清河县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

清河县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若椭圆
和圆
为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则
椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 若如图程序执行的结果是10，则输入的x 的值是（ ）
A ．0
B ．10
C ．﹣10
D ．10或﹣10
3． 下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A ．f （x ）=
，g （x ）=x ﹣1
B ．f （x ）=
，g （x ）=
C ．f （x ）=ln e x 与g （x ）=e lnx
D ．f （x ）=（x ﹣1）0与g （x ）=
4． 如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
A ．（∁U
B ）∩A B ．（∁U A ）∩B
C ．∁U （A ∩B ）
D ．∁U （A ∪B ）
5．
+（a ﹣4）0有意义，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥2
B ．2≤a ＜4或a ＞4
C ．a ≠2
D ．a ≠4
6． 如果对定义在R 上的函数)(x f ，对任意n m ≠，均有0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 成立，则称 函数)(x f 为“H 函数”.给出下列函数： ①
()ln25x f x =-；②34)(3++-=x x x f ；③)cos (sin 222)(x x x x f --=；④
⎩⎨
⎧=≠=0
,00
|,|ln )(x x x x f ．其中函数是“H 函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4
【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大． 7． 若向量（1，0，x ）与向量（2，1，2
）的夹角的余弦值为，则x 为（ ）
A ．0
B ．1
C ．﹣1
D ．2
8． 若多项式 x 2+x 10=a 0+a 1（x+1）+…+a 8（x+1）8+a 9（x+1）9+a 10（x+1）10，则 a 8=（ ）
A ．45
B ．9
C ．﹣45
D ．﹣9
9． 定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b=a ；当a ＜b 时，a ⊕b=b 2，则函数f （x ）=（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．6
D ．12
10．已知直线l
的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3
π
ρθ=+
，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）
A ．4
π
α=
B ．3
π
α=
C ．34
πα=
D ．23
π
α=
11．双曲线4x 2+ty 2﹣4t=0的虚轴长等于（ ） A
．
B ．﹣2t C
．
D ．4
12．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题， 那么（ ）
A ．p 是真命题且q 是假命题
B ．p 是真命题且q 是真命题
C ．p 是假命题且q 是真命题
D ．p 是假命题且q 是假命题
二、填空题
13．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．
14．已知面积为的△ABC中，∠A=若点D为BC边上的一点，且满足=，则当AD取最小时，BD的长为．
15．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为．
16．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为．
17．-2
33
11
+log6-log
42
（）= .
18．已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是2cos
ρθ
=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立
平面直角坐标系，直线的参数方程是
24
3
x t
y t
=-+
⎧
⎨
=
⎩
（为参数）.
（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；
（2）求曲线C上任意一点到直线的距离的最大值.
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
21．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式
（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．
22．实数m取什么数值时，复数z=m+1+（m﹣1）i分别是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
23．如图，底面为正三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，D为线段B1C1中点．
（Ⅰ）证明：AC1∥平面A1BD；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在一点E，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1？若存在，请找出点E所在位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．
24．已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，，，...，，集合
..。

，，，，...，.
（1）当，时，用列举法表示集合；
（2）设、，..。

，..。

，其中、，，，...，.证明：若，则.
清河县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，
∴圆的半径，
由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，
在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，
∴；
由，得b+2c＜2a，
再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，
∴3c2+4bc＜3a2，
∴4bc＜3b2，
∴4c＜3b，
∴16c2＜9b2，
∴16c2＜9a2﹣9c2，
∴9a2＞25c2，
∴，
∴．
综上所述，．
故选A．
2．【答案】D
【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，
当x＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10
当x≥0，时x=10，解得：x=10
故选：D．
3．【答案】D
【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；
对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数；
对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；
对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数；
故选：D．
【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．
4．【答案】A
【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成，
∴对应的集合表示为A∩∁U B．
故选：A．
5．【答案】B
【解析】解：∵+（a﹣4）0有意义，
∴，
解得2≤a＜4或a＞4．
故选：B．
6．【答案】B
第7．【答案】A
【解析】解：由题意=，∴1+x=，解得x=0
故选A
【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，考查根据公式建立方程求解未知数，是向量中的基本题型，此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解，正确利用概念与公式解题是此类题的特点．
8．【答案】A
【解析】解：a8 是x10=[﹣1+（x+1）]10的展开式中第九项（x+1）8的系数，
∴a8==45，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项展开式的通项公式，二项展开式系数的性质以及多项恒等式系数相等的性质，属于基础题．
9．【答案】C
【解析】解：由题意知
当﹣2≤x≤1时，f（x）=x﹣2，当1＜x≤2时，f（x）=x3﹣2，
又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x3﹣2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=23﹣2=6．
故选C．
10．【答案】A
【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C
的方程为22((1)4x y +-=，直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，直线l 过定点M ，∵
||2MC <，∴点M 在圆C 的内部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，∴
4
π
α=，选A ．
11．【答案】C
【解析】解：双曲线4x 2+ty 2
﹣4t=0可化为：
∴
∴双曲线4x 2+ty 2
﹣4t=0的虚轴长等于
故选C ．
12．【答案】D
二、填空题
13．【答案】
．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，
8个三棱锥的体积为：
=．
剩下的凸多面体的体积是1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．
14．【答案】
．
【解析】解：AD 取最小时即AD ⊥BC 时，根据题意建立如图的平面直角坐标系， 根据题意，设A （0，y ），C （﹣2x ，0），B （x ，0）（其中x ＞0），
则
=（﹣2x ，﹣y ），
=（x ，﹣y ），
∵△ABC 的面积为，
∴⇒
=18，
∵
=
cos
=9，
∴﹣2x 2+y 2
=9，
∵AD⊥BC，
∴S=••=⇒xy=3，
由得：x=，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积公式、利用平面向量来解三角形的知识．
15．【答案】．
【解析】解：∵直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3，2），
故斜率为=，
∴由斜截式可得直线l的方程为，
故答案为．
【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式．
16．【答案】4+．
【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图，
∵底面边长为6，∴BC=，
球O的半径为3，球O1的半径为1，
则，
在Rt△OMO1中，OO1=4，，
∴=，
∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．
故答案为：4+．
【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
17．【答案】33 2
【解析】
试题分析：原式=2
3333133
4log log16log16log16
22
+=+=+=+=。

考点：指、对数运算。

18．【答案】．
【解析】解：∵=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，
∴，解得b=1，a=2．
∴|a﹣bi|=|2﹣i|=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．三、解答题
19．【答案】（1）参数方程为
1cos
sin
x
y
θ
θ
=+
⎧
⎨
=
⎩
，3460
x y
-+=；（2）14
5
.
【解析】
试题分析：（1）先将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标系下的方程,可得22
(1)1
x y
-+=,利用圆的参数方程写出结果,将直线的参数方程消去参数变为直线的普通方程；（2）利用参数方程写出曲线C上任一点坐标,用点到直线的距离公式,将其转化为关于的式子,利用三角函数性质可得距离最值.
试题解析：
（1）曲线C的普通方程为22cos
ρρθ
=，∴2220
x y x
+-=，
∴22(1)1x y -+=，所以参数方程为1cos sin x y θθ
=+⎧⎨
=⎩， 直线的普通方程为3460x y -+=. （2）曲线C 上任意一点(1cos ,sin )θθ+到直线的距离为
33cos 4sin 65sin()914555
d θθθϕ+-+++==≤，所以曲线C 上任意一点到直线的距离的最大值为145. 考点：1.极坐标方程；2.参数方程.
20．【答案】
【解析】解：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ．
由∠BCD=90°，得CD ⊥BC ，
又PD ∩DC=D ，PD 、DC ⊂平面PCD ，
所以BC ⊥平面PCD ．
因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．
（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则：
易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等．
又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍．
由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ，
因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ．
易知DF=，故点A 到平面PBC 的距离等于．
（方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ．
因为AB ∥DC ，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．
从而AB=2，BC=1，得△ABC 的面积S △ABC =1．
由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P ﹣ABC 的体积
． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC ．
又PD=DC=1，所以
．
由PC ⊥BC ，BC=1，得△PBC 的面积
．
由V
A ﹣PBC =V P ﹣ABC ，，得， 故点A 到平面PBC 的距离等于
．
【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理
论证能力和运算能力．
21．【答案】
【解析】解：（1）设a1=a，由题意可得，
解得，或，
当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；
当时，a n=（2n+79），b n=9•；
（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，
∴c n==，
∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，
∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，
∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，
∴T n=6﹣．
22．【答案】
【解析】解：（1）当m﹣1=0，即m=1时，复数z是实数；
（2）当m﹣1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
（3）当m+1=0，且m﹣1≠0时，即m=﹣1时，复数z 是纯虚数．
【点评】本题考查复数的概念，属于基础题．
23．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点F，连接DF，
△AB1C1中，D，F分别为A1B，B1C1中点，
所以DF∥AC1．…
因为DF⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD，
所以AC1∥平面A1BD．…
解：（Ⅱ）存在点E，为CC1中点，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1…
证明如下：
方法1：△A1BE中，因为A1E=BE，且F为A1B中点，所以，EF⊥A1B．△AB1E中，同理有EF⊥AB1．…因为A1B∩AB1=F，A1B，AB1⊂平面A1ABB1，所以EF⊥平面A1ABB1…
又EF⊂平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1…
方法2：取AB中点G，连接EF，CG，FG．
因为FG∥AA1，且，CE∥AA1，且，
所以FG∥CE，且FG=CE，
所以，四边形CEFG为平行四边形，所以CG∥EF…
因为AA1⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，所以CG⊥AA1．
又CG⊥AB，且AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面A1ABB1，
所以，CG⊥平面A1ABB1…
因为CG∥EF，所以EF⊥平面A1ABB1…
又EF⊂平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1…
【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
24．【答案】
【解析】。