[学科竞赛]小学数学奥数教练员等级考试2
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总之，符合要求的分数共有 58+29+38+44+28＝197（个）
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例2：如图，矩形被分成A,B,C,D,E共5个区域，现用红、 黄、蓝、绿、紫5种颜色去染色，要求每个区域只染一种 颜色，且相邻的区域颜色不相同，问有多少种染色方法？
解：从相连区域最多的A开始染色， 有5种染法。
再给C区域染色，因为与A不同色， 故有4种染法。
（2）如果这三类数中一个里没有数，根据抽屉原理2 可知，在两个不空的类中必有某一类含有三个数，即 必有三个数被3除的余数相同，而余数相同的三个数 之和必是3的倍数。
因此，无论5个整数在三个类中如何分布，总能找 到其和为3的倍数的三个数。
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例3：设 x1, x2 ,, x8 是任意互异的8个整数，试证明
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下一页Leabharlann 练习：1、从分别写有1～6的六张卡片中任取两张，用卡片上 的数组成一个分数，求所得分数是最简真分数的概率。
11/15 2、在１～1000的自然数中随意取1个，这个数与15互 质的可能性有多大？
533/1000
３、甲、乙两人相约在7点至8点在某地会面，并约定， 先到的要等20分钟，如果另一个还不到就可以离去。 假定两人在约定的1小时内任一时刻到达的可能性都 相同，求两人能会面的概率。
解：凡被拉过偶数次的灯是亮的，再加上未被拉过 的灯就是仍亮灯的总数。
被2整除的数有998个； 被３整除的数有665个；
被５整除的数有399个； 被6整除的数有332个；
被10整除的数有199个； 被15整除的数有133个；
被３0整除的数有66个； 未被拉过的灯数
＝1997－(998+665+399)+(332+199+133)-66=533
所以B＝300，BAC 180 0－300 ＝750 2
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（2）如果BC是等腰三角形的腰，高AD 的垂足D在BC,如图3
则因为AD BC ＝AB 22
所以ABD＝300，BAC ABD＝150 2
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例3：已知：长方形ABCD的边长分别为5cm和12cm。在 对角线AC上有一点P,AP＝6cm。Q是这个长方形边界上 的点，△APQ是等腰三角形。有多少个这样的点Q？试画 图说明。
解：因为点P到AD的距离小于6，
所以P到BC的距离大于6．又PD＞６，所以
（1）设AP是等腰三角形的腰，并且A是等腰三角形的顶 点．则Q在以A为圆心，AP为半径的圆上．此圆与长方 形ABCD的边界有两个交点．
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（2）设AP是腰，并且P是等腰三角形的顶点，则 Q在以P为圆心、AP为半径的圆上．此圆与长方形 ABCD的边界的交点除点A外另有四点．
（3）如果AP是等腰三角形的底边，则Q在AP的垂 直平分线上．AP的垂直平分线与长方形ABCD的边 界也有两个交点．
因此，共有8个这样的点．
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练习：
1、已知：在四边形ABCD 中，A＝C＝900， B＝450，AB 7,CD 3.则这个四边形的面 积是 20 。
乘法原理：如果完成一件事有n个步骤，在第一步有 m1 种方法，做完第一步后做第二步有m2种方法，…，最 后种做不第同n的步方有法。mNn种m方1 法m，2 那么完m成n 这件事共有
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例1：分子小于6而分母小于60的不可约真分数有多少个？
解：分子的取值范围是从1到5。 当分子为1时，分母可从2到59，共有58个真分数， 它们当然都是不可约分数。
解：从A袋中任取2球，从B中任取1个球有
C120 C110 450 种方法
3球颜色相同可分为3类
全是红球有 C32 C15＝15种方法 全是白球有 C32 C13＝９种方法 全是黑球有 C24 C12＝12种方法
故3球颜色相同共有方法 １５+9+12＝36 种
所求概率为
36 ＝ 2 450 25
4、四个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余三 个人中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互 赠过礼品。
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二、容斥原理
例1：已知某中学共有学生900人，其中男生528人，高中 学生312人，团员670人，高中男生192人，男团员336人， 高中团员247人，高中男团员175人，试问这些数据统计 有无错误？
再给D区域染色，因为与A,C均不同色，故有3种染法。
再给B区域染色，因为与A,C均不同色，故有3种染法。
最后给E区域染色，因为与A,C,D均不同色，故有２种染 法。
由乘法原理得：N＝5 433 2＝36（0 种）
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例3：用1，2，3，4，5组成数字不重复的五位数，要求1 不在万位，2不在千位，3不在百位，4不在十位，5不在个 位，问这样的五位数有多少个？
解：用I表示全校学生，A表示该校男生，B表示该校 高中学生，C表示团员，则有 ｜I｜＝900, ｜A｜＝528, ｜B｜＝312, ｜C｜＝670， 且｜A∩B|=192, |A∩C|=336, |B∩C|=247,|A∩B∩C|=175
这样，初中女生的非团员数应为
N=|I|-|A|-|B|-|C|+|A∩B|+ |B∩C|+ |A∩C|- |A∩B∩C|
=900-528-312-670+192+336+247-175=-10<0
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例2、有1997盏亮着的电灯，各自一个拉线开关控制着。 现将其顺序编号为1，2，…，1997。然后将编号为2的倍 数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最 后将编号为5的倍数的灯线拉一下，3次拉完后还有几盏 灯是亮的？
３、在从1到1998的自然数中，能被37整除，但不能被2 整除，也不能被3整除的数的个数等于 18 。
4、在1至100这100个数中，有既不能被5整除也不能 被9整除的数，它们的和是 3541 。
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三、计数原理 加法原理：如果完成一件事有n类办法，在第一类办法
中有 m1 种方法，在第二类办法中有 m2 种方法…， 在第n 类办法中有 mn 种方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。N m1 m2 mn
其中一定存在6个这样的整数，只用减号、括号、乘号 就能把它们连成105的倍数。
证明：根据抽屉原理1，在所给的8个整数中，必有两
个数被7除余数相同，不妨设这两个数为x1, x2 ,
则有７｜(x1－x2 ),
在剩下的6整数中，必有两个数被5除余数相同，
不妨设这两个数为 x3, x4 , 则有5｜(x3－x4 ),
1 3 4, (25134)
541331,,
(25413) (25431)
得出11个五位数，同样地，万位数字为3，4，5 时也有11个符合条件的五位数，共得44个
这个问题叫错位问题，也叫贝努利问题，公式为
n![1 n (1)i 1]
i 1
i!
练习：
1、用0，1，2，3组成个位数不是1的没有重复数字
的4位数共 14
个。
2、已知三位数各位上的数字的和等于10，这样的三
位数共有多少个？
54
3、比1/2大，比7小，分母是6的最简分数有 13 个。
４、自然数N可以分解为273553，则N有多少个不同
的正约数？
192
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四、概率问题
例１：甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博 弈手段，每掷一次，若正面朝上，则甲得1分，不得分； 若反面朝上，则乙得1分，甲不得分。谁先得到事先约 定的分数，谁就赢得全部赌注。当进行到甲还差2分， 乙还差3分就分别达到约定的分数时，他们不愿继续赌 下去了，这时应该如何公平地分配赌注？
解：为了能分出胜负，最多需要再掷4次，共有16种 等可能的结果。
其中至少出现两次正面朝上的结果有11个，这种
情况下，甲胜；至少出现三次负面朝上的结果有
5个，此时乙胜。
即甲的概率为 11 乙胜的概率为 5
16
16
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例2：A袋中有3个红球、3个白球、4个黑球，B袋中 有5个红球、3个白球、2个黑球，现从A袋中任取2 个球、从B袋中任取1个球。求3球颜色相同的概率。
由这3个点为顶点构成的三角形的面积不超过 小正方形面积的1/2，即1/8。
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例2：求证：在任何5个整数中，总可以找到这样的3个数， 它们的和是3的倍数。
证明：将所给的5个整数按照除以3的余数分为三类，
（1）若每一类都有数，则在每类中各取一个数，它们 被3除的余数分别为0，1，2。显然，这三个数的和是3 的倍数。
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被拉过偶数次的灯数 ＝ (332+199+133)-3*66=466
故总的亮灯数为 N＝533+466＝999
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练习：
1、在春光小学“创造杯”展览会上，展品中有26件不 是六年级的，有25件不是五年级的。已知五、六年级 展品共35件，那么五年级的展品有 18 件。 2、甲、乙、丙三个人共解出20道数学题，每人都解出 了其中的12道题，每道题都有人解出。只有1人解出的 题叫做难题，只有两人解出的题叫中等题，三人解出 的题叫做容易题。难题比容易题多 4 题。
所以 S＝90+60＝150 cm2
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例2：已知，ABC是等腰三角形，高AD＝1 BC。 2
则BAC ＝
。
A
解：分三种情况：
（1）如果BC是等腰三角形的底边，则
AD=BD=CD,所以 BAC 900
B
D
C
（2）如果BC是等腰三角形的腰，高AD
的垂足D在BC,如图２
则因为AD BC ＝AB 22
里去，那么至少有一个抽屉里放的物体不少于m+1件。
利用抽屉原理解题，关键在于恰当地“构造”抽 屉！
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例1：如果在边长为1的正方形中，任意放入9个点，则 至少存在这样的三点，以它们为顶点构成的三角形的 面积不超过１/8。
解：把正方形如图所示四等份
9 421
由抽屉原理2，至少有一个小正方形里放入了3个点。
在剩下的4整数中，必有两个数被3除余数相同，
不妨设这两个数为 x5 , x6 , 则有3｜(x5－x6 ),
则 105｜(x1－x2 )( x3－x4 )( x5－x6 ),
所以，在给定的8个数中，一定可以找到6个数
x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 , 使得 (x1－x2 )( x3－x4 )( x5－x6 ), 是105的倍数。
由于2，3，5都是质数，因此当分子分别为2，3， 5时，分母必须而且只须适合下列二个条件：
（1）分母大于分子且小于60；
（２）分母不是分子的倍数。
故当分子为2时，适合条件的分母有29个；
当分子为３时，适合条件的分母有38个；
当分子为５时，适合条件的分母有44个；
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当分子为4时，与分子为２基本相同，分母不能 为偶数，此外分母不能为3，所以共有28个。
解：因为万位不能为1，故只能是2，3，4，5。先看万 位为2的情况，画树枝图一一列举：
154
5 3
3, 4,
(21453) (21534)
3145541,,
(23154) (23451)
2
5 1 4, (23514) 1 5 3, (24153)
451331,,
(24513) (24531)
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练习：
1、从1至36个数中，最多可以取出 5 个数，使得这些 数中没有两数的差是5的倍数。
2、从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取 个数99，9 能使这些数中任意两个数的差都不等于9。
3、有形状、长短都完全一样的红筷子、黑筷子、白筷 子、黄筷子、紫筷子和花筷子各25根。在黑暗中至少 应摸出 21 根筷子，才能保证摸出的筷子至少有8双。 （每两根花筷子或两根同色的筷子为一双）
5/9
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五、几何问题
例1：如图，长方形ABCD ，AB 20, BC 18cm，E是AB
的中点，F,G分别在AD、BC上，AF 1 AD，BG 2 BC，
3
3
H是CD上的任意一点，则图中阴影部分的面积是
。
解：连接AH，则 AEH的面积为 18 10 2 90cm2
AFH和CHG的底AF CG AFH和CHG的高HD CH＝20cm AFH和CHG 的的面积和是（18 3） 20 2＝60cm2
小学数学奥数教练员等级考试2
培训讲座
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第四讲：专题选讲
• 抽屉原理 • 容斥原理 • 计数原理 • 概率问题 • 几何问题 • 其他
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一、抽屉原理
抽屉原理1：如果将n+1件物体放到n个抽屉里去，那么 至少有一个抽屉里放的物体不少于两件。
抽屉原理２：如果将多于 m n 件物体放到n个抽屉
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例2：如图，矩形被分成A,B,C,D,E共5个区域，现用红、 黄、蓝、绿、紫5种颜色去染色，要求每个区域只染一种 颜色，且相邻的区域颜色不相同，问有多少种染色方法？
解：从相连区域最多的A开始染色， 有5种染法。
再给C区域染色，因为与A不同色， 故有4种染法。
（2）如果这三类数中一个里没有数，根据抽屉原理2 可知，在两个不空的类中必有某一类含有三个数，即 必有三个数被3除的余数相同，而余数相同的三个数 之和必是3的倍数。
因此，无论5个整数在三个类中如何分布，总能找 到其和为3的倍数的三个数。
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例3：设 x1, x2 ,, x8 是任意互异的8个整数，试证明
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下一页Leabharlann 练习：1、从分别写有1～6的六张卡片中任取两张，用卡片上 的数组成一个分数，求所得分数是最简真分数的概率。
11/15 2、在１～1000的自然数中随意取1个，这个数与15互 质的可能性有多大？
533/1000
３、甲、乙两人相约在7点至8点在某地会面，并约定， 先到的要等20分钟，如果另一个还不到就可以离去。 假定两人在约定的1小时内任一时刻到达的可能性都 相同，求两人能会面的概率。
解：凡被拉过偶数次的灯是亮的，再加上未被拉过 的灯就是仍亮灯的总数。
被2整除的数有998个； 被３整除的数有665个；
被５整除的数有399个； 被6整除的数有332个；
被10整除的数有199个； 被15整除的数有133个；
被３0整除的数有66个； 未被拉过的灯数
＝1997－(998+665+399)+(332+199+133)-66=533
所以B＝300，BAC 180 0－300 ＝750 2
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（2）如果BC是等腰三角形的腰，高AD 的垂足D在BC,如图3
则因为AD BC ＝AB 22
所以ABD＝300，BAC ABD＝150 2
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例3：已知：长方形ABCD的边长分别为5cm和12cm。在 对角线AC上有一点P,AP＝6cm。Q是这个长方形边界上 的点，△APQ是等腰三角形。有多少个这样的点Q？试画 图说明。
解：因为点P到AD的距离小于6，
所以P到BC的距离大于6．又PD＞６，所以
（1）设AP是等腰三角形的腰，并且A是等腰三角形的顶 点．则Q在以A为圆心，AP为半径的圆上．此圆与长方 形ABCD的边界有两个交点．
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（2）设AP是腰，并且P是等腰三角形的顶点，则 Q在以P为圆心、AP为半径的圆上．此圆与长方形 ABCD的边界的交点除点A外另有四点．
（3）如果AP是等腰三角形的底边，则Q在AP的垂 直平分线上．AP的垂直平分线与长方形ABCD的边 界也有两个交点．
因此，共有8个这样的点．
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练习：
1、已知：在四边形ABCD 中，A＝C＝900， B＝450，AB 7,CD 3.则这个四边形的面 积是 20 。
乘法原理：如果完成一件事有n个步骤，在第一步有 m1 种方法，做完第一步后做第二步有m2种方法，…，最 后种做不第同n的步方有法。mNn种m方1 法m，2 那么完m成n 这件事共有
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例1：分子小于6而分母小于60的不可约真分数有多少个？
解：分子的取值范围是从1到5。 当分子为1时，分母可从2到59，共有58个真分数， 它们当然都是不可约分数。
解：从A袋中任取2球，从B中任取1个球有
C120 C110 450 种方法
3球颜色相同可分为3类
全是红球有 C32 C15＝15种方法 全是白球有 C32 C13＝９种方法 全是黑球有 C24 C12＝12种方法
故3球颜色相同共有方法 １５+9+12＝36 种
所求概率为
36 ＝ 2 450 25
4、四个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余三 个人中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互 赠过礼品。
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二、容斥原理
例1：已知某中学共有学生900人，其中男生528人，高中 学生312人，团员670人，高中男生192人，男团员336人， 高中团员247人，高中男团员175人，试问这些数据统计 有无错误？
再给D区域染色，因为与A,C均不同色，故有3种染法。
再给B区域染色，因为与A,C均不同色，故有3种染法。
最后给E区域染色，因为与A,C,D均不同色，故有２种染 法。
由乘法原理得：N＝5 433 2＝36（0 种）
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例3：用1，2，3，4，5组成数字不重复的五位数，要求1 不在万位，2不在千位，3不在百位，4不在十位，5不在个 位，问这样的五位数有多少个？
解：用I表示全校学生，A表示该校男生，B表示该校 高中学生，C表示团员，则有 ｜I｜＝900, ｜A｜＝528, ｜B｜＝312, ｜C｜＝670， 且｜A∩B|=192, |A∩C|=336, |B∩C|=247,|A∩B∩C|=175
这样，初中女生的非团员数应为
N=|I|-|A|-|B|-|C|+|A∩B|+ |B∩C|+ |A∩C|- |A∩B∩C|
=900-528-312-670+192+336+247-175=-10<0
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例2、有1997盏亮着的电灯，各自一个拉线开关控制着。 现将其顺序编号为1，2，…，1997。然后将编号为2的倍 数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最 后将编号为5的倍数的灯线拉一下，3次拉完后还有几盏 灯是亮的？
３、在从1到1998的自然数中，能被37整除，但不能被2 整除，也不能被3整除的数的个数等于 18 。
4、在1至100这100个数中，有既不能被5整除也不能 被9整除的数，它们的和是 3541 。
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三、计数原理 加法原理：如果完成一件事有n类办法，在第一类办法
中有 m1 种方法，在第二类办法中有 m2 种方法…， 在第n 类办法中有 mn 种方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。N m1 m2 mn
其中一定存在6个这样的整数，只用减号、括号、乘号 就能把它们连成105的倍数。
证明：根据抽屉原理1，在所给的8个整数中，必有两
个数被7除余数相同，不妨设这两个数为x1, x2 ,
则有７｜(x1－x2 ),
在剩下的6整数中，必有两个数被5除余数相同，
不妨设这两个数为 x3, x4 , 则有5｜(x3－x4 ),
1 3 4, (25134)
541331,,
(25413) (25431)
得出11个五位数，同样地，万位数字为3，4，5 时也有11个符合条件的五位数，共得44个
这个问题叫错位问题，也叫贝努利问题，公式为
n![1 n (1)i 1]
i 1
i!
练习：
1、用0，1，2，3组成个位数不是1的没有重复数字
的4位数共 14
个。
2、已知三位数各位上的数字的和等于10，这样的三
位数共有多少个？
54
3、比1/2大，比7小，分母是6的最简分数有 13 个。
４、自然数N可以分解为273553，则N有多少个不同
的正约数？
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四、概率问题
例１：甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博 弈手段，每掷一次，若正面朝上，则甲得1分，不得分； 若反面朝上，则乙得1分，甲不得分。谁先得到事先约 定的分数，谁就赢得全部赌注。当进行到甲还差2分， 乙还差3分就分别达到约定的分数时，他们不愿继续赌 下去了，这时应该如何公平地分配赌注？
解：为了能分出胜负，最多需要再掷4次，共有16种 等可能的结果。
其中至少出现两次正面朝上的结果有11个，这种
情况下，甲胜；至少出现三次负面朝上的结果有
5个，此时乙胜。
即甲的概率为 11 乙胜的概率为 5
16
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例2：A袋中有3个红球、3个白球、4个黑球，B袋中 有5个红球、3个白球、2个黑球，现从A袋中任取2 个球、从B袋中任取1个球。求3球颜色相同的概率。
由这3个点为顶点构成的三角形的面积不超过 小正方形面积的1/2，即1/8。
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例2：求证：在任何5个整数中，总可以找到这样的3个数， 它们的和是3的倍数。
证明：将所给的5个整数按照除以3的余数分为三类，
（1）若每一类都有数，则在每类中各取一个数，它们 被3除的余数分别为0，1，2。显然，这三个数的和是3 的倍数。
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被拉过偶数次的灯数 ＝ (332+199+133)-3*66=466
故总的亮灯数为 N＝533+466＝999
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练习：
1、在春光小学“创造杯”展览会上，展品中有26件不 是六年级的，有25件不是五年级的。已知五、六年级 展品共35件，那么五年级的展品有 18 件。 2、甲、乙、丙三个人共解出20道数学题，每人都解出 了其中的12道题，每道题都有人解出。只有1人解出的 题叫做难题，只有两人解出的题叫中等题，三人解出 的题叫做容易题。难题比容易题多 4 题。
所以 S＝90+60＝150 cm2
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例2：已知，ABC是等腰三角形，高AD＝1 BC。 2
则BAC ＝
。
A
解：分三种情况：
（1）如果BC是等腰三角形的底边，则
AD=BD=CD,所以 BAC 900
B
D
C
（2）如果BC是等腰三角形的腰，高AD
的垂足D在BC,如图２
则因为AD BC ＝AB 22
里去，那么至少有一个抽屉里放的物体不少于m+1件。
利用抽屉原理解题，关键在于恰当地“构造”抽 屉！
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例1：如果在边长为1的正方形中，任意放入9个点，则 至少存在这样的三点，以它们为顶点构成的三角形的 面积不超过１/8。
解：把正方形如图所示四等份
9 421
由抽屉原理2，至少有一个小正方形里放入了3个点。
在剩下的4整数中，必有两个数被3除余数相同，
不妨设这两个数为 x5 , x6 , 则有3｜(x5－x6 ),
则 105｜(x1－x2 )( x3－x4 )( x5－x6 ),
所以，在给定的8个数中，一定可以找到6个数
x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 , 使得 (x1－x2 )( x3－x4 )( x5－x6 ), 是105的倍数。
由于2，3，5都是质数，因此当分子分别为2，3， 5时，分母必须而且只须适合下列二个条件：
（1）分母大于分子且小于60；
（２）分母不是分子的倍数。
故当分子为2时，适合条件的分母有29个；
当分子为３时，适合条件的分母有38个；
当分子为５时，适合条件的分母有44个；
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当分子为4时，与分子为２基本相同，分母不能 为偶数，此外分母不能为3，所以共有28个。
解：因为万位不能为1，故只能是2，3，4，5。先看万 位为2的情况，画树枝图一一列举：
154
5 3
3, 4,
(21453) (21534)
3145541,,
(23154) (23451)
2
5 1 4, (23514) 1 5 3, (24153)
451331,,
(24513) (24531)
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练习：
1、从1至36个数中，最多可以取出 5 个数，使得这些 数中没有两数的差是5的倍数。
2、从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取 个数99，9 能使这些数中任意两个数的差都不等于9。
3、有形状、长短都完全一样的红筷子、黑筷子、白筷 子、黄筷子、紫筷子和花筷子各25根。在黑暗中至少 应摸出 21 根筷子，才能保证摸出的筷子至少有8双。 （每两根花筷子或两根同色的筷子为一双）
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五、几何问题
例1：如图，长方形ABCD ，AB 20, BC 18cm，E是AB
的中点，F,G分别在AD、BC上，AF 1 AD，BG 2 BC，
3
3
H是CD上的任意一点，则图中阴影部分的面积是
。
解：连接AH，则 AEH的面积为 18 10 2 90cm2
AFH和CHG的底AF CG AFH和CHG的高HD CH＝20cm AFH和CHG 的的面积和是（18 3） 20 2＝60cm2
小学数学奥数教练员等级考试2
培训讲座
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第四讲：专题选讲
• 抽屉原理 • 容斥原理 • 计数原理 • 概率问题 • 几何问题 • 其他
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一、抽屉原理
抽屉原理1：如果将n+1件物体放到n个抽屉里去，那么 至少有一个抽屉里放的物体不少于两件。
抽屉原理２：如果将多于 m n 件物体放到n个抽屉