2014-2015期末规范解答测试

2014-2015期末规范解答测试

1、如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？（sin15°=0.26,cos15°=0.97

1.414=）

此船不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险。

2、建造一个容积为16立方米，深为4米的长方体无盖水池，如果池底的造价为每平方米110元，池壁的造价为每平方米90元，求长方体的长和宽分别是多少时水池造价最低，最低造价为多少？

长方体的长和宽都是2米时水池造价最低，最低造价为3320元。

3、某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用n a 的信息如下图。 （1）求n a ；

（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利； （3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？ 解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：

12(1)2n a a n n =+-=

（2）设纯收入与年数n 的关系为f(n),则：

2(1)

()21[22]2520252

n n f n n n n n -=-+

⋅-=-- 由f(n)>0得n 2-20n+25<0

解得10n 10-<+又因为n N ∈,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利

（3）年平均收入为n )

n (f =20-25(n )202510n

+≤-⨯=

当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获

利最大。

4、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcos C －ccos （A+C ）

=3a cos B .

（I ）求cos B 的值；

（II ）若2=⋅，且6=a ，求b 的值.

5、如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，

PA=AD=2，BD=22.（1）求证：BD ⊥平面P AC ； （2）求二面角P —CD —B 余弦值的大小； （3）求点C 到平面PBD 的距离. 解证：（1）建立如图所示的直角坐标系， 则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）.

在R t △BAD 中，AD =2，BD =22，∴AB =2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0）， ∴)0,2,2(),0,2,2(),2,0,0(-===

∵0,0=∙=∙，即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC =A ，∴BD ⊥平面P AC . 解：（2）由（1）得)0,0,2(),2,2,0(-=-=.

设平面PCD 的法向量为),,(1z y x n =，则0,011=∙=∙CD n PD n ， 即⎩⎨

⎧=++-=-+00020220x z y ，∴⎩

⎨⎧==z y x 0

故平面PCD 的法向量可取为)1,1,0(1=n ∵P A ⊥平面ABCD ，

∴)01,0(=AP 为平面ABCD 的法向量.

设二面角P —CD —B 的大小为θ

，依题意可得2

2

cos =

=

θ . （3）由（Ⅰ）得)2,2,0(),2,0,2(-=-=，设平面PBD 的法向量为),,(2z y x n =， 则0,022=∙=∙PD n PB n ，即⎩⎨

⎧=-+=-+0

2200

202z y z x ，∴x =y =z ，故可取为)1,1,1(2=n . ……

∵)2,2,2(-=，∴C 到面PBD

的距离为3

3

2==

d 6、设p ：方程210x mx ++=有两个不等的负根，q ：方程2

44(2)10x m x +-+=无实根，

若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．

B

解：若方程2

10x mx ++=有两个不等的负根，则21240

m x x m ⎧∆=->⎨+=-<⎩， …

所以2m >，即:2p m >． …

若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则216(2)160m ∆=--<， …

即13m <<，所以:13p m <<． ……

因为p q ∨为真，则,p q 至少一个为真，又p q ∧为假，则,p q 至少一个为假． 所以,p q 一真一假，即“p 真q 假”或“p 假q 真”． …………

所以213m m m >⎧⎨≤≥⎩或或213

m m ≤⎧⎨<<⎩所以3m ≥或12m <≤．

故实数m 的取值范围为(1,2][3,)+∞ ．

7、如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右两个

焦点，A 、B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点)23,1(到F 1、F 2两点的

距离之和为4.（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标；

（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积.

解：（1）由题设知：2a = 4，即a = 2，将点)23

,1(代入椭圆方程得1)(2122

232=+b

，解得b 2 =

3∴c 2 = a 2－b 2 = 4－3 = 1 ，故椭圆方程为13

42

2=+y x ，焦点F 1、F 2的坐标分别为（-1，0）

和（1，0）

（2）由（Ⅰ）知)3,0(),0,2(B A -，23

=

=∴AB PQ k k ，∴PQ 所在直线方程为)1(2

3-=x y ， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=134

)1(23

2

2

y x x y 得093482=-+y y 设

P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则8

9

,232121-=⋅-

=+y y y y ，2

21894434)(2122121=⨯+=

-+=-∴y y y y y y

.2

21

2212212121211=⨯⨯=-⋅=

∴∆y y F F S PQ F