第8章 存贮论
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16
在[0,T]，存贮以(P-R)速度增加，在[T,t]存贮以速度
R减少，T,t待定，由图可知(P-R)T=R(t-T)。
即PT=Rt 存贮量 Q
0
T=Rt/P
T
t
T
t
时间
t时间内的所需平均存贮费用为：1/2*(P-R)Tc1 t时间装配费为：c3 t时间总平均费用:
c3 1 P-R c(t) kR Rt c1 t 2 P
t时间(任一时间)内的总平均费用为：
c3 1 c(t) k R R t c1 t 2
使c(t)达最小的t0或Q0
13
模型1：
只需对上式利用微积分求最小值的方法可求出。
令： C 1 dC( t ) 23 C1R 0 dt t 2
得： t 0
2C3 C1R
例：P377 Ex.6
22
4.模型四：允许缺货，生产需一定时间
S0
t1
0 B t2 t3 t T
[t1,t2]除满足需要外，补足[0,t1]时间内的缺货 [t2,t3]存贮阶段，存贮量以P-R速度增加，s表示存贮 量，t3时刻停止生产 [t3,t]存贮以需求速度R减少
[0,t]为一个周期 [0,t2]存贮为零
t1时刻开始生产 B——最大缺货量
23
t 时间内总平均费用：
1 1 R 1 R 2 2 C(t, t 2 ) ( C1(P R) (t t 2 ) C 2(P R) t 2 C 3 ) t 2 P 2 P 2 1 R t2 C3 (P R) [C1t 2C1t 2 (C1 C 2 ) ] 2 P t t
PR P
26
最小费用：
PR C2 minC(t t2 ) C0 2C1C3R 0, P C1 C2
27
5.模型五：价格有折扣的存贮问题（模型1为基础）
设货物单价为k(Q)，k(Q)按三个数量等级变化
k1, 0≤Q≤Q1 Q1≤Q<Q2 Q2≤Q k1 k2 k3 Q1 Q2
28
k(Q)=
假设： (1)缺货费用无穷大；
(2)补充时间近似为零。当存贮降为零时，可以立即得到补充；
(3)需求是连续的，均匀的，设需求速度R(单位时间的需求量) 为常数，则t时间的需求量为R*t ；
(4)每次订货量Q不变，订货量费用C3不变，货物单价为K；
(5)单位存贮费C1不变。 求总成本最小的订货批量Q
(2)若Q0<Q1，计算 C1(Q0 ) 1 C1 Q C 3 K1 Q [0, Q1 )
Q [Q1 ,Q 2 ) Q Q2
由min{ c1(Q0), c2(Q1), c3(Q2)}得到最小费用的订购 批量Q*。 (3)若Q1≤Q0<Q2，计算c2(Q0), c3(Q2)，由 min{ c2(Q0),c3(Q2)}，决定Q*. (4)若Q2≤Q0,则取Q*=Q0
11
模型1：
例1：若某种产品装配时需要一种外购件，已知
年需求量为20000件，单价为100元，每组织一次
订货需2000元。每件每年存贮费用为单价的20%，
求经济订货批量。
12
模型1：
存贮变化 情况用图 表示为：
Q
t0 设每隔t时间补充一次存贮，则在此时段内的需求为R*t， 记订货是为Q，Q=R*t 货物单价为k，则t时间内的订货费用为：c3+kRt，t时 间内的平均订货费为：c3/t+kR 单位存贮费为c1，t时间(任一时间)所需平均存贮费用为： 1/2*Rtc1
（1）存贮费：占用资金的利息、保管货物、货物损坏变
质、货物维修费、保险费、积压资金等支出的费用。 C1元/(单位时间*单位数量) （2）订货费：订货费是订购一次货物所需的订购费(如 手续费、差旅费、最低起运费等，它是仅与订货次数
有关的一种固定费用。
C3 元/次 货物购买成本费：单价k
（3）生产准备费：自行生产时，为装配费，准备费。 C3 元/次 货物生产成本费：单位成本k
需求之间的不协调，以此为研究对象，利用运筹学的方法去
解决最合理、最经济地储存问题。 专门研究这类有关存储问题的科学，构成运筹学的一
个分支，叫作存储论。
3
第一节 存贮问题及其基本概念
补充
存 贮
需求
2.存贮模型中的基本概念 （1）需求：存储量因需求的满足而减少
连续性和间断性，确定性和随机性
4
第一节 存贮问题及其基本概念
模型1：
例2：某轧钢厂每月按计划需产角钢3000吨，每吨每月需存储费5.3 元，每次订购费25000元。
按E.O.Q公式计算每次订购批量
Q0 2 C3 (订购费) R (需求速度) C （存储费） 1 2 2500 3000 5.3 1682(吨)
n0
300012 21.5(次) Q0
第8章 存贮论
存储论也称库存论（Inventory Theory），是研究
物资最优存储策略及存储控制的理论。存贮论研究的基
本问题是，对于特定的需求类型，讨论用怎样的方式进 行原料的供应、商品的订货或者产品的生产，以求最好 地实现存贮的经济管理目标。 存贮论是研究如何根据生产或者销售活动的实际存
贮问题建立起数学模型，然后通过费用分析求出产品、
k3,
k2,
当订购量为Q时，一个周期内所需费用为：
1 Q C1Q C3 K(Q)Q 2 R 1 Q Q [0, Q1 ) C1Q C3 K1Q 2 R 1 Q Q [Q1 ,Q2 ) C1Q C3 K 2Q 2 R 1 Q Q Q2 C1Q C3 K3Q 2 R
9
常用的代码：
单位存储费用： C1 缺货费用： C2 订购费用(生产准备费用)：C3 货物单价： K 需求速度： R 需求概率分布： P(r) 订货数量： Q 定货时间间隔： t 总平均费用： C(t)
常数
10
第二节 确定型存贮模型
1.模型一：不允许缺货，补充时间极短(经济订购批量模型)EOQ
33
例4：某厂每年需某种元件5000个，每次订购费用为50元， 每年每件产品存贮费用为1元，元件单价随采购数量的变化 如下： K=2.0 Q < 1500 K=1.9 1500 ≤ Q < 2000 K=1.8 2000 ≤ Q 求E.O.Q及最低费用。 解：R = 5000, C3 = 50, C1 = 1， 利用E.O.Q.公式计算：
Q0 2C3RP C1(P R)
Q0
2 5 100 500 56 0.4(500 100)
(P R) C(t0 ) 2C1C3R P
(500 100) C(t0 ) 2 0.4 5 100 17.89 500
19
3.模型三：允许缺货(缺货需补足)，补充时间极短
5025×21.5=108037(元/年)。
2.模型二：不允许缺货，生产需一定时间
（经济生产批量模型EPQ）
假设：
(1)缺货费用无穷大；
(2)补充需要一定时间。当存贮降为零时，需得到补充；
(3)需求是连续的，均匀的，设需求速度R(单位时间的需
求量)为常数，则t时间的需求量为 R*t ； (4)生产批量为 Q，生产速度为 P，生产准备费用 C3不 变，生产单位成本为 K； (5)单位存贮费C1不变
d 2C( t ) 因 0 2 dt
C(t )
得： Q 0 Rt 0
2C 3 R C1
C3 C 1 1 KR C1Rt C(t ) 3 C1Rt t 2 t 2
将t 0代入上式得出最佳费用：
C0 C(t 0 ) C3 2C1C3 R
14
2C3 C1R 1 C1R 2C3 2 C1R
平均总费用(两变量)：
1 S ( Rt S ) C ( S , t ) (C1 C2 C3 ) t 2R 2R
2 2
21
t0
S0
2C3 (C1 C 2 ) C1 RC 2
2C3 RC 2 C1 (C1 C 2 )
C2 C (t0 ) 2C1C3 R (C1 C2 )
Q Q
S W
S W
间断需求
T
连续需求
Tຫໍສະໝຸດ Baidu
5
第一节 存贮问题及其基本概念
2.存贮模型中的基本概念
（2）补充：滞后性
滞后时间分为两部分，从开始订货到货物达到为止的 时间称为拖后时间；另一部分时间为开始补充到补充完毕 为止的时间为补充时间。
补充
存 贮
需求
6
第一节 存贮问题及其基本概念
3. 费用（时间可比性和计算口径可比性）
图 13－19
Q1
Q2
Ｑ
31
C(Q) 平均单 位费用
C1(Q)
C2(Q) C3(Q)
0
Q1
图 8－ 4
Q2
Q
32
(1)对cⅠ(Q)
(不考虑定义域)求得极值点为Q0
2 R Q 1 Q C C 2(Q1 ) C1 3 K 2 2 R Q 1 Q C3 3 C (Q2 ) C1 K3 2 R Q
Q0 2C3R C1 2 50 5000 707 1
34
因 Q0 = 707 < 1500，分别计算 每次订购707个，1500个和2000 个元件所需平均单位元件费用：
两次订购相隔的时间t0=（365/21.4）≈17(天) 17天的单位存储费(5.3/30)×17=3.00(元/吨)，
共需费用5.3/30×17×1682+2500≈5025(元)。
按 全 年 订 购 21.5 次 ( 两 年 生 产 43 次 ) 计 算 ， 全 年 共 需 费 用
15
7
第一节 存贮问题及其基本概念
（4）缺货费：指当存储不能满足需求而造成的
损失费。如停工待料造成的生产损失、因货物
脱销而造成的机会损失(少得的收益)、延期付
货所支付的罚金以及因商誉降低所造成的无形
损失等。 C2元/(单位时间*单位数量)
8
第一节 存贮问题及其基本概念
4.存贮策略：决定多少时间补充一次以及每次补充 数量的策略 （1）t-循环：每隔t时间，补充固定的Q。 （2）(t, S)：每隔t时间，补充到固定的S。 （3）(s, S)：当存贮量低于s ，补充到固定的S。 （4）(t,s,S)：每隔t时间盘点，当存贮量低于s， 补充到固定的S。
17
最优存贮周期：t* = 经济批量公式：Q*=Rt*=
(2c3P) /(c1R( P R) (2c3RP) /(c1( P R)
结束生产时间：T*=Rt*/P
最大存贮量：A*=R(t*-T*)=R(P-R)t*/P 例：P377 Ex.3
18
例3：某厂每月需甲产品100件，每月生产率为500 件，每批装配费用为5元，每月每件产品存贮费用 为0.4元，求E.O.Q及最低费用。 解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4
S
T
0
t1
t
t1
t
t1时间的平均存贮量为S/2，在(t-t1)时间存贮 为零，平均缺货量为R(t-t1)/2。 S=Rt1, ∴t1=S/R 在t时间内所需存贮费: St1c1/2=（1/2）c1S2/R 在t时间内的缺货费: （1/2）R(t-t1)2c2=（1/2）c2(Rt-S)2/R
20
订购费用为C3
商品的最佳供应量和供应周期这些数量指标。
1
水库蓄水问题;
生产用料问题; 商店存货问题; ……….
？
？ ？
2
第一节 存贮问题及其基本概念
概念
为了解决供应 ( 生产 ) 与需求 ( 消费 ) 之间的不协调，这
种不协调性一般表现为供应量与需求量和供应时期与需求时 期的不一致性上，出现供不应求或供过于求。人们在供应与 需求这两环节之间加入储存这一环节，就能起到缓解供应与
上式对 t和 t2 求偏导数得：
24
最佳生产间隔期
2C3 P C1 C2 t0 C1 R P R C2 最佳生产批量
2C3R Q0 C1 P PR C1 C 2 C2
25
最大存储量：
2C3R P R C2 S0 C1 P C1 C2
最大缺货量：
2C1C3R B0 (C1 C2 )C2
29
平均每单位货物所需费用:
1 Q C3 C (Q) C1 K1 Q [0, Q1 ) 2 R Q 1 Q C3 2 C (Q) C1 K 2 Q [Q1 ,Q2 ) 2 R Q 1 Q C3 3 C (Q) C1 K3 Q Q2 2 R Q
1
30
C(Q) 平均单 位费用 Ｋ1 Ｋ2 Ｋ3
在[0,T]，存贮以(P-R)速度增加，在[T,t]存贮以速度
R减少，T,t待定，由图可知(P-R)T=R(t-T)。
即PT=Rt 存贮量 Q
0
T=Rt/P
T
t
T
t
时间
t时间内的所需平均存贮费用为：1/2*(P-R)Tc1 t时间装配费为：c3 t时间总平均费用:
c3 1 P-R c(t) kR Rt c1 t 2 P
t时间(任一时间)内的总平均费用为：
c3 1 c(t) k R R t c1 t 2
使c(t)达最小的t0或Q0
13
模型1：
只需对上式利用微积分求最小值的方法可求出。
令： C 1 dC( t ) 23 C1R 0 dt t 2
得： t 0
2C3 C1R
例：P377 Ex.6
22
4.模型四：允许缺货，生产需一定时间
S0
t1
0 B t2 t3 t T
[t1,t2]除满足需要外，补足[0,t1]时间内的缺货 [t2,t3]存贮阶段，存贮量以P-R速度增加，s表示存贮 量，t3时刻停止生产 [t3,t]存贮以需求速度R减少
[0,t]为一个周期 [0,t2]存贮为零
t1时刻开始生产 B——最大缺货量
23
t 时间内总平均费用：
1 1 R 1 R 2 2 C(t, t 2 ) ( C1(P R) (t t 2 ) C 2(P R) t 2 C 3 ) t 2 P 2 P 2 1 R t2 C3 (P R) [C1t 2C1t 2 (C1 C 2 ) ] 2 P t t
PR P
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最小费用：
PR C2 minC(t t2 ) C0 2C1C3R 0, P C1 C2
27
5.模型五：价格有折扣的存贮问题（模型1为基础）
设货物单价为k(Q)，k(Q)按三个数量等级变化
k1, 0≤Q≤Q1 Q1≤Q<Q2 Q2≤Q k1 k2 k3 Q1 Q2
28
k(Q)=
假设： (1)缺货费用无穷大；
(2)补充时间近似为零。当存贮降为零时，可以立即得到补充；
(3)需求是连续的，均匀的，设需求速度R(单位时间的需求量) 为常数，则t时间的需求量为R*t ；
(4)每次订货量Q不变，订货量费用C3不变，货物单价为K；
(5)单位存贮费C1不变。 求总成本最小的订货批量Q
(2)若Q0<Q1，计算 C1(Q0 ) 1 C1 Q C 3 K1 Q [0, Q1 )
Q [Q1 ,Q 2 ) Q Q2
由min{ c1(Q0), c2(Q1), c3(Q2)}得到最小费用的订购 批量Q*。 (3)若Q1≤Q0<Q2，计算c2(Q0), c3(Q2)，由 min{ c2(Q0),c3(Q2)}，决定Q*. (4)若Q2≤Q0,则取Q*=Q0
11
模型1：
例1：若某种产品装配时需要一种外购件，已知
年需求量为20000件，单价为100元，每组织一次
订货需2000元。每件每年存贮费用为单价的20%，
求经济订货批量。
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模型1：
存贮变化 情况用图 表示为：
Q
t0 设每隔t时间补充一次存贮，则在此时段内的需求为R*t， 记订货是为Q，Q=R*t 货物单价为k，则t时间内的订货费用为：c3+kRt，t时 间内的平均订货费为：c3/t+kR 单位存贮费为c1，t时间(任一时间)所需平均存贮费用为： 1/2*Rtc1
（1）存贮费：占用资金的利息、保管货物、货物损坏变
质、货物维修费、保险费、积压资金等支出的费用。 C1元/(单位时间*单位数量) （2）订货费：订货费是订购一次货物所需的订购费(如 手续费、差旅费、最低起运费等，它是仅与订货次数
有关的一种固定费用。
C3 元/次 货物购买成本费：单价k
（3）生产准备费：自行生产时，为装配费，准备费。 C3 元/次 货物生产成本费：单位成本k
需求之间的不协调，以此为研究对象，利用运筹学的方法去
解决最合理、最经济地储存问题。 专门研究这类有关存储问题的科学，构成运筹学的一
个分支，叫作存储论。
3
第一节 存贮问题及其基本概念
补充
存 贮
需求
2.存贮模型中的基本概念 （1）需求：存储量因需求的满足而减少
连续性和间断性，确定性和随机性
4
第一节 存贮问题及其基本概念
模型1：
例2：某轧钢厂每月按计划需产角钢3000吨，每吨每月需存储费5.3 元，每次订购费25000元。
按E.O.Q公式计算每次订购批量
Q0 2 C3 (订购费) R (需求速度) C （存储费） 1 2 2500 3000 5.3 1682(吨)
n0
300012 21.5(次) Q0
第8章 存贮论
存储论也称库存论（Inventory Theory），是研究
物资最优存储策略及存储控制的理论。存贮论研究的基
本问题是，对于特定的需求类型，讨论用怎样的方式进 行原料的供应、商品的订货或者产品的生产，以求最好 地实现存贮的经济管理目标。 存贮论是研究如何根据生产或者销售活动的实际存
贮问题建立起数学模型，然后通过费用分析求出产品、
k3,
k2,
当订购量为Q时，一个周期内所需费用为：
1 Q C1Q C3 K(Q)Q 2 R 1 Q Q [0, Q1 ) C1Q C3 K1Q 2 R 1 Q Q [Q1 ,Q2 ) C1Q C3 K 2Q 2 R 1 Q Q Q2 C1Q C3 K3Q 2 R
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常用的代码：
单位存储费用： C1 缺货费用： C2 订购费用(生产准备费用)：C3 货物单价： K 需求速度： R 需求概率分布： P(r) 订货数量： Q 定货时间间隔： t 总平均费用： C(t)
常数
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第二节 确定型存贮模型
1.模型一：不允许缺货，补充时间极短(经济订购批量模型)EOQ
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例4：某厂每年需某种元件5000个，每次订购费用为50元， 每年每件产品存贮费用为1元，元件单价随采购数量的变化 如下： K=2.0 Q < 1500 K=1.9 1500 ≤ Q < 2000 K=1.8 2000 ≤ Q 求E.O.Q及最低费用。 解：R = 5000, C3 = 50, C1 = 1， 利用E.O.Q.公式计算：
Q0 2C3RP C1(P R)
Q0
2 5 100 500 56 0.4(500 100)
(P R) C(t0 ) 2C1C3R P
(500 100) C(t0 ) 2 0.4 5 100 17.89 500
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3.模型三：允许缺货(缺货需补足)，补充时间极短
5025×21.5=108037(元/年)。
2.模型二：不允许缺货，生产需一定时间
（经济生产批量模型EPQ）
假设：
(1)缺货费用无穷大；
(2)补充需要一定时间。当存贮降为零时，需得到补充；
(3)需求是连续的，均匀的，设需求速度R(单位时间的需
求量)为常数，则t时间的需求量为 R*t ； (4)生产批量为 Q，生产速度为 P，生产准备费用 C3不 变，生产单位成本为 K； (5)单位存贮费C1不变
d 2C( t ) 因 0 2 dt
C(t )
得： Q 0 Rt 0
2C 3 R C1
C3 C 1 1 KR C1Rt C(t ) 3 C1Rt t 2 t 2
将t 0代入上式得出最佳费用：
C0 C(t 0 ) C3 2C1C3 R
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2C3 C1R 1 C1R 2C3 2 C1R
平均总费用(两变量)：
1 S ( Rt S ) C ( S , t ) (C1 C2 C3 ) t 2R 2R
2 2
21
t0
S0
2C3 (C1 C 2 ) C1 RC 2
2C3 RC 2 C1 (C1 C 2 )
C2 C (t0 ) 2C1C3 R (C1 C2 )
Q Q
S W
S W
间断需求
T
连续需求
Tຫໍສະໝຸດ Baidu
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第一节 存贮问题及其基本概念
2.存贮模型中的基本概念
（2）补充：滞后性
滞后时间分为两部分，从开始订货到货物达到为止的 时间称为拖后时间；另一部分时间为开始补充到补充完毕 为止的时间为补充时间。
补充
存 贮
需求
6
第一节 存贮问题及其基本概念
3. 费用（时间可比性和计算口径可比性）
图 13－19
Q1
Q2
Ｑ
31
C(Q) 平均单 位费用
C1(Q)
C2(Q) C3(Q)
0
Q1
图 8－ 4
Q2
Q
32
(1)对cⅠ(Q)
(不考虑定义域)求得极值点为Q0
2 R Q 1 Q C C 2(Q1 ) C1 3 K 2 2 R Q 1 Q C3 3 C (Q2 ) C1 K3 2 R Q
Q0 2C3R C1 2 50 5000 707 1
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因 Q0 = 707 < 1500，分别计算 每次订购707个，1500个和2000 个元件所需平均单位元件费用：
两次订购相隔的时间t0=（365/21.4）≈17(天) 17天的单位存储费(5.3/30)×17=3.00(元/吨)，
共需费用5.3/30×17×1682+2500≈5025(元)。
按 全 年 订 购 21.5 次 ( 两 年 生 产 43 次 ) 计 算 ， 全 年 共 需 费 用
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第一节 存贮问题及其基本概念
（4）缺货费：指当存储不能满足需求而造成的
损失费。如停工待料造成的生产损失、因货物
脱销而造成的机会损失(少得的收益)、延期付
货所支付的罚金以及因商誉降低所造成的无形
损失等。 C2元/(单位时间*单位数量)
8
第一节 存贮问题及其基本概念
4.存贮策略：决定多少时间补充一次以及每次补充 数量的策略 （1）t-循环：每隔t时间，补充固定的Q。 （2）(t, S)：每隔t时间，补充到固定的S。 （3）(s, S)：当存贮量低于s ，补充到固定的S。 （4）(t,s,S)：每隔t时间盘点，当存贮量低于s， 补充到固定的S。
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最优存贮周期：t* = 经济批量公式：Q*=Rt*=
(2c3P) /(c1R( P R) (2c3RP) /(c1( P R)
结束生产时间：T*=Rt*/P
最大存贮量：A*=R(t*-T*)=R(P-R)t*/P 例：P377 Ex.3
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例3：某厂每月需甲产品100件，每月生产率为500 件，每批装配费用为5元，每月每件产品存贮费用 为0.4元，求E.O.Q及最低费用。 解：P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4
S
T
0
t1
t
t1
t
t1时间的平均存贮量为S/2，在(t-t1)时间存贮 为零，平均缺货量为R(t-t1)/2。 S=Rt1, ∴t1=S/R 在t时间内所需存贮费: St1c1/2=（1/2）c1S2/R 在t时间内的缺货费: （1/2）R(t-t1)2c2=（1/2）c2(Rt-S)2/R
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订购费用为C3
商品的最佳供应量和供应周期这些数量指标。
1
水库蓄水问题;
生产用料问题; 商店存货问题; ……….
？
？ ？
2
第一节 存贮问题及其基本概念
概念
为了解决供应 ( 生产 ) 与需求 ( 消费 ) 之间的不协调，这
种不协调性一般表现为供应量与需求量和供应时期与需求时 期的不一致性上，出现供不应求或供过于求。人们在供应与 需求这两环节之间加入储存这一环节，就能起到缓解供应与
上式对 t和 t2 求偏导数得：
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最佳生产间隔期
2C3 P C1 C2 t0 C1 R P R C2 最佳生产批量
2C3R Q0 C1 P PR C1 C 2 C2
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最大存储量：
2C3R P R C2 S0 C1 P C1 C2
最大缺货量：
2C1C3R B0 (C1 C2 )C2
29
平均每单位货物所需费用:
1 Q C3 C (Q) C1 K1 Q [0, Q1 ) 2 R Q 1 Q C3 2 C (Q) C1 K 2 Q [Q1 ,Q2 ) 2 R Q 1 Q C3 3 C (Q) C1 K3 Q Q2 2 R Q
1
30
C(Q) 平均单 位费用 Ｋ1 Ｋ2 Ｋ3