导数在研究函数中的应用(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)

xx 令 f′(x)＝0，得 x＝1.当 0<x<1 时，f′(x)>0；当 x>1 时，f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．∴f(x)max＝f(1)＝－1. ∴当 a＝－1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
当堂检测 (2)f′(x)＝a＋1x，x∈(0，e]，1x∈1e，＋∞.
讲授新课 知识点二 求单调区间
【例 2】已知函数 f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．当 x>1 时，求 f(x)的单调区间． [解] f′(x)＝1·x＋ln x－k－1＝ln x－k，
x ①当 k≤0 时，因为 x>1，所以 f′(x)＝ln x－k>0， 所以函数 f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间． ②当 k>0 时，令 ln x－k＝0，解得 x＝ek， 当 1<x<ek 时，f′(x)<0；当 x>ek 时，f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)． 综上所述，当 k≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间；当 k>0 时，函数 f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．
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函数的单调性与极值最值得判断
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知识回顾 一、函数的单调性与导数的关系
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)若 f′(x)>0，则 f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数； (2)若 f′(x)<0，则 f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数； (3)若恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在区间(a，b)内是常数函数． 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式， 求解时，要坚持“定义域优先”原则.
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【方法技巧】 利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求出单调区间． (2)当方程 f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各 区间 f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据 f′(x)结构特征，利用图象与性质确定 f′(x)的符 号，从而确定单调区间． [提醒] 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和” 字隔开．
讲授新课 知识点三 根据函数图象判断函数极值
【例 3】已知函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则 下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2) [解析] 由题图可知，当 x<－2 时，f′(x)>0；当－2<x<1 时，f′(x)<0；当 1<x<2 时，f′(x)<0；当 x>2 时，f′(x)>0.由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值． [答案] D
令 f′(x)＝0，则 x1＝1，x2＝1a，
(ⅰ)若 a＝1，则 f′(x)≥0 恒成立，所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(ⅱ)若 0<a<1，则1a>1，
当 x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
当 x∈1，1a时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
当 x∈1a，＋∞时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
5．若函数 f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
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知识点一
【例 1】已知函数
f(判x)＝断a2(函x－数1)2单－x调＋性ln x(a>0)．讨论
f(x)的单调性．
[解] 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a(x－1)－1＋1x＝x－1xax－1，
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①函数 f(x)在 x0 处有极值的必要不充分条件是 f′(x0)＝0，极值点是 f′(x)＝0 的根，但 f′(x) ＝0 的根不都是极值点(例如 f(x)＝x3，f′(0)＝0，但 x＝0 不是极值点)．
②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在 区间内部的点，不会是端点．
数学（苏教版2019）
选择性必修第一册
第5章 导数
5.3导数在研究函 数中的应用
学习目标
课程标准
1.结合实例，借助几何直观探索并了解 函数的单调性与导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求不超过三次 的多项式函数的单调区间． 2.结合函数的图象，了解函数在某点取 得极值的必要条件和充分条件；会用导 数求不超过三次的多项式函数的极大值 、极小值，以及在给定区间上不超过三 次的多项式函数的最大值、最小值． 3.通过使利润最大、用料最省、效率最 高等优化问题，体会导
【例 4】(2019·江苏高考，节选)设函数 f(x)＝(x－a)·(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为 f(x)的导函数．若 a≠b，b＝c，且 f(x)和 f′(x)
的零点均在集合{－3,1,3}中，求 f(x)的极小值．
[解] 因为 b＝c，所以 f(x)＝(x－a)·(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2，从而 f′(x)＝3(x－b)x－2a＋ 3 b.令 f′(x)＝0，得 x＝b
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【方法技巧】讨论函数 f(x)单调性的步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f′(x)，并求方程 f′(x)＝0 的根； (3)利用 f′(x)＝0 的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论 f′(x)的正负，由符
号确定 f(x)在该区间上的单调性． [提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以 f(x)的极小值为 f(1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32.
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【方法技巧】 求函数的极值或极值点的步骤
(1)求导数 f′(x)，不要忘记函数 f(x)的定义域； (2)求方程 f′(x)＝0 的根； (3)检查在方程的根的左右两侧 f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值．
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2．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而 且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫 做函数 y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而 且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫 做函数 y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
经检验 a 2 符合题意，所以 a 2 .故选：D.
D． 2
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3．函数 y x 1 ex x2 2x 的极小值为（
2
A．
2
1 e2
B．1
） C．2
D．e
【答案】B
【详解】解：由 y f x x 1 ex x2 2x ，得 f x ex (x 1)ex x 2 (x 2) ex 1 ， 2
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【方法技巧】 由图象判断函数 y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由 y＝f′(x)的图象与 x 轴的交点，可得函 数 y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数 y＝f′(x)的图象可以看出 y＝f′(x)的值的正负，从而可得 函数 y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
讲授新课 知识点四 已知函数求极值或极值点
从而 f(x)在0，－1a上为增函数，在－1a，e上为减函数，∴f(x)max＝f－1a＝－1＋ln－1a. 令－1＋ln－1a＝－3，得 ln－1a＝－2，即 a＝－e2.
∵－e2<－1e，∴a＝－e2 为所求．故实数 a 的值为－e2.
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【方法技巧】 导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
[常用结论] 1．在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0) 且 f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
3．若函数 f(x)的图象连续不断，则 f(x)在[a，b]上一定有最值． 4．若函数 f(x)在[a，b]上是单调函数，则 f(x)一定在区间端点处取得最值．
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3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x) 在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
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2．函数
f
x
2sin x ex
a
在
x
π 2
处取得极值，则 a
（
）
A．1
B． 1
C．2
【答案】D
【详解】解：
f
x
2 cos
x
2sin ex
x
a
，
因为函数
f
x
2sin x ex
a
在
x
π 2
处取得极值，
所以
f
π 2
0
，
2 cos π 2sin π a
即
2
2
π
0 ，解得 a 2 ，
e2
讲授新课 知识点五 利用导数求函数的最值
【例 5】(2022·广东五校联考)已知函数 f(x)＝ax＋ln x，其中 a 为常数．
(1)当 a＝－1 时，求 f(x)的最大值； (2)若 f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求 a 的值． [解] (1)易知 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝－1 时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋1＝1－x，
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(ⅲ)若 a>1，则 0<1a<1，
当 x∈0，1a时，f′(x)>0，f(x)是增函数， 当 x∈1a，1时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)是增函数． 综上所述，当 a＝1 时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当 0<a<1 时，f(x) 在(0,1)上是增函数，在1，1a上是减函数，在1a，＋∞上是增函数； 当 a>1 时，f(x)在0，1a上是增函数，在1a，1上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
A． , 2
【答案】D
B．2,
C．
2 3
,
0
【详解】由题知， f x x3 2x a, x R ，
所以 f x 3x2 2 2 在 x R 上恒成立，
所以 f x x3 2x a 在 x R 上单调递增，
函数 f x x3 2x a 无单调减区间，故选：D.
D．以上都不对
(1)求函数 f(x)的导数 f′(x)； (2)求 f(x)在给定区间上的单调性和极值； (3)求 f(x)在给定区间上的端点值； (4)将 f(x)的各极值与 f(x)的端点值进行比较，确定 f(x)的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．
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1．函数 f x x3 2x a 的单调减区间是（ ）
①若 a≥－1e，则 f′(x)≥0，从而 f(x)在(0，e]上是增函数， ∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合题意． ②若 a<－1e，令 f′(x)>0 得 a＋1x>0，结合 x∈(0，e]，解得 0<x<－1a； 令 f′(x)<0 得 a＋1x<0，结合 x∈(0，e]，解得－1a<x≤e.
或 x＝2a＋ 3 b.因为 a，b，2a＋ 3 b都在集合{－3,1,3}中，且 a≠b，所以2a3＋b＝1，a＝3，b＝－3.此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x
＋3)(x－1)．令 f′(x)＝0，得 x＝－3 或 x＝1.列表如下：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1，＋∞)