青县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学测试

青县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆M ：（x ﹣8）2+y 2=25截得的弦长为6，则双曲线的
离心率为（ ）
A ．2
B ．
C ．4
D ．
3． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2
π
ϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最
小距离为
2π
，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2
π D ．23π
4． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为1S 、2S 、3S ，则（ ）
A ．123S S S <<
B ．123S S S >>
C ．213S S S <<
D ．213S S S >> 5． 函数f （x ）=x 3﹣3x 2+5的单调减区间是（ ）
A ．（0，2）
B ．（0，3）
C ．（0，1）
D ．（0，5）
6． （2014新课标I ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017等于（ ）
A ．2017
B ．﹣8
C ．
D ．
8． 设函数f （x ）=，则f （1）=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 9． ABC ∆中，“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 10．设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数
()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（ ）
A ．2013
B ．
2014 C ．2015 D ．20161111] 11．在△ABC 中，若2cosCsinA=sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
12．直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ）
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．不存在
二、填空题
13．下列命题：
①终边在y 轴上的角的集合是{a|a=
，k ∈Z}；
②在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点；
③把函数y=3sin （2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2x 的图象；
④函数y=sin （x ﹣
）在[0，π]上是减函数
其中真命题的序号是 ．
14．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21x
f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数
0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=与直线x=1及x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，
圆锥的体积V 圆锥=
π（）2dx=x 3|=
．
据此类推：将曲线y=x 2
与直线y=4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．
16．给出下列命题：
（1）命题p ：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q ：菱形的对角线相等；则p ∨q 是假命题
（2）命题“若x 2
﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题 （3）“1＜x ＜3”是“x 2
﹣4x+3＜0”的必要不充分条件
（4）若命题p ：∀x ∈R ，x 2
+4x+5≠0，则¬p ：
．
其中叙述正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）
17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．
18．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点An （n ，f （n ））（n ∈N +
），向量=（0，1），θn 是向量
与i 的夹角，则
+
+…+= ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=x 3+2bx 2+cx ﹣2的图象在与x 轴交点处的切线方程是y=5x ﹣10． （1）求函数f （x ）的解析式；
（2）设函数g （x ）=f （x ）+mx ，若g （x ）的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数g （x ）取得极值时对应的自变量x 的值．
20．双曲线C ：x 2﹣y 2=2右支上的弦AB 过右焦点F ． （1）求弦AB 的中点M 的轨迹方程
（2）是否存在以AB 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线AB 的斜率K 的值．若不存在，则说明理由．
21．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边之长依次为a ，b ，c ，且cosA=，5（a 2+b 2﹣c 2
）=3
ab ．
（Ⅰ）求cos2C 和角B 的值； （Ⅱ）若a ﹣c=﹣1，求△ABC 的面积．
22．（本题满分14分）已知函数x a x x f ln )(2
-=.
（1）若)(x f 在]5,3[上是单调递减函数，求实数a 的取值范围；
（2）记x b x a x f x g )1(2ln )2()()(--++=，并设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个极值点，若2
7≥b ， 求)()(21x g x g -的最小值.
23．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x （cm ）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2
）最大，试问x 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3
）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
24．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中 随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第 5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组
各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
青县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选A．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．
2．【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，
∵渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，
∴=4，
∴a2=3b2，
∴c2=4b2，
∴e==．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．
3．【答案】A
【解析】
考点：三角函数的图象性质．
4．【答案】A
【解析】
考点：棱锥的结构特征．
5．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=x3﹣3x2+5，
∴f′（x）=3x2﹣6x，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故选：A．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
6．【答案】C
【解析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx||sinx|=|sin2x|，
其周期为T=，最大值为，最小值为0，
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．
7． 【答案】D
【解析】解：∵f （x+2）=﹣f （x ）， ∴f （x+4）=﹣f （x+2）=f （x ）， 即f （x+4）=f （x ）， 即函数的周期是4．
∴a 2017=f （2017）=f （504×4+1）=f （1）， ∵f （x ）为偶函数，当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ， ∴f （1）=f （﹣1）=， ∴a 2017=f （1）=， 故选：D ．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．
8． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=，
f （1）=f[f （7）]=f （5）=3． 故选：D ．
9． 【答案】A.
【解析】在ABC ∆中2
2
2
2
cos 2cos 212sin 12sin sin sin sin sin B A B A A B A B >⇒->-⇔>⇔>
A B ⇔>，故是充分必要条件，故选A.
10．【答案】D 【解析】
1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=
++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()1
2201620162=⨯⨯=，故选D. 1 考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.
【方法点睛】本题通过 “三次函数()()3
2
0f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()
(
)00,x f x ”这一探索
性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出()3115
33212
f x x x x =-+-的对称中心后再利用对称性和的.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
11．【答案】D
【解析】解：∵A+B+C=180°，
∴sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA ， ∴sinCcosA ﹣sinAcosC=0，即sin （C ﹣A ）=0， ∴A=C 即为等腰三角形． 故选：D ．
【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．
12．【答案】C
【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tan θ=﹣2，即可判断出结论． 【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ， 则tan θ=﹣2， 则θ为钝角． 故选：C ．
二、填空题
13．【答案】 ③ ．
【解析】解：①、终边在y 轴上的角的集合是{a|a=，k ∈Z}，故①错误；
②、设f （x ）=sinx ﹣x ，其导函数y ′=cosx ﹣1≤0，
∴f （x ）在R 上单调递减，且f （0）=0， ∴f （x ）=sinx ﹣x 图象与轴只有一个交点．
∴f （x ）=sinx 与y=x 图象只有一个交点，故②错误；
③、由题意得，y=3sin[2（x ﹣）+]=3sin2x ，故③正确；
④、由y=sin （x ﹣）=﹣cosx 得，在[0，π]上是增函数，故④错误．
故答案为：③．
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，并判断出题目中4个命题的真假，是解答本题的关键．
14．【答案】
【解析】试题分析:设
,由题设可知存在唯一的整数0x ，使得
在直线
的下方.因为
,故当
时,
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增;故,而当
时,
,故当
且
,解之得,应填答案
3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
. 考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．
【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点0x ，使得()00f x <为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数0x ，使得在直线
的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依
据题设建立不等式组求出解之得.
15．【答案】 8π ．
【解析】解：由题意旋转体的体积V===8π，
故答案为：8π．
【点评】本题给出曲线y=x 2
与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy 轴转一周得到旋转体的体积．着重
考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．
16．【答案】（4）
【解析】解：（1）命题p：菱形的对角线互相垂直平分，为真命题．命题q：菱形的对角线相等为假命题；则p∨q是真命题，故（1）错误，
（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3或x=1”，即原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故（2）错误，（3）由x2﹣4x+3＜0得1＜x＜3，则“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的充要条件，故（3）错误，
（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则￢p：．正确，
故答案为：（4）
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，四种命题，充分条件和必要条件以及含有量词的命题的否定，知识点较多，属于中档题．
17．【答案】．
【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c
∴b=，c=2a，
由余弦定理可得cosB===．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．
18．【答案】．
【解析】解：点An（n，）（n∈N+），向量=（0，1），θn是向量与i的夹角，
=，=，…，=，
∴++…+=+…+=1﹣=，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0．①
f′（x）=3x2+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=﹣1，
于是函数解析式为f（x）=x3﹣2x2+x﹣2．
（2）g（x）=x3﹣2x2+x﹣2+mx，
g′（x）=3x2﹣4x+1+，令g′（x）=0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x2﹣4x+1+=0有实根，
由△=4（1﹣m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=，在x=左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，
x1=（2﹣），x2=（2+），
﹣
极大值
当x=（2﹣）时g（x）有极大值；
当x=（2+）时g（x）有极小值．
【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
20．【答案】
【解析】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），则x12﹣y12=2，x22﹣y22=2，
两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴2x（x1﹣x2）﹣2y（y1﹣y2）=0，
∴=，
∵双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），
∴，
化简可得x2﹣2x﹣y2=0，（x≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）假设存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：y=k（x﹣2）
由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
，
所以（k2≠1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
联立①②得：k2+1=0无解
所以这样的圆不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．【答案】
【解析】解：（I）由∵cosA=，0＜A＜π，
∴sinA==，
∵5（a2+b2﹣c2）=3ab，
∴cosC==，
∵0＜C＜π，
∴sinC==，
∴cos2C=2cos2C﹣1=，
∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，
∴B=．
（II）∵=，
∴a==c，
∵a ﹣c=﹣1，
∴a=
，c=1，
∴S=acsinB=×
×1×
=．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了利用导数研究函数的单调问题，利用导数研究函数的最值，但本题对函数的构造能力及运算能力都有很高的要求，判别式的技巧性运用及换元方法也是本题的一大亮点，本题综合性很强，难度大，但有梯次感.
（2）∵x b x x x b x a x a x x g )1(2ln 2)1(2ln )2(ln )(2
2
--+=--++-=，
【解析】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．
（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，
∴当x=15时，S取最大值．
（2）V=a2
h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），
由V ′=0得x=20，
当x ∈（0，20）时，V ′＞0；当x ∈（20，30）时，V ′＜0；
∴当x=20时，包装盒容积V （cm 3
）最大，
此时，．
即此时包装盒的高与底面边长的比值是．
24．【答案】（1）3,2,1；（2）710
. 【解析】111]
试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有10种情况，其中第组的名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果. 1
（2）记第3组的3名志愿者为123,,A A A ，第4组的2名志愿者为12,B B ，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，共10种，其中第4组的2名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被抽中的有11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，
22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为
710
. 考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式.。