第8章 存贮论
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16
在[0,T],存贮以(P-R)速度增加,在[T,t]存贮以速度
R减少,T,t待定,由图可知(P-R)T=R(t-T)。
即PT=Rt 存贮量 Q
0
T=Rt/P
T
t
T
t
时间
t时间内的所需平均存贮费用为:1/2*(P-R)Tc1 t时间装配费为:c3 t时间总平均费用:
c3 1 P-R c(t) kR Rt c1 t 2 P
t时间(任一时间)内的总平均费用为:
c3 1 c(t) k R R t c1 t 2
使c(t)达最小的t0或Q0
13
模型1:
只需对上式利用微积分求最小值的方法可求出。
令: C 1 dC( t ) 23 C1R 0 dt t 2
得: t 0
2C3 C1R
例:P377 Ex.6
22
4.模型四:允许缺货,生产需一定时间
S0
t1
0 B t2 t3 t T
[t1,t2]除满足需要外,补足[0,t1]时间内的缺货 [t2,t3]存贮阶段,存贮量以P-R速度增加,s表示存贮 量,t3时刻停止生产 [t3,t]存贮以需求速度R减少
[0,t]为一个周期 [0,t2]存贮为零
t1时刻开始生产 B——最大缺货量
23
t 时间内总平均费用:
1 1 R 1 R 2 2 C(t, t 2 ) ( C1(P R) (t t 2 ) C 2(P R) t 2 C 3 ) t 2 P 2 P 2 1 R t2 C3 (P R) [C1t 2C1t 2 (C1 C 2 ) ] 2 P t t
PR P
26
最小费用:
PR C2 minC(t t2 ) C0 2C1C3R 0, P C1 C2
27
5.模型五:价格有折扣的存贮问题(模型1为基础)
设货物单价为k(Q),k(Q)按三个数量等级变化
k1, 0≤Q≤Q1 Q1≤Q<Q2 Q2≤Q k1 k2 k3 Q1 Q2
28
k(Q)=
假设: (1)缺货费用无穷大;
(2)补充时间近似为零。当存贮降为零时,可以立即得到补充;
(3)需求是连续的,均匀的,设需求速度R(单位时间的需求量) 为常数,则t时间的需求量为R*t ;
(4)每次订货量Q不变,订货量费用C3不变,货物单价为K;
(5)单位存贮费C1不变。 求总成本最小的订货批量Q
(2)若Q0<Q1,计算 C1(Q0 ) 1 C1 Q C 3 K1 Q [0, Q1 )
Q [Q1 ,Q 2 ) Q Q2
由min{ c1(Q0), c2(Q1), c3(Q2)}得到最小费用的订购 批量Q*。 (3)若Q1≤Q0<Q2,计算c2(Q0), c3(Q2),由 min{ c2(Q0),c3(Q2)},决定Q*. (4)若Q2≤Q0,则取Q*=Q0
11
模型1:
例1:若某种产品装配时需要一种外购件,已知
年需求量为20000件,单价为100元,每组织一次
订货需2000元。每件每年存贮费用为单价的20%,
求经济订货批量。
12
模型1:
存贮变化 情况用图 表示为:
Q
t0 设每隔t时间补充一次存贮,则在此时段内的需求为R*t, 记订货是为Q,Q=R*t 货物单价为k,则t时间内的订货费用为:c3+kRt,t时 间内的平均订货费为:c3/t+kR 单位存贮费为c1,t时间(任一时间)所需平均存贮费用为: 1/2*Rtc1
(1)存贮费:占用资金的利息、保管货物、货物损坏变
质、货物维修费、保险费、积压资金等支出的费用。 C1元/(单位时间*单位数量) (2)订货费:订货费是订购一次货物所需的订购费(如 手续费、差旅费、最低起运费等,它是仅与订货次数
有关的一种固定费用。
C3 元/次 货物购买成本费:单价k
(3)生产准备费:自行生产时,为装配费,准备费。 C3 元/次 货物生产成本费:单位成本k
需求之间的不协调,以此为研究对象,利用运筹学的方法去
解决最合理、最经济地储存问题。 专门研究这类有关存储问题的科学,构成运筹学的一
个分支,叫作存储论。
3
第一节 存贮问题及其基本概念
补充
存 贮
需求
2.存贮模型中的基本概念 (1)需求:存储量因需求的满足而减少
连续性和间断性,确定性和随机性
4
第一节 存贮问题及其基本概念
模型1:
例2:某轧钢厂每月按计划需产角钢3000吨,每吨每月需存储费5.3 元,每次订购费25000元。
按E.O.Q公式计算每次订购批量
Q0 2 C3 (订购费) R (需求速度) C (存储费) 1 2 2500 3000 5.3 1682(吨)
n0
300012 21.5(次) Q0
第8章 存贮论
存储论也称库存论(Inventory Theory),是研究
物资最优存储策略及存储控制的理论。存贮论研究的基
本问题是,对于特定的需求类型,讨论用怎样的方式进 行原料的供应、商品的订货或者产品的生产,以求最好 地实现存贮的经济管理目标。 存贮论是研究如何根据生产或者销售活动的实际存
贮问题建立起数学模型,然后通过费用分析求出产品、
k3,
k2,
当订购量为Q时,一个周期内所需费用为:
1 Q C1Q C3 K(Q)Q 2 R 1 Q Q [0, Q1 ) C1Q C3 K1Q 2 R 1 Q Q [Q1 ,Q2 ) C1Q C3 K 2Q 2 R 1 Q Q Q2 C1Q C3 K3Q 2 R
9
常用的代码:
单位存储费用: C1 缺货费用: C2 订购费用(生产准备费用):C3 货物单价: K 需求速度: R 需求概率分布: P(r) 订货数量: Q 定货时间间隔: t 总平均费用: C(t)
常数
10
第二节 确定型存贮模型
1.模型一:不允许缺货,补充时间极短(经济订购批量模型)EOQ
33
例4:某厂每年需某种元件5000个,每次订购费用为50元, 每年每件产品存贮费用为1元,元件单价随采购数量的变化 如下: K=2.0 Q < 1500 K=1.9 1500 ≤ Q < 2000 K=1.8 2000 ≤ Q 求E.O.Q及最低费用。 解:R = 5000, C3 = 50, C1 = 1, 利用E.O.Q.公式计算:
Q0 2C3RP C1(P R)
Q0
2 5 100 500 56 0.4(500 100)
(P R) C(t0 ) 2C1C3R P
(500 100) C(t0 ) 2 0.4 5 100 17.89 500
19
3.模型三:允许缺货(缺货需补足),补充时间极短
5025×21.5=108037(元/年)。
2.模型二:不允许缺货,生产需一定时间
(经济生产批量模型EPQ)
假设:
(1)缺货费用无穷大;
(2)补充需要一定时间。当存贮降为零时,需得到补充;
(3)需求是连续的,均匀的,设需求速度R(单位时间的需
求量)为常数,则t时间的需求量为 R*t ; (4)生产批量为 Q,生产速度为 P,生产准备费用 C3不 变,生产单位成本为 K; (5)单位存贮费C1不变
d 2C( t ) 因 0 2 dt
C(t )
得: Q 0 Rt 0
2C 3 R C1
C3 C 1 1 KR C1Rt C(t ) 3 C1Rt t 2 t 2
将t 0代入上式得出最佳费用:
C0 C(t 0 ) C3 2C1C3 R
14
2C3 C1R 1 C1R 2C3 2 C1R
平均总费用(两变量):
1 S ( Rt S ) C ( S , t ) (C1 C2 C3 ) t 2R 2R
2 2
21
t0
S0
2C3 (C1 C 2 ) C1 RC 2
2C3 RC 2 C1 (C1 C 2 )
C2 C (t0 ) 2C1C3 R (C1 C2 )
Q Q
S W
S W
间断需求
T
连续需求
Tຫໍສະໝຸດ Baidu
5
第一节 存贮问题及其基本概念
2.存贮模型中的基本概念
(2)补充:滞后性
滞后时间分为两部分,从开始订货到货物达到为止的 时间称为拖后时间;另一部分时间为开始补充到补充完毕 为止的时间为补充时间。
补充
存 贮
需求
6
第一节 存贮问题及其基本概念
3. 费用(时间可比性和计算口径可比性)
图 13-19
Q1
Q2
Q
31
C(Q) 平均单 位费用
C1(Q)
C2(Q) C3(Q)
0
Q1
图 8- 4
Q2
Q
32
(1)对cⅠ(Q)
(不考虑定义域)求得极值点为Q0
2 R Q 1 Q C C 2(Q1 ) C1 3 K 2 2 R Q 1 Q C3 3 C (Q2 ) C1 K3 2 R Q
Q0 2C3R C1 2 50 5000 707 1
34
因 Q0 = 707 < 1500,分别计算 每次订购707个,1500个和2000 个元件所需平均单位元件费用:
两次订购相隔的时间t0=(365/21.4)≈17(天) 17天的单位存储费(5.3/30)×17=3.00(元/吨),
共需费用5.3/30×17×1682+2500≈5025(元)。
按 全 年 订 购 21.5 次 ( 两 年 生 产 43 次 ) 计 算 , 全 年 共 需 费 用
15
7
第一节 存贮问题及其基本概念
(4)缺货费:指当存储不能满足需求而造成的
损失费。如停工待料造成的生产损失、因货物
脱销而造成的机会损失(少得的收益)、延期付
货所支付的罚金以及因商誉降低所造成的无形
损失等。 C2元/(单位时间*单位数量)
8
第一节 存贮问题及其基本概念
4.存贮策略:决定多少时间补充一次以及每次补充 数量的策略 (1)t-循环:每隔t时间,补充固定的Q。 (2)(t, S):每隔t时间,补充到固定的S。 (3)(s, S):当存贮量低于s ,补充到固定的S。 (4)(t,s,S):每隔t时间盘点,当存贮量低于s, 补充到固定的S。
17
最优存贮周期:t* = 经济批量公式:Q*=Rt*=
(2c3P) /(c1R( P R) (2c3RP) /(c1( P R)
结束生产时间:T*=Rt*/P
最大存贮量:A*=R(t*-T*)=R(P-R)t*/P 例:P377 Ex.3
18
例3:某厂每月需甲产品100件,每月生产率为500 件,每批装配费用为5元,每月每件产品存贮费用 为0.4元,求E.O.Q及最低费用。 解:P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4
S
T
0
t1
t
t1
t
t1时间的平均存贮量为S/2,在(t-t1)时间存贮 为零,平均缺货量为R(t-t1)/2。 S=Rt1, ∴t1=S/R 在t时间内所需存贮费: St1c1/2=(1/2)c1S2/R 在t时间内的缺货费: (1/2)R(t-t1)2c2=(1/2)c2(Rt-S)2/R
20
订购费用为C3
商品的最佳供应量和供应周期这些数量指标。
1
水库蓄水问题;
生产用料问题; 商店存货问题; ……….
?
? ?
2
第一节 存贮问题及其基本概念
概念
为了解决供应 ( 生产 ) 与需求 ( 消费 ) 之间的不协调,这
种不协调性一般表现为供应量与需求量和供应时期与需求时 期的不一致性上,出现供不应求或供过于求。人们在供应与 需求这两环节之间加入储存这一环节,就能起到缓解供应与
上式对 t和 t2 求偏导数得:
24
最佳生产间隔期
2C3 P C1 C2 t0 C1 R P R C2 最佳生产批量
2C3R Q0 C1 P PR C1 C 2 C2
25
最大存储量:
2C3R P R C2 S0 C1 P C1 C2
最大缺货量:
2C1C3R B0 (C1 C2 )C2
29
平均每单位货物所需费用:
1 Q C3 C (Q) C1 K1 Q [0, Q1 ) 2 R Q 1 Q C3 2 C (Q) C1 K 2 Q [Q1 ,Q2 ) 2 R Q 1 Q C3 3 C (Q) C1 K3 Q Q2 2 R Q
1
30
C(Q) 平均单 位费用 K1 K2 K3
在[0,T],存贮以(P-R)速度增加,在[T,t]存贮以速度
R减少,T,t待定,由图可知(P-R)T=R(t-T)。
即PT=Rt 存贮量 Q
0
T=Rt/P
T
t
T
t
时间
t时间内的所需平均存贮费用为:1/2*(P-R)Tc1 t时间装配费为:c3 t时间总平均费用:
c3 1 P-R c(t) kR Rt c1 t 2 P
t时间(任一时间)内的总平均费用为:
c3 1 c(t) k R R t c1 t 2
使c(t)达最小的t0或Q0
13
模型1:
只需对上式利用微积分求最小值的方法可求出。
令: C 1 dC( t ) 23 C1R 0 dt t 2
得: t 0
2C3 C1R
例:P377 Ex.6
22
4.模型四:允许缺货,生产需一定时间
S0
t1
0 B t2 t3 t T
[t1,t2]除满足需要外,补足[0,t1]时间内的缺货 [t2,t3]存贮阶段,存贮量以P-R速度增加,s表示存贮 量,t3时刻停止生产 [t3,t]存贮以需求速度R减少
[0,t]为一个周期 [0,t2]存贮为零
t1时刻开始生产 B——最大缺货量
23
t 时间内总平均费用:
1 1 R 1 R 2 2 C(t, t 2 ) ( C1(P R) (t t 2 ) C 2(P R) t 2 C 3 ) t 2 P 2 P 2 1 R t2 C3 (P R) [C1t 2C1t 2 (C1 C 2 ) ] 2 P t t
PR P
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最小费用:
PR C2 minC(t t2 ) C0 2C1C3R 0, P C1 C2
27
5.模型五:价格有折扣的存贮问题(模型1为基础)
设货物单价为k(Q),k(Q)按三个数量等级变化
k1, 0≤Q≤Q1 Q1≤Q<Q2 Q2≤Q k1 k2 k3 Q1 Q2
28
k(Q)=
假设: (1)缺货费用无穷大;
(2)补充时间近似为零。当存贮降为零时,可以立即得到补充;
(3)需求是连续的,均匀的,设需求速度R(单位时间的需求量) 为常数,则t时间的需求量为R*t ;
(4)每次订货量Q不变,订货量费用C3不变,货物单价为K;
(5)单位存贮费C1不变。 求总成本最小的订货批量Q
(2)若Q0<Q1,计算 C1(Q0 ) 1 C1 Q C 3 K1 Q [0, Q1 )
Q [Q1 ,Q 2 ) Q Q2
由min{ c1(Q0), c2(Q1), c3(Q2)}得到最小费用的订购 批量Q*。 (3)若Q1≤Q0<Q2,计算c2(Q0), c3(Q2),由 min{ c2(Q0),c3(Q2)},决定Q*. (4)若Q2≤Q0,则取Q*=Q0
11
模型1:
例1:若某种产品装配时需要一种外购件,已知
年需求量为20000件,单价为100元,每组织一次
订货需2000元。每件每年存贮费用为单价的20%,
求经济订货批量。
12
模型1:
存贮变化 情况用图 表示为:
Q
t0 设每隔t时间补充一次存贮,则在此时段内的需求为R*t, 记订货是为Q,Q=R*t 货物单价为k,则t时间内的订货费用为:c3+kRt,t时 间内的平均订货费为:c3/t+kR 单位存贮费为c1,t时间(任一时间)所需平均存贮费用为: 1/2*Rtc1
(1)存贮费:占用资金的利息、保管货物、货物损坏变
质、货物维修费、保险费、积压资金等支出的费用。 C1元/(单位时间*单位数量) (2)订货费:订货费是订购一次货物所需的订购费(如 手续费、差旅费、最低起运费等,它是仅与订货次数
有关的一种固定费用。
C3 元/次 货物购买成本费:单价k
(3)生产准备费:自行生产时,为装配费,准备费。 C3 元/次 货物生产成本费:单位成本k
需求之间的不协调,以此为研究对象,利用运筹学的方法去
解决最合理、最经济地储存问题。 专门研究这类有关存储问题的科学,构成运筹学的一
个分支,叫作存储论。
3
第一节 存贮问题及其基本概念
补充
存 贮
需求
2.存贮模型中的基本概念 (1)需求:存储量因需求的满足而减少
连续性和间断性,确定性和随机性
4
第一节 存贮问题及其基本概念
模型1:
例2:某轧钢厂每月按计划需产角钢3000吨,每吨每月需存储费5.3 元,每次订购费25000元。
按E.O.Q公式计算每次订购批量
Q0 2 C3 (订购费) R (需求速度) C (存储费) 1 2 2500 3000 5.3 1682(吨)
n0
300012 21.5(次) Q0
第8章 存贮论
存储论也称库存论(Inventory Theory),是研究
物资最优存储策略及存储控制的理论。存贮论研究的基
本问题是,对于特定的需求类型,讨论用怎样的方式进 行原料的供应、商品的订货或者产品的生产,以求最好 地实现存贮的经济管理目标。 存贮论是研究如何根据生产或者销售活动的实际存
贮问题建立起数学模型,然后通过费用分析求出产品、
k3,
k2,
当订购量为Q时,一个周期内所需费用为:
1 Q C1Q C3 K(Q)Q 2 R 1 Q Q [0, Q1 ) C1Q C3 K1Q 2 R 1 Q Q [Q1 ,Q2 ) C1Q C3 K 2Q 2 R 1 Q Q Q2 C1Q C3 K3Q 2 R
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常用的代码:
单位存储费用: C1 缺货费用: C2 订购费用(生产准备费用):C3 货物单价: K 需求速度: R 需求概率分布: P(r) 订货数量: Q 定货时间间隔: t 总平均费用: C(t)
常数
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第二节 确定型存贮模型
1.模型一:不允许缺货,补充时间极短(经济订购批量模型)EOQ
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例4:某厂每年需某种元件5000个,每次订购费用为50元, 每年每件产品存贮费用为1元,元件单价随采购数量的变化 如下: K=2.0 Q < 1500 K=1.9 1500 ≤ Q < 2000 K=1.8 2000 ≤ Q 求E.O.Q及最低费用。 解:R = 5000, C3 = 50, C1 = 1, 利用E.O.Q.公式计算:
Q0 2C3RP C1(P R)
Q0
2 5 100 500 56 0.4(500 100)
(P R) C(t0 ) 2C1C3R P
(500 100) C(t0 ) 2 0.4 5 100 17.89 500
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3.模型三:允许缺货(缺货需补足),补充时间极短
5025×21.5=108037(元/年)。
2.模型二:不允许缺货,生产需一定时间
(经济生产批量模型EPQ)
假设:
(1)缺货费用无穷大;
(2)补充需要一定时间。当存贮降为零时,需得到补充;
(3)需求是连续的,均匀的,设需求速度R(单位时间的需
求量)为常数,则t时间的需求量为 R*t ; (4)生产批量为 Q,生产速度为 P,生产准备费用 C3不 变,生产单位成本为 K; (5)单位存贮费C1不变
d 2C( t ) 因 0 2 dt
C(t )
得: Q 0 Rt 0
2C 3 R C1
C3 C 1 1 KR C1Rt C(t ) 3 C1Rt t 2 t 2
将t 0代入上式得出最佳费用:
C0 C(t 0 ) C3 2C1C3 R
14
2C3 C1R 1 C1R 2C3 2 C1R
平均总费用(两变量):
1 S ( Rt S ) C ( S , t ) (C1 C2 C3 ) t 2R 2R
2 2
21
t0
S0
2C3 (C1 C 2 ) C1 RC 2
2C3 RC 2 C1 (C1 C 2 )
C2 C (t0 ) 2C1C3 R (C1 C2 )
Q Q
S W
S W
间断需求
T
连续需求
Tຫໍສະໝຸດ Baidu
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第一节 存贮问题及其基本概念
2.存贮模型中的基本概念
(2)补充:滞后性
滞后时间分为两部分,从开始订货到货物达到为止的 时间称为拖后时间;另一部分时间为开始补充到补充完毕 为止的时间为补充时间。
补充
存 贮
需求
6
第一节 存贮问题及其基本概念
3. 费用(时间可比性和计算口径可比性)
图 13-19
Q1
Q2
Q
31
C(Q) 平均单 位费用
C1(Q)
C2(Q) C3(Q)
0
Q1
图 8- 4
Q2
Q
32
(1)对cⅠ(Q)
(不考虑定义域)求得极值点为Q0
2 R Q 1 Q C C 2(Q1 ) C1 3 K 2 2 R Q 1 Q C3 3 C (Q2 ) C1 K3 2 R Q
Q0 2C3R C1 2 50 5000 707 1
34
因 Q0 = 707 < 1500,分别计算 每次订购707个,1500个和2000 个元件所需平均单位元件费用:
两次订购相隔的时间t0=(365/21.4)≈17(天) 17天的单位存储费(5.3/30)×17=3.00(元/吨),
共需费用5.3/30×17×1682+2500≈5025(元)。
按 全 年 订 购 21.5 次 ( 两 年 生 产 43 次 ) 计 算 , 全 年 共 需 费 用
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第一节 存贮问题及其基本概念
(4)缺货费:指当存储不能满足需求而造成的
损失费。如停工待料造成的生产损失、因货物
脱销而造成的机会损失(少得的收益)、延期付
货所支付的罚金以及因商誉降低所造成的无形
损失等。 C2元/(单位时间*单位数量)
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第一节 存贮问题及其基本概念
4.存贮策略:决定多少时间补充一次以及每次补充 数量的策略 (1)t-循环:每隔t时间,补充固定的Q。 (2)(t, S):每隔t时间,补充到固定的S。 (3)(s, S):当存贮量低于s ,补充到固定的S。 (4)(t,s,S):每隔t时间盘点,当存贮量低于s, 补充到固定的S。
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最优存贮周期:t* = 经济批量公式:Q*=Rt*=
(2c3P) /(c1R( P R) (2c3RP) /(c1( P R)
结束生产时间:T*=Rt*/P
最大存贮量:A*=R(t*-T*)=R(P-R)t*/P 例:P377 Ex.3
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例3:某厂每月需甲产品100件,每月生产率为500 件,每批装配费用为5元,每月每件产品存贮费用 为0.4元,求E.O.Q及最低费用。 解:P = 500, R = 100, C3 = 5, C1 = 0.4
S
T
0
t1
t
t1
t
t1时间的平均存贮量为S/2,在(t-t1)时间存贮 为零,平均缺货量为R(t-t1)/2。 S=Rt1, ∴t1=S/R 在t时间内所需存贮费: St1c1/2=(1/2)c1S2/R 在t时间内的缺货费: (1/2)R(t-t1)2c2=(1/2)c2(Rt-S)2/R
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订购费用为C3
商品的最佳供应量和供应周期这些数量指标。
1
水库蓄水问题;
生产用料问题; 商店存货问题; ……….
?
? ?
2
第一节 存贮问题及其基本概念
概念
为了解决供应 ( 生产 ) 与需求 ( 消费 ) 之间的不协调,这
种不协调性一般表现为供应量与需求量和供应时期与需求时 期的不一致性上,出现供不应求或供过于求。人们在供应与 需求这两环节之间加入储存这一环节,就能起到缓解供应与
上式对 t和 t2 求偏导数得:
24
最佳生产间隔期
2C3 P C1 C2 t0 C1 R P R C2 最佳生产批量
2C3R Q0 C1 P PR C1 C 2 C2
25
最大存储量:
2C3R P R C2 S0 C1 P C1 C2
最大缺货量:
2C1C3R B0 (C1 C2 )C2
29
平均每单位货物所需费用:
1 Q C3 C (Q) C1 K1 Q [0, Q1 ) 2 R Q 1 Q C3 2 C (Q) C1 K 2 Q [Q1 ,Q2 ) 2 R Q 1 Q C3 3 C (Q) C1 K3 Q Q2 2 R Q
1
30
C(Q) 平均单 位费用 K1 K2 K3