第五章《平面向量》提高测试题

第五章《平面向量》提高测试题
（一）选择题（每题4分，共24分）
1．设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①（·
b ）
c －（c ·a ）b ＝0； ② |a |－|b |＜|a －b |； ③（·
）－（·）不与垂直； ④（3＋2）·（3－2）＝9||2－4||2
中，是真命题的有
（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④
【提示】
关于②，||、||，|－|表示三角形的三条边长，可得||－||＜|－|，故②是正确的，排除（C ）；关于④，利用向量的运算，可得④正确的．
【答案】（D ）．
【点评】
本题考查平面向量中零向量、共线向量、向量的垂直、向量的横等有关概念和向量的加、减、与实数的积，数量积这些差不多的运算及其运算性质．因为向量的数量积不满足结合律，即（a ·b ）·c ≠a ·（b ·c ），故命题①是错误的；而关于[（b ·
c ）a －（c ·a ）b ]·c ＝（·
）·－（·）·＝0，有（·）－（·）与是垂直的，故命题③是错误的．
2．已知向量1e ＝[1，0），2e ＝（0，1），则与21e ＋2e 垂直的向量是（ ）．
（A ）21e －2e （B ）1e －22e
（C ）21e ＋2e （D ）1e ＋22e
【提示一】
利用向量的坐标运算
∵ 1e ＝（1，0），2e ＝（0，1），
∴ 21e ＋2e ＝（2，1） 而1e －22e ＝（1，－2） 有（21e ＋2e ）（1e －22e ）＝2×1＋（－2）×1＝0， ∴ （21e ＋2e ）⊥（1e －22e ）． 【提示二】
利用向量的运算
由已知，得|1e |＝1，|2e |＝1，1e ·2e ＝0，
∴ （21e ＋2e ）（1e －22e ）＝21e －31e ·2e －22e ＝0，
∴ （21e ＋2e ）⊥（1e －22e ）．
【提示三】
利用向量的几何意义．由已知，可得1e 与2e 是互相垂直的单位向量．
如图，在直角坐标系中，21e ＋2e ＝OP ．
明显 21e －2e 表示的向量1不与
垂直，21e ＋2e 表示的向量3与重合；1e ＋22e 表示的向量4OP 也不与垂直．
【答案】（B ）．
【点评】
本题要紧考查向量垂直的充要条件．通常有三种方法，一是利用向量的坐标运算；二是利用向量的运算，三是利用向量的几何意义．
3．已知a ＝（－2，3），b ＝（3，2），若m 1＝a ·b ，m 2＝a ·（a ＋b ），m 3＝b （a ＋b ），
m 4＝（a ＋b ）（a －b ），m 5＝(a ＋b )2，则m 1，m 2，m 3，m 4，m 5的大小顺序是（ ）．
（A ）m 1＜m 2＝m 3＜m 4＜m 5
（B ）m 1＜m 3＝m 4＜m 2＜m 5
（C ）m 1＝m 4＜m 2＝m 3＜m 5
（D ）m 1＝m 5＜m 4＝m 2＜m 3
【提示】
利用向量的坐标运算，分别运算出m 1＝（－2）×3＋3×2＝0，m 2＝（－2）×1＋3×5＝13，m 3＝3×1＋2×5＝13，m 4＝1×（－5）＋5×1＝0，m 5＝26，因此m 1＝m 4＜m 2＝m 3＜m 5．
【答案】（C ）．
【点评】本题要紧考查向量的坐标运算及运算能力．
4．已知向量与不共线，＝＋k ，＝l ＋（k ，l ∈R ），则与共线的条件是（ ）．
（A ）k ＋l ＝0 （B ）k －l ＝0
（C ）kl ＋1＝0 （D ）kl －1＝0
【提示】
∵ AB ∥AC ，
∴ ＋k ＝λ（l ＋） （λ∈R ）
即 （1－λl ）＋（k －λ）＝
∵ 、不共线，则
⎩⎨⎧=-=-0
01λλk l ，消去λ，
∴ kl －1＝0．
【答案】（D ）．
【点评】
本题考查向量共线的充要条件、向量相等的充要条件及逻辑推理能力．即引入λ后，再设法消去λ，寻求k 与l 的关系式．
5．设0x ，1x ，2x 为平面上的三个向量，且满足0x k x ＝k 1，1x k x ＝11+k ，2x ·k x ＝21+k （k ＝1，2），则能使a 1x ＋b 2x ＝0x 成立的常数a 、b 的值是（ ）．
（A ）a ＝6，b ＝6 （B ）a ＝－6，b ＝6
（C ）a ＝6，b ＝－6 （D ）a ＝－6，b ＝－6
【提示】要求a 、b 的值，必需寻求含有a 、b 的两个关系式．
由已知，得
0x ·1x ＝1，0x ·2x ＝21，1x ·2x ＝3
1， 1x 2＝21，2x 2＝4
1． 关于a 1x ＋b 2x ＝0x ， 等式两边同乘以1x ，得 a 1x 2＋b 1x ·2x ＝0x ·1x ，
即 21a ＋3
1b ＝1． ① 等式两边同乘以2x ，得 a 1x ·2x ＋b 2x 2＝0x ·2x ，
即 31a ＋41b ＝2
1． ② 由①、②，可得
a ＝6，
b ＝－6．
【答案】（C ）．
【点评】本题考查平面向量的数量积及运算律，考查方程的思想方法及逻辑推理能力．
6．在四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，K 是CD 的中点，则以线段AK ，CE ，BK ，DE 的中点为顶点的四边形是（ ）．
（A ）任意四边形 （B ）平行四边形
（C ）矩形 （D ）菱形
【提示一】利用坐标法．
设A （a 1，a 2），B （b 1，b 2），C （c 1，c 2），D （d 1，d 2），则K （211d c +，2
22d c +）， E （211b a +，2
22b a +）， 若AK ，BK ，CE ，DE 的中点分别为O 1，O 2，O 3，O 4，则
O 1，O 2，O 3，O 4，则
O 1（42211d c a ++，4
2222d c a ++），O 2（42111d c b ++，42222d c b ++）， O 3（
42111b a c ++，42222b a c ++），O 4（42111b a d ++，42222b a d ++）． 因此，
O 1O 2的中点坐标为（
41111d c b a +++，4
2222d c b a +++）， O 3O 4的中点坐标为（41111d c b a +++，42222d c b a +++）． ∴ 四边形O 1O 4O 2O 3为平行四边形． 利用向量的坐标运算，可进一步验证41O O ·24O O ≠0，排除（C ）；21O O ·43O O ≠0，排除（D ）．
【提示二】利用向量式
若AK ，BK ，CE ，DE 的中点分别为O 1，O 2，O 3，O 4，则
1EO ＝21（EA ＋EK ），2EO ＝2
1（EB ＋EK ）， 3EO ＝21＝2
1（＋）， 4EO ＝21＝2
1（＋）． ∴ 14O O ＝1－4EO ＝
2
1[（EA ＋EK ）－（EA ＋AD ）] ＝21（EK －AD ）
＝
2
1[（EA ＋AD ＋DK ）－AD ] ＝2
1（EA ＋DK ） ＝21[（21）＋（21）] ＝41（＋）． 又 32O O ＝3EO －2EO ＝
2
1[（EB ＋BC ）－（EB ＋EK ）] ＝2
1（－EK ） ＝2
1[－（＋＋）] ＝2
1（－－） ＝21[（21）＋（21）] ＝41（BA ＋DC ）． ∴ 14O O ＝32O O ，即四边形O 1O 4O 2O 3是平行四边形．
【答案】（B ）．
【点评】本题要紧考查了向量的运算，提示一利用向量的坐标表示及线段的中点坐标公式．将平面几何图形的位置关系转化为坐标的运算问题；提示二利用向量的加、减法运算律，线段中点的向量形式，将问题转化为向量的线性运算，这正表达了向量工具的重要作用之一．
（二）填空题（每题4分，共20分）
1．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A （0，0），B （3，1），C （4，1），则D 点的坐标为__________．
【提示】设D （x ，y ），在□ABCD 中，由＝，得
（4－x ，3－y ）＝（3，1）
∴ ⎩⎨⎧=-=-．1334y x 即⎩
⎨⎧==．21y x 【提示二】
设点O 为□ABCD 中两条对角线AC 、BD 的交点．
∵ A （O ，O ），C （4，3），且O 为AC 的中点，
∴ O （2，2
3）． 又 O 为BD 的中点，B （3，1），
∴ D （1，2）．
【答案】（1，2）．
【点评】本题考查向量的基础知识及其运算．
求点的坐标的差不多方法有两种，一是利用向量的坐标运算，本题提示一利用了相等向量的定义，也可由＝BC ，求得点D 的坐标；二是利用线段的定比分点的坐标公式，提示二的解法利用了中点坐标公式．
2．已知a ＝（m ＋1，－3），b ＝（1，m －1），且（a ＋b ）⊥（a －b ），则m 的值是__________．
【提示】先由向量a 、b 的坐标，求得a ＋b ＝（m ＋2，m －4），a －b ＝（m ，－2－m ），再利用向量垂直的充要条件，得（＋）·（－）＝0，即
（m ＋2）×m ＋（m －4）×（－2－m ）＝0，
解出 m ＝－2．
【答案】－2．
【点评】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的充要条件及运算能力．
3．将函数y ＝log 3（2 x ＋1）－4的图象按向量a 平移后得到的是函数y ＝log 32x 的图象，则的坐标是___________． 【提示】设平移向量＝（h ，k ）．
由平移公式⎩⎨⎧+='+='．k y y h x x 即 ⎩⎨⎧-'=-'=．
k y y h x x 把（x ，y ）代入y ＝log 3（2 x ＋1）－4中，得
y ′－k ＝log 3[2（x ′－h ）＋1]－4，
即 y ′＝log 3[2 x ′＋（1－2 h ）]＋（k －4）．
∵ 平移后得到的是函数 y ＝log 32x 的图象，
∴ ⎩⎨⎧=-=．－04021k h 即⎪⎩⎪⎨⎧==．
421k h ∴ ＝（2
1，4）． 【点评】利用平移能够将复杂函数式转化为简单函数式，这是研究函数的一种重要方法．
4．若向量＝（3，－1），＝（2
1，23），＝＋（x 2－3），＝－y ＋x ，且x 3－3 x －4 y ＝0，则与的夹角等于________． 【提示】要求与的夹角，可通过·
来解．据已知， ·
＝－y ||2＋x （x 2－3）|p |2＋[x －y （x 2－3）] ·p ． 又 ||2＝4，||2＝1，
m ·＝3×2
1＋（－1）×23＝0． ∴ u ·
v ＝－4 y ＋x 3－3 x ＝（x 3－3 x ）＋x 3－3 x
＝0．
∴ u ⊥v ，即u 与v 的夹角为90°．
【答案】90°．
【点评】本题要紧考查向量的数量积及运算律．考查运算及逻辑推理能力．
5．求值：sin 2 20°＋cos 2 80°＋3sin 20°cos 80°＝_________．
【提示】
分析原式的结构特点，联想到余弦定理．将其转化为边长的形式，构造三角形可求得原式的值．
【解】由于 cos 80°＝sin 10°，则
sin 220＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°
＝sin 220°＋sin 210°＋3sin 20°sin 10°．
构造△ABC ，使A ＝20°，B ＝10°，C ＝150°，三角形的外接圆半径为R ．
则由正弦定理，得a ＝2 R sin A ，b ＝2 R sin B ，c ＝2 R sin C ．
再据余弦定理，有c 2＝a 2＋b 2－2 ab cos C ，
(2 R sin C )2＝(2 R sin A )2＋(2 R sin B )2－2 (2 R sin A) (2 R sin B ) cos C ．
即 sin 2 C ＝sin 2 A ＋sin 2 B －2 sin A sin B cos C ．
sin 2 150°＝sin 220°＋sin 210°－2 sin 20°sin 10°cos 150°．
∴ sin 2 20°＋cos 2 80°＋3sin 20°cos 80°＝
41． 【点评】
本题的解法专门多，常用的方法是逆用倍角公式，由 sin 220°＝
240cos 1︒-，cos 280°＝2
160cos 1︒+，然后再利用和差化积，积化和差公式，两角和差的三角函数式来化简，一样解题过程较长．前面提供的解法能够说另辟蹊径，据已知三角形函数式结特点，构造三角形，借用余弦定理求解思路新奇，简捷明快．
（三）解答题（每题14分，共56分）
1．在△AB C 中，A ＝120°，sin B ∶ sin C ＝3︰2，S △ABC ＝63，求a ．
【提示】
在△ABC 中，要求a 的值，已知A ，应用余弦定理，只需求得b ，c 的长．由sin B ∶sin C ＝3∶2，应用正弦定理，可将角的关系转化为b 、c 边的关系，再利用面积公式，得b 、c 的另一个关系式，解关于b 、c 的二元方程组，即可．
【答案】
在△ABC 中，由正弦定理，得
c b ＝C B sin sin ＝2
3． ① 又S △ABC ＝21bc sin A ＝2
1bc sin 120°＝63， 因此，bc ＝24． ②
由①、②，可得b ＝6，c ＝4．（负值舍去）
据余弦定理，得
a 2＝
b 2＋
c 2－2 bc cos A
＝36＋16－2×6×4×cos 120°
＝76，
∴ a ＝219．
【点评】
本题考查应用正弦定理、余弦定明白得斜三角形的有关知识．在解三角形时，常常要将正弦定理，余弦定理交替使用，尽管有时不是直截了当求出结果，但为了过渡，也是专门有必要的．
2．如图，在四边ABCD 中，BC ＝a ，DC ＝2 a ，四个内角A 、B 、C 、D 的度数的比为 3︰7︰4︰10，求AB 的长．
【提示】
由于AB 在△ABD 中，寻求使△ABD 有解的条件是关键，据四边形内角和为360°及四个内角之比，可求得四个内角．现在△BDC 便是已知两边BC 、DC 及夹角C ．因此那个三角形可解．借助△BDC 能够求的BD ，∠ACB 用正弦定理可得AB ．
【解】连BD ，设四个角A 、B 、C 、D 的度数分别为3 x ，7 x ，4 x ，10 x ．则由四边形内角
和，有3 x ＋7 x ＋4 x ＋10 x ＝360°
∴ x ＝15°．
∴ A ＝45°，B ＝105°，C ＝60°，D ＝150°．
在△BCD 中，由余弦定理，得
BD 2＝BC 2＋CD 2－2 BC · CD cos C
＝a 2＋4 a 2－2 a · 2 a ·21
＝3 a 2．
∴ BD ＝3a ．
这时有，BD 2＋BC 2＝DC 2，则△BDC 为直角三角形，∠DBC ＝90°．
∴ ∠CDB ＝30°．
因此 ∠ADB ＝120°．
在△ADB 中，由正弦定理，得
AB ＝A ADB BD sin sin
＝22233 a ＝a 2
23． 【点评】 本题重点考查正弦定理，余弦定理及解斜三角形的差不多方法、题目的已知条件以四边形为背景给出．实际四个内角和两条边已知，去求另外一边AB ．一样的思路将所求的边AB 放在三角形内，求解那个三角形是问题解决的核心，这就需要依照已知条件寻求解决AB 所在三角形的充分条件．该找边的找边、该求角的求角．解决问题过程中，还需注意设计好演算程序，先求谁，后求谁，再求谁．显得思路清晰、演算合理．
3．设锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，边BC 的中点为M ，自顶点向BC 引垂线，垂足为D ，并在垂线上取一点H ，与M 在AO 的同一侧，使得AH ＝2 OM ，若OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ． （1）试用a 、b 、c 表示OM 、OH ；
（2）据（1）的结论，证明BH ⊥AC ，CH ⊥AB ．
【提示】
（1）用a 、b 、c 表示OM 、OH ，即寻求OM ，OH 关于a 、b 、c 的线性分解式，在△BOC 中，可得OM ，再利用AH ＝2OM ，而AH ＝AO ＋OH ，得OH ；（2）要证BH ⊥AC ，只需证明BH ·＝0，用、、表示，，化简即可，同理可证CH ⊥AB ．
【答案】
（1）在△BOC 中，M 为BC 的中点，
∴ OM ＝21（OB ＋OC ）＝2
1（b ＋c ）． ∵ ＝2OM ，
∴ ＝＋，
∴ OH ＝－AO ＝＋OA ＝a ＋b ＋c ，
（2）∵ BH ＝BO ＋OH ＝－b ＋（a ＋b ＋c ）＝a ＋c ，
＝＋＝－＋，
∴ BH ·＝（＋）（－＋）＝||2－||2
又 O 为△ABC 外接圆的圆心，有 ||＝||＝||．
∴ BH ·＝0，即 BH ⊥AC ． 同理，CH ＝a ＋b ，AB ＝b －a ，
CH ·AB ＝（a ＋b ）（b －a ）＝|b |2－|a |2＝0，
∴ CH ⊥AB ．
【点评】本题考查向量的加减法及运算律，向量的差不多定理及向量垂直的充要条件，考查逻辑推理能力．
4．试证：从任意五个向量中总能够选出两个，使得它们之和的长不超过其余三个向量之和的长．
【提示】
这是一个存在性命题，由于五个向量是任意、故专门难从正向直截了当推证，可采纳反证法．
【证明】 考虑五个向量1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，假设其中任意两个向量和的长均大于其余三个向量和之长，则有 |1a ＋2a |＞|3a ＋4a ＋5a |，
∴ |1a |2＋21a ·2a ＋|2a |2＞|3a |2＋|4a |2＋|5a |2＋2（3a ·4a ）＋23a ·
5a ＋24a ·5a ． 那个地点类似上面的i a ＋j a （i ≠j ）．共有10种情形，这10个不等式，左边、右边
分别相加，得
4（|1a |2＋|2a |2＋…＋|5a |2）＋2
∑≤<≤51j i j i a a ⋅＞6（|1a |2＋|2a |2＋…＋|5a |2）＋6∑≤<≤51j i j i a a ⋅．
整理值有 |1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a |2＜0．
这是不可能的，故假设不真，原命题得证．
【点评】
本题就知识而言重点考查向量的数量积运算：就方法而言考查了反证法的数学方法．就能力而言考查了思维能力及严密的推理论证能力．题目所证尽管是存在性问题，能从五个向量中，找到一种情形即可．但由于已知向量的任意性，使得情形变的复杂，逐一排除进行选择确定难度专门大，运用等价命题的思想采纳反证法十分凑效．。