人教版八年级数学上册期中复习训练讲义(有答案)

期中复习训练
一、知识框架：
二、知识概念：
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.
7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对
角线.
11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.
12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用
多边形覆盖平面，
13.公式与性质：
⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°
⑵三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)
n ·180°
⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.
⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)
n-条对角
线，把多边形分成(2)
n-个三角形.②n边形共有
(3)
2
n n-
条对角线.
一、知识框架：
二、知识概念：
1.基本定义：
⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.基本性质：
⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
3.全等三角形的判定定理：
⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
全等.
4.角平分线：
⑴画法：
⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
5.证明的基本方法：
⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
一、知识框架：
二、知识概念：
1.基本概念：
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合，这个图形就叫做轴对称图形.
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一 个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.
⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线.
⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫 做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做 底角.
⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
2.基本性质：
⑴对称的性质：
①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线.
②对称的图形都全等.
⑵线段垂直平分线的性质：
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质
①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.
②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.
⑷等腰三角形的性质：
①等腰三角形两腰相等.
②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.
③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.
④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.
⑸等边三角形的性质：
①等边三角形三边都相等.
②等边三角形三个内角都相等，都等于60°
③等边三角形每条边上都存在三线合一.
④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.
3.基本判定：
⑴等腰三角形的判定：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形.
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.
⑵等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形.
②三个角都相等的三角形是等边三角形.
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
4.基本方法：
⑴做已知直线的垂线：
⑵做已知线段的垂直平分线：
⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.
⑷作已知图形关于某直线的对称图形：
⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.
考点一、三角形、多边形的基本定义
【典型例题】
1、如图所示，三角形的个数是（）A．3B．4C．5D．6
2、以下是四位同学在钝角三角形ABC中画BC边上的高，其中画法正确的是（）
A．B．C．D．
3、如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC=4平方厘米，则S△BEF的值为（）
A．2平方厘米B．1平方厘米C．0.5平方厘米D．0.25平方厘米
4、下列图形不具有稳定性的是（）
A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形
5、如图，在直角三角形ABC中，∠BCA=90°，BC=3，D为AB上一点，连接CD，如果三角形BCD沿直线CD翻折后，点B恰好与边AC的中点E重合，那么点D 到直线AC的距离为．
6、如图，AD、CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12．（1）求△ABC 的面积；（2）求BC的长．
7、如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线．已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小．
8、△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C－∠B是否相等？若相等，请说明理由．
考点二、三角形边的求解
【典型例题】
1、下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
2、在下列所给条件中能够组成三角形的是（）A．三条线段的比是1：2：3B．三条线段的比是2：3：4C．三条线段的比是3：4：7D．三条线段的比是2：3：5
3、等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（）
A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．11cm或17cm
4、若三角形两边的长分别为7cm和2cm，第三边为奇数，则第三边的长为（）A．3 B．5 C．7 D．9
5、下列三条线段不能组成三角形的是（）A．a=b=m，c=2m（m＞0）B．a=8 b=10 c=5C．a：b：c=5：13：12D．a=n+1，b=n+2，c=n+3（n＞0）
6、如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（）A．2 B．3 C．4 D．8
7、三角形的两边分别为a和b（a＞b），则周长l的范围是（）A．2a＜l＜3bB．2a ＜l＜2（a+b）C．2a+b＜l＜a+2bD．2b＜l＜2（a+6）
8、一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为40 cm和30 cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是____．
9、已知a、b、c为△ABC的三边，化简：-＋= ．
10、“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框。

（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有_________种；
（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元?分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）
考点三、三角形、多边形角的求解
【典型例题】
1、已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．锐角三角形或钝角三角形
2、如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（）
A．160°B．150°C．140°D．130°
3、如图，一根直尺EF压在三角形30°的角∠BAC上，与两边AC、AB交于M、N，那么∠CME+∠BNF是（）
A．135°B．150°C．180°D．不能确定
4、如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC
的大小是（）
A．100°B．80°C．70°D．50°
（2）（3）（4）
5、一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
6、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）
A．40°B．35°C．30°D．25°
7、如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB于E，∠A=60°，∠BDC=95°，则∠BED的度数是．
8、如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=540°．
（6）（7）（8）
9、一个多边形的内角和等于它的外角和的6倍，它是几边形？
10、在△ABC中，∠A=∠B﹣10°，∠C=∠B﹣5°，求△ABC的各个内角的度数．
11、如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4，求x的值．
考点四、全等三角形的的证明及性质
【典型例题】
1、等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（）
A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．11cm或17cm
2、王老师一块教学用的三角形玻璃不小心打破了，他想再到玻璃店划一块同样大小的三角形玻璃，为了方便他只要带哪一块就可以（）
A．③B．②C．①D．都不行
3、已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）
A．50°B．58°C．60°D．72°
（2）（3）
4、两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；
②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=AC•BD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个 C．2个 D．3个
5、如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB＝ED；②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；
③折叠后得到的图形是轴对称图形；④△EBA和△EDC一定是全等三角形．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6、用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D′O′C′=∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（写出全等的简写）．
7、如图，△OAD≌△OBC，且∠O=58°，∠C=20°，则∠OAD=．
（5）（6）（7）
8、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为．
9、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10cm，OC=6cm．F是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上．已知A、Q两点间的距离是O、F两点间距离的a 倍．若用（a，t）表示经过时间t（s）时，△OCF、△FAQ、△CBQ中有两个三角形全等．请写出（a，t）的所有可能情况．
（8）（9）
10、已知：如图，BC∥EF，AD=BE，BC=EF，试说明△ABC≌△DEF．
11、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．
（1）试说明AE=CD；
（2）若AC=10cm，求BD的长．
12、在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明．
题设：；结论：．（均填写序号）
13、如图，在四边形ABCD中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位
的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．
（1）试证明：AD∥BC．
（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG 全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．考点五、角平分线的性质及应用
【典型例题】
1、若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC（）的交点．A．角平分线B．高线C．中线D．边的中垂线
2、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）
A．4 B．3 C．6 D．5
3、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）
A．10 B．7 C．5 D．4
4、如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB 于F，则下列结论中不正确的是（）
A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．AC=AF D．CH=HD
（2）（3）（4）
5、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD 的面积之比为．
6、已知如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB 是度．
（5）（6）
7、如图，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC，试说明：BE=CF．
8、如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．
9、如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC 的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，
试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．
考点六、轴对称、最短路径
【典型例题】
1、在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2、与点P(2，－5)关于x轴对称的点是（）
A．(－2，－5) B．(2，－5) C．(－2，5) D．(2，5)
3、在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
4、如图是一只停泊在平静水面上的小船，它的“倒影”应是图中的（）
A．B．C．D．
5、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E 是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°
6、如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）
A．B．C．D．
7、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°
8、已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1﹣b），则a b的值为．
9、如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，EF是对称轴．∠A=90°，∠AED=130°，∠C=45°，则∠BFC的度数为140°．
10、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=136°，∠B=∠E=90°，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为88°．11、如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）求出A1，B1，C1三点坐标；
（3）求△ABC的面积．
考点七、等腰（边）的性质及证明
【典型例题】
1、如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）
A．2个B．3个 C．4个 D．5个
2、已知坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个
3、已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是．
4、如图，已知直线L1∥L2，将等边三角形如图放置，若∠ɑ=40°，则∠β等于．
5、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为．
6、如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB=60°；③BF=AH；④△CFH是等边三角形；⑤连CG，则∠BGC=∠DGC．其中正确的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
7、如图，已知∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则
△A2019B2019A2019的边长为（）
A．4028 B．4030 C．22019D．22019
（6）（7）
8、如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为．
9、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，E是底边BC的延长线上的一点且CD=CE．（1）求证：△BDE是等腰三角形；（2）若∠A=36°，求∠ADE 的度数．
10、图1中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图2．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到过点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米（1）求AP长的取值范围；（2）当∠CPN=60°时，求AP的值．11、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）∠B=∠DEF．
12、如图1，D是边长为8cm的等边△ABC的边AB上的一点，DQ⊥AB交边BC 于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P．
（1）求证：△PQR是等边三角形；
（2）如图2，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度．
13、已知：四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，CH垂直平分BD（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若∠BCD=60°，求证：AB+AD=AC．
考点八、垂直平分线
【典型例题】
1、到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
2、如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于一半AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）
A．65°B．60°C．55°D．45°
3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
（2）（3）
4、如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
5、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE 的长为．
5、如图，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC 于D、E两点．若BC=21cm，则△BCE的周长是cm．
（4）（5）（6）
7、如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D 的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
8、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE 垂直平分AB，AB=10，△ACD的周长为5+5．（1）求∠B的度数；（2）求△ACB 的周长．
9、如图，△ABC中，∠BAC=110°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G 分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；（2）如果BC=10cm，求△DAF的周长．
10、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交直线BC于点M （1）如图（1），若∠A=40°，求∠NMB的大小．（2）如图（2），如果将（1）
中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．（3）你发现了什么规律？写出猜想并证明．
考点九、含30°的直角三角形
【典型例题】
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．其中DE是AB的中垂线，交AB于D，交AC于E，连接BE．若EC=2，则AC=（）A．3B．4C．5D．6
2、直角三角形一条直角边长为8cm，它所对的角为30°，则斜边为（ C ）A．12 cmB．4cmC．16cmD．8cm
3、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA垂足为D，若PC=4，则PD=。

4、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB于E，交AC于D，AD=2BC，
则∠A=______．
（3）（4）
5、在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=m，BC=n，CD是△ABC的边AB的高，则△ACD 的面积为（用含m，n的式子表示）．
6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求证：AD=3BD．
7、如图，在Rt△ABC中，点D在直角边BC上，DE平分∠ADB，∠1=∠2=∠3，AC=5cm．（1）求∠3的度数；（2）判断DE与AB的位置关系，并说明理由；（3）求BE的长．
8、如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F．
（1）试判断DF与EF的数量关系，并给出理由．
（2）若CF的长为2cm，试求等边三角形ABC的边长．
9、如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
10、如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD与Q，PQ=4，PE=1．
(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求证：∠BPQ=60°；(3)求AD的长．
一、选择题：
1．以下图形中对称轴的数量小于3的是（）
A．B．C．D．
2．如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE
3．如图，AD⊥BC，CE⊥BC，CH⊥AB，BG⊥AC，则在△ABC中，BC边上的高是（）
A．线段CE B．线段CH C．线段AD D．线段BG
（2）（3）
4．在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于（）
A．50°B．75°C．100°D．125°
5．已知三角形三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是（）
A．1＜a＜5 B．2＜a＜6 C．3＜a＜7 D．4＜a＜6
6．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）
A．①B．②C．①②D．①②③
9．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE=AF．如果∠AED=62°，那么∠DBF=（）
A．62°B．38°C．28°D．26°
10．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=46°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）
A．30°B．26°C．23°D．20°
（8）（9）（10）11．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（）
A．32.5°B．57.5°C．65°或57.5°D．32.5°或57.5°
12．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，依此类推，若OA1=1，则△A2019B2019A2019的边长为（）
A．2019 B．4032 C．22019D．22019
二、填空题：
13．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是．（不添加辅助线）
14．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为．
15．如图，∠DAB=∠EAC=60°，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，AB和CD
相交于P，则∠DOE的度数是°．
（13）（14）（15）
16．如图所示，已知O是四边形ABCD内一点，OB=OC=OD，∠BCD=∠BAD=75°，则∠ADO+∠ABO=度．
17．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠DBC=∠D=60°，AE平分∠BAC，若BD=8cm，DE=3cm，则BC=．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有个．
（16）（17）（18）
三、解答题：
19．如图，在10×10的网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A、B和直线l．求作点A关于直线l的对称点A1。

20．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=25°，求∠BFC度数．
21．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，求∠A的度数．
22．如图，△ABC的三条内角平分线相交于点O，过点O作OE⊥BC于E点，求证：∠BOD=∠COE．
23．如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC 和等边△DCE，连结AE、BD．
（1）求证：BD=AE；
（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN 的形状，并说明理由．
24．如图，已知等边△ABC，延长BC至D，E在AB上，使AE=CD，连接DE，交
AC于F点，过E作EG⊥AC于G点．求证：FG=AC．
第15讲期中复习训练
考点一、三角形、多边形的基本定义
【典型例题】
1、C
2、B
3、B
4、A
5、2．
6、
7、∵∠BAC=82°，∠C=40°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C=58°，
∵AE 是△ABC 的角平分线，∴∠BAE=∠CAE=
2
1∠BAC=41°， ∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-58°=32°，∴∠DAE=∠BAE －∠BAD=41°－32°=9°． 8、
考点二、三角形边的求解
【典型例题】
1、D
2、B
3、B
4、C
5、A
6、C
7、B
8、10cm ＜x ＜70cm __．
9、
10、解：（1）三角形的第三边x 满足：7-3＜x ＜3+7，即4＜x ＜10， 因为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9，
故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种；
（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9=51（分米）， ∴51×8=408（元），
答：至少需要408元购买材料。

考点三、三角形、多边形角的求解
【典型例题】
2、D
3、B
4、A
5、C
6、A
7、110°．
8、540°．
9、解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°=6×360°，
解得n=14．
故答案为：它是十四边形．
10、解：∵∠A=∠B﹣10°，∠C=∠B﹣5°，
∴∠B﹣10°+∠B+∠B﹣5°=180°，
∴∠B=65°，
∴∠A=65°﹣10°=55°，∠C=65°﹣5°=60°，
∴△ABC的内角的度数为55°，60°，65°．
11、解：因为五边形的内角和是540°，
则每个内角为540°÷5=108°，
∴∠E=∠C=108°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，由三角形内角和定理可知，∠1=∠2=∠3=∠4=÷2=36°，
∴x=∠EDC﹣∠1﹣∠3=108°﹣36°﹣36°=36°．
考点四、全等三角形的的证明及性质
【典型例题】
1、C
2、A
3、B
4、D
6、SSS
7、102°．
8、92°．
9、（1，4），（，5），（0，10）．
10、解：∵BC∥EF，
∴∠CBA=∠FED，
∵AD=BE，
∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE，
在△ABC和△DEF中，∵，
∴△ABC≌△DEF．
11、【解答】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD．
（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，
∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL）
∴BD=EC=BC=AC，且AC=10cm．
∴BD=5cm．
12、
13、【解答】（1）证明：在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v，
当0＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，
∴v=3；
若△DEG≌△BGF，则，
∴，∴（舍去）；
当＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，
∴v=；
若△DEG≌△BGF，则，
∴v=1．
综上，点G的速度为3或或1．
考点五、角平分线的性质及应用
【典型例题】
1、A
2、B
3、C
4、D
5、3：2．
6、35度．
7、解：∵∠B=90°，
∴BD⊥AB．
∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC，
∴DB=DF．
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
DE＝DC；DB＝DF，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），
∴BE=CF．
8、
9、
考点六、轴对称、最短路径
【典型例题】
1、A
2、D
3、B
4、B
5、C
6、B
7、B
8、25．
9、140°．
10、88°．
11、解：（1）如图所示；
（2）由图可知，A1（﹣2，﹣3），B1（﹣3，﹣1），C1（﹣1，﹣1）；
（3）S△ABC=2×2﹣×1×1﹣×1×2﹣×1×2=4﹣﹣1﹣1=．
考点七、等腰（边）的性质及证明
【典型例题】
1、D
2、C
3、50或80°．
4、20°．
5、63°或27°．
6、D
7、C
8、24．
10、
11、
12、
13、
考点八、垂直平分线
【典型例题】
1、D
2、A
3、D
4、B
5、6．
6、53 cm．
7、解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．
P和P1都是所求的点．
8、
9、解：（1）设∠B=x，∠C=y．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴110°+∠B+∠C=180°，∴x+y=70°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，
∴DA=BD，FA=FC，
∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．
∴∠DAF=∠BAC﹣（x+y）=110°﹣70°=40°．
（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，
∴DA=BD，FA=FC，
∴△DAF的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）．
10、
考点九、含30°的直角三角形
【典型例题】
2、C
3、 2 。

4、___15°___．
5、
6、
7、
8、解：（1）DF=EF．
理由：∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=DC，∠BAD=∠DAC=60°/2=30°，
∴∠CAE=60°﹣30°=30°，
即∠DAC=∠CAE，
∴AC垂直平分DE，
∴DF=EF；
（2）在Rt△DFC中，∵∠FCD=60°，∠CFD=90°，∴∠CDF=90°﹣60°=30°，
∵CF=2cm，
∴DC=4cm，
∴BC=2DC=2×4=8cm，
即等边三角形ABC的边长为8cm．
9、解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
10、（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
又∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD，
(2) 如图所示：
∵△BAE≌△ACD，∴∠1=∠2，
∵∠BAE=∠1+∠BAD=60°，
∴∠BAE=∠2+∠BAD=60°，
∴∠BPQ=60°；
（3）∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
又∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=2×4=8，
∴BE=BP+PE=8+1=9，
由（1）知△BAE≌△ACD，
∴AD=BE=9．
一、选择题
1．以下图形中对称轴的数量小于3的是（）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据对称轴的概念求解．
【解答】解：A、有4条对称轴；
B、有6条对称轴；
C、有4条对称轴；
D、有2条对称轴．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）
A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，
∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，
故A、B、C正确；
AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．
故选D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角正确确定对应边是解题的关键．
3．如图，AD⊥BC，CE⊥BC，CH⊥AB，BG⊥AC，则在△ABC中，BC边上的高是（）
A．线段CE B．线段CH C．线段AD D．线段BG
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】如图，由于AD⊥BC，那么根据三角形的高的定义即可确定在△ABC中，BC边上的高．
【解答】解：如图，∵AD⊥BC，
∴在△ABC中，BC边上的高为线段AD．
故选C．
【点评】此题比较简单，主要考查了三角形的高的定义，利用定义即可判定AD 是其高线．
4．在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于（）
A．50°B．75°C．100° D．125°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理计算．
【解答】解：设∠C=x°，则∠B=x°+25°．
根据三角形的内角和定理得x+x+25=180﹣55，
x=50．
则x+25=75．
故选B．
【点评】能够用一个未知数表示其中的未知角，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．
5．已知三角形三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是（）
A．1＜a＜5 B．2＜a＜6 C．3＜a＜7 D．4＜a＜6
【考点】三角形三边关系；解一元一次不等式组．
【分析】本题可根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式：4﹣2＜a﹣1＜4+2，化简即可得出a的取值范围．
【解答】解：依题意得：4﹣2＜a﹣1＜4+2，
即：2＜a﹣1＜6，
∴3＜a＜7．
故选：C．。