广东省深圳市耀华实验学校2018-2019学年高一数学上学期第一次月考试题

深圳市耀华实验学校2018－2019学年度上学期9月月考
高一年级数学试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.由实数x, －x, ｜x ｜, 332,x x -所组成的集合，最多含（ ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素
2.下列六个关系式： ①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为( )
(A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 3.下列各组中的两个函数是相同的函数有( ) 组？ ①3
)
5)(3(1+-+=
x x x y 52-=x y , ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y
③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
4.集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ ）
(A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个 5．计算3
4
22⎪⎭
⎫ ⎝⎛的结果是 （ ）
(A)22 (B)2 (C)2 (D)22
6．设集合{}x A ,4,1=，{}2
,1x
B =，
且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个. 7．已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）
（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个
8．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－2，x ≥0，
－x 2
＋3，x <0，若f (a )＝2，则a 的值为( )
(A)2 (B)－1或2 (C)±1或2 (D)1或2
9.已知0<a<1,b<-1,函数f(x)=a x
+b 的图象不经过:（ ）
(A)第一象限; (B)第二象限; (C)第三象限; (D)第四象限
10.已知R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝x 2
＋x －1，则f (f (－1))等于( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．－2
11．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A －（A －B ）等于（ ）
(A)B (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6 12.已知(2)1(1)
()(1)
x
a x x f x a
x -+<⎧=⎨≥⎩满足对任意121212()(),0f x f x x x x x -≠>-都有成立，那么a
的取值范围是（ ）
(A)3[,2)2 (B)3(1,]2
(C)（1，2）
(D)(1,)+∞
二．填空题(每小题5分，共20分)
13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x
，x ≥1，
－x 2＋2，x ＜1
的最大值为________．
14. 函数f (x )＝x 2
－2x 的单调递增区间是____________． 15. 若函数)(x f y =的定义域为[1，1]，则函数)41(+
=x f y )4
1
(-⋅x f 的定义域 为
16.已知函数()f x 满足对所有的实数,x y ，都有
2
()(2)5(3)21f x f x y xy f x y x +++=-++，则(10)f 的值= 。

三．解答题
17. （本题满分10分）设U=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,A=｛3,4,5｝,B=｛4,7,8｝, 求C u A, C u B, (C u A)∩ (C u B), (C u A)∪ (C u B), C u (A ∪B) , C u (A ∩B)．
18. （本题12分）设集合A={a, a 2
, b+1｝,B=｛0, |a|, b ｝且A=B. ⑴求a, b 的值; ⑵判断函数x
a
bx x f -
-=)(在[)+∞,1的单调性，并用定义加以证明.
19. （本题12分）已知集合A ＝{x ∈R |x 2
＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R | ax －1＝0}，若A ∩B ＝B ，求实数a 的值.
20. （本题12分）已知函数1
()21
x
f x a =-
+. （1）求证：不论a 为何实数()f x 总是为增函数； （2）确定a 的值，使()f x 为奇函数；
（3）当()f x 为奇函数时，求()f x 的值域．
21. （本题12分）已知2()3g x x =--，()f x 是二次函数，当[1,2]x ∈-时，()f x 的最小值为1，且()()f x g x +为奇函数，求函数()f x 的表达式．
22. （本题12分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2). (1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果x>1时，f (x )>0, 且 f (4)＝1，解不等式f (x －1)<2．
参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素
2.下列六个关系式： ①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为( C )
(A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 3.下列各组中的两个函数是相同的函数有( A ) 组？ ①3
)
5)(3(1+-+=
x x x y 52-=x y , ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y
③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
4.集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ D ）
(A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个 5．计算3
4
22⎪⎭
⎫ ⎝⎛的结果是 （ B ）
(A)2
2 (B)2 (C)2 (D)22
6．设集合{}x A ,4,1=，{}
2,1x B =，且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的个数是（ C ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个. 7．已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（D ）
（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个
8．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－2，x ≥0，
－x 2
＋3，x <0，若f (a )＝2，则a 的值为( B )
(A)2 (B)－1或2 (C)±1或2 (D)1或2
9.已知0<a<1,b<-1,函数f(x)=a x
+b 的图象不经过:（ A ）
(A)第一象限; (B)第二象限; (C)第三象限; (D)第四象限
10.已知R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝x 2
＋x －1，则f (f (－1))等于( A )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．－2
11．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A －（A －B ）等于（B ）
(A)B (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6 12.已知(2)1(1)
()(1)
x
a x x f x a
x -+<⎧=⎨≥⎩满足对任意121212()(),0f x f x x x x x -≠>-都有成立，那么a
的取值范围是（ A ）
(A)3[,2)2 (B)3(1,]2
(C)（1，2）
(D)(1,)+∞
二．填空题(每小题5分，共20分)
13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x
，x ≥1，
－x 2＋2，x ＜1
的最大值为________．2
14. 函数f (x )＝x 2
－2x 的单调递增区间是____________． 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞)) 15.若函数)(x f y =的定义域为[1，1]，则函数)41(+=x f y )4
1
(-⋅x f 的定义域 为 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≤≤-
4343|x x 16.已知函数()f x 满足对所有的实数,x y ，都有2
()(2)5(3)21f x f x y xy f x y x +++=-++，
则(10)f 的值= -49 三．解答题
17. （本题满分10分）设U=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,A=｛3,4,5｝,B=｛4,7,8｝,求C u A, C u B, (C u A)∩ (C u B), (C u A)∪ (C u B), C u (A ∪B) , C u (A ∩B)．
解：C u A=｛1,2,6,7,8｝ …………………………………2分
C u B=｛1,2,3,5,6｝…………………………………4分
(C u A)∩ (C u B)= C u (A ∪B)=｛1,2,6｝…………………………………7分
(C u A) ∪ (C u B)= C u (A ∩B)=｛1,2,3,5,6,7,8｝…………………………………10分
18. （本题12分）设集合A={a, a 2
,b+1｝, B=｛0,|a|,b ｝ 且A=B. ⑴求a,b 的值; ⑵判断函数x
a
bx x f -
-=)(在[)+∞,1的单调性，并用定义加以证明.
解：（1）∵ a ≠a 2
∴a ≠0且a ≠1 ∴b+1=0 b= -1 -------3分
∵a 2
≠-1 ∴a= -1 -------6分 （2）1
()f x x x
=+
任取x 1，x 2∈[1,+∞]且x 1<x 2，---------7分 12121
2
1
1()()f f x x x x -=+
--
----------8分
=12
121
2
1(
)x x x x --∙--------10分
∵1≤x 1<x 2 ∴x 1-x 2<0，x 1x 2-1>0，x 1x 2>0------11分
∴f(x 1)-f(x 2)<0 即f(x 1)<f(x 2) ∴f(x )在[1,+∞]上单调递增-----12分
19. （本题12分）已知集合A ＝{x ∈R |x 2
＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若A ∩B ＝B ，求实数a 的值.
解析 由题意知，A ＝{2，－3}．-------2分 由A ∩B ＝B ， B ⊆A ，-------4分 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；------6分 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1
a
，-------8分
由A ∩B ＝B ， B ⊆A ， 可得1a ＝－3或1
a
＝2，
∴a ＝－13或a ＝1
2
.-------11分
综上，a 的值为－13或1
2或0. -------12分
20. （本题12分）已知函数1
()21
x f x a =-
+. （1）求证：不论a 为何实数()f x 总是为增函数； （2）确定a 的值，使()f x 为奇函数；
（3）当()f x 为奇函数时，求()f x 的值域． 解：（1）
()f x 的定义域为R, 设12x x <，
则121211
()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++， 12x x <, 1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,12()()0,f x f x ∴-<
即12()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总为增函数……………………4分 （2）
()f x 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-,即11
2121
x x a a --
=-+++,
解得: 1
.2
a =
11().221x f x ∴=-+…………………………8分
（另解：利用()x f 定义域为R x ∈且为奇函数，则有()00=f ，易得1
.2
a =） （3）由(2)知11()221
x f x =
-+, 211x +>, 111
10,()2122
x f x ∴-<-<∴-<<+
所以()f x 的值域为11
(,).22
-………………………………12分
21.(本小题满分12分)
已知2()3g x x =--，()f x 是二次函数，当[1,2]x ∈-时，()f x 的最小值为1，且()()f x gx +为奇函数，求函数()f x 的表达式． 21. 解：设()(),02≠++=a c bx ax x f
则()()()312-++-=+c bx x a x g x f ． ················ 2分 又()()x g x f +为奇函数，
∴3,1==c a ． ················ 4分
∴(),32
++=bx x
x f 对称轴2
b
x -= ．
当22
≥-
b
时，()f x 在[]2,1-上为减函数 ∴()f x 的最小值为()13242=++=b f ∴3-=b 又4-≤b ，
∴此时无解． ····························· 7分
当221<-<-b 时，()14322min =-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=b b f x f ∴22±=b
∵2224-=∴<<-b b ，此时(),3222+-=x x x f
········· 9分
当12
-≤-
b
时，()f x 在[]2,1-上为增函数∴()f x 的最小值为()141=-=-b f ∴3=b ，又满足2≥b ∴(),332++=x x x f
·············· 11分 综上所述，(),3222+-=x x x f 或()332
++=x x x f ·········· 12分
22. （本题12分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2). (1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果x>1时，f (x )>0, 且 f (4)＝1，解不等式f (x －1)<2． 解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，
∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. …………………………………2分
(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝1
2f (1)＝0.
令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．…………………………………6分
(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2等价于f (|x －1|)<f (16)．…………………………………8分
又任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2有f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－（f (x 1)+ f (x 2/ x 1)）=- f (x 2/ x 1) <0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，…………………………………10分 ∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1，
∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．…………………………………12分。