材料力学课件ppt-6弯曲变形

Ey1 IEI12 FLb x2C1,
EI1 y6 FLb x3C1xD1, 3、确定常数
BC段 (axL)
E y2 I E2I2 F Lxb 2F 2(x a )2 C 2,
E2I6 F yLxb 3F 6(x a )3 C 2xD 2,
由边界条件： x0,wA0 （1）
目录
5、求 ymax 。
由dy 0求得 ymax 的位置值x。
dx
AF(b6LL2Eb2I)0,
C1x aF3 L (a a E b b ) I 0 ( a b )
则由 解得：
0在AC段。
1(x)6L FE b [3x2 I(L 2b2) ]0
xa时C ， 左 C 右
x
L,
yB
FBy k
xa时yC ， 左 yC 右
xL,yB lBD
FBy h EA
讨论：挠曲线分段处 （1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点； （3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两
w
目录
w w
w w
目录
w
C1


ql3 6EI
,
wC1


ql 4 8EI
q( l )3
w
C2 B2
2 6EI
,
wC2
wB2 q(l
B2
)4

l 2
2 8 EI
B2

l 2
目录
w
wCwC1wC2


ql 4 8 EI
CC1C2

ql 3 6 EI
q( l )4 2

1、挠曲线方程：
挠曲线
f(x)
2、挠度ω：截面形 心在y方向的位移 x
ω 向上为正
3、转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆时针为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
4、挠度转角关系为： tan d
dx
6-2
目录
二、挠曲线的近似微分方程
力学公式 数学公式
以上两式消去 1
x L2 b2 3
目录
代入 y1(x) 得：
3
ymax
Fb(L2 b2)2 9 3EI
若a b L 则： 2
ym ax yxL 2
FL3 48EI
在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外）， ym可ax 用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加法前提
EI z
d2 y M(x) dx2 EIz
目录
符号规定： M0
y
d2y dx 2 0
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
y M0
d2y dx 2

0
M
M
因此
d2y dx2

M (x) EI z
（挠曲线的近似微分方程）
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
由挠曲线的近似微分方程
积分一次：
d 2 y M (x) dx2 EI z
1、确定静不定次数。 2、选择基本静定梁。
静定梁(基本静定基) — 将静不定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。 多余约束 — 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束
或多余杆件。
多余约束的数目=超静定次数
q
B
多余约束的数目=1
L
目录
静定梁(基本静定基)选取
由光滑连续条件： xa时， 12
可解得：
xa时y1 ， y2
C1
Fb(L2 6L
b2)
C2
,
xL,yB0
（3） （4）
D1D2 0
目录
（2）
则简支梁的转角方程和挠度方程为
AC段 (0xa)
BC段 (axL)
1(x)6L FE b[3xI2(L2b2)], 2(x )6 L F[ E b 3 x2 I(L 2 b 2) ]F (x2 a )2,
d dyxyM E(xzI)dxC
积分二次：
yM E(xzI)ddxxC xD
（转角方程） （挠度方程）
式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
目录
梁的边界条件 y
A
Bx
y A
L
B x
悬臂梁：
x 0 时A ， 0 ,y A 0 .
简支梁：
x0时y， A0, xL时y， B0.
本例： (1)
仅有q作用，B点挠度为：
yBq
ql4 8EI
因此
仅有F
作用，B点挠度为：
By
yBF

FByl 3 3EI
解得:
yB yBFyBq

ql 4 8 EI
F By l 3 3 EI
0
FBy

3 8
ql()
A
q B
l
F By
目录
5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。
ql 3 24 EI
ql 3
3 EI
ql 3 16 EI
11ql 3 48 EI
w Cw C 1w C 2w C 3 5ql 4 384 EI
3ql 4 48 EI
(ql )l 3 11 ql 4 48 EI 384 EI
目录
例6-5 怎样用叠加法确定C和yC ?
目录
刚度条件：
y [y], max
[] max
[y]——许用挠度，[]——许用转角
工程中， [y]常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示，例如：
对于桥式起重机梁： 对于一般用途的轴：
[y] l ~ l 500 750
[y] 3l ~ 5l 1000010000
在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：
本例： (1)
MA
q
F Ax A
L
F Ay
Fx 0
B
Fy 0
FBy
MA 0
FAx 0,
FAy

5 8
ql(),
M
A

1 8
ql 2（
）
目录
6、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。
MA
F Ax A F Ay
q L
B
因此
FQmax

5 8
ql
F By
Mmax

1 8
部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
M
A
C
B
a
l
目录
（4）凡分段点处应列出连续条件，根据梁的变形的连
续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转
角；在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯
一的。
M
A
C
B
a
l
x0,yA0, x0,A0,
xal,yB0, xa时yC ， 左 yC 右
y1(x)6 L FE [b xI3(L 2b2)x], y 2 (x ) 6 L F[E b x 3 I (L 2 b 2 )x L 6 (x a )3 ]
4、求转角
x0代入得：
A1x0F(6bLL2Eb2I)
x L代入得：
B2xLF6aL (Lb Ea)I
目录
w w w
目录
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w

B1

ql3 24EI
,
wC1

5ql4 384EI
w
B3
(q2l)l 3EI
q3l , 3EI
wC3

3ql4 48EI
w
B2
(q)ll2 q3l

,
16EI 16EI
wC2


(ql)l3 48EI
目录
BB1B2B3
Fb , L
Fa FBy L
2、分段列出梁的弯矩方程
y
x
F
x A
a
C
B
b
x
L
F By
F Ay
AC段 (0xa)
BC段 (axL)
M1(x)FAxFLbx,
EIy1
Fb x, L
M2(x)F LbxF(xa), EyI2 FLbxF(xa),
目录
AC段 (0xa)
目录
梁的连续条件：
A
P
C
B
fC左 fC右
C左
C右
M
A
C
B
a
l
xa时yC ， 左 yC 右
目录
例如：写出下图的边界条件、连续性条件：
y
F
D
A
C
a
b
L
x0,yA0
B kx A
h F EA
C
a
L
bB
xa时C ， 左 C 右
x0,yA0
xa时yC ， 左 yC 右
C wC1 则
wC1Ba
+
B
F C a
(Fa)l a Fa 2l () 3EI 3EI
目录
2）考虑BC段(AB段看作刚体)
A
B
l
Fa
B a
C wC1
wC2

Fa3 3EI
()
所以
Fa2l wc1 3EI ()
wCwC1wC2
A
F
C
B
a
wC 2
Fa2l Fa3 问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-5 简单超静定梁 §6-6 提高梁刚度的措施
目录
目录
§6-1 工程中的弯曲变形问题
目录
目录
目录
目录
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
一.基本概念
y
x
转角 挠度
8 EI


B
2

l 2
41ql4 384EI

q( l )3 2

7 ql 4
6 EI 48 EI
目录
第二类叠加法逐段分析法
将梁的挠曲线分成几段，首先分别计算各段梁的变形
在需求位移处引起的位移（挠度和转角），然后计算
其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分
析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研
究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。
例6-6 ：
F
怎样用叠加法确定yC ? A
l
目录
BC a
例6-6 ：怎样用叠加法确定wC ?F 1）考虑AB段(BC段看作刚体)
A
F作用在支座上，不产生变形。
l
BC a
Fa使AB梁产生向上凸的变形。
查表得：
F
A
Fa
B

(Fa) l 3EI
B
l
B a
力与位移之间的线性关系 挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系
小变形 轴向位移忽略不计。
目录
第一类叠加法
应用于多个载荷作用的情形 叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷 共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个 载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。
例6-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
1 M(x)
(x) EIz
1
(x)


d2y dx 2
[1

(
d
y
)
2
]
3 2
dx
，得：

d 2y dx 2
[1
( dy
3
)2]2
dx
M (x) EI z
目录
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
小挠度情形下： dy 1
dx

d 2y dx 2
[1
( dy
3
)2]2
dx
M (x)
件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次 是简支梁，最后为外伸梁。
目录
q
3、列出变形协调条件。
L A
B
比较原静不定梁和静定基在解除约
束处的变形，根据基本静定梁的一
q
切情况要与原超静定梁完全相同的
A
B 要求，得到变形协调条件。
L
F By
yB 0
MA
q
A
B
L
A 0
目录
4、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。
ql2
5 ql
8 (+)
Fs 图
q
5
(-)
l
3
8
ql
9 ql 2 8
128
B L
FQmaxql
1 ql 2

A

qL 3 6 EI
（与C比较知E：IA C）
因此
yA


qL4 8EI
（与D比较知：EIyA D）
常数C表示起始截面的转角×刚度(EI)
常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)
目录
例6-2 一简支梁受力如图所示。试求 (x),w(x)和 A,wmax 。
解： 1、求支座反力
FAy

q
(1)解除B支座的约束,以 F代By 替，
A
B 即选择A端固定B端自由的悬臂梁
L
F By 作为基本静定梁。
MA
q
A
L
(2)解除A端阻止转动的支座反力
B
矩 M作A 为多余约束,即选择两端简
支的梁作为基本静定梁。
目录
基本静定基选取可遵循的原则： (1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统； (2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条
目录
例6-1悬臂梁受力如图所示。求 y A 和 A 。
解： 取参考坐标系Axy。
y
q
B
1、列出梁的弯矩方程
A
M(x)1qx2 (0xL)
x L
x
2
2、
d 2y dx 2

M (x) EI z
EIy 1qx2 2
积分一次： 积分二次：
EyIEI1qx3C （1）
6 EIy1qx4CxD （2）
24 目录
3、确定常数C、D.
由边界条件： xL,0代入（1）得： C 1 qL3
6
xL,y0代入（2）得： D 1 qL4
8
代入（1）（2）得：
1(1qx31q3L)
EI 6 6 y1(1q4xq3Lxq4L)
EI 24 6 8
目录
将 x0 代入得：
[]0.00r1ad
目录
§6-5 简单超静定梁
静不定梁—未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目， 仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或 静不定问题）。
静不定次数=未知力的数目-独立平衡方程数
q
B L
4个约束反力， 3个平衡方程， 静不定次数=1
目录
用力法求解静不定问题的步骤：