(典型题)初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，在ABCD 中，3AB =，4=AD ，60ABC ∠=︒，过BC 的中点E 作
EF AB ⊥，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则DEF 的面积是（ ）
A ．63+
B ．43
C ．23
D ．623+ 2．已知平行四边形ABCD 中，∠A ＋∠C ＝110°，则∠B 的度数为（ ）
A ．125°
B ．135°
C ．145°
D ．155°
3．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，已知BE ＝4cm ，AB ＝6cm ，则AD 的长度是（ ）
A ．4cm
B ．6cm
C ．8cm
D ．10cm
4．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应增加的条
件是（ ）
A ．A
B ＝CD B ．∠BAD ＝∠DCB
C ．AC ＝BD
D ．∠ABC ＋∠BAD ＝
180°
5．如图，在ABCD 中，4CD =，60B ︒∠=，:2:1BE EC =，依据尺规作图的痕迹，则ABCD 的面积为（ ）
A．12 B．122C．123D．125
6．正多边形的每个外角为60度，则多边形为（）边形．
A．4 B．6 C．8 D．10
7．已知如图：为估计池塘的宽度BC，在池塘的一侧取一点A，再分别取AB、AC的中点D、E，测得DE的长度为20米，则池塘的宽BC的长为（）
A．30米B．60米C．40米D．25米
8．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．若一个正多边形的每个内角度数都为135°，则这个正多边形的边数是（）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD三个顶点坐标分别为A（-1，-2），D（1，1），C（5，2），则顶点B的坐标为（）
A．（-1，3）B．（4，-1）C．（3，-1）D．（3，-2）
11．给出下列4个命题：①四边形的内角和等于外角和；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③若|x|＝2，则x＝2；④同旁内角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．已知一个多边形的内角和与一个外角的和是1160度，则这个多边形是（）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
二、填空题
13．一个正多边形的内角和为720 ，则这个多边形的外角的度数为______．
14．三角形的三边长分别是 4cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是______________cm．
15．如图，在平行四边形ABCD中，13AD=4，AC⊥BC．则BD=____．
16．一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是边形__________边形．
17．如图，在平行四边形ABCD 中，BC=8cm ，AB=6cm ，BE 平分∠ABC 交AD 边于点E ，则线段DE 的长度为_____．
18．一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______． 19．如图，已知矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 的周长等于_____cm ．
20．如图，平行四边形ABCD ，将四边形CDMN 沿线段MN 折叠，得到四边形QPMN ，已知68BNM ︒∠=，则AMP ∠=_______．
三、解答题
21．如图，在ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点
F ．
求证：DC=DF ．
22．在平面直角坐标系中，二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于(4,0)A -，
(2,0)B 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使ACP △的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）抛物线上是否存在点Q ，且满足AB 平分CAQ ∠，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由；
（4）点N 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在点M ，使以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，ABCD 的对角线AC BD 、相交于点，,,3,5O AB AC AB BC ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连接PO 并延长交BC 于点
Q ．设点P 的运动时间为t 秒．
()1求BQ 的长（用含t 的代数式表示)；
()2问t 取何值时，四边形ABQP 是平行四边形?
24．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，连接EC ． （1）求证：OE ＝OF ；
（2）若EF ⊥AC ，△BEC 的周长是10，求平行四边形ABCD 的周长．
25．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF
求证：AC、EF互相平分．
26．如果正多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多边形的内角和．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据平行四边形的性质得到AB=CD=3，AD=BC=4，求出BE、BF、EF，根据相似得出CH=1，EH3△DFH的面积，即可求出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，AB∥CD，AB=CD=3，
∵E为BC中点，
∴BE=CE=2，
∵∠B=60°，EF⊥AB，
∴∠FEB=30°，
∴BF=1，
由勾股定理得：EF3，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠ECH，
在△BFE和△CHE中，
B ECH BE CE BEF CEH ∠=∠⎧⎪
=⎨
⎪∠=∠⎩
， ∴△BFE ≌△CHE （ASA ）， ∴EF =EH =3，CH
=BF =1， ∴DH=4， ∵S △DHF =1
2
DH •FH =43， ∴S △DEF =
1
2
S △DHF =23， 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
2．A
解析：A 【分析】
根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C ， ∵∠A+∠C=110°， ∴∠A=∠C=55°， ∴∠B=125°． 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
3．D
解析：D 【分析】
由已知平行四边形ABCD ，DE 平分∠ADC 可推出△DCE 为等腰三角形，所以得CE=CD=AB=6，那么AD=BC=BE+CE ，从而求出AD ．
【详解】
解：已知平行四边形ABCD ，DE 平分∠ADC ， ∴AD ∥BC ，CD=AB=6cm ，∠EDC=∠ADE ，AD=BC ， ∴∠DEC=∠ADE ， ∴∠DEC=∠CDE ， ∴CE=CD=6cm ， ∴BC=BE+CE=4+6=10cm ， ∴AD=BC=10cm ， 故选：D ． 【点睛】
此题考查的知识点是平行四边形的性质及角平分线的性质，关键是由平行四边形的性质及角平分线的性质得等腰三角形通过等量代换求出AD ．
4．B
解析：B 【分析】
根据平行四边形的判定方法，以及等腰梯形的性质等知识，对各选项进行判断即可． 【详解】
A 错误,当四边形ABCD 是等腰梯形时,也满足条件．
B 正确，∵//AD B
C ， ∴180BA
D ABC ︒∠+∠=， ∵BAD DCB ∠=∠， ∴180DCB ABC ︒∠+∠=， ∴//AB CD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
C 错误，当四边形ABC
D 是等腰梯形时，也满足条件． D 错误，∵180ABC BAD ︒∠+∠=，
∴//AD BC ，与题目条件重复，无法判断四边形ABCD 是不是平行四边形． 故选:B ． 【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等腰梯形的性质等知识，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
5．C
解析：C 【分析】
由作图痕迹可得EF 为AB 的中垂线，结合60B ∠=︒判断出△ABE 为等边三角形，从而结
合边长求出ABCD 在BC 边上的高为BC 的长度，最终计算面积即可． 【详解】
设尺规作图所得直线与AB 交于F 点，根据题意可得EF 为AB 的中垂线， ∴AE=BE ， 又∵60B ∠=︒，
∴△ABE 为等边三角形，边长AB=CD=4， ∴BF=2，BE=4，2223EF BE BF =-=，
∴
ABCD 在BC 边上的高为23，
又∵:2:1BE EC =，BE=4， ∴EC=2，BC=2+4=6， ∴ABCD
S
=23×6=123，
故选：C ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，中垂线的识别与性质，以及等边三角形的判定与性质，准确根据作图痕迹总结出等边三角形是解题关键．
6．B
解析：B 【分析】
利用多边形的外角和360除以外角60得到多边形的边数． 【详解】
多边形的边数为36060÷=6， 故选：B ． 【点睛】
此题考查多边形的外角和定理，正多边形的性质，利用外角和除以外角的度数求正多边形的边数是最简单的题型．
7．C
解析：C 【分析】
根据三角形中位线定理可得DE=1
2
BC ，代入数据可得答案． 【详解】
解：∵线段AB ，AC 的中点为D ，E ，
∴DE=1
BC，
2
∵DE=20米，
∴BC=40米，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
8．C
解析：C
【分析】
⨯=︒,设这个多边形是n边形，内角和是多边形的外角和是360︒，则内角和是2360720
()
-⋅︒，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值.
n2180
【详解】
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
()
-⨯︒=⨯，
n21802360
=．
解得：n6
即这个多边形为六边形．
故选：C.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键，根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决. 9．B
解析：B
【分析】
根据题意可先求出这个正多边形的每个外角度数，再根据多边形的外角和是360°即可求出答案．
【详解】
解：因为一个正多边形的每个内角度数都为135°，
所以这个正多边形的每个外角度数都为45°，
所以这个正多边形的边数是360°÷45°=8．
故选：B．
【点睛】
本题考查了正多边形的有关概念和多边形的外角和，属于基本题目，熟练掌握多边形的基本知识是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据平行四边形的性质，CD=AB，CD∥AB，根据平移的性质即可求得顶点B的坐标．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∵▱ABCD的顶点A、D、C的坐标分别是A（-1，-2）、D（1，1）、C（5，2），
D（1，1）向左平移2个单位，再向下3个单位得到A（-1，-2），
则C（5，2）向左平移2个单位，再向下3个单位得到（3，-1），
∴顶点B的坐标为（3，-1）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平移的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．11．B
解析：B
【分析】
根据四边形内角和、直角三角形性质和绝对值性质判断即可；
【详解】
解：①四边形的内角和和外角和都是360°，
∴四边形的内角和等于外角和，是真命题；
②有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
③若|x|＝2，则x＝±2，本说法是假命题；
④两直线平行时，同旁内角的平分线互相垂直，本说法是假命题；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了四边形的内角和、直角三角形两锐角互余、绝对值的性质和平行线的知识点，准确分析是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据内角和与外角度数的和列出方程，由多边形的边数n为整数求解可得．
【详解】
设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，
根据题意列方程得，
（n－2）•180°＋x＝1160°，
∵0°＜x＜180°，
∴1160°－180°＜（n－2）×180°＜1160°，
∴54
9＜n−2＜6
4
9
，
∵n是整数，
∴n＝8．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．二、填空题
13．60°【分析】首先设这个正多边形的边数为n根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=720继而可求得答案【详解】解：设这个正多边形的边数为n∵一个正多边形的内角和为720°∴180（n-2）=72
解析：60°
【分析】
首先设这个正多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=720，继而可求得答案．
【详解】
解：设这个正多边形的边数为n，
∵一个正多边形的内角和为720°，
∴180（n-2）=720，
解得：n=6，
∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意熟记公式是关键．
14．【分析】三角形两边中点的连线是三角形的中位线如下图DEDFEF都是
△ABC的中位线根据中位线的性质可分别求出长度从而得到周长【详解】如下图在△ABC中点DEF分别是ABBCCA的中点AB=4cmBC
解析：15 2
【分析】
三角形两边中点的连线是三角形的中位线，如下图，DE，DF，EF都是△ABC的中位线，根据中位线的性质可分别求出长度，从而得到周长.
【详解】
如下图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=4cm，BC=5cm，
AC=6cm
∵点D 、E 分别是AB 、BC 的中点 ∴DE 是△BAC 的中位线
∴DE=
1
2
AC =3cm 同理，EF=12AB =2cm ，DF=15
22
CB =cm
∴△DEF 的周长=3+2+515
22
=cm 故答案为：152
【点睛】
本题考查三角形中位线的定理，需要注意，三角形的中位线平行且等于对应底边的一半，且不可弄错边之间的关系.
15．10【分析】由BC ⊥ACAB=2BC=AD=4由勾股定理求得AC 的长得出OA 长然后由勾股定理求得OB 的长即可【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴BC=AD=4OB=ODOA=OC ∵AC ⊥BC ∴
解析：10 【分析】
由BC ⊥AC ，13BC=AD=4，由勾股定理求得AC 的长，得出OA 长，然后由勾股定理求得OB 的长即可． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=4，OB=OD ，OA=OC ， ∵AC ⊥BC ， ∴()
2222
=213-4AB BC -，
∴OC=3，
∴2222=3+4OC BC +， ∴BD=2OB=10 故答案为：10． 【点睛】
此题考查平行四边形的性质以及勾股定理．解题关键在于注意掌握数形结合思想的应用．
16．八【分析】首先设这个多边形的边数为n由n边形的内角和等于180（n-2）即可得方程180（n-2）=1080解此方程即可求得答案【详解】解:设这个多边形的边数为n根据题意得:180（n-2）=108
解析：八
【分析】
首先设这个多边形的边数为n,由n边形的内角和等于180 （n-2）,即可得方程180（n-2）=1080,解此方程即可求得答案．
【详解】
解:设这个多边形的边数为n,
根据题意得:180（n-2）=1080,
解得:n=8,
故答案为:八．
【点睛】
此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单,注意熟记公式是准确求解此题的关键,注意方程思想的应用．
17．2cm【解析】试题
解析：2cm．
【解析】
试题
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC=8cm，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=6cm，
∴DE=AD﹣AE=8﹣6=2（cm）.
18．720°【分析】多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°根据公式即可得出多边形的边数然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和n边形内角和等于(n-2)×180°【详解】解：∵任何多边形
解析：720°
【分析】
多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和，n边形内角和等于(n-2) ×180°．
【详解】
解：∵任何多边形的外角和是360°，此正多边形每一个外角都为60°，边数×外角的度数
=360°，
∴n=360°÷60°=6，
∴此正多边形的边数为6，
则这个多边形的内角和为(n-2) ×180°，
(6-2)×180°=720°，
故答案为720°．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，熟知“任何多边形的外角和是360°，n边形内角和等于(n-2) ×180°”是解题的关键．
19．20【分析】连接ACBD根据三角形的中位线求出HGGFEFEH的长再求出四边形EFGH的周长即可【详解】如图连接ACBD四边形ABCD是矩形AC＝BD＝8cmEFGH分别是ABBCCDDA的中点HG
解析：20
【分析】
连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG，GF，EF，EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可.
【详解】
如图，连接AC、BD，
四边形ABCD是矩形，
AC＝BD＝8cm，
E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
HG＝EF＝1
2
AC＝4cm，EH＝FG＝
1
2
BD＝4cm，
四边形EFGH的周长等于
4＋4＋4＋4＝16cm.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 20．【分析】根据平行四边形的性质得得根据折叠的性质得根据平角的性质即可求解【详解】∵四边形ABCD是平行四边形∴∴∵将四边形CDMN沿线段MN折叠得到四边形QPMN∴∴故答案为【点睛】本题考察了平行四边
解析：44
【分析】
根据平行四边形的性质得//AD BC ，得68NMD ︒∠=，根据折叠的性质得
68PMN NMD ︒∠=∠=，根据平角的性质即可求解．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴//AD BC
∴68NMD BNM ︒∠=∠=
∵将四边形CDMN 沿线段MN 折叠，得到四边形QPMN ∴68PMN NMD ︒∠=∠=
∴18044AMP PMN NMD ︒∠=︒-∠-∠= 故答案为44︒． 【点睛】
本题考察了平行四边形的性质，平行线的性质，和利用平角求解未知角的度数；其中两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
三、解答题
21．见解析 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB ∥CD ，AB=DC ，易证得△DEF ≌△AEB ，则可得DF=AB ，继而证得DC=DF ． 【详解】
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB=DC ， ∴∠F=∠EBA ， ∵E 是AD 边的中点， ∴DE=AE ，
在△DEF 和△AEB 中，
F EBA DEF AEB DE AE ∠∠⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△DEF ≌△AEB （AAS ）， ∴DF=AB ， ∴DC=DF ． 【点睛】
此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 22．（1）233
384
y x x =-
-+；（2）(2,3)P -；（3）(4,6)Q -；（4）1(2,3)M -，
2(13)M ---
，3(13)M -+-．
【分析】
（1）将点(4,0)A -，(2,0)B 代入抛物线的一般式解析式，利用待定系数法解题； （2）设直线:AC y kx b =+，代入(4,0)A -，(0,3)C ，利用待定系数法解得一次函数解析式为3
34y x =
+，过点P 作PD x ⊥轴，交AC 于点D ，设3,34D t t ⎫⎛+ ⎪⎝⎭
，233,384P t t t ⎫⎛
--+ ⎪⎝⎭
，计算23382PD t t =--，结合三角形面积公式及配方法可解得二次
函数的最值；
（3）作点C 关于x 轴的对称点E ，连接AE 交抛物线于点Q ，设直线:AE y mx n =+，代入(4,0)A -，(0,3)-E ，利用待定系数法解得直线AE 的解析式为3
34
y x =-
-，再与233
384
y x x =--+联立方程组，解得交点Q 点坐标，舍去不符合题意的解即可；
（4）设点(,)M x y ，分两种情况讨论：以BN 为边，或以BN 为对角线，分别画出示意
图，根据平行四边形对应边相等的性质列出一元二次方程，利用公式法解得点M 的坐标，即可解题． 【详解】
解：（1）将点(4,0)A -，(2,0)B 代入2
3y ax bx =++得，
22
(4)430
2230a b a b ⎧--+=⎨++=⎩
164304230a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩
解得3834a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
233
384
y x x ∴=--+；
（2）设直线:AC y kx b =+，代入(4,0)A -，(0,3)C 得：40
3k b b -+=⎧⎨=⎩．
解得：343
k b ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，
∴直线3
:34
AC y x =
+，
过点P 作PD x ⊥轴，交AC 于点D ，设3,34D t t ⎫⎛+ ⎪⎝⎭，则2
33,38
4P t t t ⎫⎛--
+ ⎪⎝
⎭
，
223
33333384482PD t t t t t ⎫⎫⎛⎛∴=--+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭
，
22133
423(2)3244
APC S PD PD t t t ∴=
⋅⋅==--=-++△， ∴当2t =-时最大，S 的最大值为3，此时，(2,3)P -；
（3）作点C 关于x 轴的对称点E ，连接AE 交抛物线于点Q ，则(0,3)-E ，
设直线:AE y mx n =+，代入(4,0)A -，(0,3)-E ，
40
03
m n n -+=⎧⎨
+=⎩ 343
m n ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 解得：3
34
y x =-
- 联立方程组233384
334y x x y x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，解得：14x =-（舍），24x =，
存在(4,6)Q -；
（4）存在，1(2,3)M -，2(117,3)M --，3(117,3)M --，理由如下： 如图，设点(,)M x y ，以BN 为边，当//MC BN 时，M 在x 轴上方， 在平行四边形B C M N 中，
3c y =
3M y ∴=
在233
384
y x x =-
-+中， 当3y =时，233
3384
x x -
-+= 33
()084
x x ∴--=
120,2x x ∴==- 2M x ∴=- 1(2,3)M ∴-；
当以BN 为对角线，//NC BM 时，M 在x 轴下方，
C M y y =
3M y ∴=-
在233
384
y x x =-
-+中， 当3y =-时，233
3384
x x -
-+=- 22160x x ∴+-= 1,2,16a b c ===-
224241(16)68b ac ∴-=-⨯⨯-=
1222112222
b b x x a a -+----∴=
==-===-
2(13)M ∴--，3(13)M --，
综上所述，1(2,3)M -，2(13)M --，3(13)M --．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数与一元二次方程综合、平行四边形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
23．（1）5-t；（2）5 2
【分析】
（1）先证明△APO≌△CQO，可得出AP=CQ=t，则BQ即可用t表示；（2）由题意知AP∥BQ，根据AP=BQ，列出方程即可得解；
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠PAO=∠QCO，
∵∠AOP=∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP=CQ=t，
∵BC=5，
∴BQ=5-t；
（2）∵AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t=5-t，
5
2
t=,
∴当
5
2
t=时，四边形ABQP是平行四边形.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
24．（1）证明见解析；（2）20.
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出OD=OB ，DC ∥AB ，推出∠FDO=∠EBO ，证△DFO ≌△BEO 即可；
（2）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AD=BC ，OA=OC ，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE ，由已知条件得出BC+AB=10，即可得出平行四边形ABCD 的周长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD=OB ，DC ∥AB ，
∴∠FDO=∠EBO ，
在△DFO 和△BEO 中，{FDO EBO
OD OB FOD EOB
∠=∠=∠=∠，
∴△DFO ≌△BEO （ASA ），
∴OE=OF ．
（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD ，AD=BC ，OA=OC ，
∵EF ⊥AC ，
∴AE=CE ，
∵△BEC 的周长是10，
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，
∴平行四边形ABCD 的周长=2（BC+AB ）=20．
25．证明见解析
【分析】
连接AE 、CF ，证明四边形AECF 为平行四边形即可得到AC 、EF 互相平分．
【详解】
解：连接AE 、CF ，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ﹦BC ，
又∵DF ﹦BE ，
∴AF ﹦CE ，
又∵AF ∥CE ，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC、EF互相平分．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题关键．
26．1800°．
【分析】
设正多边形一个外角是x°，根据题意列方程，求出外角的度数，再根据多边形的外角和为360°，即可求出边数，进而求出内角和．
【详解】
解：设正多边形一个外角是x°，则与它相邻的内角是（4x°+30°），
∴x°+4 x°+30°=180°，
解得x°=30°，
∵多边形的外角和是360°，
∴个多边形的边数是360°÷30°=12，
∴内角和为（12-2）×180°=1800°．
答：这个多边形的内角和为1800°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，外角和定理，内角与外角的关系，熟练掌握多边形的内角和定理，外角和定理是解题关键．。