最新-2012考研数学二考纲对比汇总

2011-2012考研数学二考纲对比
2012与2011年考研数学大纲变化对比：数二（文字版）
来源：万学教育【爱学习，爱考试大】 2011年9月16日
章节2011年数学考试大纲考试内容和考
试要求2012年数学考试大纲考试内容和考
试要求
变化对比
高等数学一、
函
数、
极
限、
连续
考试内容
函数的概念及表示法函数的有界
性、单调性、周期性和奇偶性复
合函数、反函数、分段函数和隐函
数基本初等函数的性质及其图形
初等函数函数关系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性
质函数的左极限和右极限无穷
小量和无穷大量的概念及其关系
无穷小量的性质及无穷小量的比较
极限的四则运算极限存在的两个
准则：单调有界准则和夹逼准则
两个重要极限:
函数连续的概念函数间断点的类
型初等函数的连续性闭区间上
连续函数的性质
考试要求
1．理解函数的概念，掌握函
数的表示法，会建立应用问题的函
数关系.
2．了解函数的有界性、单调
性、周期性和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数
的概念，了解反函数及隐函数的概
念．
4．掌握基本初等函数的性质
及其图形，了解初等函数的概念.
5．理解极限的概念，理解函
数左极限与右极限的概念以
及函数极限存在与左、右极限之间
的关系．
6．掌握极限的性质及四则运
算法则.
7．掌握极限存在的两个准
则，并会利用它们求极限，掌握利
用两个重要极限求极限的方法．
8．理解无穷小量、无穷大量
的概念，掌握无穷小量的比较方
法，会用等价无穷小量求极限．
9．理解函数连续性的概念
（含左连续与右连续），会判别函
数间断点的类型．
10．了解连续函数的性质和初
等函数的连续性，理解闭区间上连
续函数的性质（有界性、最大值和
最小值定理、介值定理），并会应
用这些性质．
考试内容
函数的概念及表示法函数的有界
性、单调性、周期性和奇偶性复
合函数、反函数、分段函数和隐函
数基本初等函数的性质及其图形
初等函数函数关系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性
质函数的左极限和右极限无穷
小量和无穷大量的概念及其关系
无穷小量的性质及无穷小量的比较
极限的四则运算极限存在的两个
准则：单调有界准则和夹逼准则
两个重要极限:
函数连续的概念函数间断点的类
型初等函数的连续性闭区间上
连续函数的性质
考试要求
1．理解函数的概念，掌握函数
的表示法，会建立应用问题的函数
关系.
2．了解函数的有界性、单调
性、周期性和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数的
概念，了解反函数及隐函数的概
念．
4．掌握基本初等函数的性质及
其图形，了解初等函数的概念.
5．理解极限的概念，理解函数
左极限与右极限的概念以
及函数极限存在与左、右极限之间
的关系．
6．掌握极限的性质及四则运算
法则.
7．掌握极限存在的两个准则，
并会利用它们求极限，掌握利用两
个重要极限求极限的方法．
8．理解无穷小量、无穷大量的
概念，掌握无穷小量的比较方法，
会用等价无穷小量求极限．
9．理解函数连续性的概念（含
左连续与右连续），会判别函数间
断点的类型．
10．了解连续函数的性质和初
等函数的连续性，理解闭区间上连
续函数的性质（有界性、最大值和
最小值定理、介值定理），并会应
用这些性质．
对比：无变化
二、
一元
函数
微分
考试内容
导数和微分的概念导数的几何意
义和物理意义函数的可导性与连
续性之间的关系平面曲线的切线
考试内容
导数和微分的概念导数的几何意
义和物理意义函数的可导性与连
续性之间的关系平面曲线的切线
对比：无变化
学和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反
函数、隐函数以及参数方程所确定
的函数的微分法高阶导数一阶微
分形式的不变性微分中值定理
洛必达（L’Hospit al）法则函数单
调性的判别函数的极值函数图形
的凹凸性、拐点及渐近线函数图
形的描绘函数的最大值与最小值
弧微分曲率的概念曲率圆与曲
率半径
考试要求
1.理解导数和微分的概念，理解导
数与微分的关系，理解导数的几何
意义，会求平面曲线的切线方程和
法线方程，了解导数的物理意义，
会用导数描述一些物理量，理解函
数的可导性与连续性之间的关系．
2．掌握导数的四则运算法则和复
合函数的求导法则，掌握基本初等
函数的导数公式．了解微分的四则
运算法则和一阶微分形式的不变
性，会求函数的微分．
3．了解高阶导数的概念，会求简
单函数的高阶导数．
4．会求分段函数的导数，会求隐
函数和由参数方程所确定的函数以
及反函数的导数.
5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉
格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒
(Taylor)定理，了解并会用柯西
(Cauchy)中值定理．
6．掌握用洛必达法则求未定式极
限的方法．
7．理解函数的极值概念，掌握用
导数判断函数的单调性和求函数极
值的方法，掌握函数最大值和最小
值的求法及其应用．
8．会用导数判断函数图形的凹凸
性（注：在区间内，设函数具有二
阶导数。

当时，的图形是凹的；当
时，的图形是凸的），会求函数图
形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．
9．了解曲率、曲率圆与曲率半径
的概念，会计算曲率和曲率半径．和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲
率半径
考试要求
1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，
会求函数的微分．
3．了解高阶导数的概念，会求简单
函数的高阶导数．
4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及
反函数的导数.
5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒
(Taylor)定理，了解并会用柯西
(Cauchy)中值定理．
6．掌握用洛必达法则求未定式极限
的方法．
7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值
的求法及其应用．
8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数。

当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．
三、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的概念不定积
分的基本性质基本积分公式定
积分的概念和基本性质定积分中
值定理积分上限的函数及其导数
牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）
公式不定积分和定积分的换元积
分法与分部积分法有理函数、三
角函数的有理式和简单无理函数的
积分反常（广义）积分定积分
的应用
考试内容
原函数和不定积分的概念不定积
分的基本性质基本积分公式定
积分的概念和基本性质定积分中
值定理积分上限的函数及其导数
牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公
式不定积分和定积分的换元积分
法与分部积分法有理函数、三角
函数的有理式和简单无理函数的积
分反常（广义）积分定积分的
应用
对比：无变化
考试要求
1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分
部积分法．
3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算
反常积分．
6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．
考试要求
1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部
积分法．
3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反
常积分．
6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．
四、向量代数和空间解析几何
考试内容
向量的概念向量的线性运算向
量的数量积和向量积向量的混合
积两向量垂直、平行的条件两
向量的夹角向量的坐标表达式及
其运算单位向量方向数与方向
余弦曲面方程和空间曲线方程的
概念平面方程直线方程平面与
平面、平面与直线、直线与直线的
夹角以及平行、垂直的条件点到
平面和点到直线的距离球面柱
面旋转曲面常用的二次曲面方
程及其图形空间曲线的参数方程
和一般方程空间曲线在坐标面上
的投影曲线方程
考试要求
1.理解空间直角坐标系，理解向量
的概念及其表示.
2.掌握向量的运算（线性运算、数
量积、向量积、混合积），了解两
个向量垂直、平行的条件.
3.理解单位向量、方向数与方向余
弦、向量的坐标表达式，掌握用坐
标表达式进行向量运算的方法.
4.掌握平面方程和直线方程及其求
法.
5．会求平面与平面、平面与直
线、直线与直线之间的夹角，并会
利用平面、直线的相互关系（平
行、垂直、相交等））解决有关问
题.
6．会求点到直线以及点到平面的
距离.
7.了解曲面方程和空间曲线方程的
概念.
8.了解常用二次曲面的方程及其图
形，会求简单的柱面和旋转曲面的
方程.
考试内容
向量的概念向量的线性运算向
量的数量积和向量积向量的混合
积两向量垂直、平行的条件两
向量的夹角向量的坐标表达式及
其运算单位向量方向数与方向
余弦曲面方程和空间曲线方程的
概念平面方程直线方程平面与
平面、平面与直线、直线与直线的
夹角以及平行、垂直的条件点到
平面和点到直线的距离球面柱
面旋转曲面常用的二次曲面方
程及其图形空间曲线的参数方程
和一般方程空间曲线在坐标面上
的投影曲线方程
考试要求
1.理解空间直角坐标系，理解向量的
概念及其表示.
2.掌握向量的运算（线性运算、数量
积、向量积、混合积），了解两个
向量垂直、平行的条件.
3.理解单位向量、方向数与方向余
弦、向量的坐标表达式，掌握用坐
标表达式进行向量运算的方法.
4.掌握平面方程和直线方程及其求
法.
5．会求平面与平面、平面与直线、
直线与直线之间的夹角，并会利用
平面、直线的相互关系（平行、垂
直、相交等）解决有关问题.
6．会求点到直线以及点到平面的距
离.
7.了解曲面方程和空间曲线方程的概
念.
8.了解常用二次曲面的方程及其图
形，会求简单的柱面和旋转曲面的
方程.
9.了解空间曲线的参数方程和一般方
对比：无变化
9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程. 程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程.
五、多元函数微分学
考试内容
多元函数的概念二元函数的几何
意义二元函数的极限与连续的概
念有界闭区域上多元连续函数的性
质多元函数的偏导数和全微分
全微分存在的必要条件和充分条件
多元复合函数、隐函数的求导法二
阶偏导数方向导数和梯度空间
曲线的切线和法平面曲面的切平
面和法线二元函数的二阶泰勒公
式多元函数的极值和条件极值
多元函数的最大值、最小值及其简
单应用
考试要求
1．理解多元函数的概念，理解二
元函数的几何意义.
2．了解二元函数的极限与连续的
概念以及有界闭区域上连续函数的
性质.
3．理解多元函数偏导数和全微分
的概念，会求全微分，了解全微分
存在的必要条件和充分条件，了解
全微分形式的不变性.
4．理解方向导数与梯度的概念，
并掌握其计算方法.
5．掌握多元复合函数一阶、二阶
偏导数的求法.
6．了解隐函数存在定理，会求多
元隐函数的偏导数.
7．了解空间曲线的切线和法平面
及曲面的切平面和法线的概念，会
求它们的方程.
8．了解二元函数的二阶泰勒公式.
9．理解多元函数极值和条件极值
的概念，掌握多元函数极值存在的
必要条件，了解二元函数极值存在
的充分条件，会求二元函数的极
值，会用拉格朗日乘数法求条件极
值，会求简单多元函数的最大值和
最小值，并会解决一些简单的应用
问题.
考试内容
多元函数的概念二元函数的几何
意义二元函数的极限与连续的概
念有界闭区域上多元连续函数的性
质多元函数的偏导数和全微分
全微分存在的必要条件和充分条件
多元复合函数、隐函数的求导法二
阶偏导数方向导数和梯度空间
曲线的切线和法平面曲面的切平
面和法线二元函数的二阶泰勒公
式多元函数的极值和条件极值
多元函数的最大值、最小值及其简
单应用
考试要求
1．理解多元函数的概念，理解二元
函数的几何意义.
2．了解二元函数的极限与连续的概
念以及有界闭区域上连续函数的性
质.
3．理解多元函数偏导数和全微分的
概念，会求全微分，了解全微分存
在的必要条件和充分条件，了解全
微分形式的不变性.
4．理解方向导数与梯度的概念，并
掌握其计算方法.
5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏
导数的求法.
6．了解隐函数存在定理，会求多元
隐函数的偏导数.
7．了解空间曲线的切线和法平面及
曲面的切平面和法线的概念，会求
它们的方程.
8．了解二元函数的二阶泰勒公式.
9．理解多元函数极值和条件极值的
概念，掌握多元函数极值存在的必
要条件，了解二元函数极值存在的
充分条件，会求二元函数的极值，
会用拉格朗日乘数法求条件极值，
会求简单多元函数的最大值和最小
值，并会解决一些简单的应用问题.
对比：无变化
六、多元函数积分学
考试内容
二重积分与三重积分的概念、性
质、计算和应用两类曲线积分的
概念、性质及计算两类曲线积分
的关系格林（Green）公式平
面曲线积分与路径无关的条件二
元函数全微分的原函数两类曲面
积分的概念、性质及计算两类曲面
积分的关系高斯（Gauss）公式
斯托克斯（Stokes)公式散度、旋
度的概念及计算曲线积分和曲面积
分的应用
考试要求
考试内容
二重积分与三重积分的概念、性
质、计算和应用两类曲线积分的
概念、性质及计算两类曲线积分
的关系格林（Green）公式平面
曲线积分与路径无关的条件二元
函数全微分的原函数两类曲面积
分的概念、性质及计算两类曲面积
分的关系高斯（Gauss）公式斯
托克斯（Stokes)公式散度、旋度
的概念及计算曲线积分和曲面积分
的应用
考试要求
对比：无变化
1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，，了解二重积分的中值定理.
2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐
标）.
3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线
积分的关系.
4．掌握计算两类曲线积分的方法. 5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数. 6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分. 7．了解散度与旋度的概念，并会
计算.
8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、、形心、转动惯量、引力、功及流量等）.
1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重
积分的中值定理.
2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐
标）.
3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积
分的关系.
4．掌握计算两类曲线积分的方法. 5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数. 6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分. 7．了解散度与旋度的概念，并会计
算.
8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、、形心、转动惯量、引力、功及流量等）.
七、无穷级数
考试内容
常数项级数的收敛与发散的概念
收敛级数的和的概念级数的基本
性质与收敛的必要条件几何级数
与级数及其收敛性正项级数收敛
性的判别法交错级数与莱布尼茨
定理任意项级数的绝对收敛与条
件收敛函数项级数的收敛域与和
函数的概念幂级数及其收敛半
径、收敛区间（指开区间）和收敛
域幂级数的和函数幂级数在其
收敛区间内的基本性质简单幂级数
的和函数的求法初等函数的幂级
数展开式函数的傅里叶（Fourier）
系数与傅里叶级数狄利克雷
（Dirichlet）定理函数在上的傅
里叶级数函数在上的正弦级数和
余弦级数
考试要求
1．理解常数项级数收敛、发
散以及收敛级数的和的概念，掌握
级数的基本性质及收敛的必要条件.
2．掌握几何级数与级数的收
敛与发散的条件.
3．掌握正项级数收敛性的比
较判别法和比值判别法，会用根值
判别法.
4．掌握交错级数的莱布尼茨
判别法.
5．了解任意项级数绝对收敛
与条件收敛的概念以及绝对收敛与
考试内容
常数项级数的收敛与发散的概念
收敛级数的和的概念级数的基本
性质与收敛的必要条件几何级数
与级数及其收敛性正项级数收敛
性的判别法交错级数与莱布尼茨
定理任意项级数的绝对收敛与条
件收敛函数项级数的收敛域与和
函数的概念幂级数及其收敛半
径、收敛区间（指开区间）和收敛
域幂级数的和函数幂级数在其
收敛区间内的基本性质简单幂级数
的和函数的求法初等函数的幂级
数展开式函数的傅里叶（Fourier）
系数与傅里叶级数狄利克雷
（Dirichlet）定理函数在上的傅里
叶级数函数在上的正弦级数和余
弦级数
考试要求
1．理解常数项级数收敛、发散
以及收敛级数的和的概念，掌握级
数的基本性质及收敛的必要条件.
2．掌握几何级数与级数的收敛
与发散的条件.
3．掌握正项级数收敛性的比较
判别法和比值判别法，会用根值判
别法.
4．掌握交错级数的莱布尼茨判
别法.
5. 了解任意项级数绝对收敛与
条件收敛的概念以及绝对收敛与收
对比：无变化
收敛的关系.
6．了解函数项级数的收敛域
及和函数的概念.
7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.
8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.
9．了解函数展开为泰勒级数
的充分必要条件.
10．掌握，，，及的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数. 11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的
表达式.
敛的关系.
6．了解函数项级数的收敛域及
和函数的概念.
7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.
8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.
9．了解函数展开为泰勒级数的
充分必要条件.
10．掌握，，，及的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数. 11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的
表达式.
八、常微分方程
考试内容
常微分方程的基本概念变量可分
离的微分方程齐次微分方程一
阶线性微分方程伯努利
（Bernoulli）方程全微分方程
可用简单的变量代换求解的某些微
分方程可降阶的高阶微分方程
线性微分方程解的性质及解的结构
定理二阶常系数齐次线性微分方
程高于二阶的某些常系数齐次线
性微分方程简单的二阶常系数非
齐次线性微分方程欧拉（Euler）方
程微分方程的简单应用
考试要求
1．了解微分方程及其阶、解、通
解、初始条件和特解等概念.
2．掌握变量可分离的微分方程及
一阶线性微分方程的解法．
3．会解齐次微分方程、伯努利方
程和全微分方程，会用简单的变量
代换解某些微分方程．
4．会用降阶法解下列形式的微分
方程：
和．
5．理解线性微分方程解的性质及
解的结构．
6．掌握二阶常系数齐次线性微分
方程的解法，并会解某些高于二阶
的常系数齐次线性微分方程.
7．会解自由项为多项式、指数函
数、正弦函数、余弦函数以及它们
的和与积的二阶常系数非齐次线性
微分方程．
8．会解欧拉方程．
9．会用微分方程解决一些简单的
考试内容
常微分方程的基本概念变量可分
离的微分方程齐次微分方程一
阶线性微分方程伯努利
（Bernoulli）方程全微分方程可
用简单的变量代换求解的某些微分
方程可降阶的高阶微分方程线
性微分方程解的性质及解的结构定
理二阶常系数齐次线性微分方程
高于二阶的某些常系数齐次线性微
分方程简单的二阶常系数非齐次
线性微分方程欧拉（Euler）方程
微分方程的简单应用
考试要求
1．了解微分方程及其阶、解、通
解、初始条件和特解等概念.
2．掌握变量可分离的微分方程及一
阶线性微分方程的解法．
3．会解齐次微分方程、伯努利方程
和全微分方程，会用简单的变量代
换解某些微分方程．
4．会用降阶法解下列形式的微分方
程：
和．
5．理解线性微分方程解的性质及解
的结构．
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方
程的解法，并会解某些高于二阶的
常系数齐次线性微分方程.
7．会解自由项为多项式、指数函
数、正弦函数、余弦函数以及它们
的和与积的二阶常系数非齐次线性
微分方程．
8．会解欧拉方程．
9．会用微分方程解决一些简单的应
对比：无变化。