南京农业大学-物理-第7章-交流电

通常串联谐振中 ， 值Q可以达到几十到几百，所以串
联谐振也称为电压谐振。
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3、串联谐振的应用——收音机的调谐
L1
L2 C
接 收
当天线接收到不同频率信号时产生感生电流，电流经初级线圈L1感应到 次级线圈L2，调节电容C ，使L2C回路对某一信号频率f1发生谐振，回路中该 频率的信号电流最大，其他信号因未发生谐振在回路中引起的电流很小，这
C
UR
R
31
2、复数表示
U U R U L U C
IR IjX L IjXC
I(R j( X L X C ))
Z
U I
R
j( X L
X C ) Ze j
Z Z
R2 (X L XC )2 ,
arctan X L X C
R
可见，复阻抗反映了阻抗大小及电压与电流之间的相位差,
20
第三节 交流电路的欧姆定律
设正弦电压和正弦电流分别为
u U m sin( t u ), i I m sin( t i )
应用复数表示
u U m U me j(tu )
定义复数 Z:
i
Im
I e j (t i ) m
Z
U m Im
U e j(tu ) m I e j(ti ) m
第七章 正弦交流电
交流电： 电量（如电流、电压、电动势等）的方向、
大小都随时间作周期性变化。
按正弦规律变化的交流电为正弦交流电。
1
主要内容
➢ 基本概念 ➢ 单一参数交流电路的分析 ➢ R、L、C串联及串联谐振 ➢ R、L、C并联及并联谐振 ➢ 正弦交流电路的功率及功率因素
2
第一节 正弦交流量的三要素
I m sin( t 90 )
Im
U mC
Um Im
1
C
定义容抗
XC
1
C
1
2fC
27
复数表示
U m U m e j0 Im I m e j90
Z
U m Im
U I
U m e j90 Im
jXC
1
jC
--复容抗
（1）电容元件两端电压比电流滞后900
（2）容抗反比于频率 ，
XC
有效值大小为？
t
I=5A
8
三、相位和相位差 ——正弦交流电的状态
如： u U m sin( t u ) 相位： t u
同频率的正弦量 u U m sin( t u ), i Im sin( t i )
相位差 t u t i u i
u i
i u
u i
t 在相位上，电压比电流超前或电
（2）相量相加
y
I1m
——作平行四边形 Im
I2m
x
15
（3）求解
Imx I1m cos 45 I2m cos 30 6.13( A)
Imy I1m sin 45 I2m sin 30 2.04( A)
Im
I 2mx
I
2 my
6.46( A)
y
I1m
arctan I my 1824
6.2e j73 ( A)
i 6.2 sin(314t 73 )( A)
U Rm Im R 186e j73（v）
U Lm Im jX L 248e j163（v） UCm Im ( jXC ) 496e j17（v）
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二、串联谐振
调节某些参数如电源的频率，可使电路两端的电压 和电流同相，此时电流发生谐振。
Um Im
e j (u i )
Ze j
21
Z Ze j ——复阻抗
Z 是复数的模，
u
为辐角。
i
Z
U m Im
U I
——复数形式的交流电路的欧姆定律。
(1)复阻抗 Z Z呈e j现 了电压与电流间的相位差。
(2)不随时间变化，不与任何正弦量对应。
22
例7-9 ：已知负载电压 U 160 ，j120(v)
u
x u 为初相位。
13
2、运算 ——平行四边形法则 3、注意：
• 交流量与相量之间只是对应关系，不是相等； • 相量是方便问题的求解的工具。
14
例: 已知两交流电
i1 5sin( t 45（) A）, i2 3sin( t 30（) A）
求： i i1 i2
（1）作相量 和I1m
I2m
L 40,X
C
1
C
80
（1）相量法 Z R2 ( X L X C )2 50
Im
Um Z
220 50
2
4.4
2 A 6.2 A
arctan X L X C arctan 40 53
R
30
i = 6.2 sin( ωt + 73 )( A )
uR iR 186 sin(314t 73 )(v)
U I
e j90
jX L jL
——复感抗
（1）纯电感电路中，电感两端的电压比电流超前90。
（2）感抗正比于交变频率f，
X L L 2fL
当f=0时感抗 X L ， 直0 流短路。
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三、纯电容元件的正弦电路
u Um sin t
i C du C d (Um sin t)
dt
dt
= UmωC cos ωt = UmωC sin( ωt + 90 )
u L di dt
L d (Im sin t)
dt
ImL cost
ImL sin( t 90 )
u Um sin( t )
90
U m I mL
Um Im
= ωL =
XL
——感抗
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用复数表示
I m I m e j0 U m U m e j90
Z
U m Im
U m e j90 Ime j0
如：正弦量 u U m sin( t )
可用复数表示为
U Ue U m U m e j(t ) 或
j(t )
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注意： （1）正弦量与复数之间只是对应关系，绝非相 等。 （2）表示时可以用有效值也可以用最大值来表示， 但要对应。
t （3）运算过程中可以略去 因子。
3、运算—复数运算规则
30
设 u uR uL uC U m sin( t ) Um ? ?
1、相量表示
Um
U L
U L UC U C
U
2 Rm
(ULm
UCm )2
Im
R2 (L 1 )2 C
Z Um
U R
Im
R2 (X L XC )2
U
arctan U L
UC
L 1
arctan
1
C
1
2fC
f 0, X C 开路，阻低频；
f 增加， X减C 小，通高频.
28
练7-8:已知 u = Um sin( ωt + 30 ),
i1 = Im1 sin( ωt - 60 ), i2 = Im2 sin( ωt + 30 ),
i3 = Im3 sin( ωt + 120 ).
试判别各支路是什么元件?
0L
R
UC
I0 X C
U R
XC
U 1
0 RC
所以谐振时 X L X C
UL 和UC大小相等相位相反。
37
（4）品质因数 Q
定义 Q U L UC Q 0L 1
UR UR
R 0RC
称为该谐振电路的品质因数，也称 值。Q
此时，电容与电感两端电压是电阻两端电压的
倍，即 Q
U C。 U L QU
Im
I mx
i 6.46 sin( t 1824)( A)
I2m
x
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二、正弦量的复数表示
1、复数的表示形式
虚部单位
（1）复数的代数表示
A x jy 虚部系数
实部
（2）复数的三角函数式
x A cos ，y A sin
j A （x，y）
A Acos Aj sin
1
其中 A A
电流 I (24 j32)(求A)负载阻抗 。 Z
解：用复数形式表示已知电压和电流
U 160 j120 200e j37
I 40e j53
根据交流电路欧姆定律求解
Z
U I
200e j37 40e j53
5e j90
j5()
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第四节 电阻、电感、电容单一参数 的正弦交流电路
一、纯电阻元件的正弦电路
2f 2 ，f 1
T
T
我国常用的频率是50赫兹，对应周期是0.02秒，有些国
家如日本的市电频率为60赫兹。
4
二、有效值 ——正弦量的大小
有效值 如果一个交流电通过一个电阻在一个周期的时间内所产 生的热量和某一直流电通过该电阻在一个周期的时间内所 产生的热量相等，这个直流电的量值就是该交流电的有效 值。
i1
Z1
i2
Z2
i3
Z3
Z1是电感 Z2是电阻
u
Z3是电容
29
第五节 R、 L 、C 串联正弦电路
一、串联电路分析
R、L、C串联电路中通入电流
uR
uL uC
i Im sin t
i
u
则R、L、C各元件两端电压分别为
uR I m R sin t
uL Im X L sin( t 90 )
uC Im X C sin( t 90 )
热效应
5
正弦交流电 i I m s在in一个t 周期内产生的热量为
T
T
T
Q
dQ
i 2 Rdt
I
2 m
R
sin
2
tdt
0
0
0
1 2
T
I
2 m
R
0
(1
cos
2t)dt
1 2
I
2 m
RT
1 2
T
I
2 m
R
0
cos 2tdt
1 2
I
2 m
RT
设有直流电流I在T时间内产生热量
Q
Q I 2 RT
1、谐振条件
arctan X L X C
R
0
XL
XC
L
1
C
0
1 LC
0
1 称为谐振角频率； LC
f0
2
1 LC
为谐振频率。
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2、串联谐振电路的特征
（1）阻抗最小
Z R 2 ( X L X C )2 R
（2）电流
I
U Z
最大
（3）电压 U R U
UL百度文库
I0 X L
U R
XL
U
正弦交流电的大小和方向随时间按正弦规律周期性变 化，正弦电动势、正弦电流和正弦电压统称为正弦量，可 以用正弦函数来表示。
a Am sin( t a )
瞬时值
最大值
角频率
初相位
相位
3
一、周期、频率（T，f） ——正弦量变化的快慢
f ：正弦量在1秒钟内完成周期性变化的次数，单位是
赫兹（ ）。 Hz
流比电压落后
9
u i
t
u i , 0
电压和电流变化步调一致，同 时到达正或负的辐值，称电压 电流同相位。
u i
t
b
1800
电压和电流变化步调恰好相反，一 个到达正的最大值，另一个恰好到 达负的最大值，称电压和电流反相 位。
10
正弦量的有效值（最大值）、频率（周期）和初相位称 为正弦量的三要素。
17
（3）指数表示法
根据欧拉公式
sin e j e j ，cos e j e j
2j
2
A Acos Aj sin
A e j e j jA e j e j Ae j
2
2j
18
2、用复数表示正弦量
根据：A Acos Aj sin U U co（s t ） jU sin( t ) Um Um co（s t ） jUm sin( t )
A则在任意t时刻都满足：
x Am cos(t )
y Am sin( t )
与正弦交流量形式相同
12
基于矢量与正弦量间的联系，我们可以借助这个矢量表
示正弦交流电，为区别一般的矢量，习惯上称之为相量，表
示为：
A
如正弦量 u Um sin( t u ),常用相量 U表 示
y
Um U m 相量大小为Um，角频率为
uL 248sin(314t 73 90 ) 248sin(314t 163 )(v)
uC 496 sin(314t 73 90 ) 496 sin(314t 17 )(v)
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（2）复数法
Z R j( X L X C ) 50e j53 ()
Im
Um Z
220 2e j20 50e j53
所谓纯电阻电路是指该交流电路中 只含有电阻元件。
u U m sin t
i
u R
Um R
sin
t
Im
sin
t
可见纯电阻上的电流与电压同相位
用复数法表示：
U m U me j0 ,
Im I me j0
Z
U m Im
Um Im
e j0
R
24
二、纯电感元件的正弦电路—只含电感元件的电 路
i I m sin t
通常电压与电流间有相位差。
32
例7.6 RLC串联电路中，已知:
u 220 2 sin(314t 20 )v
R 30, L 127mH , C 40F
请计算电路中电流及各元件上的电压:
解： R 30,
uR , uL , uC
X L L 40,
X
C
1
C
80
33
解：
R 30, X L
6
根据定义，要求 Q Q
即
I 2 RT
1 2
I
2 m
RT
I
1 2
Im
称I为该交流电流的有效值。
同样方法可以得到
U
1 2
U
m
E
1 2 Em
7
例1：一只普通电压表测60赫兹的交流电，读数为 120v，则电压的瞬时值表达式为？
u Um sin t 120 2 sin 120t
例2： i
5 0
-5
例：已知 u 220 2 sin( 100t 30 )
写出正弦交流量的辐值(最大值）、有效值及t=10s时 的瞬时值。
（ 220 2(，v) 220(，v) 110）2 (v)
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第二节 正弦交流量表示
一、正弦交流电的矢量图解法
1、旋转矢量 A
y
a
Am A
x
a Am sin( t )
t