【精品】数学建模有关纳税的分析与计算

数学建模有关纳税的分析与计算
西南交通大学第二届“新秀杯”
数学建模竞赛
2011年10月27日－11月3日
题目： C （填写A、B或C题）
西南交通大学教务处
西南交通大学实验室及设备管理处
西南交通大学数学建模创新实践基地
工资薪金所得个人所得税计算方法的
优化模型
摘要
本文研究的是关于工资薪金所得个人所得税计算方法的优化问题，主要运用了数学lingo软件，建立了数学优化模型，最后对模型作出分析、评价和改进。

对于问题一：本文根据速算扣除数的相关定义，再结合月工资的纳税计算方法，最后得出计算扣除数。

对于问题二：本文首先从实际情况出发，结合题目要求，在从分考虑修订前后的个人所得税的前提下，确定了该员工年总收入分为工资薪金与年终奖金的基本思路，随后，本文建立了数学优化模型，并利用lingo软件，对该模型进行了求解，得出最优解，即该员工的个人年终纳税的最合理纳税方案。

对于问题三：本文首先以第三问为基础，结合实际情况，综合考虑税率大小，建立了数学优化模型，本文将节假日费用和偶然所得费用归于月工资报税，年终奖金一万元单独报税，建立了数学优化模型，并利用lingo软件，对该模型进行了求解，得出最优解，最合理的报税方案即为总税额最小的方案。

关键词：个人所得税合理纳税数学优化模型 lingo数学软件
§ 1问题的重述
一背景介绍
十一届全国人大常委会第二十一次会议30日表决通过关于修改个人所得税法的决定。

法律规定，工资、薪金所得，以每月收入额减除费用3500元后的余额为应纳税所得额；工资、薪金所得，适用超额累进税率，税率为3%至45%。

修改后的个税法将于2011年9月1日起施行。

因此我国公民在今年纳税时，要对纳税方案进行合理规划。

二要解决的问题
1、问题一如何计算税率计算公式的速算扣除数？
2、问题二某公司员工连续两年全年总收入5—7万元/年, 若采用修改前、后的个税法，他应如何报税，从而达到合理报税。

3、问题三若该公司将在节假日（五一、国庆）发放节日费500-2000元，以及单独发放年终奖励1万元，而该员工在某月有工资外偶尔所得7000元，则该员工又应如何报税？
1
§2问题的分析
一相关知识的介绍
个人所得税是调整征税机关与自然人(居民、非居民人)之间在个人所得税的征纳与管理过程中所发生的社会关系的法律规范的总称。

凡在中国境内有住所，或者无住所而在中国境内居住满一年的个人，从中国境内和境外取得所得的，以及在中国境内无住所又不居住或者无住所而在境内居住不满一年的个人，从中国境内取得所得的，均为个人所得税的纳税人。

《全国人民代表大会常务委员会关于修改〈中华人民共和国个人所得税法〉的决定》已由中华人民共和国第十一届全国人民代表大会常务委员会第二十一次会议于2011年6月30日通过，现予公布，自2011年9月1日起施行。

修改《中华人民共和国个人所得税法》的相关内容如下：
第二条下列各项个人所得，应纳个人所得税：
一、工资、薪金所得；
二、个体工商户的生产、经营所得；
三、对企事业单位的承包经营、承租经营所得；
四、劳务报酬所得；
五、稿酬所得；
六、特许权使用费所得；
七、利息、股息、红利所得；
八、财产租赁所得；
九、财产转让所得；
十、偶然所得；
十一、经国务院财政部门确定征税的其他所得。

第三条个人所得税的税率：
一、工资、薪金所得，使用超额累进税率，税率为百分之三至
百分之四十五（税率表附后）。

（2011年修订）
二、个体工商户的生产、经营所得和对企事业单位的承包经
营、承租经营所得，适用百分之五至百分之三十五的超额累进税
率（税率表附后）。

三、稿酬所得，适用比例税率，税率为百分之二十，并按应纳税额
百分之三十。

四、劳务报酬所得，适用比例税率，税率为百分之二十。

对劳务报
酬所得一次收入畸高的，可以实行加成征收，具体办法由国务院
规定。

五、特许权使用费所得，利息、股息、红利所得，财产租赁所得，
财产转让所得，偶然所得和其他所得，适用比例税率，税率为百
分之二十。

2
第六条应纳税所得额的计算：
一、工资、薪金所得，以每月收入额减除费用三千五百元后的余
额，为应纳税所得额。

（2011年修订）
二、个体工商户的生产、经营所得，以每一纳税年度的收入总额，减
除成本、费用以及损失后的余额，为应纳税所得额。

三、对企事业单位的承包经营、承租经营所得，以每一纳税年度的收
入总额，减除必要费用后的余额，为应纳税所得额。

四、劳务报酬所得、稿酬所得、特许权使用费所得、财产租赁所得，
每次收入不超过四千元的，减除费用八百元；四千元以上的，减
除百分之二十的费用，其余额为应纳税所得额。

五、财产转让所得，以转让财产的收入额减除财产原值和合理费用后
的余额，为应纳税所得额。

六、利息、股息、红利所得，偶然所得和其他所得，以每次收入额为
应纳税所得额。

个人将其所得对教育事业和其他公益事业捐赠的
部分，按照国务院有关规定从应纳税所得中扣除。

税率表一
注：1.本表所列含税级距与不含税级距，均为按照税法规定减除有关费用后的所得额；
2.含税级距适用于由纳税人负担税款的工资、薪金所得；不含税级距适用于由他人（单位）代付税款的工资、薪金所得。

3
税率表二
（个体工商户的生产、经营所得和对企事业单位的承包经营、承租经营所得适
用）
注：1.本表所列含税级距与不含税级距，均为按照税法规定以每一纳税年度的收入总额减除成本、费用以及损失后的所得额；
2.含税级距适用于个体工商户的生产、经营所得和由纳税人负担税款的对企事业单位的承包经营、承租经营所得；不含税级距适用于由他人（单位）代付税款的对企事业单位的承包经营、承租经营所得。

§3模型的假设
一、个人年收入仅为每月的月收入和年终奖的收入。

二、月收入不低于2000元，不高于8000元。

三、月收入等额。

§4模型符号说明
一、名词解释
个人所得税：个人所得税是调整征税机关与自然人(居民、非居民人)之间在个人所得税的征纳与管理过程中所发生的社会关系的法律规范的总称。

凡在中国境内有住所，或者无住所而在中国境内居住满一年的个人，从中国境内和境外取得所得的，以及在中国境内无住所又不居住或者无住所而在境内居住不满一年的个人，从中国境内取得所得的，均为个人所得税的纳税人。

4
《全国人民代表大会常务委员会关于修改〈中华人民共和国个人所得税法〉的决定》已由中华人民共和国第十一届全国人民代表大会常务委员会第二十一次会议于2011年6月30日通过，现予公布，自2011年9月1日起施行。

二、符号说明
A——级数为n时，对应的税率
n
M——级数为n时对应的速算扣除数
n
H——级数为n时对应的含税级距的最大值
n
P——全月应纳所得额对应n级时所应纳税额
n
Q——纳税人的当月收入
B——个税起征点（3500）
x——第i个月的收入
i
ai——第i月工资为Xi所对应的税率
Z——全年纳税额
y——年终奖
p——年收入
f x——第i月工资所纳税额
()
i
f y——年终奖纳税额
()
§5模型的建立与求解
从所要解决的问题和对问题作出的假设出发，我们对问题二和问题三而建立了数学优化模型。

5
模型 数学优化模型
本模型首先把全年的税额分到12个月中纳税，然后分别根据每个月的工资得出相应的税率，进而求出每个月应纳的税额。

利用优化模型解除12个月所缴税额最少的最优方案。

一、 对问题一的分析
1、根据传统的应纳税额（不含速算扣除数）的计算公式，再结合当月应缴个人所得税额的现今计算公式，再联立两个式子，可求得速算扣除数。

（1）相关量的定义
①速算扣除数 ：采用超累进税率时，简化计算应纳税额的一个数据，速算扣除数实际上是在级距和税率不变的条件下，全额累进税率的应纳税额比超额累进税率的应纳税额多拿的一个常数。

因此，在超额累进税率的条件下，用全额累进的计税方法，只要减掉这个常数，就等于用超额累进方法计算的应纳税额，故称速算扣除数。

②每月工资应纳税计算方案：
例如： 如某人月工薪收入为5900元，则月应纳税所得额=5900-3500=2400元,当月应交个人所得税额=1500×3%+（2400-1500）×10%=135元；或当月应交个人所得税额=应纳税所得额×适用税率-速算扣除数= 2400×10%-105=135元。

模型
月工资不超过5000时纳税人所应缴纳的税为 P1=0 Q ≤5000
月工资在5000到8000之间时纳税人应缴纳的税为
⨯⨯⎧⎨
⨯⎩21112
222
P =H A +(Q-B-H )A P =(Q-B)A -M 5000<Q<=8000 2221()M H A A =⨯-
月工资在8000到12500之间时纳税人所应交的税为
3112223333
()()P H A H A Q B H A P Q B A M =⨯+⨯+--⨯⎧⎨=-⨯-⎩ 8000<Q ≤12500 3232()M H A A =⨯-
月工资在12500到38500之间时纳税人所应交的税为 6
()4112233455
()P H A H A H A Q B H P Q B A M =⨯+⨯+⨯+--⎧⎪⎨=-⨯-⎪⎩ 12500<Q ≤38500 M 4=H 3⨯(A 4-A 3)
月工资在38500到58500之间时纳税人所应交的税为
()51122334445
555
()P H A H A H A H A Q B H A P Q B A M =⨯+⨯+⨯+⨯+--⨯⎧⎪⎨
=-⨯-⎪⎩ 38500<Q ≤58500 5434()M H A A =⨯-
月工资在58500到83500之间时纳税人所应交的税为
()61122334455666666
()P H A H A H A H A H A H A Q B H P Q B A M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+--⎧⎪⎨=-⨯-⎪⎩ 58500 ＜Q ≤83500
M 6=H 5(A 6-A 5)6565()M H A A =⨯-
月工资大于83500时纳税人所应交的税为
()711223344556667
766
()P H A H A H A H A H A H A Q B H A P Q B A M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+--⨯⎧⎪⎨
=--⎪⎩ 83500＜Q
M 7=H 6(A 7-A 6)
由以上模型课推理出速算扣除数Mn=Mn -1（An-An -1）可得
7
一级速算扣除数 M1=0
二级速算扣除数 M2=105
三级速算扣除数 M3=555
四级速算扣除数 M4=1005
五级速算扣除数 M5=2755
六级速算扣除数 M6=5505
七级速算扣除数 M7=13505
二、对问题二的分析
8
本文认为“员工连续两年全年总收入5—7万元/年”应指该员工在今年以及明年的年收入为5-7万元，对此本文将所纳税额分为今年所纳税额和明年所纳税额之和。

由于今年九月一日前后税率被修改，所以将今年所纳税额分为前八个月（修订前）和后四个月（修订后）的所纳税额之和。

而明年的所纳税额
就是十二个月的所纳税额之和，利用数学优化模型，列出计算式，在结合lingo 数学软件，可计算出最优解。

年终一次性奖金纳税计算方案：
a.先将雇员当月内取得的全年一次性奖金，除以12个月，按其商数确定适用税率和速算扣除数。

b.将雇员个人当月内取得的全年一次性奖金，按本条第1项确定的适用税率和速算扣除数计算征税
模型 数学优化模型
决策变量：每个月的月工资（i=1,2…12）和年终奖。

目标函数：年总纳税额Z
121min ()()
i i Z f x f y ==+∑
年总纳税额等于十二个月所纳税额之和加上年终奖金的纳税额,即最优方案为Z 最小时。

约束条件：12
150********i i x y =≤+≤∑
今年前八个月的月所纳税额与月份i 的关系（i=1,2,3,4,5,6,7,8） 当i x 在2000到2500范围内时，
()i f x =（i x -2000)⨯5%
当i x 在2500到4000范围内时，
()(2000)i i f x x =-⨯10%-25
当i x 在4000到7000范围内时，
9
()(2000)i i f x x =-⨯15%-125
当i x 在7000到8000范围内时，
()(2000)i i f x x =-⨯20%-1375
综上所述，前八个月月所纳税额()f y 与月工资i x 的关系如下：
(2000)5% 20002500(2000)10%-25 2500<4000()(2000)15%125 40007000
(2000)20%1375 70008000i i i i i i i i i x x x x f x x x x x -⨯<≤⎧⎪-⨯≤⎪=⎨-⨯-<≤⎪⎪-⨯-<≤⎩
后四个月的月所纳税额（i=9,10,11,12）
当i x 在2000到3500范围内时，
()i f x =0
当i x 在3500到5000范围内时，
()i f x =(3500)i x -⨯3%
当i x 在5000到8000范围内时，
()i f x =(3500)i x -⨯10%-105
综上所述，后四个月的月所纳税额()i f x 与月工资i x 的关系：
0 20003500()(3500)3% 35005000
(3500)10%10 550008000i i i i i
i x f x x x x x ≤≤⎧⎪=-⨯<≤⎨⎪-⨯-<≤⎩
10
年终奖纳税额与年终奖之间的关系如下所示
当y /12在0到1500范围内时，
()f y =y ×3%
当y/12在1500到4500范围内时，
f y=y×10%
()
当y/12在4500到9000范围内时，
f y=y×20%
()
当y/12在9000到35000范围内时，
f y=y×25%
()
当y/12在35000到55000范围内时，
()
f y=y×30%
当y/12在55000到80000范围内时，
f y=y×35%
()
当y/12大于80000时，
f y=y×45%
()
综上所述，年终奖纳税额f（y）与年终奖y之间的关系如下所示： 11
3% 015001210% 150045001220% 4500900012()25% y y y y y y f y y ⨯<≤⨯<≤⨯<≤=⨯ 9000350001230% 35000550001235% 55000800001245% y y y y y y <≤⨯<≤⨯<≤⨯ 8000012y
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪<⎪⎩
而2012年的月所纳税额与月工资i x 的关系(i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)
当i x 在2000到3500范围内时，
()f y =0
当i x 在3500到5000范围内时，
()f y =（i x -3500）3%
当i x 在5000到8000范围内时，
()f y =（i x -3500）10%-105
综上所述，2012年的月所纳税额()i f x 与月份i x 的关系：
0 20003500()(3500)3% 35005000
(3500)10%105 50008000i i i i i
i x f x x x x x <≤⎧⎪=-⨯<≤⎨⎪-⨯-<≤⎩ 12
模型求解 用LINGO 软件求解，最终得出的最优解为
最佳情况中的总税额为：8375元
最佳情况的前八个月月工资为：3224.5元
后四个月月工资为：4158.26元
最佳情况的前八个月每月税额为：134.56元
后四个月每月税额为：46.58元
最佳情况的年终奖为：30100.91元
最佳情况年终奖应缴税额为：4390.14元
三、对问题三的分析
由问题可知，该员工获得了节日费、年终奖以及处工资外偶然所得，而根据有关规定，个人偶然所得进行纳税时，应采用税率20%，即所纳税额
=7000x20%,而根据《个人所得税法》第九条扣缴义务人每月所扣的税款，自行申报纳税人每月应纳的税款，都应当在次月15日内缴入国库，并向税务机关报送纳税申报表。

故本文认为第三问中该员工的总收入为5-7万元，其中的年终奖10000元为确定值。

而为了合理报税，该员工应该将偶然所得的7000元列入工资范围以内来报税，因此该员工报税时要将总收入分为工资薪金所得和年总奖金来报税。

最终年总纳税为前八个月（修订前）、后四个月纳税额与年终奖纳税额之和。

利用数学优化模型，列出计算式，结合lingo 软件，求出最优解。

模型 数学优化模型
12
1min ()()i i Z f x f y ==+∑
前八个月月纳税额()f xi 与月份的关系如下所示（i=1,2,3,4,5,6,7,8）
()(2000)i f xi x =-
（1）、月工资纳税额与月工资之间的关系式如下所示：
当第i 个月的月工资i x 在2000到2500时月工资税额
()(2000)i i f x x =-⨯5%
当月工资i x 在2000到2500时，月工资纳税额
()(2000)i i f x x =-⨯10%-25
当月工资i x 在2000到2500时，月工资纳税额
13
()(2000)i i f x x =-⨯15%-125
当月工资i x 在2000到2500时，月工资纳税额
()(2000)i i f x x =-⨯20%-375
综上所述，月工资纳税额()i f x 与月工资i x 之间的关系式为
(2000)5% 20002500(2000)10%25 25004000()(2000)15%125 40007000(2000)20%375 7000i i i i i i
i i i x x x x f x x x x x -⨯≤≤-⨯-<≤=-⨯-<≤-⨯-<8000
⎧⎪⎪⎨⎪⎪≤⎩
后四个月纳税额f （i x ）与月份i 的关系如下所示（i=9,10,11,12）
当第i 个月月工资i x 在2000到3500时，月工资纳税
()i f x =0
当第i 个月月工资i x 在3500到5000时，月工资纳税
()i f x =(3500)i x -3%⨯
当第i 个月月工资i x 在3500到5000时，月工资纳税
()i f x =(3500)i x -10%⨯
综上所述，后四个月中，第i 个月月工资i x 与月工资纳税额()i f x 的关系如下
0 20003500()(3500)3% 35005000
(3500)10% 50008000i i i i i
i x f x x x x x ≤≤⎧⎪=-⨯<≤⎨⎪-⨯<≤⎩
14
（2）、年终奖纳税额与年终奖之间的关系如下所示：
f y=⨯
()100003%
模型求解用LINGO软件求解，最终得出的最优解为
最佳情况中的总税额为：6775元
最佳情况中的月工资为：4786.58元
最佳情况每月税额为：134.56元
§6模型的评价
一、优点：
1、利用lingo软件对数据进行处理，简便快捷。

2、该模型与实践紧密联系，充分考虑现实情况的不同阶段从而使模型更
贴近实际，通用性强。

二、缺点:
1、模型讨论的是月收入在2000到8000的工资分配情况，具有局限性。

2、本文没有通过建立模型的方式来计算速算扣除数。

§7模型的改进
本文讨论的是月收入在2000元到8000元的情况，而当月收入低于2000元时根据推理可知，月收入为2000时所需缴纳税额要比低于2000元时少，而当月收入为2000元时，所需缴纳税额比模型所求出的最优解要大，因此月收入低于2000元时得不到最佳分配方案。

另外当月收入高于8000元不符合实际情况。

§8 参考文献
（1）☆嫣然☆新《个人所得税法》与《实施条例》对照表
网址： 访问日期 2011.10.27
（2）yushu.liu 个人所得税分配方案
网址： 访问日期 2011.10.27
15
(3)christstars 艾滋病疗法的评价及疗效的预测模型网址： 访问日期 2011.10.27
16。