2015-2016学年高中数学向量的数量积(4)随堂练习新人教版必修4

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《向量数量积的概念》说课稿

《向量数量积的概念》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的课题是《向量数量积的概念》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修 4 第二章第四节。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

向量数量积是向量运算的重要内容，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且为后续学习向量的坐标运算、向量的模以及夹角等知识奠定了基础。

二、学情分析学生在之前已经学习了向量的线性运算，对向量的概念和运算有了一定的了解，但对于向量数量积这一新概念的理解和应用可能会存在一定的困难。

此外，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力还有待进一步提高。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解向量数量积的概念，掌握向量数量积的运算律。

（2）能够运用向量数量积的定义和运算律进行计算和证明。

2、过程与方法目标（1）通过物理实例引入向量数量积的概念，培养学生的数学建模能力和从实际问题中抽象出数学问题的能力。

（2）通过对向量数量积性质的探究，培养学生的逻辑推理能力和运算能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生体会数学与物理的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。

四、教学重难点1、教学重点向量数量积的概念及其运算律。

2、教学难点对向量数量积概念的理解以及向量数量积的应用。

五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过创设问题情境，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和主动性。

（2）讲授法：对于一些重要的概念和定理，通过教师的讲解，让学生能够准确理解和掌握。

2、学法（1）自主探究法：让学生通过自主思考和探究，理解向量数量积的概念和性质。

（2）合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作学习，培养学生的合作意识和交流能力。

六、教学过程1、导入新课通过回顾物理中力做功的公式：＼（W ＝｜F|＼cdot|s|＼cos\theta\），其中\（F\）是力的大小，＼（s\）是位移的大小，＼（＼theta\）是力与位移的夹角。

2021年高中数学向量的数量积(4)随堂练习新人教版必修4

＝2．已知点A(－1,0)、B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若⊥a，则实数k的值为3．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于5．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与－b垂直，则实数x 的值为________．6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝2，则|·n|的最大值为________．7．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为________．8．若将向量a＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b，则向量b的坐标为________．9．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.(1)求证：AB⊥AC；(2)求向量；(3)求证：AD2＝BD·CD.10．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．(1)当·取最小值时，求的坐标；(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．答案1.解析：由a＝(1，－1)，b＝(2，x)可得a·b＝2－x＝1，故x＝1.答案：12.解析：＝(2,3)，a＝(2k－1,2)，由⊥a得2×(2k－1)＋6＝0，解得k＝－1.答案-13．解析：设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，·最小，此时P(3,0)．答案：P (3,0)4.。

解析：如图，＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，则·＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8.答案：85.解析：∵向量a ＋xb 与－b 垂直，∴(a ＋xb )·(－b )＝－a·b －xb 2＝－2－5x ＝0，∴x ＝－25. 答案：－256.解析：＝(2,2)，||＝22，|·n |≤|||n |＝4，当且仅当与n 共线且同向时取等号．答案：47.解析：＝－＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而·＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以⊥，又||≠||，所以△ABC 是直角非等腰三角形．答案：直角三角形解析：设b ＝(x ，y )，由已知条件得|a |＝|b |，a·b ＝|a ||b |cos 45°.∴⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝5，2x ＋y ＝5×5×22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝322，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝322，y ＝－22.∵向量a 按逆时针旋转π4后，向量对应的点在第一象限，∴x >0，y >0，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3229.解：(1)∵＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)，·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB ⊥AC .(2) ＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)．设＝λ＝(5λ，5λ)则＝＋＝(－3，－6)＋(5λ，5λ)＝(5λ－3,5λ－6)，由AD⊥BC得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，解得λ＝9 10，∴＝(32，－32)．(3)证明：＝94＋94＝92，||＝50λ2＝92 2，||＝52，||＝||－||＝2 2 .∴||2＝||·||，即AD2＝BD·CD.解：(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，∴向量与共线，又＝(2,1)．∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，∴＝(1－2y,7－y)．同理＝－＝(5－2y,1－y)．于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.可知当y＝202×5＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．(2)当＝(4,2)，即y＝2时，有＝(－3,5)，＝(1，－1)，·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos∠AMB＝·||||＝－834×2＝－41717. uI24069 5E05 帅33276 81FC 臼L35424 8A60 詠 38634 96EA 雪 27110 69E6 槦23091 5A33 娳23176 5A88 媈6。

2016高中数学人教A版必修四第二章 5从力做的功到向量的数量积练习题含答案

§5从力做的功到向量的数量积,)1、问题导航(1）计算两个向量的数量积时，需要确定哪几个量?(2)向量的数量积运算结果与向量的线性运算结果有什么区别?(3）若两个向量的数量积大于零，则这两个向量的夹角一定就是锐角不？若两个向量的数量积小于零,则这两个向量的夹角一定就是钝角不？2、例题导读P95例1、通过本例学习，学会计算两个向量的数量积、试一试：教材P97习题2－5 A组T2您会不?P95例2、通过本例学习,学会利用向量的数量积求解与三角形有关的问题、试一试：教材P97习题2－5 A组T6您会不？P96例3、通过本例学习，学会利用向量数量积证明几何中的垂直关系、试一试:教材P97习题2－5 B组T2您会不？P96例4、通过本例学习，学会利用向量的数量积计算两个向量的夹角、试一试：教材P97习题2－5 A组T5您会不?1、力做的功一个物体在F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为W＝|F|｜s|cos θ，其中θ就是F与s的夹角、2、两个向量的夹角定义已知两个非零向量a与b,如图，作错误!＝a,错误!＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°垂直当θ＝90°时，称向量a与b互相垂直,记作a⊥b、规定零向量可与任一向量垂直特例当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时,a与b反向3、向量的数量积定义已知两个向量a与b,它们的夹角为θ，把|a||b｜cos θ叫作a与b的数量积（或内积）,记作a·b,即a·b＝|a｜|b｜cos_θ、特别规定：零向量与任一向量的数量积均为0射影|a｜cos_θ(|b|cos θ)叫作向量a在b方向上(向量b在a方向上)的射影几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影｜b｜cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影｜a|cos_θ的乘积物理意义力对物体做功，就就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s （1）若e就是单位向量,则e·a＝a·e＝|a|cos_θ、（2）若a⊥b,则a·b＝0;反之,若a·b＝0，则a⊥b、通常记作a⊥b⇔a·b＝0、（a,b为非零向量）(3）a、b同向⇔a·b＝｜a｜|b|;a、b反向⇔a·b＝－|a｜｜b|；特别地a·a＝a2或｜a|＝错误!、(4）cos θ＝错误!(|a｜|b|≠0)、（5)对任意两个向量a,b，有｜a·b｜≤|a｜|b|、当且仅当a∥b时等号成立、5、向量数量积的运算定律已知向量a,b,c与实数λ,则交换律a·b＝b·a结合律（λa)·b＝λ(a·b)＝a·（λb）分配律a·（b＋c)＝a·b＋a·c6、乘法公式成立（a＋b）·(a－b)＝a2－b2、（a±b）2＝a2±2a·b＋b2＝｜a｜2±2a·b＋|b|2等等、1、判断正误、（正确的打“√",错误的打“×”)(1)向量的数量积的运算结果就是一个向量、（）（2）若a·b＝0,则a＝0或b＝0、(）（3)若a·b＝b·c，则一定有a＝c、()解析:（1）错误、向量的数量积就是一个数、（2）错误、向量a与b可能垂直、(3)错误、向量b与向量a，c可能垂直，所以a与c不一定相等、答案:(1)×（2）×（3）×2、已知｜a|＝6,|b｜＝3,a·b＝－12，则向量a在b方向上的投影为（）A、－4B、4C、－2D、2解析：选A、向量a在b方向上的投影为｜a｜cos θ＝错误!＝错误!＝－4，故选A、3、已知｜a|＝3,|b｜＝4,则(a＋b)·（a－b）＝________、解析：(a＋b)·（a－b)＝a2－b2＝｜a|2－｜b|2＝32－42＝－7、答案：－74、已知△ABC中，BC＝4,AC＝8,C＝60°，则错误!·错误!＝________、解析:画图可知向量错误!与错误!的夹角为角C的补角,故错误!·错误!＝｜错误!|×|错误!｜cos（π－C）＝4×8×（－错误!）＝－16、答案:－161、对数量积概念的三点说明(1)从定义上瞧：两向量的数量积就是一个数量，而不就是向量,其数值可正、可负、可为零,其决定因素为两向量的夹角、（2）从运算上瞧:两向量a，b的数量积称作内积，写成a·b，其中“·”就是一种运算符号,不同于实数的乘法符号,不可省略、(3）两向量的数量积有明确的物理与几何意义,学习时注意掌握、2、理解数量积的几何意义要关注的三点(1）a在b方向上的投影与b在a方向上的投影就是不同的、(2)b在a方向上的投影为|b|cos θ（θ就是a与b的夹角),也可以写成错误!、（3)投影就是一个数量，不就是向量，其值可为正,可为负,也可为零、3、数量积性质的作用性质(2)就是利用向量法研究垂直问题的依据;性质（3)可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化;性质（4)可用来求两个向量的夹角,它的实质就是平面向量数量积的逆用；性质（5）反映了两个数量的大小关系，就是向量中很重要的一个不等式，用它可研究几何问题中的某些不等关系，证明不等式或用来求有关函数的最值、但要特别注意该不等式中“＝”成立的条件、4、向量数量积与实数积运算律的比较实数a,b,c 向量a，b，ca≠0，a·b＝0⇒b＝0a≠0，a·b＝0b＝0a·b＝b·c（b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0）a＝c|a·b｜＝｜a|·｜b｜｜a·b|≤|a｜·|b|满足乘法结合律不满足乘法结合律向量数量积的运算(1)已知｜a｜＝4，|b|＝5,当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角为30°时,分别求a 与b的数量积、(2)已知△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆,且2错误!＋3错误!＋4错误!＝0,求错误!·错误!的值、（链接教材P95例1）[解]（1）①a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝｜a|·|b|cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向,则θ＝180°，所以a·b＝｜a｜·|b|cos 180°＝4×5×（－1)＝－20、②当a⊥b时，θ＝90°,所以a·b＝｜a｜·|b｜cos 90°＝0、③当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°＝4×5×错误!＝10错误!、(2）由2错误!＋3错误!＋4错误!＝0,得2错误!＝－3错误!－4错误!，两边平方得，4＝9＋16＋24错误!·错误!，所以错误!·错误!＝－错误!，3错误!＝－2错误!－4错误!，两边平方得，9＝4＋16＋16错误!·错误!,所以错误!·错误!＝－错误!,所以错误!·错误!＝错误!·(错误!－错误!）＝错误!·错误!－错误!·错误!＝－错误!＋错误!＝－错误!、方法归纳求向量数量积的方法及注意事项(1）方法:分别求出向量a与向量b的模及向量a与向量b夹角的余弦值,然后根据数量积的定义求解、（2)注意事项:①要牢记数量积的运算公式;②要注意确定两个向量的夹角;③对于平行向量要注意两向量就是同向还就是反向、(3)求形如（m a＋n b)·（p a＋q b)的数量积,可以先展开,再求a2、b2、a·b、1、（1）在Rt△ABC中,C＝90°,AC＝4，则错误!·错误!等于()A、－16B、－8C、8D、16(2)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足6错误!＝3错误!＋2错误!，则错误!·错误!＝________、解析:(1）错误!·错误!＝（错误!－错误!）·（－错误!)＝－错误!·错误!＋错误!2＝16、(2）由6错误!＝3错误!＋2错误!可得错误!＝－错误!错误!－错误!错误!,在△MAC中,错误!＝错误!＋错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!,在△MBC中，错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!错误!,错误!·错误!＝(－错误!错误!＋错误!错误!）·(错误!错误!－错误!错误!）＝－14CB →2＋错误!错误!·错误!－错误!错误!2, 又等边△ABC 中，｜错误!｜＝｜错误!｜＝2,错误!·错误!＝｜错误!|·｜错误!|cos 60°＝2，则错误!·错误!＝－错误!、答案：(1)D （2)－错误!向量模的问题(1）已知向量a 与b 的夹角为45°，且|a |＝1，｜2a ＋b ｜＝错误!,则｜b |＝________、（2）设向量a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＝0,（a －b ）⊥c ,|a ｜＝1，则|b ｜＝________、（链接教材P 97习题2－5 A 组T 4)[解析］（1）因为｜2a ＋b |＝错误!,所以（2a ＋b )2＝10,所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°且|a ｜＝1，所以4｜a ｜2＋4|a ｜｜b |cos 45°＋｜b |2＝10，故4×12＋4×1×|b ｜×错误!＋｜b ｜2＝10,整理得|b ｜2＋2错误!｜b |－6＝0，解得｜b ｜＝错误!或|b ｜＝－3错误!(舍去）、(2）因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－（a ＋b )、因为(a －b ）⊥c ,所以c ·（a －b ）＝0,所以－(a ＋b )·(a －b )＝0,所以a 2－b 2＝0,所以｜b ｜＝|a ｜＝1、［答案] （1)错误! （2)1本例(2）中,加上条件a ⊥b ,其她不变,求｜c |、解:由已知可得c ＝－(a ＋b ),而（a －b ）⊥c ，有(a －b )·［－(a ＋b )］＝0，所以a 2－b 2＝0，又｜a |＝1，得|b ｜＝1，而a ⊥b ,所以c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2,即|c |＝错误!、方法归纳求向量的模的常见思路及方法（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系,并灵活应用a 2＝｜a ｜2，勿忘记开方、（2）a ·a ＝a 2＝|a |2或｜a |＝错误!,此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化、（3)一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2,(a ＋b ）·（a －b ）＝a 2－b 2等、2、（1)平面向量a 与b 的夹角为60°，|a ｜＝2，|b |＝1,则｜a ＋2b |＝( )A 、错误!B 、2错误!C 、4D 、12（2)若向量a ，b 满足:｜a |＝1，（a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ,则|b ｜＝（）A 、2B 、 2C 、1D 、错误!(3）已知同一平面上的向量a ，b ,c 两两所成的角相等,并且|a ｜＝1，｜b ｜＝2，｜c |＝3,求|a ＋b ＋c ｜、解:(1）选B 、｜a ＋2b |＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝2错误!、（2)选B、由题意知错误!即错误!将①×2－②得,2a2－b2＝0,所以b2＝｜b｜2＝2a2＝2｜a｜2＝2,故|b|＝错误!、（3)①当向量a，b，c共线且同向时，所成的角均为0°,所以｜a＋b＋c|＝｜a｜＋｜b｜＋|c｜＝6;②当向量a，b，c不共线时,易知a,b，c皆为非零向量、设a,b，c所成的角均为θ,则3θ＝360°，即θ＝120°，所以a·b＝|a|｜b｜cos 120°＝－1、同理b·c＝－3，c·a＝－错误!,由｜a＋b＋c｜2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝3，故|a＋b＋c｜＝错误!、综上所述，|a＋b＋c｜＝6或错误!、向量的夹角与垂直(1）已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α＝错误!,向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________、（2）已知向量a,b满足a－b与a＋b垂直,2a＋b与b垂直，则a与b的夹角为________、（3）已知非零向量a，b满足｜a｜＝1，且（a－b）·(a＋b）＝错误!、①求｜b|；②当a·b＝错误!时,求向量a与b的夹角θ的值、[解](1)因为|a|＝错误!＝错误!＝3,|b|＝错误!＝错误!＝2错误!，所以a·b＝(3e1－2e2)·（3e1－e2）＝9e错误!－9e1·e2＋2e错误!＝9－9×1×1×错误!＋2＝8,所以cos β＝错误!＝错误!、故填错误!、(2)因为a－b与a＋b垂直,所以（a－b)·（a＋b)＝0、所以a2＝b2、所以|a|＝｜b|、因为2a＋b与b垂直，所以(2a＋b）·b＝0、所以2a·b＋b2＝0、所以a·b＝－错误!b2＝－错误!｜b｜2、设a,b的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝－错误!、因为0≤θ≤π,所以θ＝错误!、故填错误!、(3）①因为(a－b）·(a＋b）＝错误!,即a2－b2＝错误!,所以|b｜2＝｜a|2－错误!＝1－错误!＝错误!，故|b|＝错误!、②因为cos θ＝错误!＝错误!，又0°≤θ≤180°,所以θ＝45°、方法归纳求向量夹角的基本步骤及注意事项（1)步骤(2）注意事项在个别含有|a|,|b｜与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cos θ的值、3、（1）已知向量a ,b 满足|a |＝2,|b ｜＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ）A 、错误!B 、错误!C 、错误!D 、错误!（2）已知向量a ,b ，满足|a |＝3，|b ｜＝2错误!,且a ⊥(a ＋b ），则a 与b 的夹角为（ )A 、错误!B 、错误!C 、错误!D 、错误!(3）已知向量错误!与错误!的夹角为120°，且|错误!｜＝3，｜错误!|＝2,若错误!＝λ错误!＋错误!，且错误!⊥错误!,则实数λ的值为________、解析:(1)因为｜a |＝2,a ·(b －a ）＝－1,所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1，所以a ·b ＝3、又因为|b |＝3,设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ||b |＝错误!＝错误!、又θ∈［0,π]，所以θ＝错误!、（2)设a 与b 的夹角为θ,因为|a |＝3，|b ｜＝23，且a ⊥（a ＋b )，所以a ·(a ＋b ）＝a 2＋a ·b ＝｜a ｜2＋|a ｜|b ｜cos θ＝9＋63cos θ＝0,则cos θ＝－错误!;又因为θ∈[0,π]，所以θ＝5π6，即a 与b 的夹角为错误!、 (3)向量错误!与错误!的夹角为120°,且｜错误!｜＝3，｜错误!｜＝2,所以错误!·错误!＝|错误!｜·|错误!｜cos 120°＝－3、由错误!⊥错误!得,错误!·错误!＝0,即错误!·错误!＝(λ错误!＋错误!)·(错误!－错误!)＝0，所以错误!2－λ错误!2＋（λ－1)错误!·错误!＝0，即4－9λ－3（λ－1）＝0,解得λ＝错误!、答案：(1）C （2)D (3)712易错警示因数量积转化不等价致误设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，｜e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为错误!,若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角,则实数t 的取值范围为________、［解析] 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角,得（2t e 1＋7e 2）·(e 1＋t e 2)〈0,即2t e 2，1＋2t 2e 1·e 2＋7e 1·e 2＋7t e 错误!<0，因为|e 1|＝2，|e 2｜＝1，且e 1与e 2的夹角为错误!,化简即得:2t 2＋15t ＋7<0，解得－7〈t <－错误!、当夹角为π时,2t e 1＋7e 2＝λ（e 1＋t e 2），λ<0，可求得错误!所以错误!所以所求实数t 的范围就是错误!∪错误!、［答案］错误!∪错误!、［错因与防范］ (1）解答本题常会出现错误的答案为（－7,－错误!）、原因就是不理解数量积的符号与向量夹角的关系，不等式“(2t e 1＋7e 2）·(e 1＋t e 2)<0”与“向量夹角为钝角"并不等价,其中还包含了共线且反向的情况、(2）注意问题转换的等价性数量积的符号同向量夹角的关系如下:对于非零向量a 与b 及其夹角θ,①a ·b ＝0⇔a ⊥b ;②a ·b >0⇔θ为锐角或零角;③a ·b <0⇔θ为钝角或平角、如本例应排除向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2共线且反向的特殊情形后才等价、4、（1）已知a就是单位向量,|b｜＝错误!,且（2a＋b）·(b－a)＝4－错误!，则a与b的夹角为()A、45°B、60°C、120°D、135°(2）已知非零向量a,b满足｜a|＝｜b｜＝|a＋b|，则a,b的夹角为________、解析：(1)设a,b的夹角为θ、由(2a＋b)·（b－a）＝2a·b－2a2＋b2－a·b＝a·b－2＋6＝a·b ＋4＝4－3,所以a·b＝－错误!,又a·b＝|a||b｜cos θ＝错误!·cos θ＝－错误!，所以cos θ＝－错误!,又0°≤θ≤180°,所以θ＝135°,故a与b的夹角为135°、（2)设a，b的夹角为θ、由|a|＝|b|＝|a＋b｜,得｜a|2＝｜a＋b｜2,所以｜a｜2＝|a｜2＋2a·b＋｜b｜2,得a·b＝－错误!｜b|2，所以a·b＝|a|｜b|cos θ＝－错误!|b｜2，所以cos θ＝－错误!,又θ∈[0，π],所以θ＝错误!、答案：(1)D（2）错误!1、若四边形ABCD满足错误!＋错误!＝0，错误!·错误!＝0,则该四边形就是()A、菱形B、矩形C、直角梯形D、正方形解析:选B、由错误!＋错误!＝0知,错误!＝错误!，所以AB綊CD,所以四边形ABCD 就是平行四边形、因为错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝0,所以AD⊥AB,所以四边形ABCD就是矩形,故选B、2、等边三角形ABC的边长为1,则错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!等于（)A、0B、1C、－错误!D、－错误!解析:选D、由已知｜错误!|＝｜错误!|＝|错误!｜＝1,所以错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＝cos 120°＋cos 120°＋cos 120°＝－错误!、3、已知向量a,b满足（a＋2b）·（a－b）＝－6，且｜a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________、解析：设a，b的夹角为θ，由（a＋2b）·(a－b)＝－6,得a2＋a·b－2b2＝－6，又｜a|＝1，|b｜＝2，所以a·b＝1，所以cos θ＝错误!＝错误!,又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°、答案:60°，[学生用书单独成册］)[A、基础达标]1、设a,b,c就是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a·b）c－（c·a)b＝0；②|a｜－｜b|〈|a－b｜；③(b·c）a－(c·a）b不与c垂直;④（3a＋2b）·(3a－2b)＝9|a｜2－4｜b|2中，就是真命题的有(）A、①②B、②③C、③④D、②④解析:选D、因为(a·b）c就是与c共线的向量，（c·a)b就是与b共线的向量，所以（a·b）c与（c·a）b不一定相等,排除①、因为[（b·c）a－（c·a）b］·c＝（b·c）(a·c)－（c·a)（b·c)＝0，所以(b ·c )a －(c ·a ）b 与c 垂直,所以排除③，故选D 、2、已知向量a ，b 满足|a ｜＝1,｜b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为（）A 、错误!B 、错误!C 、错误!D 、错误!解析:选C 、因为a ·b ＝|a ｜|b ｜cos θ，所以1×4cos θ＝2，即cos θ＝错误!、又因为θ∈［0,π]，所以θ＝错误!、3、已知a 与b 均为单位向量,它们的夹角为60°，那么｜a ＋3b ｜等于（ )A 、错误!B 、错误!C 、13D 、4解析:选C 、因为｜a ｜＝|b |＝1,又a 与b 的夹角为60°，所以|a ＋3b ｜2＝|a ｜2＋6a ·b ＋9｜b |2＝1＋6×cos 60°＋9＝13、即｜a ＋3b ｜＝13、4、在△OAB 中,OA →＝a ，错误!＝b ，OD 就是AB 边上的高,若错误!＝λ错误!,则λ等于( )A 、错误!B 、错误!C 、错误!D 、错误!解析：选B 、由题意知错误!·错误!＝0，即错误!·（错误!＋错误!）＝0,所以错误!·（错误!＋λ错误!）＝0，所以λ＝－错误!＝－错误!＝错误!，故选B 、5、若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ,则|a －b －c |的最小值为（ )A 、2－1B 、1C 、错误!＋1D 、错误!解析:选A 、因为a ,b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，所以a ·b ＝0,所以|a －b |＝错误!＝错误!＝错误!,所以|a －b －c |≥|a －b ｜－|c ｜＝错误!－1、6、已知单位向量e 1,e 2的夹角为120°,则|2e 1－e 2｜＝________、解析：｜2e 1－e 2|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!、答案:错误!7、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°,则向量错误!在向量错误!上的投影等于________、解析：因为等腰△ABC 中,AB ＝AC ＝1,B ＝30°,所以∠BAC ＝120°，因此向量错误!在向量错误!上的投影为｜错误!|cos 120°＝－错误!、答案：－错误!8、已知a ,b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0,a 与b 的夹角为错误!，则实数λ＝________、解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ）,即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ,而a ，b ,c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1,则49＝9＋λ2＋6λcos 错误!,即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5、答案：－8或59、设向量a ,b 满足|a ｜＝1,|b |＝1,且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b ｜(k 〉0)、（1)a 与b 能垂直不？（2）若a 与b 的夹角为60°,求k 的值、解:（1)因为｜k a ＋b |＝错误!|a －k b |，所以(k a ＋b ）2＝3(a －k b ）2，且｜a ｜＝|b ｜＝1,即k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b ），所以a ·b ＝错误!、因为k 2＋1≠0,所以a ·b ≠0，即a 与b 不垂直、（2)因为a 与b 的夹角为60°,且｜a ｜＝｜b ｜＝1，所以a ·b ＝|a ｜|b |cos 60°＝12、所以错误!＝错误!、所以k ＝1、10、设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，｜3a －b |＝错误!、(1)求｜a ＋3b |的值;(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值、解:(1)由｜3a －b |＝错误!得（3a －b )2＝5,所以9a 2－6a ·b ＋b 2＝5、因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b ｜2＝1，所以9－6a ·b ＋1＝5，所以a ·b ＝错误!、所以（a ＋3b ）2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×错误!＋9×1＝15、所以|a ＋3b ｜＝15、（2）设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ、因为（3a －b ）·(a ＋3b ）＝3a 2＋8a ·b －3b 2＝3×1＋8×错误!－3×1＝错误!、所以cos θ＝错误!＝错误!＝错误!、因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝1－cos 2θ＝错误!＝错误!、所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为错误!、[B 、能力提升]1、如图，在四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥DC 、若｜错误!|＝a ,|错误!|＝b ，则AC ，→·错误!＝( )A 、a 2－b 2B 、b 2－a 2C 、a 2＋b 2D 、a ·b解析：选B 、因为错误!⊥错误!，所以错误!在错误!方向上的投影为|错误!｜·cos ∠CAD ＝｜错误!|，又错误!⊥错误!，所以错误!在错误!方向上的投影为|错误!|·cos ∠CAB ＝｜错误!|、所以错误!·错误!＝错误!·(错误!－错误!)＝错误!·错误!－错误!·错误!＝|错误!｜|错误!｜－｜错误!｜|错误!|＝b 2－a 2、2、在Rt △ABC 中,点D 就是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点，则错误!＝（）A 、2B 、4C 、5D 、10解析：选D 、错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－6＝42－6＝10、3、设e 1,e 2为单位向量,非零向量b ＝x e 1＋y e 2,x ，y ∈R 、若e 1，e 2的夹角为错误!,则错误!的最大值等于________、解析:根据题意，得错误!错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!、因为错误!错误!＋错误!≥错误!,所以0〈错误!错误!≤4,所以0<错误!≤2、故错误!的最大值为2、答案：24、在平行四边形ABCD 中,AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点、若错误!·错误!＝1，则AB 的长为________、解析:设AB 的长为a （a 〉0），又因为错误!＝错误!＋错误!,错误!＝错误!＋错误!＝错误!－错误!错误!,于就是错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·错误!＝错误!错误!·错误!－错误!错误!2＋错误!2＝－错误!a 2＋错误!a ＋1，由已知可得－错误!a 2＋错误!a ＋1＝1、又a 〉0,所以a ＝错误!,即AB 的长为错误!、答案：错误!5、如图，在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，如果AM ＝2，求OA →·(错误!＋错误!）的最值、解:因为错误!＋错误!＝2错误!,所以OA ，→·（错误!＋错误!）＝错误!·2错误!＝2｜错误!｜|错误!｜·cos 180°＝－2|错误!||错误!|,｜错误!|＋｜错误!｜＝2，设|错误!｜＝t (0≤t ≤2)⇒｜错误!|＝2－t 、所以错误!·(错误!＋错误!)＝－2(2－t ）t ＝2t 2－4t ＝2(t －1）2－2（0≤t ≤2)、所以当t ＝1时,错误!·（错误!＋错误!）取得最小值－2、当t ＝0或2时,错误!·(错误!＋错误!)取得最大值0、6、（选做题）已知非零向量a 、b ，设其夹角为θ,就是否存在θ，使得|a ＋b ｜＝错误!|a －b ｜成立，若存在,求出θ的取值范围,若不存在，请说明理由、解:假设存在满足条件的θ，由｜a ＋b |＝错误!|a －b |可得:(a ＋b )2＝3（a －b )2，即|a |2＋2a ·b ＋｜b |2＝3（｜a |2－2a ·b ＋|b ｜2)⇒｜a ｜2－4a ·b ＋|b |2＝0⇒|a |2－4｜a |·|b |cos θ＋｜b |2＝0、已知向量a 、b 为非零向量,则｜b ｜≠0，上式同除以|b |2得到：错误!错误!－4cos θ错误!＋1＝0，由Δ≥0得到：（－4cos θ）2－4≥0,解得cos θ≤－错误!或cos θ≥错误!,又知cos θ∈［－1，1]，则－1≤cos θ≤－错误!或错误!≤cos θ≤1，因为θ∈[0,π]、所以θ∈错误!∪错误!满足题意、因此,当θ∈错误!∪错误!时，使得｜a ＋b |＝错误!|a －b ｜、。

人教版高中数学必修四2.4平面向量的数量积2.4.1含答案

§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课时目标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律．1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量______________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是____________，向量b 在a 方向上的投影是______________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影________________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝______________________(分配律)．一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( )A ．0B ．2 2C ．4D ．84．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12题号 1 2 3 4 5 6 答案7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．给出下列结论：①若a ≠0，a·b ＝0，则b ＝0；②若a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③(a·b )c ＝a (b·c )；④a·[b (a ·c )－c (a·b )]＝0.其中正确结论的序号是________．9．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________.10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题11．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．12．已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.能力提升13．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．14．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的射影与b 在a 方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ 3.(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c作业设计1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．B [|2a －b |2＝(2a －b )2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b |＝2 2.]4．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12.同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 5．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ，∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－12，∴θ＝120°.] 6．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b ＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．④解析因为两个非零向量a 、b 垂直时，a·b ＝0，故①不正确；当a ＝0，b ⊥c 时，a·b ＝b·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确；向量(a·b )c 与c 共线，a (b·c )与a 共线，故③不正确；④正确，a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝(a·b )(a·c )－(a·c )(a·b )＝0.9．120°解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12， ∴〈a ，b 〉＝120°.10．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b |≤1.11．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a·b ＝|a||b |cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |cos 60°＝4×3×12＝6. 12．解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5. 13．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12. 14．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n ＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

人教版高中数学必修四2.4平面向量的数量积2.4.2含答案

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时目标 1.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________________. 3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________________.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝________________________. 4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.一、选择题1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．123．已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16654．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．256．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17 B.17 C ．－16 D.16题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________. 8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______． 10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．三、解答题11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12变动时，a 的范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)14．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角答案知识梳理1．x 1x 2＋y 1y 2 相应坐标乘积的和 2．x 1x 2＋y 1y 2＝03．(1)x 21＋y 21 (2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 4.a·b|a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22作业设计1．C [由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0， ∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3. ∴|a |＝1＋n 2＝2.故选C.] 2．B [a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.]3．C [∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665.]4．D [设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73)，故选D.]5．C [∵|a ＋b |＝52， ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2， ∴|b |＝5.]6．A [由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.]7．1解析 a －2b ＝(1，3)， (a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1. 8．(－4,8)解析由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4， ∴b ＝－4a ＝(－4,8)． 9.655解析设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55，故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655.或直接根据a·b|b |计算a 在b 方向上的投影．10.⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞) 解析由题意cos α＝a·b|a||b |＝－2λ－15·λ2＋1，∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，∴－1<－2λ－15·λ2＋1<0，∴⎩⎨⎧－2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2，∴λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． 11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0， a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0， (a·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.13．C[已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零，故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)．]14．－2解析建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →＝(0,1)，MB →＝(－3，－2)．∴MA →·MB →＝－2.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

人教版高中数学必修4课后习题答案详解

数学必修四答案详解第二章平面向量2．1平面向量实际背景及基本概念练习（P77）1、略.2、AB u u u r ，BA u u u r. 这两个向量长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ；与FD u u u r相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r；与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r uu u r5、AD =u u u r .6、（1）×；（2）√；（3）√；（4）×.习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r同向的共有6对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u u r反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r；（2）CB u u u r . 4、（1）c r ；（2）f u r ；（3）f u r ；（4）g u r . 练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r. 3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r .说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BCuuu r与AB u u u r反向.3、（1）2b a =r r ；（2）74b a =-r r ；（3）12b a =-r r；（4）89b a =r r .4、（1）共线；（2）共线.5、（1）32a b -rr ；（2）1112a -r r（3）2ya r . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ；（2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r，所以AC ===u u u r 因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ；（2）AB u u u r ；（3）BA u u u r ；（4）0r ；（5）0r ；（6）CB u u u r ；（7）0r .5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略；（2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ；（2）102210a b c -+r r r ；（3）132a b +r r ；（4）2()x y b -r .10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r . 11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r，34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =u u u r u u u r ；同理，12HG AC =u u u r u u u r，所以EF HG =u u u r u u u r .习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =u u u r u u u r，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.（第11题）（第12题）EHGFC AB丙乙（第1题）（第4题(2)）BCD证明：∵AB DC =u u u r u u u r，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r 所以BA CD =u u u r u u u r，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ；（2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r；（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ；（4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r.3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ；（2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r；（3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ；（4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)；（2）(1,4)；（3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u ur(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩（第4题(3)）（第5题）∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-；（2）(0,8)；（3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r 而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r.1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u ur .(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r，所以，点C 的坐标为(0,3)；(3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuur 共线. 7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r ，所以点A '的坐标为(2,4)； 3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r，所以点B '的坐标为(3,9)-；故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r习题2.3 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r uu r .所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r .2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r 35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r88θ≈︒.习题2.4 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r 222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r.3、a b +==r r a b -==r r .4、证法一：设a r 与b r的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r()cos a b a b λλθ⋅=r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-r r r r r r()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+r r11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒. 8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r ， (8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r ，则2292x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是(55a=r或(55a=--r.11、解：设与ar垂直的单位向量(,)e x y=r，则221420x yx y⎧+=⎨+=⎩，解得5xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是,55e=-r或(55e=-r.习题2.4 B组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y=r，22(,)b x y=r，33(,)c x y=r.先证()a b a c a b c⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y⋅=+r r，1313a c x x y y⋅=+r r由a b a c⋅=⋅r r r r得12121313x x y y x x y y+=+，即123123()()0x x x y y y-+-=而2323(,)b c x x y y-=--r r，所以()0a b c⋅-=r r r再证()a b c a b a c⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c⋅-=r r r得123123()()0x x x y y y-+-=，即12121313x x y y x x y y+=+，因此a b a c⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sinOA OBAOBOA OBαβαβ⋅∠==+u u u r u u u ru u u r u u u r.3、证明：构造向量(,)u a b=r，(,)v c d=r.cos,u v u v u v⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v+=<>r r ∴2222222222()()()cos,()()ac bd a b c d u v a b c d+=++<>≤++r r4、AB AC⋅u u u r u u u r的值只与弦AB的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r 又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r ，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r 所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r ∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r ，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =.2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r （2）因为1()2AE a b =+u u u r r r 所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE= 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO CO OE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r ；（2）v r 在A v u u r 方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u r u u r . 4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r 的夹角为θ，则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r ，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r .设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r 为重力加速度所以，最大高度为220sin 2v g θu u r ，最大投掷距离为20sin 2v g θu u r . 2、解：设1v u r 与2v u u r 夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v v v θθα==u r r r ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、（1）(0,1)-O DF E A B C （第2题）（第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r . 将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r 所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==- （2）32y x=- 解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos 44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩ 又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x =- 第二章复习参考题A 组（P118）1、（1）√；（2）√；（3）×；（4）×.2、（1）D ；（2）B ；（3）D ；（4）C ；（5）D ；（6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2AD a b =+u u u r r r 4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2233AD a b =+u u u r r r ，1133BC a b =+u u u r r r 1133EF a b =--u u u r r r ，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r 1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u u r r r CE a b =-+u u u r r r5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r ；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ；（3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r . （第4题）6、AB u u u r 与CD u u u r 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u u r 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C === 11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r . 12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519cos ,cos 820θβ== 第二章复习参考题B 组（P119）1、（1）A ；（2）D ；（3）B ；（4）C ；（5）C ；（6）C ；（7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-r r r r r r .222()2a b a b a b a b +=+=++⋅r r r r r r r r ，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅r r r r r r r r .因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，于是22a b a b a b +=+=-r r r r r r . 再证a b a b a b +=-⇒⊥r r r r r r .由于222a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r由a b a b +=-r r r r 可得0a b ⋅=r r ，于是a b ⊥r r所以a b a b a b +=-⇔⊥r r r r r r . 【几何意义是矩形两条对角线相等】3、证明：先证a b c d =⇒⊥r r r u r22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=-r u r r r r r r r又a b =r r ，所以0c d ⋅=r u r ，所以c d ⊥r u r再证c d a b ⊥⇒=r u r r r .由c d ⊥r u r 得0c d ⋅=r u r ，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=r r r r r r 所以a b =r r 【几何意义为菱形对角线互相垂直，如图所示】（第3题）（第6题）4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142AE a b =+u u u r r r 而34EF a =u u u r r ，14EM a =u u u u r r ，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=u u u u r u u u r u u u u r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r ，所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r 所以11OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒ 所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7、（18=（千米／时），沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为千米／时，沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ⋅=u u u r u u u r同理，0OA BC ⋅=u u u r u u u r ，0OC AB ⋅=u u u r u u u r ，所以点O 是ABC ∆的垂心.9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=；（2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =第三章三角恒等变换P 2（第5题）3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=. cos(2)cos2cos sin 2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==；又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β== 所以32cos()cos cos sin sin (()43βαβαβα-=+=⨯⨯-=. 练习（P131） 1、（1；（2）（3（4）22、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-；所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1；（2）12；（3）1；（4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin ))2333x x x x x πππ=-=+. 7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-= 所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-. 因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<< 又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin 385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-= 2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---= 2232tan 23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--= 3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α==，所以sintan (2)cos ααα==-=4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=；（2）22cos sin cos 88πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒；（4）原式=cos45︒=. 习题3.1 A 组（P137） 1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）33sin()sin cos 1cos 0sin cos22ππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin 1cos 0sin cos παπαααα-=+-⨯+⨯=-；（4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin 7α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-⨯6、（1）（2）（3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β===.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒（第12题）13、（1）)6x π+；（23sin()3x π-；（3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-；（5）2；（6）12；（7）sin()αγ+；（8）cos()αγ--；（9）（10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cossin ((3ϕϕϕ=-=-=- sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sin3α==-∴1sin 22sin cos 2(ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+；（2）cos2θ；（3）1sin 44x ；（4）tan2θ.习题3.1 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略）本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题3.2 A 组（ P143） 1、（1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（3）略；（4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略；（6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+；（8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===----1tan tan1142131tan tan 1()142πθπθ+-+===-⋅--⨯∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题3.2 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-= 由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+. 在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=. 于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章复习参考题A 组（P146）（第4题）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2；（3）2；（4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒-=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅=2cos50sin50cos10︒=︒⋅=︒6、（1）95；（2）2425；（3）. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-；（4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π，最大值为21+；（2）()f x 在[,]22ππ-12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x +++==---1tan sin 2sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==+-由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系？及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示三角函数式值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。

高中新课程数学苏教版必修四2.4.1.1向量的数量积Word版含答案

双基达标 (限时15分钟)1．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在b 方向上的投影为________．解析 |a |·cos θ＝a ·b |b |＝125.答案 1252．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析 ∵|a |＝2，∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12，∴|a ＋2b |＝2 3.答案 2 33．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝4，a 与c 的夹角为90°，b 与c 的夹角为60°，则(a ＋b )·c ＝________.解析 (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ＝|b ||c |cos 60°＝2×4×12＝4.答案 44．设|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝________.解析 (a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±35.答案 ±355．已知|a |＝2，|b |＝3，若a ∥b ，则a ·b ＝________；若a ⊥b ，则a ·b ＝________. 解析当a ∥b 时，则a 与b 的夹角为0°或180°；若θ＝0°，则a ·b ＝|a ||b |＝6；若θ＝180°，则a ·b ＝－|a ||b |＝－6.当a ⊥b 时，a ·b ＝0.答案 ±6 06.如图，已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.解 (1)AB →与AC →的夹角为60°.∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)AB →与BC →的夹角为120°.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×－12＝－12.(3)BC →与AC →的夹角为60°.∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 综合提高 (限时30分钟)7．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________.解析 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4，即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1.于是|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6. 答案 68．下列等式中，其中正确的是________．①|a |2＝a 2；②a ·b a 2＝b a ；③(a ·b )2＝a 2·b 2；④(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.解析 ①|a |2＝a 2是向量数量积的性质，在求模计算中常用；②a ·b a 2＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ≠b a ；③(a ·b )2＝(|a ||b |cos θ)2＝|a |2|b |2cos 2θ≠a 2·b 2；④(a ＋b )2＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＋b ·a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.答案 ①④9．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．解析因为(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0∴a ·b ＝－12|b |2，设a 与b 的夹角为θ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12|b |2|a ||b |＝－12，∴θ＝120°. 答案 120°10．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为________．解析 ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a ·b ＝|a |2－2|a |－96＝－72，∴|a |＝6，|a |＝－4(舍去)．答案 611．已知向量a 与b 的夹角θ＝120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：(1)a ·b ；(2)(a －2b )·(a ＋b )；(3)|3a －4b |.解 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4. (2)(a －2b )·(a ＋b )＝a ·(a ＋b )－2b ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b －2a ·b －2|b |2＝|a |2－a ·b －2|b |2＝16－(－4)－2×4＝12.(3)因为(3a －4b )2＝9|a |2－24a ·b ＋16|b |2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，所以|3a －4b |＝(3a －4b )2＝16×19＝419.12．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n－3m 的夹角．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m ·n ＝|m ||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m ·n ＝ 4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m ·n ＝ 4×1＋9×1－12×12＝7，a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.13．(创新拓展)在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，判断△ABC 的形状．解在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，从而⎩⎨⎧ (a ＋b )2＝(－c )2(a ＋c )2＝(－b )2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2. 因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b | ，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形．。

高中数学人教A版必修四同步练测：2.4平面向量的数量积.docx

2.4 平面向量的数量积（数学人教A版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1. 已知a=（1，2），b=（-3，2），若k a+b与a-3b垂直，则k的值为（）A.18B.19C.20D.212. 已知向量a=（2c os ϕ，2sin ϕ），ϕ∈(π2，π)，b=（0，-1），则a与b的夹角为（）A. 3π2-ϕ B.π2+ϕ C.ϕ-π2D.ϕ3. 设a、b是非零向量，若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图象是一条直线，则必有（）A.a⊥bB.a∥bC.|a|=|b|D.|a|≠|b|4. 如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b 为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|=|a||b|sinθ.如果|a|=5,|b|=1,a·b=-3,则|a×b|=（）A.3B.-4C.4D.5二、填空题（每小题5分，共10分）5.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴，b=(2,-1)，则a= .6. 设a=（4，-3），b=（2，1），若a+t b与b的夹角为45°，则t的值为.三、解答题(共70分)7.（15分）已知a=（-2，2），b=（5，m），若|a+b|不超过5，求m的取值范围. 8.（20分）已知a=（2，3），b=（-3，5），求a在b方向上的投影.9. （15分）已知a=（-4，-3），b=（-3，-2），c=2a+λb，d=-a+2λb，当实数λ为何值时，向量c-d与a垂直？10. （20分）四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD 是什么图形？2.4 平面向量的数量积（数学人教A版必修4）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.4 平面向量的数量积（数学人教A 版必修4）答案一、选择题1. B 解析：k a +b =k （1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）， a -3b =（1，2）-3×（-3，2）=（10，-4）. 又k a +b 与a -3b 垂直，故（k a +b ）·（a -3b ）=0，即（k-3）·10+（2k+2）·（-4）=0，得k =19.2.A 解析：设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ=∙a b a b=ϕ-2sin 2=-sin ϕ=cos(π2+ϕ).∵ϕ∈（π2，π），θ∈［0，π］， ∴ cos θ=cos(π2+ϕ)=cos(3π2-ϕ).∴ θ=3π2-ϕ. 3. A 解析： f (x )=(x a+b )·(a-x b )=- a ·b x 2+(a 2-b 2)x+a ·b ，若函数f (x )的图象是一条直线，则其二次项系数为0，∴ a ·b =0，∴ a ⊥b . 故选A.4. C 解析：由于|a |=5,|b |=1,a ·b =|a ||b |cos θ=-3,所以cos θ=-35. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ=45, 所以|a ×b |=|a ||b |sin θ=4.故选C.二、填空题5. (-1,1)或（-3，1）解析：设a =(x ,y ), 则a +b =(x+2,y-1),由题意得221,(2)(1)1,1310y x y x y =⎧++-=⎧⇒⎨⎨=---=⎩⎩或，∴ a =(-1,1)或（-3，1）.6.1 解析：∵ a =（4，-3），b =（2，1）， ∴ a +t b =（4+2t ，-3+t ）. ∵ a +t b 与b 的夹角为45°, ∴ （a +t b ）·b =|a +t b |·|b |·c os 45°，∴ （4+2t ）×2+（-3+t ）×1=222212t t ⨯+⨯22（4+2）+(-3+)， ∴ 5t+5=252252t t ∙++. ∴225t t ++=（t+1）.①将①式两边平方得t 2+2t-3=0，解得t =1或t =-3. 而t =-3时①式无意义，∴ t =-3舍去，取t =1.三、解答题7.解：由a +b =（3，2+m ），|a +b |≤5，得9+（2+m ）2≤25.解得-6≤m ≤2. 8.解：∵ a ·b =2×（-3）+3×5=9， |b |=22(3)5-+=， ∴ |a |cos θ=∙a b b=93434. 9.解：因为c =2a +λb ，d =-a +2λb ，所以c -d =（2a +λb ）-（-a +2λb ）=3a -λb . 又a =（-4，-3），b =（-3，-2），所以c -d =3（-4，-3）-λ（-3，-2）=（-12+3λ，-9+2λ）.又（c -d ）⊥a ，所以（-12+3λ）×（-4）+（-9+2λ）×（-3）=0.解得λ=256. 10.解：因为a +b +c +d =0，所以a +b =-（c +d ）.所以（a +b ）2=（c +d ）2. 即|a |2+2a ·b +|b |2=|c |2+2c ·d +|d |2. 由于a ·b =c ·d ，所以|a |2+|b |2=|c |2+|d |2.① 同理，有|a |2+|d |2=|c |2+|b |2.② 由①②可得|a |=|c |，且|b |=|d |，即四边形ABCD 两组对边分别相等. 所以四边形ABCD 是平行四边形. 又由a ·b =b ·c 得b ·（a -c ）=0.而由平行四边形ABCD 的性质得a =-c ，代入上式得b ·（2a ）=0，即a ·b =0. 所以a ⊥b .亦即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.。

2015-2016学年高中数学必修4分层演练：2.4 向量的数量积(含答案)

2．4 向量的数量积前面我们学习过向量的加减法，实数与向量的乘法，知道a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R)仍是向量，大家自然要问：两个向量是否可以相乘？相乘后的结果是什么？是向量还是数？基础巩固1．i ，j 是互相垂直的单位向量，a 是任一向量，则下列各式不成立的是( )A ．a ·a ＝|a |2B ．i ·i ＝1C ．i ·j ＝0D ．a ·j ＝a答案：D2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16解析：∵∠C ＝90°，∴AC →·CB →＝0，∴AB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫AC →＋CB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫AC →2＋AC →·CB →＝16，故选D. 答案：D3．已知|e1|＝|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝( )A．－1 B．1 C．－92D．－232解析：∵|e1|＝|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，∴(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋7e1·e2－2e22＝－6＋72－2＝－92，故选C.答案：C4．若a∥b，a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )A．4 B．3 C．2 D．0解析：∵a∥b，a⊥c，∴c·(a＋2b)＝c·a＋c·2b＝0＋0＝0，故选D.答案：D5．若O点为△ABC所在平面内一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则△ABC的形状为________．答案：等腰三角形6．已知A (－1,1)，B (1,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则AB →·AC →等于________．答案：1527．设单位向量m b m ⊥b 7.已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j (i ，j 为互相垂直的单位向量)，那么a ·b 等于________．答案：58．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于________．答案：⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，329．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角是________．答案：150°10．定义|a ×b |＝|a |·|b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，求|a ×b |.解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×5×cos θ＝－6，∴cos θ＝－35，又∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝45.∴|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝2×5×45＝8.能力升级11．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是________．解析：由于(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ·a ＝0， b －2a ·b ＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a ·b ，b 2＝2a ·b ，又∵cos a ，b ＝a ·b |a ||b |＝a ·b 2a ·b ·2a ·b ＝12，∴a 与b 成的夹角为π3.答案：π312．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．解析：方程有实根，∴Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，|a |2－4|a |·|b |cos 〈a ，b 〉≥0，∴cos 〈a ，b 〉≤12，∴〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π13．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(ka －b )，则实数k 的值为________．解析：由(3a ＋2b )·(ka －b )＝3k |a |2－3a ·b ＋2ka ·b －2|b |2＝0得12k －18＝0，所以k ＝32.答案：3214．已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，要使λb －a 与a 垂直，则λ＝________.解析：(λb －a )·a ＝0，λ(a ·b )－|a |2＝0， λ＝22cos 45°＝ 2.答案：215．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________.解析：∵|a |＝13，|b |＝19，∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a ＋2a ·b ＋b 2＝242，∴2a ·b ＝242－132－192＝46，∴|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b＋b 2＝484，∴|a －b |＝22.答案：2216．已知|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7，且a ＋b ＋c ＝0，则a ，b 的夹角θ＝________.解析：∵|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＋b ＝－c ， ∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2.∴9＋2×3×5×cos θ＋25＝49， ∴cos θ＝12，∴θ＝60°.答案：60°17．已知向量a ，b ，c 两两所成的角相等且均为120°.且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝1，求向量a ＋b ＋c 的长度．解析：由已知向量a ，b ，c 两两所成的角相等，均为120°，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝1.∴a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－3， b ·c ＝|b ||c |cos 120°＝－32，a ·c ＝|a ||c |cos 120°＝－1.∴|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝4＋9＋1－6－3－2＝3. ∴|a ＋b ＋c |＝ 3.18．已知a 、b 是非零向量，当a ＋tb (t ∈R)的模取最小值时．(1)求t 的值；(2)求证：b ⊥(a ＋tb )．(1)解析：|a ＋tb |＝ a ＋tb 2＝a 2＋t 2b 2＋2ta ·b ＝|a |2＋|b |2t 2＋2a ·bt ＝|b |2t 2＋2a ·bt ＋|a |2，当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a ·b|b |2时，|a ＋tb |有最小值．故|a ＋tb |取最小值时，t ＝－a ·b|b |2.(2)证明：∵b ·(a ＋tb )＝b ·a ＋tb 2＝a ·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ·b |b |2·|b |2＝a ·b －a ·b ＝0.∴b ⊥(a ＋tb )．19．已知a 为非零向量，向量a 与b 的夹角为120°，向量a －3b 与向量7a ＋5b 互相垂直，问：是否存在实数λ，使得向量a －4b 与向量λa －b 互相垂直？解析：∵(a －3b )⊥(7a ＋5b )， ∴(a －3b )·(7a ＋5b )＝0.即：7|a |2－15|b |2－16a ·b ＝0，①假设λ存在，则由(a －4b )⊥(λa －b )得：(a －4b )·(λa －b )＝0，即：λ|a |2＋4|b |2－(1＋4λ)a ·b ＝0，②又a ·b ＝－12|a ||b |，③令|a |＝|b |，联立①、②、③得：⎝⎛⎭⎪⎫λ＋4＋1＋4λ2|a |2＝0.∵a ≠0，∴|a |>0.∴λ＋4＋1＋4λ2＝0，即λ＝－32.故存在实数λ＝－32，满足条件．20．已知△ABC 是边长为2的正三角形，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，求AD →·BE→.解析：∵BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，∴AD →·BE →＝(AB →＋BD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋13CA →＝AB →·BC →＋13AB →·CA →＋12BC →2＋16BC →·CA →＝－BA →·BC→－13AB →·AC →＋12BC →2－16CB →·CA →＝－2×2×cos 60°－13×2×2×cos 60°＋12×22－16×2×2×cos 60°＝－2－23＋2－13＝－1.。

数学必修4优化训练：2.4向量的数量积含解析精品

2.4 向量的数量积5分钟训练（预习类训练,可用于课前） 1.判断正误，并简要说明理由. ①a ·0=0；②0·a =0；③0-AB =BA ；④|a ·b |=|a ||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零向量b 有a ·b ≠0；⑥a ·b =0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦a 与b 是两个单位向量，则a 2=b 2. 解:上述7个命题中只有③⑦正确:对于①:两个向量的数量积是一个实数，应有0·a =0；对于②:应有0·a =0；对于④:由数量积定义，有|a ·b |=|a ||b |·|cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a ·b |=|a ||b |；对于⑤:若非零向量a 、b 垂直，有a ·b =0；对于⑥:由a ·b =0可知a ⊥b ，可以都非零.2.(湖北)已知a 、b 、c 为非零的平面向量.甲:a ·b ＝a ·c ;乙:b ＝c ，则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件思路解析:b =c ,两边同乘以不为0的向量a ,则有a ·b =a ·c .由a ·b =a ·c ,可得a ·(b -c ).说明b =c 或者是向量a 垂直于向量b -c . 答案:B10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.(重庆)设向量a =(-1，2)，b =(2，-1)，则(a ·b )(a +b )等于( )A.(1，1)B.(-4，-4)C.-4D.(-2，-2) 思路解析:(a ·b )(a +b )=〔-1·2+2·(-1)〕(-1+2,2-1)=-4(1,1)=(-4，-4). 答案:B2.(江西)已知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c |=5,若(a +b )·c =25,则a 与c 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 思路解析:本题考查平面向量的运算及向量的夹角公式. 设a 、b 的夹角为θ,则cos θ=||||b a ba ∙,θ∈［0,π］.(1)当θ为锐角,有a ·b >0且a ·b ≠1. (2)当θ为钝角,有a ·b <0且a ·b ≠-1. (3)当θ=0,a 、b 共线且方向相同. (4)当θ=2π时,a ·b =0. 设c=(x,y)，则(a +b )·c =(-1,-2)·(x,y)=-x-2y=25，又|c|=5,所以a ·c =x+2y=|a |·|c |·cos α，得cos α=-21，α=120°，选C.答案:C3.已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D.4思路解析:|a +3b |2=(a +3b )2=a 2+6ab +9b 2=|a |2+6|a ||b |cos60°+9|b |2=13. ∴|a+3b|=13.答案:C4.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )A.6π B.3πC.32πD.65π思路解析:由(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,∴(a -2b )·a =0，(b -2a )·b =0.a 2=2ab ,b 2=2ab .∴2|a ||b |cos θ=|a |2且|a |2=|b |2.∴cos θ=21||||2||2=b a a .∴θ=3π.答案:B5.给出下列命题: ①在△ABC 中，若AB ·BC <0，则△ABC 是锐角三角形； ②在△ABC 中，若AB ·BC >0，则△ABC 是钝角三角形；③△ABC 是直角三角形⇔AB ·BC =0；④△ABC 是斜三角形的必要不充分条件是AB ·BC ≠0.其中，正确命题的序号是_____________.思路解析:利用数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角. ①∵AB ·BC <0，∴BA ·BC =-AB ·BC >0，∴∠B 是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.∴推不出△ABC 是锐角三角形.故命题①是假命题. ②∵AB ·BC >0，∴BA ·BC =-AB ·BC <0.∠A 是钝角，因而△ABC是钝角三角形.故命题②是真命题.③△ABC 是直角三角形，其直角可以是∠A ，也可以是∠B 、∠C,因AB ·BC =0仅能保证∠B 是直角,故命题③是假命题.④一方面，当△ABC 是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故AB ·BC ≠0；另一方面，由AB ·BC ≠0只能得出∠B 不是直角，但∠A 或∠C 中可能有一个直角.故命题④是真命题. 答案:②④6.(2005 福建)在△ABC 中，∠A=90°，AB =(k,1), AC =(2,3),则k 的值是______.思路解析:∠A=90°，所以AC ⊥AB ,k ·2+1·3=0.答案:-23 7.平面向量a 、b 中，已知a ＝(4，-3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝__________. 思路解析:设向量b =(x,y).a ·b =(4,-3)(x,y)=4x-3y=5, ① 又|b |=1，所以22y x +=1. ②由①②得x=54,y=-53.答案:(54,-53) 8.在直角坐标系xOy 中，已知点P(2cosx+1，2cos2x+2)和点Q(cosx ，-1)，其中x ∈[0，π].若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值.解:由OP ⊥OQ ，得cosx(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0，利用cos2x=2cos 2x-1，化简后得2cos 2x-cosx=0，于是cosx=0或cosx=21， ∵x ∈［0,π］，∴x=2π或3π. 志鸿教育乐园童言童语一年级的老师教小朋友认识家禽动物。

高中数学2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4

2。

3。

3 向量数量积的坐标运算与度量公式1.掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算。

(重点）2.能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系.（难点)［基础·初探]教材整理1 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示阅读教材P112“思考与讨论"以上内容，完成下列问题.1。

向量内积的坐标运算:已知a＝（a1，a2），b＝（b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.2。

用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a＝(a1，a2），b＝(b1,b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0。

已知a＝(1,－1），b＝（2，3）,则a·b＝( ）A。

5 B.4C。

－2 D.－1【解析】a·b＝(1,－1)·（2,3）＝1×2＋（－1）×3＝－1.【答案】D教材整理2 向量的长度、距离和夹角公式阅读教材P112～P113内容，完成下列问题。

1。

向量的长度：已知a＝(a1，a2），则|a｜＝错误!。

2。

两点间的距离:如果A（x1,y1）,B（x2,y2)，则｜错误!｜＝错误!。

3.两向量的夹角：设a＝（a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos<a，b>＝错误!。

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)两个非零向量a＝（x1，y1),b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度.（）(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

（)（3）若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角.（）【解析】(1）×.因为当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b的夹角也可能为180°。

(2)√。

由向量数量积定义可知正确。

（3）×。

因为两向量的夹角有可能为180°。

【答案】（1)×（2）√（3)×[质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1:_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问2:_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑:_________________________________________________________［小组合作型］平面向量数量积的坐标运算(1）(2016·安溪高一检测）已知向量a＝(1,2），b＝(2，x），且a·b＝－1，则x的值等于（)A.12B.－错误!C。

高中数学向量的数量积(2)随堂练习新人教版必修4

向量的数量积（2）1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则a 与b 的夹角θ为2．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝ka －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为。

3．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP u u u r ＝2PM u u u r ，则AP u u u r ·(PB u u u r＋PC u u u r)等于4．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，则|a －c |的最小值为5．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB u u u r －OC u u u r |＝|OB u u u r ＋OC u u u r －2OA u u u r|，则△ABC的形状为________．6．已知|a |＝6，a 与b 的夹角为π3，且(a ＋2b )·(a －3b )＝－72.则|b |＝________.7．在△ABC 中，C ＝90°，CB ＝3，点M 满足BM u u u r ＝2MA u u u r，则CM u u u r ·CB u u u r ＝________.8．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________.9．已知|a |＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12.(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.10．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．答案1.解析：∵|2a ＋b |2＝4＋9＋4a·b ＝7， ∴a·b ＝－32，cos θ＝a·b |a ||b |＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.答案：θ＝2π3.2.解析：∵c·d ＝0， ∴(2a ＋3b )·(ka －4b )＝0， ∴2ka 2－8a·b ＋3ka·b －12b 2＝0， ∴2k ＝12，∴k ＝6. 答案：63.解析：∵AM ＝1，且AP u u u r ＝2PM u u u r，∴|AP u u u r |＝23.如图，AP u u u r ·(PB u u u r ＋PC u u u r )＝AP u u u r ·2PM u u u r ＝AP u u u r ·AP u u u r ＝AP 2u u u u r ＝(23)2＝49.答案：494．解析：∵|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向， ∴a 与c 的夹角为60°.又|a －c |＝a 2－2a·c ＋c 2＝1－|c |＋|c |2＝|c |－122＋34故|a －c |min ＝32. 答案：325.解析：OB u u u r ＋OC u u u r －2OA u u u r ＝OB u u u r －OA u u u r ＋OC u u u r －OA u u u r ＝AB u u u r ＋AC u u ur ，OB u u u r －OC u u u r ＝CB u u u r ＝AB u u u r －AC u u ur ，于是|AB u u u r ＋AC u u u r |＝|AB u u u r －AC u u ur |，所以|AB u u u r ＋AC u u u r |2＝|AB u u u r －AC u u ur |2，即AB u u u r ·AC u u ur ＝0，从而AB ⊥AC .答案：直角三角形6.解析：由已知，a 2－a ·b －6b 2＝－72， ∴|a |2－|a ||b |cosπ3－6|b |2＝－72，即2|b |2＋|b |－36＝0.∴(2|b |＋9)(|b |－4)＝0. ∵|b |≥0，∴|b |＝4. 答案：47.解析：∵CM u u u r ＝CB u u u r ＋BM u u u r＝CB u u u r ＋23BA u u u r＝CB u u u r ＋23(CA u u r －CB u u u r ) ＝23CA u ur ＋13CB u u u r ，又C ＝90°，AC u u u r ·CB u u u r＝0， ∴CM u u u r ·CB u u u r ＝(23CA u ur ＋13CB u u u r )·CB u u u r＝13CB 2u u u u r ＝3. 答案：38.解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2.∴cos 120°＝a ＋2b ·a －2b|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2a 2＋4b 22＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－12. ∴a 2b 2＝43.∴|a ||b |＝233. 答案：2339.解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝12，|a |＝1，∴b 2＝a 2－12＝1－12＝12，∴|b |＝22.∴cos θ＝a·b|a ||b |＝121×22＝22. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π4，故a 与b 的夹角为π4.(2)|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝102. 10.解：假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2. ∴|a |2＋2a·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a·b ＋|b |2)． ∴|a |2－4a·b ＋|b |2＝0.∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，Δ＝4|b |cos θ2－4|b |2≥0，解得cos θ∈[12，1]．又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时， |a ＋b |＝3|a －b |成立．。

高中数学 2.4 向量的数量积同步练习新人教A版必修4

向量的数量积一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．给出以下４个命题：① 若,0=a 则对任意向量b ，有0=⋅b a ； ② 若,0≠a 0=⋅b a ，则0=b ； ③ 若,0≠a c a b a ⋅=⋅，则c b =；④ 若c a b a ⋅=⋅，则c b ≠，当且仅当,0=a 时成立. 其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（）A ．103B ．－103C ．102D ．103．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为（）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-4．在矩形ABCD 中，),0(),0,(,21,21b AD a AB BC BF AB AE ====设，当DE EF ⊥时，||||b a 的值为（）A ．2B ．3C ．2D ．35．已知A （5，7），B （2，3），将按=（4，1）平移后的坐标为（）A ．（－3，－4）B ．（－4，－3）C ．（1，－3）D ．（－3，1）6．将函数)(x f y =图象上的点P （1，0）平移至P ′（2，0），则经过这种平移后得到的新函数的解析式为（）A ．)1(-=x f yB ．1)(-=x f yC ．)1(+=x f yD ．1)(+=x f y7．为了得到)2(x f y -=的图象，可以把函数)21(x f y -=的图象按向量a 进行平移，则a 等于（）A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（0,21） D ．（0,21-） 8．已知02=+⋅AB BC AB ，则△ABC 一定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 9．若非零向量b a ,互相垂直，则下列各式中一定成立的是（）A ．b a b a -=+B ．||||b a b a -=+C ．0))((=-+b a b aD ．0)(2=-b a10．已知12||,10||==b a ，且b b a 3)51)(3(-=，则b a 与的夹角为（）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150° 11．已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为（a ，0），（0，a ）其中常数a >0，点P 在线段AB上，且)10(≤≤=t AB t AP ，则OP OA ⋅的最大值为（）A ．aB ．2 aC ．3 aD ．a212．将椭圆0716*******2=---+y x y x 按向量a 平移，使中心与原点重合，则a 的坐标为（） A ．（2，1） B ．（－1，－2） C ．（－1，2） D ．（1，－2）二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．将直线b kx y +=向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得直线与原来直线重合，则k= .14．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 . 15．已知b a b a ,,3||,4||==的夹角为120°，且b a c 2+=，b k a d +=2，当a c ⊥时， k= .16．已知点A （－2，－3），B （－1，－6），C （19，4），则△ABC 的形状是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．如图，矩形ABC D 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，求证：PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2.18．平面内有向量)7,1(=OA ，)1,2(),1,5(==OP OB ，点M 为直线OP 上一个动点. （1）当MB MA ,取最小值，求OM 的坐标；（2）当点M 满足（1）的条件和结论时，求AMB ∠cos 的值.19．设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.20．已知△ABC 的顶点坐标为A （1，2），B （2，3），C （3，1），把△ABC 按向量),(n m a =平移后得到C B A '''∆，若C B A '''∆的重心为G ′（3，4）求△ABC 的对应点A ′、B ′、C ′以及a 的坐标.21．已知△ABC 中，c AB b CA a BC ===,,，若a c c b b a ⋅=⋅=⋅，求证：△ABC 为正三角形.22．已知抛物线C: 322++=x x y ．（1）求抛物线顶点A 的坐标；（2）把A 按)2,3(=a 平移，求对应点A ′的坐标（y x '',）；（3）将已知抛物线C 按b =（2，3）平移，得到抛物线C ′，求C ′的解析式；参考答案（11）一、1.A 2.A 3.B 4.A 5.A 6.A 7.D 8.B 9.B 10.B 11.D 12.B 二、13．32 14．－2 15．32- 16．直角三角形三、17．OP OA OP OA PA ⋅-+=2222 ， OP OB OP OB PB ⋅-+=22222， OC OP OC PC ⋅-+=22222 ， OD OP OD PD ⋅-+=22222，以上各式相加可证．18．（1）设M （x ,y ），当y=2时，MB MA ⋅取最小值－8，此时)2,4(=OM ．（2）17174cos -=∠AMB ． 19．∵0))(72(2121<++e t e e e t ，故071522<++t t ，解之217-<<-t ．另有λλt t ==7,2，解之14,214-=-=λt ， ∴)21,214()214,7(--⋃--∈t ． 20．)2,1(=a ， A ′=（2，4）， B ′=（3，5）， C ′=（4，3）．21．a c c b ⋅=⋅Θ， ∴0)(=-a b c ，又∵0=++c b a ， )(b a c +-=，故0))((=-+-a b b a ，知a =b ，同理可知b=c ，故a =b=c ，得证． 22．（1）A （－1，2）；（2）A ′（2，4）；（3）y=x 2－2x +6．。

2016高中数学人教A版必修四第二章 5从力做的功到向量的数量积训练案知能提升练习题含答案

, [学生用书单独成册])［A 、基础达标]1、设a ,b ，c 就是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①(a ·b )c －（c ·a )b ＝0;②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直;④（3a ＋2b )·(3a －2b )＝9｜a ｜2－4|b |2中，就是真命题的有( ）A 、①②B 、②③C 、③④D 、②④解析：选D 、因为(a ·b ）c 就是与c 共线的向量，(c ·a )b 就是与b 共线的向量，所以（a ·b ）c 与(c ·a )b 不一定相等,排除①、因为［（b ·c ）a －（c ·a )b ］·c ＝（b ·c ）（a ·c ）－(c ·a ）(b ·c )＝0，所以（b ·c ）a －(c ·a )b 与c 垂直，所以排除③，故选D 、2、已知向量a ，b 满足｜a |＝1,|b |＝4,且a ·b ＝2,则a 与b 的夹角θ为（）A 、错误!B 、错误!C 、π3D 、错误! 解析:选C 、因为a ·b ＝｜a |｜b ｜cos θ，所以1×4cos θ＝2，即cos θ＝错误!、又因为θ∈[0，π]，所以θ＝错误!、3、已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60°,那么｜a ＋3b ｜等于（ )A 、7B 、错误!C 、错误!D 、4解析:选C 、因为|a ｜＝|b |＝1，又a 与b 的夹角为60°，所以｜a ＋3b |2＝｜a |2＋6a ·b ＋9|b ｜2＝1＋6×cos 60°＋9＝13、即｜a ＋3b ｜＝13、4、在△OAB 中，错误!＝a ,错误!＝b ，OD 就是AB 边上的高，若错误!＝λ错误!,则λ等于( ）A 、错误!B 、错误!C 、错误!D 、错误!解析:选B 、由题意知OD →·错误!＝0,即错误!·（错误!＋错误!)＝0,所以错误!·（错误!＋λ错误!)＝0，所以λ＝－错误!＝－错误!＝a ·（a －b ）|a －b ｜2,故选B 、 5、若向量a ,b ,c 均为单位向量,且a ⊥b ,则｜a －b －c ｜的最小值为（ )A 、错误!－1B 、1C 、错误!＋1D 、错误!解析:选A 、因为a ,b ,c 均为单位向量,且a ⊥b ，所以a ·b ＝0，所以|a －b ｜＝错误! ＝a 2＋b 2－2a ·b ＝错误!,所以｜a －b －c |≥｜a －b ｜－|c | ＝2－1、6、已知单位向量e 1,e 2的夹角为120°，则｜2e 1－e 2｜＝________、解析:｜2e 1－e 2|＝（2e 1－e 22）＝错误!＝错误!＝错误!、答案:77、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，则向量错误!在向量错误!上的投影等于________、解析:因为等腰△ABC中,AB＝AC＝1,B＝30°,所以∠BAC＝120°，因此向量错误!在向量错误!上的投影为|错误!|cos 120°＝－错误!、答案：－错误!8、已知a,b,c为单位向量,且满足3a＋λb＋7c＝0,a与b的夹角为错误!,则实数λ＝________、解析:由3a＋λb＋7c＝0,可得7c＝－（3a＋λb),即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b,而a，b,c为单位向量,则a2＝b2＝c2＝1,则49＝9＋λ2＋6λcos 错误!，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5、答案:－8或5错误!设向量a，b满足｜a｜＝1，|b|＝1，且a与b具有关系｜k a＋b|＝错误!|a－k b|（k〉0）、(1)a与b能垂直不?(2）若a与b的夹角为60°，求k的值、解：(1)因为｜k a＋b｜＝3|a－k b｜,所以(k a＋b)2＝3(a－k b)2，且｜a｜＝|b|＝1,即k2＋1＋2k a·b＝3(1＋k2－2k a·b)，所以a·b＝错误!、因为k2＋1≠0，所以a·b≠0，即a与b不垂直、(2）因为a与b的夹角为60°，且|a｜＝|b|＝1，所以a·b＝｜a||b｜cos 60°＝错误!、所以错误!＝错误!、所以k＝1、10、设向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1,｜3a－b|＝错误!、(1）求|a＋3b｜的值;(2）求3a－b与a＋3b夹角的正弦值、解:(1）由|3a－b｜＝错误!得(3a－b）2＝5，所以9a2－6a·b＋b2＝5、因为a2＝|a｜2＝1,b2＝|b|2＝1，所以9－6a·b＋1＝5,所以a·b＝错误!、所以（a＋3b）2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×错误!＋9×1＝15、所以|a＋3b｜＝错误!、（2）设3a－b与a＋3b的夹角为θ、因为（3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝3×1＋8×错误!－3×1＝错误!、所以cos θ＝错误!＝错误!＝错误!、因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝错误!＝错误!＝错误!、所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为错误!、［B、能力提升]1、如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC、若｜错误!｜＝a，｜错误!｜＝b,则错误!·错误!＝（)A、a2－b2B、b2－a2C、a2＋b2D、a·b解析:选B、因为错误!⊥错误!,所以错误!在错误!方向上的投影为|错误!｜·cos∠CAD ＝|错误!｜,又错误!⊥错误!，所以错误!在错误!方向上的投影为｜错误!｜·cos∠CAB＝|错误!|、所以错误!·错误!＝错误!·（错误!－错误!）＝错误!·错误!－错误!·错误!＝|错误!｜｜错误!|－｜错误!｜｜错误!|＝b2－a2、2、在Rt△ABC中，点D就是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点,则｜P A｜2＋｜PB|2｜PC|2＝（)A、2B、4C、5D、10解析：选D、错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－6＝42－6＝10、3、设e1,e2为单位向量，非零向量b＝x e1＋y e2,x，y∈R、若e1，e2的夹角为错误!,则错误!的最大值等于________、解析:根据题意,得错误!错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!、因为错误!错误!＋错误!≥错误!，所以0<错误!错误!≤4，所以0<错误!≤2、故错误!的最大值为2、答案:24、在平行四边形ABCD中,AD＝1,∠BAD＝60°，E为CD的中点、若错误!·错误!＝1,则AB的长为________、解析：设AB的长为a(a〉0),又因为错误!＝错误!＋错误!,错误!＝错误!＋错误!＝错误!－错误!错误!,于就是错误!·错误!＝(错误!＋错误!）·错误!＝错误!错误!·错误!－错误!错误!2＋错误!2＝－错误!a2＋错误!a＋1，由已知可得－错误!a2＋错误!a＋1＝1、又a〉0，所以a＝错误!,即AB的长为错误!、答案：错误!5、如图，在△ABC中,O为中线AM上的一个动点，如果AM＝2,求错误!·（错误!＋错误!)的最值、解：因为错误!＋错误!＝2错误!，所以错误!·(错误!＋错误!)＝错误!·2错误!＝2|错误!｜｜错误!｜·cos 180°＝－2|错误!|｜错误!｜，｜错误!｜＋｜错误!｜＝2,设|错误!｜＝t(0≤t≤2)⇒|错误!|＝2－t、所以错误!·（错误!＋错误!）＝－2(2－t)t＝2t2－4t＝2(t－1)2－2（0≤t≤2）、所以当t＝1时，错误!·(错误!＋错误!）取得最小值－2、当t＝0或2时,错误!·（错误!＋错误!)取得最大值0、6、(选做题)已知非零向量a、b,设其夹角为θ,就是否存在θ,使得|a＋b|＝错误!｜a－b|成立，若存在,求出θ的取值范围,若不存在,请说明理由、解:假设存在满足条件的θ,由｜a＋b｜＝错误!｜a－b|可得:(a＋b)2＝3（a－b)2，即｜a|2＋2a·b＋｜b｜2＝3（|a｜2－2a·b＋｜b｜2)⇒｜a|2－4a·b＋|b|2＝0⇒|a|2－4|a｜·|b｜cos θ＋|b|2＝0、已知向量a、b为非零向量，则｜b｜≠0，上式同除以|b|2得到：错误!错误!－4cos θ错误!＋1＝0，由Δ≥0得到：（－4cos θ)2－4≥0,解得cos θ≤－错误!或cos θ≥错误!,又知cos θ∈［－1，1],则－1≤cos θ≤－错误!或错误!≤cos θ≤1，因为θ∈［0，π］、所以θ∈错误!∪错误!满足题意、因此，当θ∈错误!∪错误!时，使得|a＋b｜＝错误!|a－b｜、。

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向量的数量积（4）
1．(2012·辽宁高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝
2．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB ⊥a ，则实数k 的值为
3．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是
4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则AD ·BD 等于
5．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋xb 与－b 垂直，则实数x 的值为________．
6．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB ·n |的最大值为________．
7．向量BA ＝(4，－3)，向量BC ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为________．
8．若将向量a ＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4
得到向量b ，则向量b 的坐标为________． 9．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .
(1)求证：AB ⊥AC ；
(2)求向量AD ；
(3)求证：AD 2＝BD ·CD .
10．平面内有向量OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点．
(1)当MA ·MB 取最小值时，求OM
的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．
答案
1.解析：由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a ·b ＝2－x ＝1，故x ＝1.
答案：1
2.解析：AB ＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB ⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1. 答案-1
3．解析：设P (x,0)，则AP
＝(x －2，－2)， BP ＝(x －4，－1)，
∴AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2
＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，
故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时P (3,0)．
答案：P (3,0)
4.。

解析：如图，AD ＝BC ＝AC －AB
＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－
1)， BD ＝AD －AB
＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，则AD ·BD ＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8.
答案：8
5.解析：∵向量a ＋xb 与－b 垂直，
∴(a ＋xb )·(－b )＝－a·b －xb 2＝－2－5x ＝0，
∴x ＝－25
. 答案：－25
6.解析：AB ＝(2,2)，|AB |＝22，|AB ·n |≤|AB ||n |＝4，当且仅当AB 与n 共线且同向时取等号．
答案：4
7.解析：AC ＝BC －BA ＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而AC ·BC ＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以AC ⊥BC ，
又|AC |≠|BC
|，所以△ABC 是直角非等腰三角形．
答案：直角三角形
解析：设b ＝(x ，y )，由已知条件得
|a |＝|b |，a·b ＝|a ||b |cos 45°.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，2x ＋y ＝5×5×22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝322，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝322，y ＝－22.
∵向量a 按逆时针旋转π4后，向量对应的点在第一象限，∴x >0，y >0，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22
，322. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22
，322 9.解：(1)∵AB
＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)， AC ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)，
AB ·AC ＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，
∴AB ⊥AC .
(2) BC ＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)．
设BD ＝λBC ＝(5λ，5λ)
则AD ＝AB ＋BD
＝(－3，－6)＋(5λ，5λ)
＝(5λ－3,5λ－6)，
由AD ⊥BC 得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，解得λ＝910， ∴AD ＝(32，－32
)． (3)证明：AD 2 ＝94＋94＝92
， |BD |＝50λ2＝922
， |BC |＝52，|CD |＝|BC |－|BD
|＝22. ∴|AD |2＝|BD |·|CD
|，即AD 2＝BD ·CD . 解：(1)设OM ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上，
∴向量OM 与OP 共线，又OP
＝(2,1)．
∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .
∴OM ＝(2y ，y )．又MA ＝OA －OM ，OA ＝(1,7)，
∴MA ＝(1－2y,7－y )．
同理MB ＝OB －OM ＝(5－2y,1－y )．
于是MA ·MB ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2
－20y ＋12. 可知当y ＝202×5
＝2时，MA ·MB 有最小值－8，此时OM ＝(4,2)． (2)当OM ＝(4,2)，即y ＝2时，
有MA ＝(－3,5)，MB ＝(1，－1)，
|MA |＝34，|MB
|＝2， MA ·MB ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos ∠AMB ＝MA ·MB |MA ||MB |＝
－834×2＝－41717.。

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