高中数学复习课(二)直接证明与间接证明教学案新人教A版选修2-2(2021学年)

2017-２01８学年高中数学复习课(二）直接证明与间接证明教学案新人教A版选修2-2
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复习课(二) 直接证明与间接证明
合情推理
(1)近几年的高考中归纳推理和类比推理有时考查，考查的形式以填空题为主，其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力.
(2）处理与归纳推理相关的类型及策略
①与数字有关：观察数字特点，找出等式左右两侧的规律可解.
②与式有关：观察每个式的特点,找到规律后可解.
③进行类比推理，应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．
错误!
1.归纳推理的特点及一般步骤
2.类比推理的特点及一般步骤
[典例] (1)(陕西高考）观察下列等式:
1－错误!=错误!,
１-错误!+错误!-错误!=错误!＋错误!,
１－１
2
+＼f(1,3）－＼f(1,4）+＼f(1,5)-错误!＝错误!＋错误!＋错误!，
……，
据此规律，第n个等式可为_＿＿_____＿__＿____＿＿__＿________＿____＿＿_____________＿_＿.
（2)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶２,则它们的面积比为1∶4，类似地,在空
间中，若两个正四面体的棱长比为１∶２,则它们的体积比为____＿_＿＿.
[解析] （1)等式的左边的通项为＼f(1，2ｎ－1)-错误!,前n项和为1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!-错误!；右边的每个式子的第一项为错误!,共有ｎ项,故为错误!＋错误!＋…+错误!。

(2）因为两个正三角形是相似三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方．同理,两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为１∶8。

［答案] (１)1-错误!＋错误!-错误!＋…+错误!-错误!=错误!+错误!＋…+错误!
（2)1∶8
[类题通法］
(1）用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠,其结论的正确与否,还要经过严格的理论证明．（2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考,不要被表面现象所迷惑，否则,只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误.
错误!
1.观察下图中各正方形图案，每条边上有n(ｎ≥２)个点,第ｎ个图案中圆点的总数是S n.
n＝２，Ｓ
＝4,ｎ＝3,Ｓ3=8，ｎ=４,S４=12，…，按此规律，推出Sｎ与n的关系式为__＿
2
_____．
解析：依图的构造规律可以看出:
S
＝2×4－4,
2
S
＝３×4-4,
3
S
=4×4-4(正方形四个顶点重复计算一次,应减去)．
４
……
猜想：S n=4n－４(n≥2，ｎ∈Ｎ＊)．
答案:S n=4ｎ-4(n≥２，n∈Ｎ*）
2．在平面几何中：△ＡBC的∠C内角平分线ＣE分AＢ所成线段的比为错误!＝错误!.把这个结论类比到空间:在三棱锥A­BCD中(如图),DEＣ平分二面角A。

CD。

B且与ＡB相交于Ｅ,则得到类比的结论是_＿_＿________＿___.
解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得
＼f(ＡＥ,ＥＢ)=错误!.
答案:错误!＝错误!
演绎推理
(1)演绎推理在高考中不会刻意去考查，但实际上是无处不在,常以数列、不等式、立体几何、解析几何等主干知识为载体进行考查．
(2)解答此类问题，结合已学过的知识和生活中的实例，了解演绎推理的含义、基本方法在证明中的应用是关键．
［考点精要］
演绎推理是由一般到特殊的推理,其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此,在演绎推理中,只要前提及推理正确，结论必然正确．[典例］已知f(x)=- 错误!,数列｛a n｝的前n项和为Sｎ,点Pｎ错误!在曲线ｙ=ｆ(x)上（ｎ∈Ｎ*）,且a1＝1,aｎ〉0。

(1)求数列{a n}的通项公式;
（2)求证：Sｎ〉＼f(1,２）（错误!－1)，n∈N*。

［解］ (１)f（a n）=－错误!=－错误!,且ａn>0，
∴＼f(1，a n+1)＝错误!,
∴错误!－错误!=4（n∈N＊).
∴数列错误!是等差数列，首项错误!＝1,公差ｄ=4，
∴错误!=1+4(n－1)，∴ａ错误!=错误!.
∵ａｎ>0，∴a n＝错误!(n∈N*)．
(2)证明:∵a n=错误!
＝错误!>错误!
＝错误!，
∴Sｎ=a1+a2＋…+a n>错误![(错误!－1）+(错误!-错误!）+…
＋(错误!-错误!)］
=错误!（错误!-1)．
[类题通法］
应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提）,根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提），并保证每一步的推理都是正确的，严密的,才能得出正确的结论．常见的解题错误:
(1）条件理解错误（小前提错);
（2)定理引入和应用错误（大前提错)；
(３）推理过程错误等．
＼x（［题组训练])
１.已知a＝＼f(5－1,2),函数f(x)＝a x，若实数m，n满足f（m)〉f(n),则m,n的大小关系是。

解析：当０＜a<1时,函数f（x）=a x为减函数,
a=＼f(5－1,２）∈（0，1),∴函数f（x)=错误!x为减函数,故由f(m）〉ｆ(n),得m〈n。

答案：m〈ｎ
2．设a〉0，ｆ(x）＝e x
a
＋
a
e x
是R上的偶函数，求ａ的值．
解析：∵ｆ(x)=错误!＋错误!是R上的偶函数，
∴f（－ｘ)＝f（x)，即e－x
ａ
+错误!＝错误!+错误!，
∴错误!(e-x－eｘ)＋a错误!=0。

∴错误!错误!＝０对一切x∈Ｒ恒成立,
∴a-＼f(１，a)＝0，即a2=１．
又a〉０,∴ａ=1.
综合法与分析
法
（1)综合法与分析法是高考重点考查内容，一般以某一知识点作为载体，考查由分析法获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程.
（2)理解综合法与分析法的概念及区别,掌握两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、
辩证统一的关系,以便熟练运用两种方法解题.
错误!
1．综合法:是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法.
2．分析法:是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用,用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证（欲证)……”“即要证……”“只需证……"等分析到一个明显成立的结论P,再说明所要证明的数学问题成立.
［典例］设ａ〉０，b>０，a+ｂ＝1,
求证：错误!＋错误!+错误!≥8.
[证明] 法一:综合法
因为a＞0，b>０,a+ｂ=1，
所以1＝ａ+b≥2错误!,错误!≤错误!,ａｂ≤错误!,所以错误!≥4，
又错误!+错误!=(a+b)错误!=2+错误!+错误!≥4,
所以＼ｆ(１，a)+错误!+错误!≥８(当且仅当a=b＝错误!时等号成立)．
法二：分析法
因为a〉0,ｂ>0,a+b＝1，要证错误!＋错误!+错误!≥8.
只要证错误!+错误!≥８，
只要证错误!+错误!≥８，
即证
1
ａ
+
1
b
≥4.
也就是证ａ+b
ａ
＋
a+b
ｂ
≥４．
即证b
ａ
+＼f(a，b）≥２，
由基本不等式可知,当a>０,ｂ>０时,ｂ
a
+错误!≥2成立，
所以原不等式成立.
[类题通法]
综合法和分析法的特点
（１）综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式,而分析法的思路恰恰相反,它是执果索因的思维方式．（2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法:分析法是倒溯，综合法是顺推,二者各有
优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条理清晰，易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺，形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件．
＼x(［题组训练])
1．已知a>0，b〉０，如果不等式＼f(2，a）＋错误!≥错误!恒成立，那么m的最大值等于（ )
A．１0 Ｂ．９
C.８
D.７
解析：选Ｂ∵a>０,b〉0,∴2a＋ｂ〉０。

∴不等式可化为m≤错误!(2ａ＋b）＝5+２错误!．
∵５+2错误!≥5＋4＝9,即其最小值为9,
∴ｍ≤9,即ｍ的最大值等于９。

2.若a>b>ｃ＞ｄ>0且a＋d＝ｂ＋c,
求证:错误!＋错误!＜错误!+错误!．
证明:要证d+＼r(a)<错误!＋错误!，
只需证(d＋＼r（a))2<(b+c)2,
即a＋d+2＼r（ａd)＜ｂ＋ｃ+2ｂｃ,
因a＋d＝b＋c，只需证＼r（aｄ)＜＼r(ｂc),
即ａd<bc,设a+ｄ＝b+c＝t,
则ad－ｂｃ=（t-d)d-(t－c)c=(c－d)(c＋d-t）＜０,
故ad<bc成立,从而错误!+错误!<错误!+错误!成立。

反证法
(1）反证法是证明问题的一种方法,在高考中很少单独考查,常用来证明解答题中的一问.
（2)反证法是间接证明的一种基本方法,使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾．
错误!
１.使用反证法应注意的问题：利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的．
2．一般以下题型用反证法：
(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确;
(2)否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；
(３)有的肯定形式命题,由于已知或结论涉及无限个元素,用直接证明比较困难,往往用反证法．
[典例] （1)否定：“自然数a，b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）
A．a，b,ｃ都是偶数
B．a,b,ｃ都是奇数
C．a，b,c中至少有两个偶数
Ｄ．a,b，c中都是奇数或至少有两个偶数
(2)已知：ac≥2(b+d）.
求证:方程ｘ2+ａx+b＝0与方程x2+cx+ｄ=0中至少有一个方程有实数根．
[解析] (1)自然数a，b,ｃ的奇偶性共有四种情形：３个都是奇数，1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a,b，c中恰有一个偶数＂时正确的反设为“a，ｂ,c中都是奇数或至少有两个偶数."
答案:Ｄ
(２)证明：假设两方程都没有实数根.则Δ1＝a２-4ｂ〈0与Δ２=c2-4d＜０,有a2＋c２<4(b+d),而a２＋c2≥2aｃ，
从而有4（b＋d)〉２ａc,即ac<2(ｂ＋ｄ）,
与已知矛盾，故原命题成立.
[类题通法]
反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时,必须在假设中罗列出与原命题相异的结论,缺少任何一种可能，反证法都是不完全的.
＼x([题组训练]）
1．已知x∈Ｒ,a=ｘ2+错误!,b＝2－ｘ,c=ｘ2-x+1，试证明a，b，c至少有一个不小
于1。

证明:假设a，b,c均小于1,即ａ＜1，ｂ<1,c＜１，
则有a＋ｂ+ｃ＜3,
而ａ＋ｂ+c＝2x2-2x＋＼f（1,2）+3＝2错误!２+３≥3，
两者矛盾,所以假设不成立，
故a,b，c至少有一个不小于１。

２．设二次函数f（x）＝ａx2＋bx＋c(a≠0）中的a，ｂ,c都为整数，已知f(0),f(1)均为奇数，求证:方程f(x)=０无整数根.
证明:假设方程f(ｘ）＝0有一个整数根k,
则ak2+bk＋ｃ＝0,
∵ｆ(0）=c,f（1）=a+b＋c都为奇数,
∴a+b必为偶数，ak2+ｂk为奇数．
当k为偶数时，令ｋ=２n（n∈Z),
则ａk2＋bｋ=4ｎ2a+2nb=2ｎ(2na＋b)必为偶数,
与ak２+bk为奇数矛盾;
当k为奇数时,令k＝2ｎ＋1(n∈Ｚ），
则ak２+ｂk＝（２n+１）·（２ｎａ＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积,必为偶数，也与ak2＋bｋ为奇数矛盾．
综上可知方程f(x）=0无整数根.
数学归纳
法
（１）数学归纳法在近几年高考试题中都有所体现，常与数列、不等式结合在一起考查，一般涉及通项公式的求解，相关等式、不等式的证明等，考查模式一般为“归纳——猜想－—证明”.
(2)数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数有关的数学命题时,往往是非常有用的研究工具.在使用时注意“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可.
［考点精要］
1.定义：数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基）ｎ=ｎ0时结论成立．
第二步(归纳递推)假设ｎ=ｋ时，结论成立,推得ｎ=k+1时结论也成立．
2．注意问题：
①n＝ｎ0时成立，要弄清楚命题的含义.
②由假设ｎ＝ｋ成立证ｎ＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用n＝k成立的结论．
③要注意n＝k到n＝ｋ＋1时增加的项数．
[典例] 设a〉０,f（x)＝＼f(ax,a+x）,令ａ１＝1,aｎ＋1＝f（a n)，n∈Ｎ*．(１)写出a2,a3,a４的值，并猜想数列{aｎ}的通项公式;
（2)用数学归纳法证明你的结论．
[解］（1）∵a１=1,
∴a2＝f(a1)=f（１)＝错误!;
a
3
＝ｆ(ａ2)＝错误!；ａ4=f(a３）＝错误!．
猜想a n=错误!(n∈Ｎ*）．
（２)证明:①易知,n=1时,猜想正确．
②假设n＝k(k∈Ｎ*)时猜想正确，
即a k＝错误!，
则a k+１＝f(a k）=＼ｆ(a·a k,ａ+aｋ)=错误!
＝错误!＝错误!。

这说明,n=k＋1时猜想正确．
由①②知,对于任何ｎ∈N＊，都有a n＝
a
（n-1
+a）。

[类题通法]
与“归纳-猜想—证明”相关的常用题型的处理策略
(1）与函数有关的证明:由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．
(2)与数列有关的证明：利用已知条件,当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．
错误!
１.设数列{ａn}的前ｎ项和为S n,且对任意的自然数n都有:（S n-1)2=a nＳn，通过计算S １
,S2,S３,猜想S n=＿_______。

解析:由(S1-1）2＝S2，1得：Ｓ1=错误!;
由(S2-１）2＝（S2－Ｓ1）S2得:S2=错误!;
由(Ｓ3-1)2=（S３-S2)Ｓ3得：S３=3
4。

猜想Ｓｎ＝错误!.
答案: 错误!
2.设数列{ａn}的前n项和Ｓn=＼f（n(ａn+1）,2)（ｎ∈Ｎ＊),ａ２＝2.
（1)求｛ａn}的前三项ａ1，a２,a3;
（2)猜想{ａn｝的通项公式，并证明．
解：(1)由Ｓn=错误!得a1=１,又由a２=2,得ａ3=3。

(2)猜想：a n=n。

证明如下:①当n＝1时,猜想成立．
②假设当n＝ｋ（k≥2）时,猜想成立，即aｋ＝k，
那么当n＝k+1时，a k＋1=S k+1－Ｓk
＝错误!－错误!
＝错误!-错误!.
所以ａk＋1=错误!-错误!=ｋ＋１，
所以当n=k＋1时,猜想也成立．
根据①②知,对任意n∈N*，都有aｎ=n。

１.用演绎推理证明函数y＝x３是增函数时的大前提是( ）
A．增函数的定义
B.函数y=x3满足增函数的定义
Ｃ.若x1〈x2，则ｆ(x1）<f(ｘ2)
D．若ｘ1＞x2,则f（x１)〉f(x2)
解析：选 A 根据演绎推理的特点知,演绎推理是一种由一般到特殊的推理,所以函数y=x3是增函数的大前提应是增函数的定义．
2.数列{ａn}中,已知a1＝1，当n≥２时,aｎ=a n－1＋２n-１,依次计算ａ2，a３，ａ４后，猜想ａn的表达式是（）
A．aｎ＝3ｎ－2 ﻩ B.aｎ＝n2
C.aｎ＝３n-1ﻩＤ．a n＝4n-3
解析:选B 求得a2=４,a3＝9,a４＝16,猜想a n＝n２.
3．在平面直角坐标系内,方程＼f(x，a)＋错误!＝１表示在ｘ，ｙ轴上的截距分别为a,ｂ的直线，拓展到空间直角坐标系内,在x,ｙ，z轴上的截距分别为a,b，ｃ(ａbｃ≠0）的平面方程为( )
Ａ。

错误!+错误!+错误!=１B。

错误!＋错误!＋错误!＝1
Ｃ。

＼ｆ（xｙ，ab）+错误!+错误!=1 D．ax＋ｂy+cｚ＝１
解析：选A 类比到空间应选A。

另外也可将点（a,０，０）代入验证.
4．（山东高考)用反证法证明命题“设a，ｂ为实数,则方程x3＋ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是( ）
A.方程ｘ3+ax＋b=0没有实根
B.方程x3＋ax+b＝0至多有一个实根
C.方程x3＋aｘ＋ｂ=０至多有两个实根
D.方程x3+ax＋b=0恰好有两个实根
解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.
5．公差不为零的等差数列｛a n｝的前n项和为Sｎ。

若ａ４是a3与a7的等比中项，S8＝32,则S１０=（)
A.18 ﻩ
B.24
Ｃ．６0 ﻩＤ．９0
解析:选Ｃ由a错误!＝a3a7得(a１＋3d)２＝(a1+2ｄ)(a1+6d),即2ａ1+3d=0。

再由S8＝8a1+错误!d＝32,得2a１+7d=8,则d=２，a1=-3．所以S10=１0a1＋错误!ｄ=60,选C。

6.已知结论:“在正三角形ABC中,若D是边BC的中点，G是三角形ＡＢC的重心,则错误! =2”.若把该结论推广到空间,则有结论：“在棱长都相等的四面体AＢCD中,若△BCＤ的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”,则错误!=（）
A．1 ﻩB．２
C.３D．4
７.图１是一个水平摆放的小正方体木块，图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是。

解析：分别观察正方体的个数为：1,1+５,1+5+9,…
归纳可知,第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项,以4为公差的等差数列,
所以S n＝ｎ＋[n(n-1)×4]÷2=2n2-ｎ，
所以S7=2×72－7＝９1.
答案:91
８.用数学归纳法证明:(n＋１）+(n+2)+…＋(n+n)＝错误!(ｎ∈N*）的第二步中,当n＝ｋ＋1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于________．
解析:当n=k+1时，左边=(ｋ＋2)＋（k+3)+…+(２k+2)；当n=k时，左边＝（k＋1）＋(ｋ+2)+…＋2k,其差为(２k+１）+(2k＋2)-(k+1)=3ｋ＋2。

答案：3k+2
9．(全国卷Ⅰ)有三张卡片，分别写有1和2,1和３，２和３。

甲,乙,丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是２”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是＿__＿___＿.
解析:法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.
若丙的卡片上的数字是１和2,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是１和3,满足题意;
若丙的卡片上的数字是1和3,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2,不满足甲的说法．
故甲的卡片上的数字是1和３。

法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2。

又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2。

因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和３。

答案：1和3
１0．设函数f(ｘ)=e x ln x＋错误!，证明:ｆ（ｘ）>1.
证明:由题意知f（x）＞1等价于x ln ｘ>x e-x-＼f(２,e)．
设函数g（x)＝xｌn ｘ，则g′(x）=1＋ｌn ｘ。

所以当x∈错误!时,g′(x)〈０；
当x∈错误!时，ｇ′(ｘ)〉0。

故g（x）在错误!上单调递减,在错误!上单调递增，
从而ｇ（x)在（0,＋∞）上的最小值为g错误!＝－错误!．
设函数h（x）＝ｘe-ｘ-错误!，则h′(x）＝e-x（1-x).
所以当x∈(0，1)时,h′（ｘ）＞0；当x∈（1,＋∞)时,h′(ｘ)〈0．故h(x）在(０,1）上单调递增,在（1,＋∞)上单调递减，
从而h(x）在（0，＋∞)上的最大值为h(1）=－错误!．
综上，当x〉0时,g(x)〉h（ｘ)，即f(x）>1。

11．各项都为正数的数列｛ａn｝满足ａ1=1，a错误!－ａ错误!＝2. (1）求数列｛aｎ｝的通项公式;
（２)求证:错误!＋错误!＋…+错误!≤错误!对一切n∈N＊恒成立．
解：（１）∵a错误!－a错误!＝2,
∴数列｛a错误!}为首项为1，公差为2的等差数列,
∴a错误!＝1+(ｎ-1）·２＝2n-1，
又a n＞0,则a n＝错误!。

(2)证明：由（1)知,即证1＋错误!+…+错误!≤错误!。

①当n＝1时，左边＝１，右边＝1,所以不等式成立.
当n＝2时，左边〈右边，所以不等式成立.
②假设当n=ｋ(ｋ≥2，k∈N＊）时不等式成立，
即1+
1
＼r（3
)+…＋错误!≤错误!,
当n＝k＋1时,
左边=1＋错误!＋…＋错误!＋错误!≤错误!＋错误!〈错误!＋错误!
=2k－1＋错误!
=错误!=错误!。

所以当n＝ｋ+１时不等式成立．
由①②知对一切n∈Ｎ*不等式恒成立．
12.已知函数ｆ(x）=ｘ2－ａx＋ln(x+1）（a∈R)．
(1)当a=2时,求函数f（ｘ)的极值点；
(２)若函数f（ｘ)在区间(０，1)上恒有f′(x）〉x，求实数a的取值范围;
（３)已知a<1，c1〉0,且ｃn+１=f′(ｃｎ）（n＝1，2,…)，证明数列{cｎ}是单调递增数列.解:（1）当a=２时,f(x）＝x2-2x+ln（ｘ+1),
f′（x)=2x－２+
1
ｘ＋1
=错误!。

令f′（x）＝0,得x=±错误!。

当ｘ∈错误!时，f′(x）>0,f（x)单调递增，当ｘ∈错误!时，f′（x)<0，ｆ(ｘ)单调递减.当x∈错误!时，f′(x）>0，f(x)单调递增．∴函数ｆ（x)的极大值点为x=-错误!，
极小值点为ｘ＝错误!.
（2)∵f′（x）=2x-a＋错误!,
由f′(x)〉ｘ，
得2ｘ-a+错误!>x,
所以a＜x+
1
x+1
(0〈x〈1）恒成立，
又ｘ+
1
x＋1
=x+1+错误!-１〉1,
∴a≤1。

故所求实数ａ的取值范围为（－∞，１]．
(3）证明：(用数学归纳法证明)
①当n=１时，c2＝f′(c1）＝2c1-a＋错误!,
∵c1＞0，∴c1+1〉１，又a<1,
∴ｃ2-c１=c1-a+错误!=c１＋1＋错误!－(ａ＋１）〉２-(a+1）=1－a〉0，
∴c2〉ｃ1，即当n=1时结论成立.
②假设当n＝ｋ(k∈N*,k≥1)时结论成立，
即c k＋1〉ｃk>0，
当ｎ=k+1时,
c k
＋２
－c k+1=c k+1-a+错误!=ｃｋ＋１＋１+错误!-（a＋１)〉2-（a＋１)=1-a〉０.∴c k＋2〉ｃk＋1，
即当ｎ=k＋1时结论成立.
由①②知数列{c n｝是单调递增数列.
以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。

”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

物质生活极大丰富,科学技术飞速发展,
这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。

很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇
文档了,但只要你依然有着这样一份小小的坚持,你就会不断成长进步,当纷繁复杂
的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候，阅读一文或者做一道题却让我们静下心来,回归自我。

用学习来激活我们的想象力和思维,建立我们的信仰，从而保有我们纯粹的精神世界，抵御外部世界的袭扰。

The ａｂove is tｈe whole ｃoｎtｅｎt of tｈis aｒticle, Gｏｒｋｙsaid: "the book is the ladｄer of humａｎｐrogreｓs." I hoｐｅｙoｕ cａn ma ｋe progrｅss with the helｐｏf this ｌadｄer． Maｔｅrｉaｌ life ｉs e ｘtrｅmｅly ricｈ, scieｎce and tecｈｎology ａre devｅlopｉng rａpiｄ
ｌy， all of whiｃh ｇraduａllｙchange the way of peoｐｌe's ｓｔudｙand leiｓｕrｅ. Mａny ｐeople are ｎo longer ｅaｇer to pｕrsue a ｄocumeｎt, buｔ as long aｓyoｕ stilｌｈave sｕch a sｍall perｓiｓtence, ｙｏu wｉll contｉnue ｔo gｒｏw and ｐrogrｅss. Wｈｅn ｔｈe cｏmplex worlｄｌeads us to chase out， reａdｉｎg aｎartｉcle ｏｒｄoing a ｐrｏｂｌｅｍｍakes ｕs calm dｏwn anｄreｔｕｒn tｏ oｕrｓe
ｌvｅｓ． With learｎｉｎg, we caｎaｃtivate ｏuｒimａｇｉnation aｎd thinkiｎg, estａblisｈ our ｂｅｌief, ｋeep our ｐure ｓpirｉtual world and reｓｉsｔ thｅattack ｏｆｔｈｅ eｘternaｌwoｒld.。