二次函数、二次方程、二次不等式的求解策略PPT优秀课件

C. －1< a <1
详解
D. 0≤a <1
函数f(x)=x2－2x +3在[0,a] 上有最大值3，最小值2, 则a的范围是( C )
A . a≥1
B. 0≤a ≤2 C. 1≤a ≤2 D. a ≤2
函数f(x)lo1g(x2ax2a)在(－∞,
2
－
1 2
)上单调递增，则实数a的
取值范围是____1_,_16_____.
思想分析、解决问题
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一、知识识记：
1.二次函数的三种解析式：
一般式： f(x)a2x b xc(a0)
顶点式： f(x)a(xh)2k(a0)
两根式：f(x ) a (x x 1 )x (x 2 )a ( 0 )
2.二次函数的图象及性质：
f(x)a2x b x c(a0 )
y
顶
点：
b 2a
,
4acb2 4a

递减区间：


,
b 2a

O
x
递增区间：
b 2a
,
3.三个“二次”的基本关系：
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3.三个“二次”的基本关系：
b24ac 0
0
0
【解】由 x2a x2x1 x2(a1)x10
则问题转化为：f(x)x2(a1)x10在 [0，2]上有实根,

0
则原题等价于
1 a 2
0

2
或
f (0) 1 0 f ( 2 ) 2 a 3 0
f (0)10 f (2)2a30
解：由题:奇函数f (x) 在R上是减函数, 则f (1－2x2 + 4a2) ≥ f ( 3－4ax)
∴1－2x2 + 4a2 ≤ 3－4ax ,即x2 －2ax + 1－2a2≥0对任意x∈[0,1]恒成立.
令g(x) = x2－2ax +1－2a2 = (x－a)2 +1－3a2, 其图象顶点横坐标为a .
则原题等价于抛物线在[－1,2]上与x轴无交点,
y
△<0, 即400 － 2×22(25－182) < 0, 解得：
0a 5 22 22
由

f f
(1) 0 (2) 0
,
解得： a
34 2
1 1 2
O
x
综上所述，实数a的取值范围是：｛a| 0a 5 22 或 a 34 ｝
f(x)mi n f(m) f(x)max f(n)
m b n 2a
f
(x)min
f
( b) 2a
f
(m)与f
(n)最大者
mO n x
b n 2a
f(x)mi n f(n)
f(x)max f(m)
动画演示
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例1：（2002年高考题）设 a 为实数，函数 f (x) = x2
B. a2xb xcp(a0)在 [m,n]上恒 成f(x 立 )在区间的 f(x)m 最 i n p大 即.值 可
注：数形结合思想、分类讨论思想的运用。
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例2：定义在R上的奇函数 f (x)，当x≥0时， f (x)是减函数，如果当
x[0,1] 时,不等式f (1－2x2 + 4a2) + f ( 4ax－3)≥0恒成立,求a的范围。
1）若a＝0， 则x ＝ － 1不满足
2）若a≠0， 此时则题中方程
1
O
x
一定要有解，并由两根之积 1 0 可知： a
f(x)的图象入上图所示的两种情形，则有：
f(0) f(1)0 ( 1 )( 2 a 2 ) 0 a 1
综上: a > 1
故选B
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详解:
1
由于函数f(x)lo1g(x2ax2a)在(－∞, －
解得：3a1或a3 故： a1
2
2
四、专题小结：
复习目标 知识识记 二次函数的区间最值 二次不等式恒成立问题 二次方程根的分布问题
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综上所述:
3a 4
（a 1） 2
函数 f(x) 的最小值f(x)min =
a2 1

（ 1 a 1）
2
(1) 当a≤0时，g(x)min= g(0)≥0，即1－2a2 ≥0, ∴
a0
2
3
(2) 当0 < a < 1时，g(x)min= g(a)≥0，即1－3a2 ≥0, ∴
0a 3
(3) 当a ≥ 1时，g(x)min= g(1)≥0，即a2 + a － 1≥0, 但a ≥ 1, ∴无解.
(一)二次不等式在R上恒成立 a2xb xc0(a0,xR)恒成 立 a 00 y
y
O
x
a2xb xc0(a0,xR)恒成 立 a 00 O (甲 ) x
(乙 )
(二)二次不等式在区间上恒成立： 化归为区间最值问题
A. a2xb xcp(a0)在 [m,n]上恒 成 f(x立 )在区间的 f(x)m 最 i n p小 即值 可
+ | x – a |+1 , x为实数。 （I）讨论f (x) 的奇偶性；
（II）求f (x) 的最小值。
解：（I）当 a = 0, f (x) 为偶函数；当 a≠0, 非奇非偶。
（II）( i ) 当 xa, f(x)x12 a3
y
2
4
若
a
1 2
,
f(x)m inf(a )a 2 1 .
详解
函数 f (x)=ax2 + b x + c (a <0)对任意实数 x 都有f (2－x)= f (2+x), 试
求满足不等式 f lo1 2(g x2x1 2) f lo1 2(g 2x2x8 5) 取值范围. 【解】 由题：函数 f (x)图象的对称轴方程是 x =2, 且开口向下，
由题：lo 1 2 x 2 g x 1 2 lo 1 2 2 x 2 g x 8 5 x 2 x 1 2 2 x 2 x 8 5 0
从而：1 14x1 14
4
4
已知函数 f(x ) lg a 2[ 1 ) (x 2 (a 1 )x 1 )].
的
二次函数、二次方程、二次不 等式
专 题 讲 义
内 容 分 析
函数是高中数学的重要部分，
它贯穿了整个高中数学的内容，也
是历年高考的重点及热点，通过这
一章学习及复习，同学们在解题中 要坚定不移地树立起“函数”这一 面 数学旗帜，能运用函数的思想及其
方法去分析、解决相关问题，本专
题借三个“二次”去研究函数问题.
y
y
y
y ax2 bxc
(a 0)的图象
x1 x2
O
xO
xO
x
方程ax2 bx c＝0的根
x1、2＝b
b2 4ac 2a
x1＝x2
b 2a
二
次 不 等
ax2 bxc 0 (a 0)的解集
x|x x 1 或 x x 2 x| xR,x2ba
f (k) 0
f (k2)

k
1


0 b 2a
k2
f (k2 ) 0 时，另一 根的范围。
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例2：已知曲线 x2 y2 a2(a0) ,与连结A(－1,1) , B(2,3)的线段 2
AB没有公共点，求实数a的取值范围。 【解】线段AB的方程为2x－3y+5=0 (－1≤ x≤2), 将之代入曲线 方程，化简得22x2 + 20x+25－18a2＝0. 令f (x) = 22x2 + 20x+25－18a2＝0 (－1≤ x≤2),
异号根
0 x1 x2
或c 0 0 a
(二)区间根问题：从△、顶点横坐标、 端点值三方面列不等式（组）
类 别
x1x2 k kx1x2 x1kx2
x1,x2(k1,k2)
y
y
y
y
x1, x2有且仅有一个
根在y区间(k1, k2 )内
图
象
x1 x2
O
k x
k x1 x2
〔I〕 f (x) 定义域为R，求a的范围；〔II〕 f (x) 值域为R，求a的范围.
【解】
〔I〕由题：
〔II〕 由题：
当a2 10,即a1时， 当a2 10,即a1时，
a1满足条件；
a 1 满足条件；
当a2 10,即a1时， 当a2 10,即a1时，
此时等价于
式
的 ax2 bxc 0
解 (a 0)的解集
x|x1xx2

集
无实根
R
二、三类重要题型(一)：二次函数的区间最值
求解二次函数 f(x)a2x b xc(a0 )在区间 m,n
最值，注意分顶点横坐标在区间的左、中、右三种
情况进行讨论。
y
类 别 最小值
最大值
b m 2a
O
x
若
a

1 2
,
f(x)min f(1 2)a4 3.
( ii ) 当 xa, f(x)x12 a3
2
4
若a


1
2,
f(x)min f(1 2)4 3a
若a


1 2
,
f(x)mi nf(a )a 2 1
y
O
x
总结
二、三类重要题型(二)：二次不等式恒成立问题
∴函数 f (x)在（－∞，2〕上是增函数。
lo1 2 g x2x1 2 lo1 2 g x1 2 21 4 lo1 21 4 g2
lo 1 2 2 g x2x8 5 lo 1 2 2 g x1 4 21 2 lo 1 21 2 g 1

a
2
1

0
0
a5或a1 3
综上：a 5或a 1
3
此时等价于
a 2
1
0
0
1 a 5
综上：1
a
3

5
3
设集合A{x,(y)|yx2a x2 ，}B {x ,y ()|y x 1 ,0 x ，2 }
若 AB ，求a的取值范围.
y
综上所述： 2 a 3
23
O1
x
二、三类重要题型(三)： 二次方程根的分布问题
(一)符号根问题：从△、x1+x2、 x1x2三方面列不等式（组）
0
两正根


x
1

x2
0
x1 x 2 0
两负根
0

x
1

x2

0
x1 x 2 0
2
2
)上单调递增，
y
则 x2ax2a在( , 1 ) 上递增
2
且恒大于0，如图，
1 O x
2
a
注意到界点则有： 2


1 2

f ( 1) 0

1,
1 6

2
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85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
O
x


充 要 条 件
0
f (k )

b

0 k
2a
0
f (k ) 0

b
k
2a
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O x1 k x2 x
k1 x1 x2
O
kx2
k1
O
k2 x
0

f
(k1)

0
f(k1)f(k2)0 或再检验 f (k1) 0、
复习目标
本
知识识记
专 题
二次函数的区间最值
二次不等式恒成立问题
目 录
二次方程根的分布问题
针对训练
专题总结
复习目标
掌握三个“二次”的基本关系，能利用这些关系解决相关问题 能熟练求解二次函数的区间最值、二次不等式恒成立、二次
方程根的分布问题
能运用这些知识解决其他相关问题 能学会用函数思想、数形结合思想、方程思想、等价转化的
22
2
三、针对训练：
若函数 f (x)=x2 + 2(a －1)x +2在(－∞,4] 上是减函数, 则a的范围是( B)
A . a≥3
B. a≤－3
C. a≤5
D. a≥5
详解若方Biblioteka 2ax2－x －1=0在(0 , 1]内恰有一解 ，则a的范围是( B )
A . a < － 1 B. a > 1
2
2
3 a （ a 1 ）
4
2
返回例1
类型2
详解:
因函数 f (x)=x2 + 2(a －1)x +2在(－∞,4] 上
是减函数, 如图 ：
则有： 2(a1) 4 2
a3
故选B
y
4
O
x
返回练习
详解:
若方程2ax2－x －1=0在(0 , 1]内恰有y一解 ， 令：f(x)= 2ax2－x －1，则：