4线性定常离散系统的能控性和能观性

线性定常离散系统的状态能控性判据(1/9)
2. 线性定常离散系统的状态能控性判据
与线性定常连续系统不同,线性定常离散系统的状态能控性 与能达性的判据两者不等价。 线性定常离散系统的状态能达性与连续系统的能控性/能达 性判据形式上完全一致,而状态能控性的判据则有所区 别。 下面给出并叙述线性定常离散系统状态能控性的秩判据定 理。
线性定常离散系统的状态能控性判据(2/9)--定理4-12
定理4-12(线性定常离散系统能控性秩判据) 对线性定常离散 系统(G,H),有如下状态能控性结论:
1) 若系统矩阵G为非奇异矩阵，则状态完全能控的充要条 件为如下定义的能控性矩阵:
满秩，即
Qc=[H GH … Gn-1H]
rankQc=n
上式写成矩阵形式即为
u(n1)
[H GH...Gn1H]u(n2)Gnx(0) ...
u(0)
➢ 这是一个非齐次线性代数方程,由线性方程解的存在性理 论可知,上式存在控制序列{u(0),u(1),…,u(n-1)}的充要条 件为
rank[H GH … Gn-1H]=rank[H GH … Gn-1H Gn x(0)]
满秩,即
rankQo=n
□
线性定常离散系统的能观性(5/9)—能观性判据证明
证明 本定理的证明可直接由线性代数方程组的解唯一性理 论给出。
由第3章中线性定常离散系统的状态空间模型的求解公式, 可得
线性定常离散系统的状态能达性判据(1/4)
2. 线性定常离散系统的状态能达性判据
由上述线性定常离散系统的状态能控性代数判据可知,离散 系统的能控性与连续系统的能控性存在一定的差别。 由系统矩阵和输入矩阵组成的能控性矩阵的秩等于状态 变量的个数,对于线性定常连续系统，这是状态完全能 控的充分必要条件,
对线性定常离散系统,存在与线性定常连续系统在形式上完全 一致的状态能观性的代数判据和模态判据。
下面我们先介绍代数判据。
线性定常离散系统的能观性(4/9)—能观性判据代数
定理4-16 线性定常连续系统(G,C)状态完全能观的充分必 要条件为如下定义的能观性矩阵:
C
Qo
CG ...
CG n 1
线性定常离散系统的状态能控性(2/2)
与线性连续系统的状态能控性问题一样,对线性离散系统的 能控性与能达性问题也可只考虑系统状态方程,与输出方程 和输出变量y(k)无关。 对线性定常离散系统,我们有如下 状态能控性与能达性定义 线性定常离散系统的状态能控性判据 线性定常离散系统的状态能控性判据
线性定常离散系统的能控性与能达性定义(1/4)—能控性定义
为真,则称系统状态完全能观。
线性定常离散系统的能观性(3/9)
若存在某个状态x(0)不满足上述条件,称此系统是状态不完
全能观的,简称系统为状态不能观。
□
在线性定常离散系统的状态能观性定义中,只要求以在n个采 样周期内采样到的输出来确定系统的状态。
这是因为,可以证明:
如果由n个采样周期内的输出向量序列不能唯一确定系统的初始 状态,则由多于n个采样周期的输出向量序列也不能 唯一确定系统初始状态。
重点喔!
线性定常离散系统的状态能控性(1/2)
4.3.1 线性定常离散系统的状态能控性与能达性
状态能控性讨论的是系统输入对状态空间中任意初始状态控 制到坐标原点(平衡态)的能力, 而状态能达性讨论的是系统输入对坐标原点(平衡态)的 初始状态控制到状态空间中任意状态的能力。 对线性定常连续系统来说,状态能控性与能达性虽然定义不 同,两者的判据却是等价的, 但对于线性定常离散系统来说,这两者无论定义还是判 据有所不同。
x(0) u(k) (k[0,n-1])(x(n)=0) 为真,则称系统状态完全能控。
线性定常离散系统的能控性与能达性定义(2/4)—能控性定义
若存在某个状态x(0)不满足上述条件,称此系统是状态不完 全能控的,简称系统为状态不能控。
即,若逻辑关系式
x(0) u(k) (k[0,n-1])(x(n)0)
为真,则称系统状态不完全能控。
□
在上述状态能控性定义中,只要求在n步之内寻找控制作用,使 得系统状态在第n步上到达原点。
这是因为,可以证明,若离散系统在n步之内不存在控制作用 使得对任意初始状态控制到原点,则在n步以后也不存在 控制作用使状态在有限步之内控制到原点。
故在上述定义中,只要求系统在n步之内寻找控制作用。
1. 线性定常离散系统的能控性与能达性定义
定义4-1 对线性定常离散系统 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)
若对某个初始状态x(0),存在控制作用序列{u(0),u(1),…, u(n1)},使系统在第n步上达到到原点,即x(n)=0,则称状态x(0) 能控;
若状态空间中的所有状态都能控,则称系统状态完全能控; 即,若逻辑关系式
即定理的结论2)得以证明。
线性定常离散系统的状态能控性判据(6/9 )--定理4-12
当系统矩阵G满秩时,显然有 rankGn=n
因此 rank[H GH … Gn-1H Gn]=n
所以由结论1可知,在系统矩阵G满秩时,系统状态完全能控 的充要条件为 rankQc=rank[H GH … Gn-1H]=n
rankQc=rank[Qc G2] 由定理4-12的结论2可知,该系统状态完全能控。
线性定常离散系统的状态能控性判据(8/9)—例4-12
例4-12 试判断如下系统的状态能控性
1 0 0 1
x(k1)0 2 2x(k)2u(k)
11 0
1
解 判断一：由系统状态能控性的代数判据有
111 raQ n c k raH nk G[H G 2H ]ra 1 n 21 2 k1 2 1 但
n1
0Gnx(0) Gnj1Hu(j) j0
即
n 1
G n x ( 0 )G n j 1 H u (j) G n 1 H u ( 0 ) G n 2 H u ( 1 ) ... H u ( n - 1 ) j 0
线性定常离散系统的状态能控性判据(4/9 )--定理4-12
n 1
G n x ( 0 )G n j 1 H u (j) G n 1 H u ( 0 ) G n 2 H u ( 1 ) ... H u ( n - 1 ) j 0
线性定常离散系统的状态能达性判据(3/4)
定理4-14(线性定常离散系统能达性模态判据) 对约旦规范 形的线性定常离散系统Σ(G,H),有 1若系统矩阵G为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩 阵,则系统能达的充分必要条件为
对应G的每个约旦块的H的分块的最后一行都不全为零。 若G为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则系统 能达的充分必要条件为
线性定常离散系统的能控性与能达性定义(3/4)—能达性定义
定义4-5(线性定常离散系统状态能达性定义) 对线性定常离 散系统Σ(G,H)， 若对某个最终状态x1,存在控制作用序列{u(0),u(1),…, u(n1)},使得系统状态从零状态在第n步上到达最终状态x1,即 x(n)=x1,则称此系统的状态x1是能达的。 若系统对状态空间中所有状态都能达,则称系统状态完全能 达,简称为系统能达。
4.3.2 线性定常离散系统的能观性
与线性连续系统一样,线性离散系统的状态能观性只与系统 输出y(t)以及系统矩阵G和输出矩阵C有关,
即只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。 下面我们先引入线性定常离散系统状态能观性的定义。
线性定常离散系统的能观性(2/9)—能观性定义
定义4-3 若线性定常离散系统 x(k1)Gx(k) y(k)Cx(k)
对初始状态x(0),根据在n个采样周期内采样到的输出向量 y(k)的序列{y(0),y(1),…,y(n-1)}能唯一地确定系统的初 始状态x(0),则称状态x(0)能观;
若对状态空间中的所有状态都能观,则称系统状态完全能 观,简称为系统能观。
即,若数学逻辑关系式 x (0 )(k [0 ,n 1 ] )(y (k ) 唯 x ( 一 0 ))
2) 若系统矩阵G为非奇异矩阵，则为系统状态完全能控的 充要条件为
rankQc=rank[Qc Gn]
线性定常离散系统的状态能控性判据(3/9 )--定理4-12
证明 由第3章的线性定常离散系统的解理论,可得状态方程 的解如下:
k1
x(k)G kx(0) G kj1H u(j) j0
➢ 设在第n步上能使初始状态x(0)转移到零状态,于是上式可 记为
对应于G的每个特征值的所有约旦块的H的分块的最后一行线 性无关。
线性定常离散系统的状态能达性判据(4/4)
定理4-15(线性定常离散系统能达性PHB秩判据) 线性离散 连续系统Σ(G,H)状态完全能控的充分必要条件为： 对于所有的复数λ,下式成立 rank[λI-G H]=n C1
线性定常离散ຫໍສະໝຸດ Baidu统的能观性(1/9)
线性定常离散系统的能控性和能观性(2/2)
本节的关键问题为: 基本概念: 线性离散系统的状态能控性/能观性 基本方法: 线性离散系统状态能控性/能观性的判别方法
离散化系统的能控性/能观性
本节的主要内容为: 线性定常离散系统的状态能控性与能达性 线性定常离散系统的能观性 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性
11110 0 ran Q ckG [3]ran1 2k1 21 21 60 2 443
线性定常离散系统的状态能控性判据(9/9)
因此 rankQcrank[Qc G3]
由定理4-12的结论2可知,该系统状态不完全能控。
判断二： 由于G为可逆矩阵 rankQc =1<3=n,
因此由定理4-12的结论1可判别出系统状态不完全能控。 □
线性定常离散系统的状态能控性判据(5/9 )--定理4-12
考虑到系统的初始状态x(0)是属于n维状态空间中任意一个 状态,因此上式等价于 rank[H GH … Gn-1H]=rank[H GH … Gn-1H Gn]
即证明了系统状态完全能控的充要条件为能控性矩阵满足 rankQc=rank[Qc Gn]
Ch.4 线性系统的能控性和 能观性
目录
概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性定常离散系统的状态能控性判据(7/9)—例4-11
例4-11 试判断如下系统的状态能控性 x(k1 ) 0 01 0 x(k) 1 0 u (k)
解 由线性定常离散系统的能控性矩阵的定义有
raQ c n rkaH nG k] [H ra 1 0 n0 0 k 1
但
因此
raQ n c G k2][ra 1 0 n0 0k0 00 0 1
即,若数学逻辑关系式 x1 u(k)(k∈[0,n-1] x(0)=0∩x(n)=x1
为真,则称系统状态完全能达。 若系统存在某个状态x1不满足上述条件,则称此系统是状态 不完全能达的,简称系统为状态不能达。
线性定常离散系统的能控性与能达性定义(4/4)—能达性定义
从能控性与能达性两者的定义可知,在系统控制问题中, 系统镇定问题多与能控性有关, 而跟踪、伺服问题多与能达性有关。
而对于线性定常离散系统的状态能控性则仅是一个充分条件。
线性定常离散系统的状态能达性判据(2/4)
造成线性连续系统和线性离散系统的状态能控性判据形 式上有差别的原因在于：
线性连续系统的状态能控性和状态能达性是两个等价的概念, 而线性离散系统的状态能控性和状态能达性则是 两个不等价的概念。
定理4-13(线性定常离散系统能达性秩判据) 对线性定常离 散系统Σ(G,H)状态完全能达的充分必要条件为能控性矩阵 Qc=[H GH … Gn-1H]满秩，即 rank Qc=n
线性定常离散系统的能控性和能观性(1/2)
4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性
本节主要讲述线性离散系统的状态能控性/能观性的定义和 判据。 由于线性连续系统只是线性离散系统当采样周期趋于无 穷小时的无限近似,所以
离散系统的状态能控性/能观性的定义与线性连续系统的极其 相似,
能控性/能观性判据则在形式上基本一致。