数学建模方法简介

二、微分方程模型
1、传染病模型
本例建立了传染病传播的数学模型， 讨论了各类人群的变化趋势，研究了 影响传染病传播的参数及对应的措施。 所用的数学知识：常微分方程及定性 理论。
（一） 问题的提出
传染病是由病原微生物（如病毒、细菌等） 感染 人体后所产生的有传染性的疾病。在历史上，传 染病曾给人类带来很大的灾难。长期以来世界各 国都一直非常关注传染病的研究。老的传染病被 消灭、基本消灭、控制或减少了，但还会有新的 传染病的出现。如艾滋病、SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重呼吸道传染病）等。 据WHO ( World Health Organization，世界卫生组 织 ) 报道，从2002年11月至2003年6月，感染 SARS的患者超过了8000人，其中800多人死亡， 给人类带来了极大的危害。因此，对防治传染病 的研究仍要坚持和加强。
数学建模
以解决某个现实问题为目的，从该问题中 抽象、归结出来的数学问题就是数学建模。
E. A. Bender （本德）：数学建模是关于部 分现实世界为一定目的而作的抽象、简化 的数学结构。
简言之，数学建模就是用数学术语对部分 现实世界的描述。
建模的一般步骤
模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的； 模型假设：对问题进行必要的简化，此步非常关
传染病的研究涉及这些疾病的发病机理、
((1)1 2, (1)1 0)
注意, 这里只取了允许状态.
第2次过河是将 ( 3 , 2 ) , ( 3 , 1 ) , ( 2 , 2 ) 分 别与决策向量进行运算，只须 k = 2 ，如此下去， 不难验证，经11次可取运算三对夫妻就可全部按 规则过河。
为便于计算机求解, 记允许状态集合和决策向量集合分别为
下图给出了一种状态转移过程，经过决策d1, d2,, d11, 实现了S12 (0,0).本题应有4种状态转移过程。
y
S1
3
d8
d9
d7
2
d10
d6
d1 d2
1
d11
d5
d3
d4
0
1
2
3
x
这里介绍的是一种规格化的方法。所 建立的多步决策模型可以用计算机求解， 从而具有推广的意义。
适当地设置状态和决策，确定状态 转移律，建立多步决策模型，是有效地 解决很广泛的一类问题的方法。
(1,0,1,0)
(1,0,1,0)
(1,1,0,0) (1,0,0,1)
(0,0,0,0) (0,0,1,0)
(1,0,0,0)
（2）将可取状态的点与运算得到的可取状 态的点连接。得到下面的图
（1，1，1，1） （1，1，1，0） （1，1，0，1） （1，0，1，1） （1，0，1，0）
（0，0，0，0） （0，0，0，1） （0，0，1，0） （0，1，0，0） （0，1，0，1）
f (0 ) g0 . 最后,因为f (0 ) g0 0.所以f (0 ) g0 0.证毕.
3.人狗鸡米问题
人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划， 且除人外至多只能另载一物，当人不在时， 狗要吃鸡，鸡要吃米，问人、狗、鸡、米 怎样过河？
人鸡→ 人→人狗 →人鸡 →人米 →人 → 人鸡
（商人们安全过河）三名商人各带一个随从乘船 过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行， 随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比 商人多，就杀人越货。但是如何乘船过河的大权 掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全过河呢？
这两个问题的解法差不多。可用状态转移法求 解，也可用图解法。
(1) 用状态转移法求解：
2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不 会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地 面可视为数学上的连续曲面。
3、对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面 是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只 脚同时着地。
模型构成 注意到椅脚连线呈正方形，以中心 为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅 子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量
（1，1，1，1）→（0，1，0，1） →（1，1，0，1） →（0，1，0，0） → （1，1，1，0） →（0，0，1，0） →（1，0，1，0） →（0，0，0，0）
本题也可用计算机求出所有的转移过程，并比较出 最优者。不妨上机一试。
4.夫妻过河问题
有三对夫妻要过河，船最多能载二人，由于封建 思想，要求任一女子不能在丈夫不在场的情况下 同另外的男子在一起，给出三队夫妻的过河方案。 （这是一道阿拉伯早期的智力题）
(1,0,0,0)
(1,0,1,0)
(1,1,0,1)
(1,1,0,0) (1,0,0,1) (1,0,0,0)
(0,0,0,1) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
(1,0,1,0)
(1,0,1,1)
(1,1,0,0) (1,0,0,1)
(0,0,0,1) (0,0,1,0)
(1,0,0,0)
键； 模型建立：建立相应的数学结构； 模型求解：根据采用的数学工具，对模型求解； 模型分析：对上述的求解结果进行数学上的分析； 模型检验：将分析的结果返回到实际对象中，用
实际现象等来检验之。
数学建模的原则
模型的可靠性：在允许的范围内，它能反 映出该系统的有关特性的内在联系。
模型的适用性：它易于数学处理和计算。
我们的目的是要用数学的方法解决，以期 对这类问题寻求一个共同的的事物，用四维向 量来描述。然后用向量的代数运算来进行分析研究。
为了描述它们所处的状态，给出状态向量，当一物在 南岸时，相应的分量为1，否则为0，这时所给的向量 就表示人、狗、鸡、米的状态，称为状态向量。对本 系统，应用穷举法可以列出所有的10个可取状态向量。
（1，0，1，0） （1，1，0，0）
（1，0，0，1） （1，0，0，0）
一次过河就是一状态向量和一决策向量的加法。加法 运算采用二进制，即0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=0
显然，对本问题可取状态经决策运算必须仍是可取状 态。这样的运算称为可取运算
根据以上假设，人、狗、鸡、米过河问题转化为：找出 从状态（1，1，1，1）经过奇数次决策变为状态（0，0， 0，0）的系统状态转移过程。
(0,0), (0,1),(0,2), (0,3), (3,0)
( 3, 1 ) , (3 , 2 ) , (3 , 3 ）, ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 )
记第 k 次过河时船上有男子数为 u ，女子数 为 v ， 则决策向量表示为 ( (-1)k u , (-1)k v ), 其中 u , v = 0 , 1 , 2 ; u + v = 1 , 2 ; k = 1 , 2 , … , k 为奇 数时表示由南岸至北岸， k 为偶数时表示由北岸 至南岸。
这样，夫妻过河问题就归结成求由状态 ( 3 , 3 ) 经奇数次允许决策到达状态 ( 0 , 0 ) 的状态转移 过程。
第一次过河为
((1)1 0, (1)1 1)
(
(1)1
0,
(1)1
2)
(3,2)
(3,3) ((1)1 1, (1)1 1) (3,1)
((1)1 1, (1)1 0) (2,2)
Sk1 Sk (1)k dk
()
我们的问题就成为: 求决策dk D(k 1,2,) 使状态Sk S按()式由初始状态S1(3,3)经n步转移到 S n 1 (0,0)的最小的n值。
利用上面的模型编制程序，就易在计算机 上实现求解。
2、图解法
在xoy平面坐标系中，画出下图的方形网格，方格点 表示状态S(x, y),允许状态用圆点标出.允许决策dk是沿 方格线移动1或2格, 规定 : (1)k为奇数时,向左或下方移动; (2)k为偶数时,向右或上方移动; (3)每次移动必须落在允许状态即点" "上.
f ( θ ) ， g ( θ ) 中至少有一个为零。当θ=0，时 不妨设g ( θ )=0， f ( θ ) 〉0，这样，改变椅子
的位置使四只脚同时着地，就归结为证明下列 的数学命题：
命题:已知f ( )和g( )是的连续函数, 对于任意的 , f ( ) g( ) 0,且g(0) 0, f (0) 0.证明存在0,使得 f (0 ) g(0 ) 0
在上图中找出一条从点（1，1，1，1）到点（0，0， 0，0）的路径，则每条路径就是一个解。由上图可知， 有两个解，都是经7次运算，均为最优解。
（1，1，1，1）→（0，1，0，1） →（1，1，0，1） →（0，0，0，1） → （1，0，1，1） →（0，0，1，0） →（1，0，1，0） →（0，0，0，0）
（1）状态的可取运算：
(1,0,1,0) (0,1,0,1)
(1,1,1,1)
(1,1,0,0) (1,0,0,1)
(0,0,1,1) (0,1,1,0)
(1,0,0,0) (0,1,1,1)
(1,0,1,0)
(1,1,1,0)
(1,1,0,0) (1,0,0,1)
(0,1,0,0) (0,0,1,0)
（1，1，1，1） （0，0，0，0）
（1，1，1，0） （0，0，0，1）
（1，1，0，1） （0，0，1，0）
（1，0，1，1） （0，1，0，0）
（1，0，1，0） （0，1，0，1）
其中左边5个恰为右边5个的相反状态。
再给出决策向量，将船的一次运载也表成向量，当一 物在船上记相应的分量为1，否则为0，称为决策向量。 本系统决策向量有4个：
S (x, y) x 0, y 0,1,2,3; x 3, y 0,1,2,3; x y 1,2 D (u, v) u v 1,2;u, v 0,1,2
并以Sk (xk , yk ),k 1,2,表示状态变化过程, dk表示过河决策, dk D, k取奇偶数与前面表示意义一样, 则状态转移满足下列关系 :
夫妻过河问题同样是带有约束条件的过河问 题，同人狗鸡米问题一样，可视为一个多步决 策过程，每一步，即船由南岸到北岸或由北岸 到南岸，都要对船上人员（男子、女子各几人） 作出决策，在允许的前提下，有限次内使三对 夫妻全部过河。
记第 k 次过河前南岸的男子数为 xk , 女子数为 yk ,k=1,2,… , xk , yk =0,1,2,3,则状态向量可表为 ( xk , yk ) , 其可取状态或允许状态有10个：
一、简单的数学建模案例介绍
1、航行问题：已知：沿长江在相距750KM的两个 码头A与B之间，顺水航行的时间是30Hrs；逆水航 行的时间是50Hrs，试分别求出船和水的平均速度。
解 : 令船和水的平均速度分别是x和 y,由题意得
x x
y y
750 30 750
; .
求解得
:
x y
20; 5.
50
2.椅子能在不平的地面上放稳吗？
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三 只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就 可以使四只脚同时着地，放稳了。
这个看来似乎与数学无关的现象能用数学 语言给以表述，并用数学工具来证实吗？
模型假设：1、椅子的四条腿一样长，椅脚与地 面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形。
θ表示椅子的位置。在图1中椅脚连线为正方
形ABCD，对角线AC与x轴重合，椅子绕中心点 O旋转角度θ后，正方形ABCD转至A1B1C1D1的 位置，所以对角线AC与x轴的夹角θ表示了椅子 的位置。
y
B1
B
A1
θ
C
O
A
x
C1
D
D1
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。可
用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当其
证明: 将椅子旋转900, 对角线AC与BD互换.由g(0) 0
和f (0) 0可知g( / 2) 0和f ( / 2) 0.
令h( ) f ( ) g ,则h(0) 0和h( / 2) 0.
由f和g的连续性知h也是连续函数.由闭区间上连续函数
的零点定理知,必存在0 (0 0 / 2)使h(0 ) 0,即
为零时就是椅脚着地了。由于正方形的中心对 称性，只要设两个距离函数就行了。记A、C两
脚与地面距离之和为f ( θ ) ，B、D与地面距离 之和为g ( θ ) （ f ( θ ) ， g ( θ ) 非负）。由假
设2， f 和g都是连续函数。由假设3，椅子在任
何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的θ，