x
+='=>+
> ，故函数ln y x x =+在0,上单调递增，
即由“0a b >>” 可得到“ln ln a a b b +>+”,反之，由“ln ln a a b b +>+”亦可得到“0a b >>” 选C
8．A
解析：A 【分析】
根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】
根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：
显然满足2
2
2
4
h r R =-，
故圆柱的体积()232
14
h r h h R h πππ=⨯=-+，
故可得()22
3,(02)4
V h h R h R ππ<'=-+<，
令()0V h '>，解得23
03
h R <<，故此时()V h 单调递增， 令()0V h '<23
2h R <<，故此时()V h 单调递减. 故()23max V h V ⎫
=⎪⎪⎝⎭
.
即当23
h =
时，圆柱的体积最大.
故选：A . 【点睛】
本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.
9．A
解析：A 【分析】
构造函数()()sin h x f x x =+，根据其单调性，求解目标不等式即可. 【详解】
不妨令()()sin h x f x x =+，
因为()()cos 0h x f x x =+'<'在[
)0,+∞恒成立， 即()h x 在[
)0,+∞单调递减；
又()f x 是奇函数，sin y x =是奇函数， 故()h x 是奇函数，且()h x 是R 上的单调减函数. 由()3,2
f π
=-故可得22h π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
， 又()cos 22
f x x π
+>--，
即22h x h ππ⎛⎫
⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 故2
2
x π
π
+
<
，则0x <.
故选：A . 【点睛】
本题考查构造函数法，涉及利用导数研究函数单调性以及利用单调性解不等式，属综合中档题.
10．C
解析：C 【分析】
代入特殊值()10f <可判断,A B 选项，记()21x g x e x =--，结合函数单调性可得当
x →+∞时，()0f x >，从而可选出正确答案.
【详解】
记()21x g x e x =--，则有()2x g x e '=-， 当ln 2x <时，()20x g x e -'=<，()g x 是减函数，
当ln 2x >时，()20x g x e -'=>，()g x 是增函数，因为()130g e =-<，
所以()10f <，排除,A B 选项；()2
250g e =->，所以当x →+∞时，()0>g x ，
即x →+∞时，()0f x >，则D 错误. 故选:C. 【点睛】
本题考查了函数图象的识别，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
构造()()g x f x x =+，得到函数()g x 在R 上单调递减，由()(1)g e g <即得解. 【详解】
构造()()g x f x x =+，则()()1g x f x ''=+， 又()10f x '+<，所以()0g x '<，
所以函数()g x 在R 上单调递减，又(1)(1)1110g f =+=-+=， 所以()(1)g e g <，即()0f e e +<， 所以()f e e <-. 故选：B 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．C
解析：C 【分析】
本题首先可根据题意得出2241
ax ax f
x
x
，令2241g x
ax ax ，然后根据
()f x 在()1,3上不单调得出函数()g x 与x 轴在()1,3上有交点，最后分为0a =、0
a ≠两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】
()21241
24ax ax f x ax a x x
--'=--=
， 若()f x 在()1,3上不单调， 令2241g x
ax ax ，对称轴为1x =，
则函数2241g x
ax ax 与x 轴在()1,3上有交点，
当0a =时，显然不成立；
当0a ≠时，则()()2
1680
130
a a g g ⎧∆=+>⎪⎨⋅<⎪⎩，解得16a >或12a <-，
易知()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
， 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数单调性问题，若函数在否个区间内不单调，则函数的导函数在这个区间内有零点且穿过x 轴，考查二次函数性质的应用，考查充分条件与必要条件的判定，是中档题.
二、填空题
13．【分析】原不等式可化为当时该不等式恒成立当时不等式可化为从而构造函数求导并判断单调性可求出令即可【详解】由题意不等式可化为当时恒成立；当时不等式可化为令则求导得所以在上单调递减在上单调递增所以则综上 解析：(3,e ⎤-∞⎦
【分析】
原不等式可化为()e 2x
a x ≥-，当2x =时，该不等式恒成立，当(]2,5x ∈时，不等式可
化为e 2x a x ≥-，从而构造函数()e 2
x
g x x =-，求导并判断单调性，可求出()min g x ，令()min g x a ≥即可.
【详解】
由题意，不等式()2e 21x ax a ax x ++≥+可化为()e 2x
a x ≥-，
当2x =时，()e 2x
a x ≥-恒成立；
当(]2,5x ∈时，不等式可化为
e 2x
a x ≥-， 令()e 2x
g x x =-，(]2,5x ∈，则()min g x a ≥，
求导得()()
()
2
e 32x x g x x -'=
-，所以()g x 在()2,3上单调递减，在[]3,5上单调递增，
所以()()3
min 3e g x g ==，则3e a ≤，
综上所述，实数a 的取值范围是(
3
,e ⎤-∞⎦. 故答案为：(
3,e ⎤-∞⎦.
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为
e 2x
a x ≥-，通过构造函数()e 2x
g x x =-，令()min g x a ≥，可求出a 的取值范围.考查学生的逻辑推理能力，
计算求解能力，属于中档题.
14．（﹣∞﹣3）∪（3+∞）【分析】令当x ＞0时可得x ∈（0+∞）上函数单调递增由可得由函数是定义在R 上的奇函数可得函数是定义在R 上的偶函数进而得出不等式的解集【详解】解：令当x ＞0时∴x ∈（0+∞）上
解析：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） 【分析】
令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝，当x ＞0时，
()()0f x xf x '+>，可得
x ∈（0，
+∞）上，函数()g x 单调递增．由()30f ＝，可得()30g ＝．由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得函数()g x 是定义在R 上的偶函数．进而得出不等式的解集． 【详解】
解：令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝ 当x ＞0时，
()()0f x xf x '+>
∴x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．
()30f ＝，∴()30g ＝．
∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数． 由()()03g x g >＝，即()
()3g x g ＞， ∴|x |＞3，
解得x ＞3，或x ＜﹣3．
∴不等式()0xf x ＞的解集是()(),33-，-∞⋃+∞． 故答案为：()(),33-，
-∞⋃+∞． 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【分析】把关于x 的方程有2个不相等的实数根转化为与函数的图象有两个不同的交点利用导数求得函数的单调性与极值即可求解【详解】由题意关于x 的方程有2个不相等的实数根即函数与函数的图象有两个不同的交点设则 解析：(22ln2,)-+∞
【分析】
把关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，转化为y k =与函数2x y e x =-的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数()2x f x e x =-的单调性与极值，即可求解. 【详解】
由题意，关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根， 即函数y k =与函数2x y e x =-的图象有两个不同的交点，
设()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，令()20x f x e '=-=，解得ln 2x =， 所以函数的减区间为(,ln 2)-∞，增区间为(ln 2,)+∞， 所以函数()f x 的最小值为(ln 2)22ln 2f =-，
且当x →-∞时，()f x →+∞，当x →∞时，()f x →+∞， 要使得2x e x k -=有2个不相等的实数根，所以22ln 2k >-． 即实数k 的取值范围是(22ln2,)-+∞. 故答案为：(22ln2,)-+∞. 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究方程的根，其中解答中把方程根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用导数求得函数的单调性与极值是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.
16．【分析】由当时不等式恒成立变形得到当时不等式恒成立即在上是增函数然后由在上是恒成立求解【详解】因为当时不等式恒成立即当时不等式恒成立所以在上是增函数所以在上是恒成立即在上是恒成立令所以当时当时所以当
解析：2,12e ⎛⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
【分析】
由当21x x >时，不等式
()()122
1
0f x f x x x -
<恒成立，变形得到当21x x >时，不等式
()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立求解.
【详解】
因为当21x x >时，不等式
()()122
1
0f x f x x x -
<恒成立，
即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立， 所以()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数， 所以()2
30x
g x e ax '=-≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立，
即23x
e a x ≤，在()0,x ∈+∞上是恒成立，
令2()3x
e h x x
=，
所以()3
2()3x e x h x x
-'=， 当02x <<时，()0h x '<，当2x >时，()0h x '>，
所以当2x =时，()h x 取得最小值，最小值为212
e
，
所以实数a 的取值范围为2,12e ⎛⎤
-∞ ⎥⎝
⎦.
故答案为：2,12e ⎛⎤
-∞ ⎥⎝
⎦.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
17．【分析】求导根据导数正负得到函数单调区间得到函数的极小值为计算得到答案【详解】则当和时函数单调递增；当时函数单调递减故函数极小值为故答案为：【点睛】本题考查了利用导数求极值意在考查学生的计算能力和应 解析：8-
【分析】
求导，根据导数正负得到函数单调区间得到函数的极小值为()3f ，计算得到答案. 【详解】
()3
21313
y f x x x x ==
--+，则()()()2'2331f x x x x x =--=-+， 当()3,x ∈+∞和(),1x ∈-∞-时，()'0f x >，函数单调递增； 当()1,3x ∈-时，()'0f x <，函数单调递减， 故函数极小值为()32
313333183
f ⨯--⨯+=-=. 故答案为：8-. 【点睛】
本题考查了利用导数求极值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
18．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求
解析：2
1,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝
⎭
【分析】
将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln x
y x
=的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln x
y x
=的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】
函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点， 等价于函数22y x ex a =-+与函数ln x
y x
=的图象有两个交点， 对函数ln x y x =求导，得21ln x
y x
-'=，()0,x e ∈,0y '>， 函数ln x
y x
=单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<， 函数ln x
y x =
单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e
， 对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()
2
,e a e -
分别作出图象，其若要有两个交点，则2
211a e a e e e
-<
⇒<+
故答案为：2
1,e e ⎛
⎫-∞+ ⎪⎝
⎭
【点睛】
本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.
19．【分析】将问题转化为与图像交点个数有3个的问题利用导数研究函数单调性和最值数形结合即可求得结果【详解】当时等价于；当时等价于；令则方程恰有三个零点等价于与直线有三个交点当时则令解得故该函数在区间单调 解析：221m <-
【分析】
将问题转化为()2,0,0x x x
h x lnx x x
⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩与1y m =+图像交点个数有3个的问题，利用导数研
究函数单调性和最值，数形结合即可求得结果. 【详解】
当0x <时，22y x mx x =-+=，等价于2
1x m x
+=+； 当0x >时，y lnx mx x =-=，等价于
1lnx
m x
=+； 令()2,0,0x x x
h x lnx x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩
，
则方程()f x x =恰有三个零点，等价于()y h x =与直线1y m =+有三个交点. 当lnx y x =
时，则21lnx y x
-='，令0y '=，解得x e =， 故该函数在区间()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减. 且x e =时，1
y e
=；又x e >时，0y >； 而当2
y x x
=+
时，由对勾函数性质，容易知： 当2x =-时，函数取得最大值22y =-. 故()h x 的图像如下所示：
数形结合可知，要满足题意，只需122m +<-， 解得221m <-. 故答案为：221m <-. 【点睛】
本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及利用导数研究函数单调性，对勾函数，属综合
中档题.
20．【分析】求出时的值讨论函数的增减性得到的最小值让最小值大于等于0即可求出的范围【详解】解：由可得当时令解得且①当时为递增函数②当时为递减函数③当时为递增函数所以即解得故答案为：【点睛】考查学生理解函 解析：15a ≤≤
【分析】
求出()0f x '=时x 的值，讨论函数的增减性得到()f x 的最小值，让最小值大于等于0即可求出a 的范围. 【详解】
解：由(1)0f ≥可得1a ≥，2'()33f x ax =-， 当1a ≥时，令2'()330f x ax =-=
解得x =
，且1>-<
①
当1x -<<()0,()f x f x '>为递增函数， ②
当x <<
()0,()f x f x '<为递减函数， ③
1x <<时，()f x 为递增函数.
所以()010f f ⎧≥⎪⎨
⎝⎭⎪-≥⎩
，即3320320
a a ⎧⎪-+≥⎨⎝⎭⎝⎭
⎪
-++≥⎩， 解得15a ≤≤. 故答案为：15a ≤≤. 【点睛】
考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及利用导数求函数最值的能力.
三、解答题
21．（1）()2
23f x x x =--；（2）有且只有一个根.
【分析】
（1）根据不等式的解集与方程根的对应关系，列出关于,a b 的方程组，从而求解出,a b 的值，则()f x 的解析式可求； （2）将问题转化为求方程3
4ln 20x x x
-
--=根的数目，构造新函数()3
4ln 2g x x x x
=-
--，
利用导数分析()g x 的单调性和极值，由此判断出()g x 的零点个数，从而方程
()4ln f x x x =根的个数可确定.
【详解】
解：（1）∵不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-， ∴20x ax b ++=的两个根分别为1-和3． ∴()()13
13a b ⎧-=-+⎪⎨
=-⨯⎪⎩
．即2a =-，3b =-，
故函数()f x 的解析式为()2
23f x x x =--．
（2）由（1），设()22334ln 4ln 2x x g x x x x x x
--=-=---，
∴()g x 的定义域为()0,∞+，()()()22
13341x x g x x x x
--'=+-=， 令()0g x '=，得11x =，23x =．
当x 变化时，()g x '，()g x 的取值变化情况如下表：
当03x <≤时，140g x g ≤=-<， 当3x >时，()5
5
553
e
e
202212290e
g =-
-->--=>． 又因为()g x 在()3,+∞上单调递增，因而()g x 在()3,+∞上只有1个零点， 故()g x 仅有1个零点．即方程()4ln f x x x =有且只有一个根． 【点睛】
思路点睛：利用导数分析方程根的个数的思路： （1）将方程根的个数问题转化为函数零点的个数问题；
（2）将原方程变形，构造新函数，分析新函数的单调性、极值、最值；
（3）根据新函数的单调性、极值、最值得到新函数的零点个数，则方程根的个数可确定.
22．（1）答案见解析；（2）⎛⎫
⎪+∞⎪⎭
. 【分析】
（1）()21221211
ax ax f x ax x x +-'=-=
++，令()2
221g x ax ax =+-，分两种情况讨论，判断方程()0g x =根的个数即可；
（2）由（1）知()00g x =，即2
02210ax ax +-=，()
2
001
2a x x =
+
，先求得01x ，进而可得答案即可.
【详解】
（1）()21221211
ax ax f x ax x x +-'=-=
++，令()2
221g x ax ax =+- 当0a >时，由()10g -<知，()g x 在()1,-+∞有唯一零点， 故()f x 在()1,-+∞有一个极值点；
当0a <时，()10g -<，()g x 的对称轴为1
2
x =-，
若方程()0g x =的0∆>，即2480a a +>，2a <-时，()g x 在()1,-+∞有两个零点，
()f x 在()1,-+∞有两个极值点；
若方程()0g x =的0∆≤，即2480a a +≤，20a -≤<时，()0g x ≤，
()f x 在()1,-+∞上单减，无极值点.
（2）由（1）知()00g x =，即20
02210ax ax +-=，()
2
001
2a x x =
+……（*） 由0a >且010x +>得00x >，又∵()()
001
21f x x >-
+，
∴()()
2
0001
ln 121ax x x -+>-
+
代入（*）式，()()()
00
001
ln 12121x x x x -+>-++， 即
()01
ln 102
x -+>
解得01x <，
∴001x <<， ∴.()
2
0012a x x ⎛⎫
⎪=∈+∞⎪+⎭
. 【点睛】
求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数f
x ；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查f
x 在0f
x
的根0x 左右两侧
值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左
减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 23．（1）答案见解析；（2）[)1,+∞. 【分析】
（1）求导后，分别在0a ≥和0a <两种情况下讨论导函数的正负即可得到结果； （2）将恒成立的不等式转化为()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立，从而只需构造函数()()2t x h x x =-，证明()t x 在()0,∞+上单调递增即可，从而将问题进一步转化为()0t x '≥在()0,∞+上恒成立，进而利用分离变量的方法可求得结果. 【详解】
（1）()()21ln 02h x x a x x =+>，则()()20a x a
h x x x x x
+'=+=>， 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，()h x ∴在()0,∞+上单调递增；
当0a <时，若(x ∈，()0h x '<；若)
x ∈
+∞，()0h x '>；
()
h x ∴在(上单调递减，在)
+∞上单调递增.
（2）设12x x >，则
()()
1212
2h x h x x x ->-等价于()()112222h x x h x x ->-， 即()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立. 令()()2
12ln 22
t x h x x x a x x =-=
+-，则只需()t x 在()0,∞+上单调递增， ()2a
t x x x
'=+
-，∴只需()0t x '≥在()0,∞+上恒成立即可. 令()200a
x x x
+
-≥>，则()220a x x x ≥-+>， 当1x =时，(
)
2
max
21x x -+=，1a ∴≥，即实数a 的取值范围为[)1,+∞.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想､逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 24．（1）极大值是11
2e
-，()f x 的极小值是0（2）1a ≤ 【分析】
（1）()()
2
112
x
x f x e x =--
，求导()()()110x f x x e '=+-=，判断()f x '，()f x 变
化求得极值；（2）解法一:分离a,求最值得a 的范围，解法二: ()x
f x e a '=-，讨论a 的
范围得解 【详解】 （1）当12a =
时，()()
2112
x
x f x e x =-- ()()()
110x f x x e '=+-=时，则1x =-，0x =.
当x 变化时，()f x '，()f x 变化状态如下表：
所以()f x 的极大值是()12f e
-=
-，()f x 的极小值是()00f = （2））等价于当0x ≥时，()()
10x
f x x e ax =--≥恒成立
解法一: 当0x =，等号成立，当x>0，()10x e f x a x -≥⇔≤，设()1
x e g x x
-=
()min a g x ≤，由经典不等式1x e x >+ ∴1a ≤
或者()2
1x x xe e g x x
-+'=，()1x x x xe e ϕ=-+，()0x x x x
x e xe e xe ϕ='+-=> ()x ϕ↑，()()00ϕϕ>=x ∴()0g x '>，()g x ↑，又()0,1x g x →→ ∴1a ≤
解法二: ()x
f x e a '=-，0x ≥，1x e ≥
若1a ≤，则()0x
f x e a ='-≥，()f x ↑，∴()()00f x f ≥=，即不等式恒成立.（充
分性）
若1a >，()0x
f x e a '=-= ∴0ln 0x a =>
()00,x x ∈，()0f x '<，()f x ↓，()()00f x f ≤=，
这与当0x ≥时，()10x
f x e ax =--≥恒成立相矛盾（必要性）
【点睛】
本题考查函数与导数的极值，考查不等式恒成立，考查转化化归能力，考查计算能力，是中档题
25．（1）230x e y e +-=（2）(,0]-∞ 【详解】
试题分析：（1）先求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率为()'f e ，最后根据点斜
式求切线方程（2）构造函数()()
2
ln 1g x x a x =--，利用导数并按0a ≤，10<
2
a <，1
2
a ≥
进行分类讨论，通过函数的单调性以及最值进行与0比较，可得结果. 试题
（1）根据题意可得，()2f e e
=， ()2ln 'x
f x x -=
，所以()
22ln 1'e f e e e -==-，即2
1k e =-， 所以在点()()
,e f e 处的切线方程为()221
y x e e e
-
=--，即230x e y e +-=． （2）根据题意可得，()()()
221ln 110a x x a x f x x x x
-----=≥在1≥x 恒成立，
令()()
2
ln 1g x x a x =--，()1x ≥，
所以()1
2g x ax x
-'=
， 当0a ≤时，()0g x '>，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递增， 所以()()10g x g ≥=， 所以不等式()(
)21
a x f x x
->成立，即0a ≤符合题意；
当0a >时，令
1
20ax x
-=，解得x =1=，解得12a =，
当10<
2a <1，
所以()g x '在⎛ ⎝
上()0g x '>，在+⎫∞⎪⎪⎭
上()0g x '<，
所以函数()y g x =在⎛ ⎝上单调递增，在+⎫∞⎪⎪⎭
上单调递减，
21111ln 1ln g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，令()1ln h a a a a =--+，
()222
111
'10a a h a a a a
-+=-++=>恒成立，则()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 所以()1111ln 2ln2202222h a h ⎛⎫
<=--+=+-<
⎪⎝⎭
，
所以存在10g a ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
， 所以1
02
a <<不符合题意； ②当12a ≥
1≤ ()0g x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递减，
所以()()10g x g ≤= 显然1
2
a ≥
不符合题意； 综上所述，a 的取值范围为{}|0a a ≤
26．选法见解析；2a =，0b =；（1）证明见解析；（2）103
t <<. 【分析】
（1）根据函数的对称性，定义域和值域，奇偶性计算得到2a =，0b =，再求导证明单调性.
（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式得到答案. 【详解】
（1）①由()()220f x f x -++=得()f x 对称中心为()2,0即得2a =，0b =； ②(i )当1a >时，()x
f x a b =+在[]1,2上单调递增，则有2
2
4
a b a b +=⎧⎨
+=⎩得220a a --=， 得2a =，0b =；
(ii )当01a <<时，()x
f x a b =+在[]1,2上单调递减，则2
4
2
a b a b +=⎧⎨
+=⎩得220a a -+=，无解，所以2a =，0b =；
③由()2
4f x x ax =-+得()()2
125f x x a x a +=+-+-，
因为
()1f x +在[]1,1b b -+上是偶函数，则
2
02
a -=，且()()110
b b -++=， 所以2a =，0b =； 由①或②或③得()2
22
x
g x x =
+，()1,1x ∈-，()()2
22121x g x x -'=+， 由11x -<<得()0g x '>，则()g x 在()1,1-上单调递增. （2）因为()()222
x
g x g x x --=
=-+，则()g x 为奇函数.
由()()120g t g t -+<即()()21g t g t <-
又因为()g x 在()1,1-上单调递增，则121,
111,21,
t t t t -<<⎧⎪
-<-<⎨⎪<-⎩
解得103t <<.
【点睛】
本题考查了函数对称性，奇偶性，单调性，函数的定义域和值域，解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.。