信息编码习题答案或提示

第二章部分习题
2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍?
答：2倍，3倍。

2.2 一副充分洗乱了的牌(含52张牌)，试问 (1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？
(2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同, 能得到多少信息量？解：(1) !52log 2 (2) 任取13张，各点数不同的概率为
1352
!
13C ，信息量：9.4793(比特/符号)
2.3 居住某地区的女孩子有%25是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘
米上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。

假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？ 答案：1.415比特/符号。

提示：设事件A 表示女大学生，事件C 表示160CM 以上的女孩，则问题就是求p(A|C)，
83
2
14341)()|()()()()|(=⨯
===C p A C p A p C p AC p C A p
2.4 设离散无忆信源
()123401233/8
1/41/41/8X a a a a P X ====⎛⎫⎧⎫
=⎨
⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭，其发出的消息为
(202120130213001203210110321010021032011223210)，求
(1) 此消息的自信息量是多少？
(2) 在此消息中平均每个符号携带的信息量是多少？
解：(1)87.81比特，
(2)1.951比特。

提示：先计算此消息出现的概率，再用自信息量除以此消息包含的符号总数(共45个)。

2.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7% ，女性发病率为
0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含有多少信息量?平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？
(1) 男性回答是的信息量为2log 0.07 3.8369-=比特，回答否的信息量是0.1047
比特，平均每个回答含的信息量(即熵)是0.36596比特。

(2) 0.045425比特
2.6 设信源()1
234560.20.190.180.170.160.17X a a a a a a P X ⎛⎫⎧⎫=⎨
⎬
⎪⎩
⎭⎝⎭，求这信源的熵，并解释为什么()log6H X >不满足信源熵的极值性。

提示：信源的概率之和大于1。

2.7 同时掷两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息量；
(2) “两个1同时出现”这事件的自信息量；
(3) 两个点数的各种组合(无序对)的熵或平均信息量； (4) 两个点数之和(即2,312构成的子集)的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。

解：(1) 4.17(比特/符号)，提示：3和5同时出现的概率为26
161⨯⨯=1/18
(2) 5.17(比特/符号)，提示：两个1同时出现的概率1/36 (3) “两个点数相同”的概率:1/36,共有6种情况;
“两个点数不同”的概率:1/18,共有15中情况.故平均信息量为: 615
223618log 36log 18+=4.337比特/符号 (4) 3.274(比特/符号)。

提示：信源模型 551
11111111
36
18
12
9
36
6
36
91218362
3
4
5
6
7
8
9101112⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
(5) 1.711(比特/符号)。

提示：至少有一个1出现的概率为36
116
1616
16
1
=
⨯-+
2.8 证明()12
n H X X X ≤()()()12n H X H X H X ++
+
提示：见教材式(2.1.26)和(2.1.28)
2.9 证明()3
12H X X X ≤()31H X X ，并说明等式成立的条件。

提示：见教材第38页
2.10 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷
暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下：
若把这些频度看作概率测度，求： (1) 忙闲的无条件熵；
(2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； (3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。

解：设X 、Y 、Z 分别表示{忙 闲}、{晴 雨}和{冷 暖}，
(1) 先求忙闲的概率分布⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1034010363)(闲忙X P X ，无条件熵()H X =0.964(比特/符号)
(2) 20232832()103103103103YZ P YZ ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦
晴冷晴暖雨暖雨冷，()H X YZ =0.859(比特/符号) (3) I (X;YZ )=0.105比特/符号
2.11 有两个二元随机变量X Y 和，它们的联合概率为
Y
X 0 1 0 1
1/8 3/8 3/8 1/8
并定义另一随机变量XY Z =(1) (),(),(),(),()()H X H Y H Z H XZ H YZ H XYZ 和； (2) (),(),(),(),(),(),
(),H X Y H Y X H X Z H Z X H Y Z H Z Y H X YZ
()H Y XZ 和()H Z XY ；
(3) ()()()()()();,;,;,;,;;I X Y I X Z I Y Z I X Y I Y Z X I X Z Y 和。

解：提示：XYZ 的联合概率分布
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡8/1008/308/308/1111110101100011010001000)(XYZ P XYZ XZ 的联合概率分布⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡8/18/302/111100100)(XZ P XZ YZ 的联合概率分布⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡8/18/302/111100100)(YZ P YZ Z 的概率分布⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡818
710
)(Z P Z (1) 1比特/符号，1比特/符号，0.543比特/符号，1.406比特/符号，1.406
比特/符号，1.811比特/符号
(2) 0.811比特/符号，0.811比特/符号，0.863比特/符号，0.406比特/符号，
0.863比特/符号，0.406比特/符号，0.405比特/符号 (3) 0.189比特/符号，0.137比特/符号，0.137比特/符号，0.458比特/符号，
0.406比特/符号，0.406比特/符号 2.12 略
2.13 设有一个信源，它产生0,1序列的信息。

它在任意时间而且不论以前发生过
什么符号，均按()()00.4,10.6p p ==的概率发出符号。

(1) 试问这个信源是否是平稳的？ (2) 试计算()()()2312,lim N H X H X X X H X →∞
及； (3) 试计算()4H X 并写出4X 信源中可能有的所有符号。

解：(1) 是
(2) 信源熵0.971比特/信源符号，942.1)(2=X H 比特/信源符号，由题设知
道这个信源是无记忆信源，因此条件熵和极限熵都等于信源熵。

(3)884.3971.04)(4=⨯=X H 比特/信源符号，
4X 信源中可能的符号共16个。

2.14 设12,,,N X X X X =是平稳离散有记忆信源，试证明：
()12N H X X X =1()H X +()()()21321121N N H X X H X X X H X X X X -+++。

提示：见教材第44页
2.15 略
2.16 一阶马尔可夫信源的状态图如题2.16图所示。

信源X 的符号集为{0,1,2}。

(1) 求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵H ∞。

题2.16图
解：(1)由图得一步转移概率矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡=p p
p p
p p P 000，状态极限概率1231()()()3
p e p e p e p ====
(2))(11p H H H ==+∞
2.17 黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源{}X =黑，白。

设黑色
出现的概率为p (黑)=0.3，白色的出现概率p (白)=0.7。

(1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵()H X ； (2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为p (白/白)=0.9，p (黑/白)=0.1，p (白
/黑)=0.2，p (黑/黑)=0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵2()H X ；
(3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较()2()H X H X 和的大小，并说明其
物理意义。

解：(1) 0.881比特/信源符号;
(2) 2
2
2211()()log ()i j i j j i H X p a b p a b ===-∑∑=0.5533比特/符号;
(3) 11.9%，44.67%
2.18 每帧电视图像可以认为是由5310⨯个像素组成的，所有像素均是独立变化，
且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概率出现，问每帧图像含有多少信息量？若有一个广播员，在约10000个汉字中选1000个汉字来口述这电视图像，试问若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？
解：(1)每帧图象包含的信息量
61032
103103101.2128
1log 128
1128
5
5
5
⨯=⨯⨯
-⨯⨯⨯比特
(2)每1000个汉字提供的信息量比特410002103288.110000log ⨯=
(3)需要
=⨯1000)
2()
1(51058.1⨯个汉字。

2.19 略
2.20 连续变量Y X 和的联合概率密度为：()222
2
1,0
x y r p x y r ⎧+⎪=π⎨⎪⎩其他，求
,,:H X H Y H XY I X Y 和。

(提示：2220
log sin d log 22
x x π
π=-⎰)
解：()()p x p xy dy ∞-∞===⎰
令 cos x r θ=，sin y r θ=
则 2sin ()p x r
θ
π=
同理，由函数对称性 2cos ()p y r
θ
π=
22
0222sin 2sin ()log (sin )2sin log sin log 2r r H X r d r r
r d πθθ
θθ
ππθπθθπ-=-⨯-⎛⎫=- ⎪⎝⎭
⎰⎰ 利用分部积分法、三角函数性质、习题提示并注意自然对数与以2 为底对数的换算关系可得：
12222()()log log 0.93log H X H Y r e r π==-=+ (比特/符号)
2
22
2
2222211()log log 1.652log x y r H XY dxdy r r r
r
πππ+==-
==+⎰⎰
(比特/符号)
22(;)()()()
1.862log (1.652log )0.21
I X Y H X H Y H XY r r =+-=+-+= (比特/符号)
2.21 略 2.22 略
第三章习题
3.1 设信源12 0.60.4()X a a P X ⎛⎫⎧⎫
=⎨
⎬
⎪⎩
⎭⎝⎭ 通过一干扰信道，接收符号为{}12,Y b b =，信道传递
矩阵为5
16
631
44⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求 (1) 信源X 中事件12a a 和分别含有的自信息量。

(2) 收到消息()1,2j b j =后，获得的关于()1,2i a i =的信息量。

(3) 信源X 和信宿Y 的信息熵。

(4) 信道疑义度()H X Y 和噪声熵()H Y X 。

(5) 接收到信息Y 后获得的平均互信息量。

解：(1) 1()0.737I x =(比特/符号)，322.1)(2=x I 比特/符号，
(2) 1232
(),()55
p b p b ==，56112
35
(;)log 0.47399I a b ==(比特/符号),
1612225
(;)log 1.26316I a b ==-(比特/符号),
14212
35
(;)log 1.26316I a b ==- (比特/符号),
34222
25(;)log 0.90698I a b ==(比特/符号)
(3) 0.971(比特/符号)，0.971(比特/符号)，
(4)() 1.6856H XY =(比特/符号)，
()()()0.7146()H Y X H XY H X H X Y =-==，
(5) 0.2564比特/符号
3.2 设二元对称信道的传递矩阵为213
31
233⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(1) 若()()(0)34,(1)1(),,(;)P P H X H X H Y X I X Y ==求和；
(2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。

解：(1) 0.8113比特/符号，0.7498比特/符号，0.9183比特/符号，0.0615比特
/符号，
(2) 0.0818比特/符号，p(0)=p(1)=1/2
3.3 设有一批电阻，按阻值分70%是Ωk 2，30%是Ωk 5；按瓦分64%是1/8W ，
其余是1/4W 。

现已知
Ωk 2阻值的电阻中
80%是1/8W 。

问通过测量阻值可以得到的关于瓦数的平均信
息量是多少？
解：设随机变量X 表示电阻的瓦数，Y 表示电阻的阻值，则其概率分布为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡36.064.0)4/1()8/1()(21x x X P X ，⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ΩΩ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3.07.0)5()
2()(21K y k y Y P Y 已知11()0.8p x y =，由概率的归一性：21()0.2p x y = 由()()(),,1,2i j i j i p x y p x p y x i j ==，得
11122122()0.56()0.08()0.14()0.22
p x y p x y p x y p x y ====
再由()()()
i j i j j p x y p x y p y =
, 得: 2411
121515
2(),()p x y p x y ==. 代入条件熵计算公式得: ()0.75634H X =(比特/符号)
3.4 参见教材第二章相关内容。

3.5 参见教材第二章相关内容。

3.6 有一个二元对称信道，其信道矩阵为0.980.020.020.98⎡⎤
⎢
⎥
⎣⎦。

设该信源以1500bit s 的速度传输输入符号。

现有一消息序列共有14000个二元符号，并设()()1012
p p ==，问从信息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列
无失真地传递完？
解：信道容量C=0.8586比特/信道符号，则每秒钟可传送的信息量为
1500×0.859=1288.5比特，10秒钟最大可传送的信息量为12885比特，而待传送的信息量为14000比特，因此，10秒钟内不能无失真的传送完毕。

3.7 仿教材例题3.2.1和3.2.2。

3.8 已知一个高斯信道，输入信噪比(比率)为3。

频带为3kHz ，求最大可能传
送的信息率。

若信噪比提高到15，理论上传送同样的信息率所需的频带为多少？
提示：由式(3.5.13)可得。

(1) 最大可能传送的信息率是
3232106)31(log 103)1(log ⨯=+⨯⨯=+
=N
X
t P P w C 比特/秒 (2) 1.5kH Z
3.9 略 3.10 略
3.11 已知离散信源1234 ()0.1 0.3 0.2 0.4a a a a X P X ⎧⎫
⎛⎫=⎨
⎬
⎪⎝⎭⎩⎭
，某信道的信道矩阵为 1
2341
234
0.20.30.10.40.60.20.10.10.50.20.10.20.1
0.3
0.4
0.2b b b b a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
试求：
(1) “输入3a ，输出2b ”的概率； (2) “输出4b ”的概率；
(3) “收到3b 的条件下推测输入2a ”的概率。

解：由信道矩阵的概念和概率论可得
(1) 32323()()()0.04p a b p a p b a ==；
(2) 4
441()()()i i i p b p a p b a ==∑=0.19；
(3) 2323233()()
()0.22,()0.1364()
p a p b a p b p a p b ===
3.12 略
3.13
试证明：当信道每输入一个X 值，相应有几个Y 值输出，且不同的X 值所对应的Y 值不相互重合时，有()()()H Y H X H Y X -=。

证明：因为)/()()/()();(X Y H Y H Y X H X H Y X I -=-=，并且由已知可得
0)/(=Y X H ，所以有()()(/)H Y H X H Y X -=
3.14 试求以下各信道矩阵代表的信道的容量：
(1)[]1
234121
34 0 0 1 01
0 0 00 0 0 10
1 0
0b b b b a a P a a ⎡⎤⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2)[]1
231232
456 1 0 01
000
100 100 010
01b b b a a a P a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(3)[]35678910124
1323 0.10.20.30.4
0000000000
0.30.700000
000000.40.20.10.3b b b b b b b b b b a P a a ⎡⎤
⎢⎥=⎢
⎥
⎢⎥⎣⎦
解：2比特/信道符号，1.585比特/信道符号，1.585比特/信道符号
3.15 此题很简单，略。

3.16 参见教材相关问题的证明过程。

3.17 见教材证明。

3.18
设加性高斯白噪声信道中，信道带宽3kHz ，又设{(信号功率+噪声功率)/ 噪声功率}=10dB 。

试计算该信道的最大信息传输速率t C 。

提示：x 的dB 数:1010log x 。

解: 由题意, 21010log (1),(1)10X X
N N P P P P =+∴+=,故t C =9.96kbit/s 。

3.19 略 3.20
略
第四章习题
4.1 一个四元对称信源()X P X ⎛⎫
⎪⎝⎭0
1231/41/41/41/4⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，接收符号{0,1,2,3}Y =，其失真矩阵为01111
01111011
110D ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
求()max min D D R D 和及信源的函数，并画出其曲线(取4至5个点)。

解：符号奈特/)1ln()1(3
ln
4ln )(,4
3,0max min D D D
D D R D D --++===， 可作图）中令（在,4
3
,21,31,41,0=D D R 。

4.2 若某无记忆信源()1011/31/31/3X P X -⎛⎫⎧⎫=⎨
⎬
⎪⎩
⎭⎝⎭，接收符号11,22Y ⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭，其失真矩阵为121121D ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求信源的最大失真度和最小平均失真度，并求选择何种信道可达到该max min D D 和的失真度。

解：⎪⎩
⎪
⎨⎧
==+==1)/(1)/()/(1)/(,132222111min
a b p a b p a b p a b p D 一的，但满足对应的试验信道不是唯
⎪⎩⎪⎨⎧==+==)
()/(1)()()
()/(,34222111max
b p a b p b p b p b p a b p D i
i 一的，但满足对应的试验信道不是唯
4.3 某二元信源()X P X ⎛⎫
⎪⎝⎭0
11/21/2⎧⎫=⎨⎬
⎩⎭
其失真矩阵为00a D a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
求这信源的()max min ,D D R D 和函数。

提示：见公式(4.2.41)。

)(1)(,5.0,0min α
αD
H D R D D mzx -===
4.4 已知信源{0,1}X =，信宿{0,1,2}Y =。

设信源输入符号为等概率分布，而且失
真函数为
0101D ∞⎡⎤
=⎢⎥
∞⎣⎦
，求信源的率失真函数()R D 。

解：符号奈特/1)(D D R -=。

提示：注意参量S<0, 求 D X Y H Y H Y X I -=-=1)/()();(
4.5 略， 4.6 略
4.7 参见教材p110. 4.8 略
4.9
设某地区的“晴天”概率()5/6p =晴，“雨天”概率()1/6p =雨，把“晴天”预报为“雨天”，把“雨天”预报为“晴天”造成的损失均为a 元。

又设该地区的天气预报系统把“晴天”预报为“晴天”，“雨天”预报为“雨天”的概率均为0.9；把“晴天”预报为“雨天”，把“雨天”预报为“晴天”的概率均为0.1。

试计算这种预报系统的信息价值率v (元/比特)。

解：α61max min ==j j
D D ，预报结果：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧3073023
雨晴，比特）元/(2119.0);()
(max α=-=Y X I R D D v 提示：天气信源：⎭⎬⎫⎩⎨⎧616
5雨晴，预报信道矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡9.01.01.09.0，失真矩阵：⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡00αα
4.10 设离散无记忆信源123 ()1/31/31/3a a a X P X ⎧⎫
⎡⎤=⎨⎬⎢
⎥
⎣⎦⎩⎭
其失真度为汉明失真度。

(1) 求()m in m in ,D R D ，并写出相应试验信道的信道矩阵； (2) 求()m ax m ax ,D R D ，并写出相应试验信道的信道矩阵；
(3) 若允许平均失真度3/1=D ，试问信源的每一个信源符号平均最少由几个
二进制码符号表示？
解：(1)矩阵为符号，相应的试验信道比特/585.1)(,0min min ==D R D ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡100010001 (2)不唯一，相应的试验信道矩阵0)(,3
2
max max ==D R D
(3)由教材例题可知符号奈特/)1ln()1(2
ln 3ln )(D D D
D D R --++=，
符号比特符号奈特/331.0/231.0)3
1
(==R ，因此每个信源符号最少要用0.331个二进制码表示。

4.11 见教材例题。

第五章习题
5.1
设有信源1
234567 ()0.20.190.180.170.150.10.01X a a a a a a a P X ⎛⎫⎧⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
(1) 求信源熵)(X H ；
(2) 编二进制香农码；
(3) 计算其平均码长及编码效率。

解：(1) 2.609比特/信源符号
(2) 码字：1
23456700000101110010111101111110x x x x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
(3) 平均码长3.14比特/符号，编码效率83.09%
5.2 对题5.1的信源编二进制费诺码，计算其编码效率。

解：(1) 码字：12
34567000100111011011101111x x x x x x x ⎛⎫
⎪⎝⎭，
(2) 平均码长2.74比特/符号，编码效率95.22%
5.3
对题5.1的信源分别编二进制和三进制赫夫曼码，计算各自的平均码长及编码效率。

解：二进制码码字：123
4567101100000101001100111x x x x x x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
平均码长2.72比特/符号，编码效率95.92%
三进制码码字：12345672000102101112x x x x x x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 平均码长1.8比特/符号，编码效率91.45%
5.4 设信源
1234
567811111111()24
816
32
64128128a a a a a a a a X P X ⎧⎫
⎛⎫⎪⎪
=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
(1) 计算信源熵；
(2) 编二进制香农码和二进制费诺码；
(3) 计算二进制香农码和费诺码的平均码长和编码效率； (4) 编三进制费诺码；
(5) 计算三进制费诺码的平均码长和编码效率。

解：(1) 984375.1)( X H (比特/符号)
(3) 984375.1=K (比特/符号)，编码效率：%100%100=⨯=
K
η 二元费诺码码字与香农码相同，顾二者平均码长和编码效率相同。

(5) 328125.1=K ，(比特/符号)，编码效率：%27.94%1003
log 2=⨯=K η 5.5 略
5.6 有二元平稳马氏链，已知8.0)0(=p ，7.0)11(=p ，求它的符号熵。

用三个
符号合成一个来编二进制哈夫曼码，求新符号的平均码字长度和编码效率。

（略）
5.7 对题5.6的信源进行游程编码。

若“0”游程长度的截止值为16，“1”游程长度的截止值为8，求编码效率。

（略）
5.8 选择帧长N =63
(1) 对001000000000000000000000000000000100000000000000000000000000000编D L -码； (2) 对100001000010110000000001001000010100100000000111000001000000001编D L -码，再译
码；
(3) 对000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000编D L -码； (4) 对10100011010111000110001110100110000111101100101000110101011010010 编D L -码； (5) 对上述结果进行讨论。

解：(1) Q 值：2；Q 的长度：6)163(log 2=+，Q 的编码：000010, 34,321==n n
5302134113=⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T ；T 的长度：11263log 2=⎥⎥⎤⎢⎢
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ T 的编码：010********
D L -码：00001001000010010
(2) (a)编码：
Q 值：15；Q 的长度：6)163(log 2=+，Q 的编码：001111
470
,289,769,646,959920
9305274991200240397990445140676848453891061765010150595912541868563856710078887256578001009471287495120100715
62
145313471246114510369338317266235134123102510=++++++++++++++=++++++++++++++=C C C C C C C C C C C C C C C T
T 的长度：⎡⎤47698951221317342log 1563log 22==⎥⎥⎤
⎢⎢
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
T 的编码：
010,1011,0111, 1110,1011,1111,1110,0000,0000,0000,0000,0000
L-D 码：
0,0111,1010,1011,0111, 1110,1011,1111,1110,0000,0000,0000,0000,0000 (b) 译码：Q 码001111，Q=15
1562
93,052,749,919,920C =，15
63122,131,734,269,895C = 显然，1515
6263C T C <<，故1563n =
15
16295,646,769,289,47093,052,749,919,920
2,594,019,369,550
T T C =-=-=
14532,403,979,904,200C =， 14543,245,372,870,670C = 1414C T C <<，所以54n =
13 47 140676848445190,039,465,350 192,928,249,269 48 12 46 3891061765549,362,616,905 52,251,400,851 47 11 45 1015059591010,451,999,250 13,340,783,196 46 10 36 254186856301,403,340 348,330,136 37
9 33 3856710047,216,484 52,451,256 34
8 31 78887258,649,384 10,518,300 32
7 26 657800760,659 888,030 27
6 23 100947102,859 134,596 24
5 13 12871,912 2,002 14
4 12 49562
5 715 13
3 10 120130 165 11
2 5 1010 15 6
1 0 0 0 1 1
100001000010110000000001001000010100100000000111000001000000001
(3) Q的编码：000000；T的编码：无。

L-D码：000000
(4) 略
(5) L-D编码适合于冗余位较多或较少的情况。

N一定,Q的长度确定。

T
的长度取决于Q
C，当Q=[1/2N]时，Q N C最大，T的位数最长。

N
5.9将幅度为3.25V、频率为800Hz的正弦信号输入采样频率为8kHz采样保持
器后通过一个如题图5.1所示量化数为8的中升均匀量化器。

试画出均匀量化器的输出波形。

题图5.1
解：采样频率是正弦信号频率的10倍，每个正弦周期内有10个采样点，采样值及其量化值如下表所示：
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 5
sin
25.3πi x i = 0 1.91 3.09 3.09 1.91 0
-1.91 -3.09 -3.09 -1.91
qi x
0.5 1.5
3.5
3.5
1.5 -0.5 -1.5
-3.5
-3.5
-1.5
均匀量化器输出如下图示：
5.10 已知某采样时刻的信号值x 的概率密度函数)(x p 如题图5.2所示，将x 通过
一个量化数为4的中升均匀量化器得到输出q x 。

试求：
(1) 输出q x 的平均功率][2
q x E S =；
(2) 量化噪声x x e q -=的平均功率][2e E N q =； (3) 量化信噪比q N S /。

题图5.2
解：依题意，均匀量化器的4个量化区间是
]21,1[--、]0,21[-、]21,0[、]1,2
1
[，
4个量化电平是
431-=q x 、412-=q x 、413=q x 、4
34=q x 。

由图示概率密度函数
可知，采样值x 落入4个区间的概率是
81
)(1
2
1
41===⎰dx x p P P 、8
3)(21
032===⎰dx x p P P 因此
(1) 输出q x 的平均功率∑===4
1
2
2
][i qi i q
x P x E S
])43(81)41(83[222⨯+⨯⨯=16
3=
(2) 量化噪声x x e q -=的平均功率∑∑==-===4
1
241
2
2
)(][i qi i i i q x x P e P e E N
])43
()1()41()1([2212
1221
dx x x dx x x --+--⨯=⎰⎰
在第一个积分中令41-=x t ，在第二个积分中令43
-=x t ，得
])41()43([2241
4
12
4141dt t x dt t t N q ⎰⎰---+-⨯=
dt t t 2414
1)21(2⎰--=
48
1= (3) 量化信噪比948
1/163/==
q N S 换算成分贝值dB N S q 54.99lg 10/≈=
5.11 在CD 播放机中，假设音乐是均匀分布，采样频率为44.1kHz ，采用16比
特的中升均匀量化器进行量化。

试确定50分钟音乐所需要的比特数，并求量化信噪比q N S /。

解：(1) Gbit 12.2605016101.443≈⨯⨯⨯⨯
(2) 量化级数162=M ，对于均匀量化器，当输入为均匀分布时，其量化信
噪比
3222/==M N S q
换算成分贝值dB N S q 33.962lg 320/≈=
5.12 采用13折线A 律非均匀量化编码，设最小量化间隔为∆，已知某采样时
刻的信号值∆635=x 。

(1) 试求该非均匀量化编码c ，并求其量化噪声e ；
(2) 试求对应于该非均匀量化编码的12位均匀量化编码c '。

解：(1) 由于0>x ，极性码17=c ；
取第1段与第8段的中位第5段进行比较，由于∆∆128635>=x ，所以16=c ； 取第5段与第8段的中位第7段进行比较，由于∆∆512635>=x ，所以15=c ； 取第7段与第8段的中位第8段进行比较，由于∆∆1024635<=x ，所以04=c ， 段落码110456=c c c ；
第7段的起始量化值为∆512，量化间隔为∆32；与段内码最高位权值比较，由于
∆∆∆∆∆∆∆24016256123512635512=-<=-=-x ，所以03=c ；
与段内码次高位权值比较，由于
∆∆∆∆∆11216128123512=->=-x ，所以12=c ；
与段内码次高位和第三位权值之和比较，由于
∆∆∆∆∆∆1761664128123512=-+<=-x ，所以01=c ；
与段内码次高位和最低位权值之和比较，由于
∆∆∆∆∆∆1441632128123512=-+<=-x ，所以00=c ，
段内码01000123=c c c c ；
因此，非均匀量化编码1110010001234567==c c c c c c c c c ； 量化噪声∆∆∆∆1611635624<=-=-=x x e q ；
(2) 12位均匀量化编码00101001111101234567891011
=''''''''''''='c c c c c c c c c c c c c 。

5.13 将正弦信号)1600sin()(t t x π=输入采样频率为8kHz 采样保持器后通过A 律13
折线非均匀量化编码器，设该编码器的输入范围是[-1，1]。

试求在一个周期内信号值9,,1,0),2.0sin( ==i i x i π的非均匀量化编码9,,1,0, =i c i 。

解：采样频率是正弦信号频率的10倍，每个正弦周期内有10个采样点，采
5.14 将正弦信号ft A t x π2sin )(=进行增量调制，量化增量∆和采样频率s f 的选择既
要保证不过载，又要保证不致因振幅太小而无法工作。

试证明f f s π>。

证：为保证不过载，
s f fA ft fA dt
t dx ∆πππ<==2)2cos(2)(max max
，即f
f A s
π∆2<
为保证振幅足以分辨，2
∆
>A
故
f
f A s
π∆∆
22<
<，即f f s π>
5.15 将正弦信号)400sin(25.0)(t t x π=输入采样频率为4kHz 采样保持器后通过增量
调制器，设该调制器的初始量化00=q d ，量化增量125.0=∆。

试求在半个周期内信号值9,,1,0),1.0sin(25.0 ==i i x i π的增量调制编码i c 和量化值9,,1,0, ='i x i 。

解：采样频率是正弦信号频率的20倍，半个周期内有10个采样点，采样值、
增量调制编码及量化值如下表所示：
5.16 将正弦信号)400sin(25.0)(t t x π=输入采样频率为4kHz 采样保持器后通过差分
脉冲编码调制器，设该调制器的初始值00=q d ，0~
0=x ，采用码长为4的均匀量化编码，量化间隔03125.0=∆。

试求在半个周期内信号值
9,,1,0),1.0sin(25.0 ==i i x i π的差分脉冲编码i c 和量化值9,,1,0, ='i x i 。

解：采样频率是正弦信号频率的20倍，半个周期内有10个采样点，采样值、
5.17 2=M 的子带编码如题图5.3所示。

试证明要求)()(~z x z x =的低通滤波器
)(~)(z H z H l l 、和高通滤波器)(~
)(z H z H h h 、满足：
⎩⎨⎧=-+-=+0)(~
)()(~)(2
)(~
)()(~)(z H z H z H z H z H z H z H z H h h l l
h h l l
题图5.3
证：设)(z u l 、)(~z u l 、)(z u h 、)(~z u h
如图：~(z x )
(z x …
…
由抽取，得)]()()()([2
1
)(21
21
21
21
z x z H z x z H z u l l l --+=
)]()()()([2
1)(21
2
12121z x z H z x z H z u h h h --+=
由内插，得)]()()()([2
1)()(~2z x z H z x z H z u z u l
l l l --+== )]()()()([2
1)()(~2z x z H z x z H z u z u h
h h h --+== 令)(~)(~)(~)(~)(~z u z H z u z H z x h h l l += )]()()()()[(~21z x z H z x z H z H l l l --+=)]()()()()[(~
21z x z H z x z H z H h h h --++ )()](~)()(~)([21z x z H z H z H z H h h l l += )()](~
)()(~)([21z x z H z H z H z H h h l l --+-+ )(z x =
故⎩⎨⎧=-+-=+0
)(~
)()(~)(2)(~
)()(~)(z H z H z H z H z H z H z H z H h h l l h h l l
第六章习题
6.1 奇校验码码字是),,,,(110p m m m c k -= ,其中奇校验位p 满足方程
2 m od 1110=++++-p m m m k
证明奇校验码的检错能力与偶奇校验码的检错能力相同，但奇校验码不是线性分组码。

证明提示：
奇数个差错的发生总导致校验方程不满足。

全0向量不是奇校验码码字。

6.2 一个)2,6(线性分组码的一致校验矩阵为
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=011101010011000100014
32
1h h h h H (1)求4,3,2,1,=i h i 使该码的最小码距3min ≥d 。

(2)求该码的系统码生成矩阵s G 及其所有4个码字。

解题提示：
(1)对H 作行初等变换得
1213142310001100101010001000h h h H h h h h h ⎡
⎤⎢⎥+⎢⎥'=⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦
要使最小码距等于3，有11213423, , , h h h h h h h h ++++中任意两项为1，其余
为零。

当要使最小码距大于3，有11213423, , , h h h h h h h h ++++中三项或四项均为1，其余为零。

有上述关系可以求得一组或多组关于4,3,2,1,=i h i 的解。

(2)对H '作行初等变换得
()4233121101000101001001010001T k r
r h h h h h H Q I h h h ⨯++⎡⎤
⎢⎥+⎢⎥⎡⎤''=
=⎣⎦⎢⎥+⎢
⎥⎣
⎦
6.3 一个纠错码消息与码字的对应关系如下：
(00)—(00000)，(01)—(00111)，(10)—(11110)，(11)—(11001) (1)证明该码是线性分组码
(2)求该码的码长，编码效率和最小码距。

(3)求该码的生成矩阵和一致校验矩阵。

(4)构造该码BSC 上的标准阵列。

(5)若在转移概率310-=p 的BSC 上，消息等概发送，求用标准阵列译码后的码
字差错概率和消息比特差错概率。

(6)若在转移概率310-=p 的BSC 上消息0发送概率为8.0，消息1发送概率为
2.0，求用标准阵列译码后的码字差错概率和消息比特差错概率。

(7)若传送消息0出错的概率为410-，传送消息1出错的概率为210-，消息等概
发送，求用标准阵列译码后的码字差错概率和消息比特差错概率。

解题提示：
(1)任意两个码字的和是另一个码字且全零向量为码字。

(2)码长为向量长，即5n =。

码字数为4，故2log log 42
55
q M R n
=
=
=。

最小非零码字的重量为min 3w d ==。

(3)因为码字数为4，任意两非零码字构成生成矩阵的行向量1111000111G ⎡⎤=⎢⎥
⎣
⎦。

按G 与H 正交的条件，解得H 的一种可能情况等于111101100001101⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

(4)标准阵列见题表(3.1)。

题表(3.1) 标准阵列
(5)按题解(4)的标准阵列译码，记c A 是标准阵列中码字c 对应的列，E 是包括
无错图案和全部可纠正差错图案的集合，那么码字差错概率为
()()()543
2()1()()1()() 1()() (())1 14151214
W c c C c C e E c C e E P e P c P r c e A P c P e P c P e P c p p p p p ∈∈∈∈∈⎡⎤
=-=+∈=-⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤
=-⨯⨯-+-+-⎣⎦∑∑∑∑∑均匀分布，信道差错均匀分布
记消息比特差错概率为()b P e ，消息向量差错概率为()B P e ，注意到该码是非系统码以及消息向量长为2，则应有
()2
()()1()11()W B B b P e P e P c P e ==-=--
(
()111b P e p ==--(6)码字差错概率计算中
0()0.80.8P c =⨯，12()()0.80.2P c P c ==⨯，3()0.20.2P c =⨯
()
()()5
43
2()15121e E
P e p p p p p ∈=-+-+-∑
消息比特差错概率：
()()()()()()()()2
2
2
2
2
2
10.8810.2810.810.21p p p p p p --------
(7)码字差错概率计算中
0123()()()()14P c P c P c P c ====
()()224201021112101111101104
4P P P P P --------
--- 消息比特差错概率：
()()()()22
42442211111011081011081011044
-------
----⨯⨯--⨯⨯- 码字差错概率和消息比特差错概率相等。

6.4 证明),12(m m -最大长度码(simplex 码)可以由1阶)1,2(+m m Reed-Muller 码缩短
(shortening)构成。

证明提示：
证明一阶RM 缩短码是极长码等价于证明一阶RM 缩短码是汉明码的对偶码。

(21,)m n k n m =-=-汉明码的校验矩阵是其对偶码(21,)m m -的生成矩阵，可
表为H ，在汉明码的对偶码基础上构造一阶(2,1)m m +RM 码生成矩阵为G ，
11001101111
01m n
H ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦， (1)1
1
1100110
01101
01m n
G +⨯⎡⎤⎢⎥⎢
⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 显然RM 码的一位缩短码就是对偶汉明码的校验矩阵，所以命题得证。

6.5 证明线性分组码的码字重量或者为偶数(包括0)或者恰好一半为偶数(包括0)
另一半为奇数。

证明提示：
若码字重量全为奇数，则码不含全零码字，故不是线性码。

若码字重量全为偶数，则任意两偶数重量的码字c 与'c 相加仍为偶数重码字，故所有码字均可以是偶数重码字。

若0M 个偶数重量的码字集合{}c {c}和1M 个奇数重量码字为集合{}c '，则根据二元线性分组码的任意码字重量满足()()()()''2'H H H H w c c w c w c w c c +=+-⨯可
得：对固定的奇数重码字1c '有{}{}1
c c c ''+⊆，所以{}101c c M M '+=≤。

又对任意奇数重码字j c '，12,3,,j M =⋅⋅⋅，由1j c c θ'+≠而有，
{}{}{}112,3,,j c c j M c θ''+=⋅⋅⋅⊆-，所以1011M M -≤-，由此证明01M M =。

6.6一个通信系统消息比特速率为Kbps 10，信道为衰落信道，在衰落时间(最大为ms 2)内可以认为完全发生数据比特传输差错。

(1)求衰落导致的突发差错的突发比特长度。

(2)若采用Hamming 码和交织编码方法纠正突发差错，求Hamming 码的码长
和交织深度。

(3)若用分组码交织来纠正突发差错并限定交织深度不大于256，求合适的码
长和最小码距。

(4)若用BCH 码交织来纠正突发差错并限定交织深度不大于256，求合适的码
长和BCH 码生成多项式。

解题提示：
(1)突发长度为33101021020b -=⨯⨯⨯=bits 。

(2)汉明码可纠正t ＝1个差错，所以交织深度D 为/20b t =。

由于没有延迟限
制，所以任何码长汉明码均可。

(3)由()25625612b D t t d =⨯≤⨯≤⨯-⎡⎤⎣⎦，以及1d n k ≤-+设计。

6.7 若循环码以x x g +=1)(为生成多项式，则 (1)证明)(x g 可以构成任意长度的循环码； (2)求该码的一致校验多项式)(x h ； (3)证明该码等价为一个偶校验码。

解题提示：
(1)由1231(1)(1)n n n n x x x x x ----=-+++
+， 1x +总是1n x -的因子。

(2)一致效验多项式为21()1/()1n n h x x g x x x x -=-=+++。

(3)对生成矩阵作行初等变换总能获得偶校验码的生成矩阵形式。

(1)(1)1
10
00010
0010110000100100011000
1010
00
01100
011n n n n
-⨯-⨯⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦行初等变换
6.8 已知循环码生成多项式为41)(x x x g ++=，分别做
(1)求该码的最小码长n ，相应的一致校验多项式)(x h 和最小码距d ； (2)求该码的生成矩阵，一致校验矩阵，系统码生成矩阵；
(3)画出该码的k 级系统码编码电路图，给出编码电路的编码工作过程； (4)若消息为43)(x x x x m ++=，分别由编码电路和代数计算求其相应的码式
)(x c ；
(5)画出该码的伴随式计算电路图，给出伴随式计算电路的工作过程； (6)若错误图样为92)(x x x e +=，分别由伴随式计算电路和代数计算求其相应的
伴随式)(x s ；
(7)若消息长度大于4-n ，由(2)小题给出的编码电路产生的输出)(x v 是什么？
)(x v 仍可以用(5)小题给出的伴随式计算电路判断是否有传输差错吗？ 解题提示：
(1)最小码长为15。

最小码距为3。

(3)电路图题图(8.1)所示。

题图(8.1)
工作时序题表(8.1)所示。

题表(8.1)
(6)代数计算得92432()()mod ()()mod(1)s x e x g x x x x x x x x ==+++=++。

6.9 已知)5,8(线性分组码的生成矩阵为
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11110000
1000100001000100
0010001011100001G ，
(1)证明该码为循环码；
(2)求该码的生成多项式)(x g ，一致校验多项式)(x h 和最小码距d 。

解题提示：
(1)行等价生成矩阵为
58
111100000111100000111100000111100
0001111⨯⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2)生成多项式为23()1g x x x x =+++，校验多项式为45()1h x x x x =+++，最小码
距为2。

6.10 已知)4,7(Hamming 码生成多项式为321)(x x x g ++=，证明用此码进行交织深
度为3的交织后为生成多项式为963*1)()(x x x g x g ++==的)12,21(循环码。

证明提示：交织后的码字为
3696900010203369691011121323696920212223()()(1) ()(1) ()(1)
c x a a x a x a x x x x a a x a x a x x x x a a x a x a x x x =+++++++++++++++++
以及多项式211296691(1)(1)x x x x x x -=+++++。

6.11一通信系统信道为转移概率310-=p 的BSC ，求下列各码的重量分布
{}n i A i ,,2,1,0 , =和不可检差错概率。

(1))4,7(Hamming 码。

(2))3,7(最大长度码(simplex 码)。

(3))4,8(扩展Hamming 码。

(4))1,8(重复码。

(5))7,8(偶校验码。

解题提示：
(1)二元Hamming 码的重量分布多项式为：
()347177A x x x x =+++
(2))3,7(最大长度码是等重码，47A =。

(3))4,8(扩展Hamming 码扩展后，()48114A x x x =++
(4)因为只有两个码字00000000和11111111所以081, 1A A ==。

(5)因为是偶校验，可知码字重量为偶数
()224466
88881A x C x C x C x x =++++
6.12 证明),(k n 循环码可以检测出所有长度不大于k n -的突发差错。

证明提示：假设错误图样()()j e X X B X =, 01j n ≤≤-,()B X 次数等于或小于
1n k --，则()g X 除不尽()B X 。

又()g X 和j X 互素。

所以()()j e X X B X =不能被()g X 除尽。

6.13 Fire(法尔)码是常用于检测或纠正突发差错的),(k n 循环码，其生成多项式
)(x g 为
)()1()(x p x x g l ⋅+= 其中)(x p 为次数m (次数m 与l 互素)的不可约多项式，即)(x p 不能分解为次数更低的多项式的乘积。

(1)证明Fire 码码长)12 ,(-=m l LCM n ，这里),(b a LCM 表示b a ,两数的最小公倍
数。

(2)证明Fire 码可以检测出长度m l b +≤的单个突发差错。

证明提示(参考第12题)。

6.14 以太网协议所用的CRC 码是生成多项式)(x g 如下的二进制码
1)(245781011121622232632++++++++++++++=x x x x x x x x x x x x x x x g
(1)估计该码的不可检差错概率。

(2)如果分组长度限制为1024，如何改造此码最佳？ 解题提示：
(1)不可检错概率322-≤。

6.15 A TM 协议对帧头4字节(32比特)地址和路由信息校验所用的8比特CRC
码生成多项式为)(x g
1)(28+++=x x x x g
在实际应用中是以此码构造一个最小码距为4=d 的)32,40(码，讨论其构造方法。

解题提示：利用循环码缩短方法。

6.16 对如下由子生成元或生成序列确定的(A)(B)(C)(D)4个卷积码， (A))11()2,1( ),10()1,1(==g g ， (B))101()2,1( ),110()1,1(==g g ，
(C))101()3,1( ),111()2,1( ),111()1,1(===g g g ，
(D)(1,1)(10), (1,2)(00), (1,3)(01)g g g ===，(2,1)(11), (2,2)(10), (2,3)(10)g g g === 分别做
(1)求多项式生成矩阵)(x G ，生成矩阵∞G ，渐进编码效率R ，约束长度K ，状
态数M。

(2)画出简化型的编码电路图。

(3)画出开放型的状态转移图，栅格图。

(4)求自由距离f d 。

(5)求消息)100110(=u 的卷积码码字序列),,,(210 v v v v =。

(6)在栅格图上画出消息)100110(=u 的编码路径。

解题提示： (1)
(A)[]() 1 1G x x =+，R =1/2，12K m =+=，2M =，
(B)2
()1 1G x x x ⎡⎤=++⎣⎦
，R =1/2，13K m =+=，328M ==， 11 01 (1-)00 11 01 G A ∞⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥=⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦ 11 10 01 (1-)00 11 10 01 G B ∞⋅⋅⋅⎡⎤
⎢⎥=⋅⋅⋅⎢⎥
⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦
(2)简化型的编码电路图见题图(16-1A)和题图(16-1B)
1
v 2
v
1
v
2
v
题图(16-1A) 题图(16-1B)
(3)开放型的状态转移图和栅格图见题图(16-2A1)、图(16-2A2)和题图(16-2B1)图(16-2B2)。

(00/0,11/1)
(01/0,10/1)
题图(16-2A1)
S 1
S (00,11)
(01,10)
1234
题图(16-2A2)
(00/0,11/1)
(01/0,10/1)
(10/0,01/1)
(11/0,00/1)
题图(16-2B1)
1
2
3
4
S 1
S (00,11)
(01,10)
2
S 3
S (10,00)
(11,00)
题图(16-2B2)
(4)自由距离分别为：A-3，B-4，C-8，D-2。

(5)考虑补零，A ：11 01 00 11 10 01；B ：11 10 01 11 01 11 01。

6.17 举例说明(16)题(B)码是一个恶性码，即少数差错可能导致无穷多差错。

解题提示：考查寄存器状态为全1时输入导致的输出。

6.18 对题图(18)中的(A)，(B)两卷积码分别做
题图(6.18-A) 题图(6.18-B)
(1)求卷积码的生成序列),(j i g ，多项式生成矩阵)(x G ，生成矩阵∞G ，渐进编码
效率R ，约束长度K ，状态数M 。

(2)求自由距离f d 。

(3)画出开放型的状态转移图，栅格图。

(4)求消息)100110(=u 的卷积码码字序列),,,(210 v v v v =。

(5)在栅格图上画出消息)100110(=u 的编码路径。

(6)若消息)100110(=u 的相应码字序列),,,(210 v v v v =在BSC 上传送，差错图案
是)1000000( =e ，给出Viterbi 译码的译码过程和输出v
ˆ与u ˆ。

(7)判断是否是恶性码。

解题提示：
(1-A)(1,)(11)g =1，()1G x x =+，
，1k
R n
==，112, 2212A K n n =+===⨯=，122M ==。

11 00 00 11 00
G ∞⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2-A)自由距离为2。

6.19 第三代移动通信(3GPP)建议的21码率，约束长度9=K 的卷积码()(x G 八进
制表示)为
88)753())(2,1( , )561())(1,1(==x g x g (1)写出此码的)(x G 正规多项式表示式，求状态数M 。

(2)画出此码的电路图。

(3)求此码的标准Viterbi 译码在一个时隙内要做的ACS 操作数。

(4)若信道为转移概率310-=p 的BSC ，估计采用此码和Viterbi 译码后的误码率。

(5)若信道采用的调制方式为双极PSK ，估计信道转移概率为310-=p 时的编码
增益。

解题提示：
(1)88)753())(2,1( , )561())(1,1(==x g x g
234822
3
5
7
8
2(1,1)()(101110001)1 ,(1,2)()(111101011)1g x +x +x +x +x g x x x x x x x
=↔=↔++++++
()234823578
11G x +x +x +x +x x x x x x x ⎡⎤=++++++⎣⎦
(2)
(3)译码深度()101L n m =⨯⨯+比特
6.20 解释卷积码译码(如Viterbi 译码)为什么在译码端所用的记忆单元数越多(大
大于发送端的记忆单元数)，则获得的译码差错概率越小(越逼近理想最佳的最大似然译码)。

解题提示：当译码译码端所用的记忆单元数大于发送端的记忆单元数时，译
码序列就有充足的空间回到全零状态，如果发生错误译码，则错误序列也会汇合到全零状态。