正弦稳态功率和能量-三相电路
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Q Qk
4. 视在功率S
端口上电压、电流有效值的乘积定义为视在 功率，即：反映电气设备的容量。
def
S UI 单位 : V A ( 伏安 )
5、有功功率P、无功功率Q、视在功率S之间的关系:
P UI cos(W )
S cos
S UI P2 Q2
Q UI sin(Var )
S sin
P UI cosφ
1）当单口为电阻时： φ 00 , P UI
2）当单口为电感时： φ 900 , P 0
3）当单口为电容时： φ 900 , P 0
结论：平均功率等于电阻吸收功率的平均值， 又称为有功功率，单位为瓦（w）
P
Pk I12 R1 I 22 R2 I k 2 Rk
ZC
ZB
3）三相电路常用名词 端线(火线、相线)； 中线（零线、地线）
线电压 相电压
线电流 相电流 中线电压
中线电流
二、对称三相电路的分析与计算
•
•
I线 I相
1、Y形电路的电流与电压
相量图：
•
•
IA
•
UCA
UCN
30o
30o
•
U AB
•
•
IB
IC
•
U AN
30o
•
UB N
•
UB C
•
UAB
3
•
U A U0
•
U B U 120
•
U C U120
相量图：
•
UC
•
UA
电压相量关系：
•
UB
•
•
•
UAUBUC 0
（3）对称三相电源的相序
三相电源中各相电源经过同一值(如最大值)的先后顺序
正序（顺序）： A、B、C、A 逆序（负序）： A、C、B 、A
•
•
UC
UB
•
•
UA
UA
•
•
U B 正序 U C 逆序
一、复阻抗负载
Z L RL jX L Zo Ro jXo
•
•
I
Uoc
Zo ZL
Zo · Uoc
•
I
U oc u
( Ro RL ) j( X o X L )
ZL
P I 2RL
U oc 2R L (RoRL )2 ( Xo
XL )2
ZL
Zo*
Ro
jX o
（共轭匹配）
并且
Pmax
U oc 2 4Ro
UI cos UI cos(2t )
（恒定分量） （正弦分量：2)
p(t) UI cos UI cos(2t ) p(t) UI cos(1 cos 2t) UI sin sin 2t 1）当单口为电阻时：φ 00 , p(t) UI(1 cos 2t)
2）当单口为电感时：φ 900 , p(t) UI sin 2ωt 3）当单口为电容时：φ 900 , p(t) UI sin 2ωt 结论：正弦稳态电路的瞬时功率是随时间变化的
2.平均功率 (average power)P---有功功率
平均功率等于瞬时功率在一周期内的平均值
P 1
T
p(t )dt
注：正弦信号在一个周期内的积分为0
T0
1
T
[UI cos(1 cos 2t) UI sin sin 2t]dt
T0
UI cosφ
P UI cosφ
cos 称作功率因数（或用λ表示）； —功率因数角(无源单口网络: = Z)
5) 视在功率S 减小。
电路负载能力增大。
提高功率因数方法： 并联电容。
注意： 1）一般不要求提高到1；
C
P
U
2
(tg1
tg 2
)
2） 并联电容要适当，才可提高。
二、有源单口网络功率
瞬时功率 p(t ) u(t )i(t )
N
有功功率 P UI cos(W )
无功功率 Q UI sin(Var)
复功率也可表示为： S~ UI* ZI I* ZI 2 (R jX)I 2 RI 2 jXI 2
2、结论：
1） S~ UI* RI 2 jXI 2
2）
S~
~ S1
~ S2
3） S~ P jQ
注意：
1、复功率从频域反映了各功率关系； 2、P = P1 + P2 + P3…….
上节课内容回顾
相量模型： 电压、电流变量用什么表示？ 电路中的元件如何表示？
成都信息工程学院-控制工程系
第九章 正弦稳态功率和能量 三相电路
本章重点： 单口网络的平均功率、无功功率和功率因数、 正弦稳态最大功率传输定理、对称三相电路 本章难点： 单口网络的功率
9-1 正弦稳态电路的功率
一、无源单口网络功率：
2）在一循环内电阻消耗的能量（t=0到t=2π）；
3）求电源提供的P、Q，并计算S、cosφ。
2、接入负载ZL，问：
1）ZL=？获得Pm=？
1Ω
2）ZL为纯电阻，获得Pm=？is
1H
a 1F ZL
b
上节课内容回顾
正弦稳态电路的功率： 有功功率表达式、单位？ 无功功率表达式、单位？ 视在功率表达式、单位？ 复功率表达式、单位？
求：1）负载R获最大功率时，R、 C、Pmax的值。
解： Zo 50 j62.8
R jCR2 ZL 1 (CR)2
由最大功率传输条件：Z L
Z
* o
有：
R
1 (CR )2
50
CR2 1 ( CR )2
62.8
CR 1.256 R 128.8768
C 15.5 pF
Pm
U2
4 Ro
正弦稳态电路最大功率传输： 负载为纯电阻时如何匹配？ 负载为复阻抗时如何匹配？
成都信息工程学院-控制工程系
9-8 三相电路
一、三相电路基本概念 1、对称三相电源的产生：
A
定子
•
Y•
S
•Z
+
转子
-
N
C
B
X
三相同步发电机示意图
通常由三相同步发电 机产生，三相绕组在 空间互差120°，当 转子以均匀角速度ω 转动时，在三相绕组 中产生感应电压，从 而形成对称三相源。
Q = Q1 + Q2 + Q3…….
但 S S1 + S2 + S3…….
••
3、U I 无任何物理意义。
例9-3：已知Is=10A，=103rad/s，求各无源支路 吸收的复功率和电流源发出的复功率。
解：设İs=100A，则
I1
5 15
j15 j10
100
İ1 İ2 İs
2.31 j8.46
U12 U22 Uk2
R1
R2
Rk
3. 无功功率 (reactive power) Q ，单位乏（var）
p(t) UI cos(1 cos 2t) UI sin sin 2t
瞬时功率第二项的值可正可负，反应了单口 网络内部与外部的能量交换，其平均值为零，将其 最大值定义为无功功率，即：
T1 C[
02
2U cos(t u )]2dt
1 CU 2 1
2
T
T
[1 cos(2t
0
2 u )]dt
1 CU 2 2
WL
1 2
LI2
注：正弦信号在一个周期内的积分为0
电感：U LI
又 QL UI sin900 UI LI 2
WL
1 2
LI2
电容： I CU
QL 2WL
又 QC UI sin(900 ) UI CU 2
S Sk
功率三角形
例9-1：图示电路，u(t)=707cost(V)， i(t)=1.41cos(t-53.1)(A)。求P、Q、S。
解： 相位差： 53.1
P UI cos 707 1.41 cos 53.1
2
500 cos 53.1 300(W )
Q UI sin 400(Var )
2.对称三相交流电源的特点
1）时域特征:
uA
uA 2U cos(t)
uB 2U cos( t 120 )
uC 2U cos( t 120 ) uA
uA( t ) uB( t ) uC ( t ) 0
A、B、C 三端称为始端， X、Y、Z 三端称为末端。
uB
uB
o
uC
uC
t
2）频域特征：
相序的实际意义：对三相电动机，如果相序反了，就会反转
A1 B2 C3
D
正转
A1
C2 B3
D
反转
以后如果不加说明，一般都认为是正相序。
3）对称三相电源的连接方式：
• Y形连接：
uC N
uA uB
三相四线制
•形连接： 首尾相连
A
uC
uA
C
B
uB
Ul
Up
线电流 相电流
3、三相电路 1) 连接方式
uC
uA Y形连接
def
Q UI sinφ
反映网络与电源能量交换最大速率
Q UI sinφ
1）当单口为电阻时： φ 00 ,Q 0 2）当单口为电感时： φ 900 ,Q UI 0
3）当单口为电容时： φ 900 ,Q UI 0
结论：电阻的无功功率恒为零，只有电感、电 容才有无功功率，单位为乏（var）
视在功率 S UI(V A)
注意：功率因数角不等于网络的等效阻抗角。
u i Z
9-2 复功率
1. 复功率
为了用相量U和I来计算功率，引入“复功率”
I
+ U_
负 载
定义： S~ UI* 单位 V A
其中：I
为
•
I 的共轭相量。
•
即若： I Ii 则： I I i
S~ UI(Ψu Ψi ) UIφ UIcosφ jUIsinφ P jQ Sφ
S UI
707 1.41
500(V A)
2
6、储能与无功功率
电阻、电容、电感的瞬时储能分别为：
WR(t) 0
WC (t )
1 2
CuC
2
(
t
)
WL(t)
1 2
L iL 2
(t
)
在正弦电路中，电压与电流按正弦规律变化，各瞬
时储能也周期变化，一个周期内的平均储能为：
WR 0
1
WC T
8.77 105.27A
I2 Is I1 12.31 j8.46 14.9434.5A
U Z1I1 236.177 37.07V
~ S1
UI1*
(769
j1923)V A
~ S2
UI2
(1116
j3347)V A
S~s UIS (1884 j1424)V A
9-3 正弦稳态最大功率传输
•
U 70.730V
解：
İ1
•
•
I
U Z
70.7300
6 j8 7.07 23.1
-j10
İ2
•
I2
70.730
j10
7.07120
•• •
I I 1 I 2 4.4748.43
S=UI=500V.A
S=UI=316V.A
=30-(-23.1)=53.1 cos=0.6 P=Scos=300W Q=Ssin=400Var
二、电阻负载
Z L RL
Zo Ro jXo
Zo ·Uoc
•
•
I
U oc
U oc u
ZL
Zo ZL (Ro RL ) jXo
P
I
2 RL
Uoc2RL (RoRL )2
Xo2
RL Zo
Ro 2
X
2 o
且
Pm
Uoc2 Zo (Ro Zo )2
Xo2
（模匹配）
例9-4：图示电路已知：U• 0.10V , f 100MHz.
=30- 48.43=18.43 cos=0.9487 P=Scos=300W
说明：并入电容后现象与结果：
现象:
1) 总电流I 减小;
结果： 1）P不变条件下：
2) 功率因数角 减小; 3) 功率因数cos 增大; 4) 有功功率P 不变;
对输电线要求降低； 输电效率提高； 电源容量要求降低；
2）S不变条件下：
1. 瞬时功率: p( t ) u( t )i( t )
u(t ) 2U cos(t Ψu ) 2U cos(t ) i(t ) 2I cos(t Ψi ) 2I cost
p(t) u(t)i(t) 2U cos(t ) 2I cos(t) UI cos(1 cos 2t) UI sin sin 2t
uB
ZC
ZA ZB
形连接
uC
uA
ZC
ZA
uB
ZB
2）三相电路 对称三相电路和不对称三相电路。
对称三相电路：三相电源对称，且三个负载相等
①Y-Y连接
三相三线系统 三相四线系统
uA
uC
uB
ZA
ZC
ZB
②Y-△连接
uA
uC
uB
ZC
ZA
ZB
③- 连接
uC
uA
uB
ZC
ZA
ZB
④- Y连接
uC
uA
uB
ZA
50W
2) 移去C时，R为何值时可获最大功率？
Zo 50 j62.8 R Zo 80.2735
Pm
Uo2 Zo (Ro Zo )2
Xo2
38.38W
作业，电路如图所示，已知 is (t) 2 cost A
电路稳态时，要求完成以下问题：
1、未接入负载ZL，问： 1）电感、电容储能的平均值分别为多少？
WC
1 CU2 (WL WC )
即：总的无功功率为平均磁场能与平均电场能之差的2ω倍
例9-2：图示电路，已知f=50Hz，1）求S、 P、Q、
cos；2）并联一个电容，再求以上值，比较并说明
•
İ
İ
I1 7.07 23.1
•
U 70.730V
•
U
AN30
o
结论：线电压对称(大小相等，相位互差120o)： •
UBC
(1) 线电压大小等于相电压的 3倍.
•
(2) 线电压相位超前对应相电压30o。
UCA
3
•
UB
N30o
3
•
UCN
30
o
•
•
2、形电路的电流与电压 U 线 U 相
4. 视在功率S
端口上电压、电流有效值的乘积定义为视在 功率，即：反映电气设备的容量。
def
S UI 单位 : V A ( 伏安 )
5、有功功率P、无功功率Q、视在功率S之间的关系:
P UI cos(W )
S cos
S UI P2 Q2
Q UI sin(Var )
S sin
P UI cosφ
1）当单口为电阻时： φ 00 , P UI
2）当单口为电感时： φ 900 , P 0
3）当单口为电容时： φ 900 , P 0
结论：平均功率等于电阻吸收功率的平均值， 又称为有功功率，单位为瓦（w）
P
Pk I12 R1 I 22 R2 I k 2 Rk
ZC
ZB
3）三相电路常用名词 端线(火线、相线)； 中线（零线、地线）
线电压 相电压
线电流 相电流 中线电压
中线电流
二、对称三相电路的分析与计算
•
•
I线 I相
1、Y形电路的电流与电压
相量图：
•
•
IA
•
UCA
UCN
30o
30o
•
U AB
•
•
IB
IC
•
U AN
30o
•
UB N
•
UB C
•
UAB
3
•
U A U0
•
U B U 120
•
U C U120
相量图：
•
UC
•
UA
电压相量关系：
•
UB
•
•
•
UAUBUC 0
（3）对称三相电源的相序
三相电源中各相电源经过同一值(如最大值)的先后顺序
正序（顺序）： A、B、C、A 逆序（负序）： A、C、B 、A
•
•
UC
UB
•
•
UA
UA
•
•
U B 正序 U C 逆序
一、复阻抗负载
Z L RL jX L Zo Ro jXo
•
•
I
Uoc
Zo ZL
Zo · Uoc
•
I
U oc u
( Ro RL ) j( X o X L )
ZL
P I 2RL
U oc 2R L (RoRL )2 ( Xo
XL )2
ZL
Zo*
Ro
jX o
（共轭匹配）
并且
Pmax
U oc 2 4Ro
UI cos UI cos(2t )
（恒定分量） （正弦分量：2)
p(t) UI cos UI cos(2t ) p(t) UI cos(1 cos 2t) UI sin sin 2t 1）当单口为电阻时：φ 00 , p(t) UI(1 cos 2t)
2）当单口为电感时：φ 900 , p(t) UI sin 2ωt 3）当单口为电容时：φ 900 , p(t) UI sin 2ωt 结论：正弦稳态电路的瞬时功率是随时间变化的
2.平均功率 (average power)P---有功功率
平均功率等于瞬时功率在一周期内的平均值
P 1
T
p(t )dt
注：正弦信号在一个周期内的积分为0
T0
1
T
[UI cos(1 cos 2t) UI sin sin 2t]dt
T0
UI cosφ
P UI cosφ
cos 称作功率因数（或用λ表示）； —功率因数角(无源单口网络: = Z)
5) 视在功率S 减小。
电路负载能力增大。
提高功率因数方法： 并联电容。
注意： 1）一般不要求提高到1；
C
P
U
2
(tg1
tg 2
)
2） 并联电容要适当，才可提高。
二、有源单口网络功率
瞬时功率 p(t ) u(t )i(t )
N
有功功率 P UI cos(W )
无功功率 Q UI sin(Var)
复功率也可表示为： S~ UI* ZI I* ZI 2 (R jX)I 2 RI 2 jXI 2
2、结论：
1） S~ UI* RI 2 jXI 2
2）
S~
~ S1
~ S2
3） S~ P jQ
注意：
1、复功率从频域反映了各功率关系； 2、P = P1 + P2 + P3…….
上节课内容回顾
相量模型： 电压、电流变量用什么表示？ 电路中的元件如何表示？
成都信息工程学院-控制工程系
第九章 正弦稳态功率和能量 三相电路
本章重点： 单口网络的平均功率、无功功率和功率因数、 正弦稳态最大功率传输定理、对称三相电路 本章难点： 单口网络的功率
9-1 正弦稳态电路的功率
一、无源单口网络功率：
2）在一循环内电阻消耗的能量（t=0到t=2π）；
3）求电源提供的P、Q，并计算S、cosφ。
2、接入负载ZL，问：
1）ZL=？获得Pm=？
1Ω
2）ZL为纯电阻，获得Pm=？is
1H
a 1F ZL
b
上节课内容回顾
正弦稳态电路的功率： 有功功率表达式、单位？ 无功功率表达式、单位？ 视在功率表达式、单位？ 复功率表达式、单位？
求：1）负载R获最大功率时，R、 C、Pmax的值。
解： Zo 50 j62.8
R jCR2 ZL 1 (CR)2
由最大功率传输条件：Z L
Z
* o
有：
R
1 (CR )2
50
CR2 1 ( CR )2
62.8
CR 1.256 R 128.8768
C 15.5 pF
Pm
U2
4 Ro
正弦稳态电路最大功率传输： 负载为纯电阻时如何匹配？ 负载为复阻抗时如何匹配？
成都信息工程学院-控制工程系
9-8 三相电路
一、三相电路基本概念 1、对称三相电源的产生：
A
定子
•
Y•
S
•Z
+
转子
-
N
C
B
X
三相同步发电机示意图
通常由三相同步发电 机产生，三相绕组在 空间互差120°，当 转子以均匀角速度ω 转动时，在三相绕组 中产生感应电压，从 而形成对称三相源。
Q = Q1 + Q2 + Q3…….
但 S S1 + S2 + S3…….
••
3、U I 无任何物理意义。
例9-3：已知Is=10A，=103rad/s，求各无源支路 吸收的复功率和电流源发出的复功率。
解：设İs=100A，则
I1
5 15
j15 j10
100
İ1 İ2 İs
2.31 j8.46
U12 U22 Uk2
R1
R2
Rk
3. 无功功率 (reactive power) Q ，单位乏（var）
p(t) UI cos(1 cos 2t) UI sin sin 2t
瞬时功率第二项的值可正可负，反应了单口 网络内部与外部的能量交换，其平均值为零，将其 最大值定义为无功功率，即：
T1 C[
02
2U cos(t u )]2dt
1 CU 2 1
2
T
T
[1 cos(2t
0
2 u )]dt
1 CU 2 2
WL
1 2
LI2
注：正弦信号在一个周期内的积分为0
电感：U LI
又 QL UI sin900 UI LI 2
WL
1 2
LI2
电容： I CU
QL 2WL
又 QC UI sin(900 ) UI CU 2
S Sk
功率三角形
例9-1：图示电路，u(t)=707cost(V)， i(t)=1.41cos(t-53.1)(A)。求P、Q、S。
解： 相位差： 53.1
P UI cos 707 1.41 cos 53.1
2
500 cos 53.1 300(W )
Q UI sin 400(Var )
2.对称三相交流电源的特点
1）时域特征:
uA
uA 2U cos(t)
uB 2U cos( t 120 )
uC 2U cos( t 120 ) uA
uA( t ) uB( t ) uC ( t ) 0
A、B、C 三端称为始端， X、Y、Z 三端称为末端。
uB
uB
o
uC
uC
t
2）频域特征：
相序的实际意义：对三相电动机，如果相序反了，就会反转
A1 B2 C3
D
正转
A1
C2 B3
D
反转
以后如果不加说明，一般都认为是正相序。
3）对称三相电源的连接方式：
• Y形连接：
uC N
uA uB
三相四线制
•形连接： 首尾相连
A
uC
uA
C
B
uB
Ul
Up
线电流 相电流
3、三相电路 1) 连接方式
uC
uA Y形连接
def
Q UI sinφ
反映网络与电源能量交换最大速率
Q UI sinφ
1）当单口为电阻时： φ 00 ,Q 0 2）当单口为电感时： φ 900 ,Q UI 0
3）当单口为电容时： φ 900 ,Q UI 0
结论：电阻的无功功率恒为零，只有电感、电 容才有无功功率，单位为乏（var）
视在功率 S UI(V A)
注意：功率因数角不等于网络的等效阻抗角。
u i Z
9-2 复功率
1. 复功率
为了用相量U和I来计算功率，引入“复功率”
I
+ U_
负 载
定义： S~ UI* 单位 V A
其中：I
为
•
I 的共轭相量。
•
即若： I Ii 则： I I i
S~ UI(Ψu Ψi ) UIφ UIcosφ jUIsinφ P jQ Sφ
S UI
707 1.41
500(V A)
2
6、储能与无功功率
电阻、电容、电感的瞬时储能分别为：
WR(t) 0
WC (t )
1 2
CuC
2
(
t
)
WL(t)
1 2
L iL 2
(t
)
在正弦电路中，电压与电流按正弦规律变化，各瞬
时储能也周期变化，一个周期内的平均储能为：
WR 0
1
WC T
8.77 105.27A
I2 Is I1 12.31 j8.46 14.9434.5A
U Z1I1 236.177 37.07V
~ S1
UI1*
(769
j1923)V A
~ S2
UI2
(1116
j3347)V A
S~s UIS (1884 j1424)V A
9-3 正弦稳态最大功率传输
•
U 70.730V
解：
İ1
•
•
I
U Z
70.7300
6 j8 7.07 23.1
-j10
İ2
•
I2
70.730
j10
7.07120
•• •
I I 1 I 2 4.4748.43
S=UI=500V.A
S=UI=316V.A
=30-(-23.1)=53.1 cos=0.6 P=Scos=300W Q=Ssin=400Var
二、电阻负载
Z L RL
Zo Ro jXo
Zo ·Uoc
•
•
I
U oc
U oc u
ZL
Zo ZL (Ro RL ) jXo
P
I
2 RL
Uoc2RL (RoRL )2
Xo2
RL Zo
Ro 2
X
2 o
且
Pm
Uoc2 Zo (Ro Zo )2
Xo2
（模匹配）
例9-4：图示电路已知：U• 0.10V , f 100MHz.
=30- 48.43=18.43 cos=0.9487 P=Scos=300W
说明：并入电容后现象与结果：
现象:
1) 总电流I 减小;
结果： 1）P不变条件下：
2) 功率因数角 减小; 3) 功率因数cos 增大; 4) 有功功率P 不变;
对输电线要求降低； 输电效率提高； 电源容量要求降低；
2）S不变条件下：
1. 瞬时功率: p( t ) u( t )i( t )
u(t ) 2U cos(t Ψu ) 2U cos(t ) i(t ) 2I cos(t Ψi ) 2I cost
p(t) u(t)i(t) 2U cos(t ) 2I cos(t) UI cos(1 cos 2t) UI sin sin 2t
uB
ZC
ZA ZB
形连接
uC
uA
ZC
ZA
uB
ZB
2）三相电路 对称三相电路和不对称三相电路。
对称三相电路：三相电源对称，且三个负载相等
①Y-Y连接
三相三线系统 三相四线系统
uA
uC
uB
ZA
ZC
ZB
②Y-△连接
uA
uC
uB
ZC
ZA
ZB
③- 连接
uC
uA
uB
ZC
ZA
ZB
④- Y连接
uC
uA
uB
ZA
50W
2) 移去C时，R为何值时可获最大功率？
Zo 50 j62.8 R Zo 80.2735
Pm
Uo2 Zo (Ro Zo )2
Xo2
38.38W
作业，电路如图所示，已知 is (t) 2 cost A
电路稳态时，要求完成以下问题：
1、未接入负载ZL，问： 1）电感、电容储能的平均值分别为多少？
WC
1 CU2 (WL WC )
即：总的无功功率为平均磁场能与平均电场能之差的2ω倍
例9-2：图示电路，已知f=50Hz，1）求S、 P、Q、
cos；2）并联一个电容，再求以上值，比较并说明
•
İ
İ
I1 7.07 23.1
•
U 70.730V
•
U
AN30
o
结论：线电压对称(大小相等，相位互差120o)： •
UBC
(1) 线电压大小等于相电压的 3倍.
•
(2) 线电压相位超前对应相电压30o。
UCA
3
•
UB
N30o
3
•
UCN
30
o
•
•
2、形电路的电流与电压 U 线 U 相