2024届黑龙江省哈尔滨市道里区重点中学中考数学模试卷含解析

2024学年黑龙江省哈尔滨市道里区重点中学中考数学模试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，顶点为P，若△ABP组成的三角形恰为等腰直角三角形，则b2
﹣4ac的值为（）
A．1 B．4 C．8 D．12
2．一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（）
A．2.18×106B．2.18×105C．21.8×106D．21.8×105
3．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）
A．2x
x y
+
-
B．
2
2y
x
C．
3
2
2
3
y
x
D．
2
2
2
()
y
x y
-
4．不等式组
123
1
2
2
x
x
-<
⎧
⎪
⎨+
≤
⎪⎩
的正整数解的个数是()
A．5 B．4 C．3 D．2
5．在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（）
A．0.34×107B．3.4×106C．3.4×105D．34×105
6．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是()
A．50°B．70°C．80°D．110°
7．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ
B ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C ．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ
D ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
8．下列计算或化简正确的是（ ） A ．234265+= B ．842= C ．2(3)3-=-
D ．2733÷=
9．2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里，居世界第一，将数据135000用科学计数法表示正确的是（ ） A ．1.35×106
B ．1.35×105
C ．13.5×104
D ．135×103
10．已知二次函数()2
y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，则下列结论：
①ac>0；②a-b+c<0； ③当x 0<时，y 0<；2a b 0+=④，其中错误的结论有( )
A ．②③
B ．②④
C ．①③
D ．①④
11．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若AB ＝14，BC ＝1．则∠BDC 的度数是（ ）
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
12．某共享单车前a 公里1元，超过a 公里的，每公里2元，若要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，a 应该要取什么数（ ）
A ．平均数
B ．中位数
C ．众数
D ．方差 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．当﹣4≤x≤2时，函数y=﹣(x+3)2+2的取值范围为_____________.
14．计算3
5
的结果等于_____．
15．已知扇形的弧长为π，圆心角为45°，则扇形半径为_____．
16．如图，点A在双曲线
1
y=
x
上，点B在双曲线
3
y=
x
上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，
则它的面积为．
17．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示，按照这样的规律，摆第n个图，需用火柴棒的根数为_______________．
18．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P是切点，AB123OP6
＝，＝则劣弧AB 的长为.（结果保留π）
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，D是BC边上一点，将点D绕点A逆时针旋转60°得到点E，连接CE.
B
(1)当点E在BC边上时,画出图形并求出∠BAD的度数；
(2)当△CDE为等腰三角形时，求∠BAD的度数；
(3)在点D的运动过程中，求CE的最小值.
(参考数值:sin75°=62
4
+
，cos75°=
62
4
-
，tan75°=23
+)
20．（6分）如图1，反比例函数
k
y
x
=（x＞0）的图象经过点A（23，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点
B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN 面积的最大值．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？
（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理
由．
22．（8分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以点A，B，C为圆心作圆，分别交BA，CB，DC的延长线于点E，F，G．
（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断线段GB与DF的长度关系，并说明理由．
23．（8分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣|
24．（10分）请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？
（2）甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖．若某单位想要买5个水瓶和n（n＞10，且n为整数）个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．（必须在同一家购买）
25．（10分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
根据图中信息求出m= ，n= ；
请你帮助他们将这两个统计图补全；根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？已知A 、B 两位同学都最认可“微信”，C 同学最认可“支付宝”D 同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．
26．（12分）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元.请问该学校九年级学生有多少人？
27．（12分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．求每个月生产成本的下降率；请你预测4月份该公司的生产成本．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、B 【解题分析】
设抛物线与x 轴的两交点A 、B 坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），利用二次函数的性质得到P （-2b a ，244ac b a
-），利
用x 1、x 2为方程ax 2+bx+c=0的两根得到x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c
a ，则利用完全平方公式变形得到AB=|x 1-x 2|=
2
4b ac a - ，接着根据等腰直角三角形的性质得到|244ac b a
-|=12•2
4b ac
a -，然后进行化简可得到
b 2-1a
c 的值． 【题目详解】
设抛物线与x 轴的两交点A 、B 坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），顶点P 的坐标为（-2b a ，2
44ac b a
-），
则x 1、x 2为方程ax 2+bx+c=0的两根， ∴x 1+x 2=-
b a ，x 1•x 2=c
a
，
∴AB=|x 1-x 2=
∵△ABP 组成的三角形恰为等腰直角三角形，
∴|244ac b a -|=1
2•a ，
222(4)16b ac a -=22
44b ac a
-， ∴b 2-1ac=1． 故选B ． 【题目点拨】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质． 2、A
【解题分析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．
【题目详解】2180000的小数点向左移动6位得到2.18，
所以2180000用科学记数法表示为2.18×106， 故选A.
【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 3、D 【解题分析】
根据分式的基本性质，x ，y 的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【题目详解】
根据分式的基本性质，可知若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，
A 、
23233x x
x y x y ++≠--，错误；
B 、
2
2629y y
x x
≠，错误； C 、332
2542273y y x x
≠，错误； D 、
()
()
22
2
2
1829y y x y x y --＝
，正确；
故选D ． 【题目点拨】
本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心． 4、C 【解题分析】
先解不等式组得到-1＜x≤3，再找出此范围内的正整数． 【题目详解】
解不等式1-2x ＜3，得：x ＞-1， 解不等式
1
2
x +≤2，得：x≤3， 则不等式组的解集为-1＜x≤3，
所以不等式组的正整数解有1、2、3这3个， 故选C ． 【题目点拨】
本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确得出 一元一次不等式组的解集. 5、B 【解题分析】
解：3400000=63.410⨯. 故选B. 6、C 【解题分析】
根据平行线的性质可得∠BAD=∠1，再根据AD 是∠BAC 的平分线，进而可得∠BAC 的度数，再根据补角定义可得答案．
【题目详解】
因为a∥b，
所以∠1=∠BAD=50°，
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAC=2∠BAD=100°，
所以∠2=180°-∠BAC=180°-100°=80°.
故本题正确答案为C.
【题目点拨】
本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等．
7、D
【解题分析】
【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【题目详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故选D．
【题目点拨】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
8、D
【解题分析】
解：A．不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B=，故B错误；
=，故C错误；
C3
===，正确．
D3
故选D．
9、B
【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【题目详解】 解：135000=1.35×105 故选B ． 【题目点拨】
此题考查科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 10、C 【解题分析】
①根据图象的开口方向，可得a 的范围，根据图象与y 轴的交点，可得c 的范围，根据有理数的乘法，可得答案； ②根据自变量为-1时函数值，可得答案； ③根据观察函数图象的纵坐标，可得答案； ④根据对称轴，整理可得答案． 【题目详解】
图象开口向下，得a ＜0，
图象与y 轴的交点在x 轴的上方，得c ＞0，ac ＜，故①错误； ②由图象，得x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0，故②正确； ③由图象，得
图象与y 轴的交点在x 轴的上方，即当x ＜0时，y 有大于零的部分，故③错误； ④由对称轴，得x=-2b
a
=1，解得b=-2a ， 2a+b=0 故④正确； 故选D ． 【题目点拨】
考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
11、B
【解题分析】
只要证明△OCB是等边三角形，可得∠CDB=1
2
∠COB即可解决问题.
【题目详解】
如图，连接OC，
∵AB=14，BC=1，
∴OB=OC=BC=1，
∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，
∴∠CDB=1
2
∠COB=30°，
故选B．
【题目点拨】
本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．
12、B
【解题分析】解：根据中位数的意义，故只要知道中位数就可以了．故选B．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、-23≤y≤2
【解题分析】
先根据a=-1判断出抛物线的开口向下，故有最大值，可知对称轴x=-3，再根据-4≤x≤2，可知当x=-3时y最大，把x=2时y最小代入即可得出结论．
【题目详解】
解：∵a=-1，
∴抛物线的开口向下，故有最大值，
∵对称轴x=-3，
∴当x=-3时y最大为2，
当x=2时y最小为-23，
∴函数y的取值范围为-23≤y≤2，
故答案为：-23≤y≤2.
【题目点拨】
本题考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴以及增减性是解题关键．
14、
5
【解题分析】
分析：直接利用二次根式的性质进行化简即可．
点睛：本题主要考查了分母有理化，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
15、1
【解题分析】
根据弧长公式l=nπr
180
代入求解即可．
【题目详解】
解：∵
nπr
l
180 =，
∴
180l
r4
nπ
==．
故答案为1．【题目点拨】
本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=nπr 180
．
16、2
【解题分析】
如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A 在双曲线1y=x 上，∴四边形AEOD 的面积为1 ∵点B 在双曲线3y=x
上，且AB ∥x 轴，∴四边形BEOC 的面积为3 ∴四边形ABCD 为矩形，则它的面积为3－1＝2
17、6n+1．
【解题分析】
寻找规律：不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，即：
第1个图形有8根火柴棒，
第1个图形有14＝6×
1＋8根火柴棒， 第3个图形有10＝6×
1＋8根火柴棒， ……，
第n 个图形有6n+1根火柴棒．
18、8π.
【解题分析】
试题分析： 因为AB 为切线，P 为切点，
22,63
6,12,260,60OP AB AP BP OP OB OP PB OP AB OB OP
POB POA ︒︒
∴⊥∴===∴=+=⊥=∴∠=∠= 劣弧AB 所对圆心角
考点： 勾股定理;垂径定理;弧长公式.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）∠BAD=15°；（2）∠BAC=45°或∠BAD =60°；（3）62
【解题分析】
（1）如图1中，当点E在BC上时．只要证明△BAD≌△CAE，即可推出∠BAD=∠CAE=1
2
（90°-60°）=15°；
（2）分两种情形求解①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE，此时△DEC是等腰三角形．②如图3中，当CD=CE 时，△DEC是等腰三角形；
（3）如图4中，当E在BC上时，E记为E′，D记为D′，连接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．首先确定点E的运动轨迹是直线EE′（过点E与BC成60°角的直线上），可得EC的最小值即为线段CM的长（垂线段最短）.
【题目详解】
解：（1）如图1中，当点E在BC上时．
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
在△ABD和△ACE中，
∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，AB=AC，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠BAD=∠CAE=1
2
（90°-60°）=15°．
（2）①如图2中，当BD=DC时，易知AD=CD=DE，此时△DEC是等腰三角形，∠BAD=1
2
∠BAC=45°．
②如图3中，当CD=CE时，△DEC是等腰三角形．
∵AD=AE，
∴AC垂直平分线段DE，
∴∠ACD=∠ACE=45°，
∴∠DCE=90°，
∴∠EDC=∠CED=45°，
∵∠B=45°，
∴∠EDC=∠B，
∴DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE=60°．
（3）如图4中，当E在BC上时，E记为E′，D记为D′，连接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．
∵∠AOE=∠DOE′，∠AE′D=∠AEO ，
∴△AOE ∽△DOE′，
∴AO ：OD=EO ：OE'，
∴AO ：EO=OD ：OE'，
∵∠AOD=∠EOE′，
∴△AOD ∽△EOE′，
∴∠EE′O=∠ADO=60°，
∴点E 的运动轨迹是直线EE′（过点E 与BC 成60°角的直线上），
∴EC 的最小值即为线段CM 的长（垂线段最短），
设E′N=CN=a ，则AN=4-a ，
在Rt △ANE′中，tan75°
=AN ：NE'，
∴=
4a a -，
∴
∴
在Rt △CE′M 中，
∴CE
【题目点拨】
本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轨迹等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
20、（1）（2）
3，13y x =-；（3）14+【解题分析】
试题分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得
（2）作BH ⊥AD 于H ，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B 点坐标为（1，），则﹣1，
﹣1，可判断△ABH 为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC ﹣∠BAH=30°，根据特殊角
的三角函数值得tan ∠DAC=3
；由于AD ⊥y 轴，则OD=1，Rt △OAD 中利用正切的定义可计算
出CD=2，易得C点坐标为（0，﹣1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为
x﹣1；
（3）利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为（t
）（0＜t＜
），由于直线l⊥x轴，与AC相交于
点N，得到N点的横坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为（t
，
3t﹣1），则
MN=
t
﹣，根据三角形面积公式得到S△CMN=
1
2
•t•
），再进行配方得到S=
﹣
6
t
2
+
8
（0＜t＜
，最后根据二次函数的最值问题求解．
试题解析：（1）把A（
1）代入y=
k
x
，得
×
（2）作BH⊥AD于H，如图1，
把B（1，a）代入反比例函数解析式
y=
x
，得
∴B点坐标为（1，
），
∴
1，
1，
∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH=45°，
∵∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，
∴tan∠DAC=tan30°
=
3
；
∵AD⊥y轴，∴OD=1，
tan∠DAC=
CD
DA
∴CD=2，∴OC=1，
∴C点坐标为（0，﹣1），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（
1）、C（0，﹣1
）代入得
1
1
b
b
⎧+=
⎪
⎨
=-
⎪⎩
，解得
1
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴直线AC的解析式为
﹣1；
（3）设M点坐标为（t，23
t
）（0＜t＜23），
∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，∴N点的横坐标为t，∴N点坐标为（t，
3
3
t﹣1），
∴MN=23
t
﹣（
3
3
t﹣1）=
23
t
﹣
3
3
t+1，
∴S△CMN=1
2
•t•（
23
t
﹣
3
3
t+1）=﹣
3
6
t2+
1
2
t+3=﹣
3
6
（t﹣
3
2
）2+
93
8
（0＜t＜23），
∵a=﹣
3
6
＜0，∴当t=
3
2
时，S有最大值，最大值为
93
8
．
21、（1）y=－x2－2x＋1，C（1，0）（2）当t=-2时，线段PE的长度有最大值1，此时P（－2，6）（2）存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．所求Q点的坐标为
（
3+13
2
-
，2）或（
313
2
-
，2）或（
3+17
2
-
，2）或（
317
2
--
，2）
【解题分析】
解：（1）∵直线y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－1，0），B（0，1）．∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，
∴
164b c0?
{
c4
--+=
=
，解得
b3?
{
c4
=-
=
．
∴抛物线解析式为y=－x2－2x＋1．
令y=0，得－x2－2x＋1=0，解得x1=－1，x2=1，∴C（1，0）．
（2）如图1，
设D（t，0）．
∵OA=OB，∴∠BAO=15°．
∴E（t，t＋1），P（t，－t2－2t＋1）．
PE=y P－y E=－t2－2t＋1－t－1=－t2－1t=－（t+2）2+1．
∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值1，此时P（－2，6）．（2）存在．如图2，过N点作NH⊥x轴于点H．
设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=15°．
∴NH=AH=1－m，∴y Q=1－m．
又M为OA中点，∴MH=2－m．
当△MON为等腰三角形时：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，∴y Q=1－m=2．
由－x Q2－2x Q＋1=2，解得
Q 313
x
-±
=．
∴点Q坐标为（
3+13
2
-
，2）或（
313
2
-
，2）．
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN2=NH2＋MH2，即22=（1－m）2＋（2－m）2，化简得m2－6m＋8=0，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．
∴y Q =2，由－x Q 2－2x Q ＋1=2，解得Q 317x 2-±=． ∴点Q 坐标为（3+172
-，2）或（3172--，2）． ③若ON=OM=2，则在Rt △NOH 中，
根据勾股定理得：ON 2=NH 2＋OH 2，即22=（1－m ）2＋m 2，
化简得m 2－1m ＋6=0，∵△=－8＜0，
∴此时不存在这样的直线l ，使得△MON 为等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l ，使得△MON 为等腰三角形．所求Q 点的坐标为
（3+132-，2）或（3132--，2）或（3+172
-，2）或（3172--，2）． （1）首先求得A 、B 点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x 轴另一交点C 的坐标． （2）求出线段PE 长度的表达式，设D 点横坐标为t ，则可以将PE 表示为关于t 的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE 长度的最大值．
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l 的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别
式可知直线l 是否存在，并求出相应Q 点的坐标． “△MON 是等腰三角形”，其中包含三种情况：
MN=ON ，MN=OM ，ON=OM ，逐一讨论求解．
22、（1）6π；（2）GB=DF ，理由详见解析.
【解题分析】
（1）根据弧长公式l= 计算即可；
（2）通过证明给出的条件证明△FDC ≌△GBC 即可得到线段GB 与DF 的长度关系．
【题目详解】
解：（1）∵AD=2，∠DAE=90°，
∴弧DE 的长 l 1= =π，
同理弧EF 的长 l 2= =2π，弧FG 的长 l 3= =3π，
所以，点D运动到点G所经过的路线长l=l1+l2+l3=6π．
（2）GB=DF．
理由如下：延长GB交DF于H．
∵CD=CB，∠DCF=∠BCG，CF=CG，
∴△FDC≌△GBC．
∴GB=DF．
【题目点拨】
本题考查弧长公式以及全等三角形的判定和性质，题目比较简单，解题关键掌握是弧长公式．
23、1
【解题分析】
原式第一项利用乘方法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【题目详解】
解：原式=1﹣1×+1+=1﹣+1+=1．
【题目点拨】
此题考查了含有特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键.
24、（1）一个水瓶40元，一个水杯是8元；（2）当10＜n＜25时，选择乙商场购买更合算．当n＞25时，选择甲商场购买更合算．
【解题分析】
（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）计算出两商场得费用，比较即可得到结果．
【题目详解】
解：（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，
根据题意得：3x+4（48﹣x）＝152，
解得：x＝40，
则一个水瓶40元，一个水杯是8元；
（2）甲商场所需费用为（40×5+8n）×80%＝160+6.4n
乙商场所需费用为5×40+（n﹣5×2）×8＝120+8n
则∵n＞10，且n为整数，
∴160+6.4n﹣（120+8n）＝40﹣1.6n
讨论：当10＜n＜25时，40﹣1.6n＞0，160+0.64n＞120+8n，
∴选择乙商场购买更合算．
当n＞25时，40﹣1.6n＜0，即160+0.64n＜120+8n，
∴选择甲商场购买更合算．
【题目点拨】
此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行列式求解.
25、（1）100、35；（2）补图见解析；（3）800人；（4）5 6
【解题分析】
分析：（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；
（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；
（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得．详解：（1）∵被调查的总人数m=10÷10%=100人，
∴支付宝的人数所占百分比n%=
35
100
×100%=35%，即n=35，
（2）网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为
40
100
×100%=40%，
补全图形如下：
（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%=800人；（4）列表如下：
共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，
所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为105126
=． 点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26、1人
【解题分析】
解：设九年级学生有x 人，根据题意，列方程得：
19361936?0.8x x 88
⋅=+，整理得0.8（x+88）=x ，解之得x=1． 经检验x=1是原方程的解．
答：这个学校九年级学生有1人．
设九年级学生有x 人，根据“给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元”可得每个文具包的花费是：
1936x 元，根据“若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元”可得每个文具包的花费是：1936?x 88
+，根据题意可得方程19361936?0.8x x 88⋅=+，解方程即可． 27、（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【解题分析】
（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【题目详解】
（1）设每个月生产成本的下降率为x ，
根据题意得：400（1﹣x ）2=361，
解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．。