线段的相等与和、差、倍

第16讲线段的相等与和、差、倍
知识框架
线段的相等与和、差、倍是初中数学六年级下学期第3章第1节的内容．重点是学会用数学符号表示两条线段的大小关系，能用等式表示两条线段的和、差、倍的关系，掌握两点之间距离的概念，理解“两点之间，线段最短”的意义及线段的中点的意义．另外，需学会用直尺、圆规等工具画线段，及其和、差、倍，并学会用作图语言描述画法．
16.1 线段的大小的比较
1.线段的表示
（1）可以用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点．如图所示：线段可以用表示端点的两个字母A、B表示，记作线段AB．
（2）也可以用一个小写英文字母，如图所示：线段可以用小写英文字母a表示，记作线段a．
2.线段的大小比较
通常，把比较两条线段的长短称作两条“线段的大小的比较”．
线段的大小比较有两种方法：度量法和叠合法．
叠合法如下：
将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，线段AB与线段CD叠合．这时端点B可能的位置情况如下表：
图形点B的位置符号表示情况一
点B在线段CD上（C、
D之间）
记作：AB < CD
（或CD > AB）
A B
C D
(B)
(A)
知识精讲
情况二点B与点D重合记作：AB = CD 情况三
点B在线段CD的延长
线上
记作：AB > CD
（或CD < AB）
3.如图，已知线段a，用圆规、直尺画出线段AB，使AB = a．
（1）画射线AC；
（2）在射线AC上截取线段AB = a．（以点A为圆心，a为半径画弧，交射线AC于点B）线段AB就是所要画的线段．
4.两点之间的距离：
联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离．
两点之间，线段最短．
【例1】
判断题：
（1）在“线段AB”中，A、B分别表示这条线段的两个端点．（）
（2）“线段AB”与“线段BA”指的是同一条线段．（）
（3）“射线AB”与“射线BA”也指同一条射线．（）
（4）射线AB的端点是点A和点B．（）
（5）线段AB和线段CD，如果点A和点B落在线段CD内，则AB < CD．（）【例2】
过一点可做______条直线，过两点可作_____条直线．
【例3】
线段有______个端点，射线有______个端点，直线有______个端点．
【例4】
如图所示，图中共有______条线段，共有______条射线．
A B
C D
(B)
(A)
A B
C D
(B)
(A)
例题分析
如图所示，图中最短的线段是______，最长的线段是______，点B 与线段CD 的位置关系是__________．
【例6】
下列画图画法的语句正确的是（ ） （A ）画直线AB 、CD 相交于点M ； （B ）直线AB 、CD 相交于点M ；
（C ）在射线OC 上截取线段PC = 3厘米； （D ）延长线段AB 到点C ，使BC = AB . 【例7】
如图，已知AB < CD ，则AC 与BD 的大小关系是（ ） （A ）AC > BD ； （B ）AC = BD ； （C ）AC < BD ；
（D ）不能确定.
【例8】
如图，已知ABC 中，边AB 的长大于边AC 的长，试用圆规、直尺在线段AB 上画出线段AD ，使AD = AC ．
【例9】
图中共有几条线段？几条射线？
【例10】
如图，已知线段AB 、线段
CD ．利用圆规和无刻度的直尺比较这两条线段的大小．
A
B
C
D A
B
C
D A
B
C
A
B C D
A
B C
D
已知平面上有4个点，无三点共线，请问，这4个点可以构成多少条线段？若有5个点呢（其他条件不变）？若有6个点呢（其他条件不变）？若有n个点呢（其他条件不变）？
【例12】
已知一条直线上有4个点，则以这4个点为端点的线段有多少条？若有5个点呢（其他条件不变）？若有6个点呢（其他条件不变）？若有n个点呢（其他条件不变）？
【例13】
图中共有多少条线段？
16.2 画线段的和、差、倍
1.
线段的和（或差）
两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的长度的和（或差）． 2. 线段的中点 将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
【例1】
如图，已知线段a 、b ．
（1）画出一条线段，使它等于a b +； （2）画出一条线段，使它等于b a -．
【例2】
如图，已知线段a 、b ．
（1）画出一条线段，使它等于2a ； （2）画出一条线段，使它等于2a b -．
【例3】
根据图形填空：
（1）AD =______+ BC +______= AC + ______= AB + ______； （2）AB = AD -______；
（3）AC = AD -______= BC +______．
知识精讲
例题分析
a b
a b
A
B C D
如图，已知点C 是线段AB 的中点，则AC =______AB ，AB = 2________= 2_______，1
2
AB =______=______．
【例5】
如图，已知点C 是线段AB 的中点，AC = 20，BD = 29，则AB =______，DC = ______．
【例6】
线段AB = 2厘米，延长线段AB 至点C ，使得BC = 2AB ，则AC =_____厘米． 【例7】
线段AB = 2厘米，反向延长线段AB 至点C ，使得BC = 3AB ，则AC =_____厘米． 【例8】
线段AB = 2005厘米，P 、Q 是线段AB 上的两个点，线段AQ = 1200厘米，线段BP = 1050厘米，那么线段PQ =______厘米． 【例9】
如图，线段AD = 90厘米，B 、C 是这条线段上的两点，AC = 70 厘米，且1
3
CD BC =，
则AB 的长为______．
【例10】
如图，已知D 为线段AB 的中点，E 为线段BC 的中点，若AC = 12，EC = 4，求线段AD 的长度．
【例11】
如图点A 、B 、C 、D 、E 在同一条直线上，已知AB = a ，AD = b ，CD = c ，CE = d ，用含a 、b 、c 、d 的式子表示BC 、DE 的长．
A B
C A
B C
D A B C D
A
B
C D
E
A
B
C
D
E
两条长度不等的线段，它们的长度和为a，一条线段的2倍等于另一条线段的3倍，求这两条线段的长度差．（结果用a表示）
【例13】
已知线段AB，用直尺、圆规作出它的中点C．
【例14】
两条线段的长度分别为6和8，使这两条线段在同一直线上，并有一个端点重合，求这两条线段的中点所确定的线段的长度．
【例15】
如图，点A、B、C、D 在同一条直线上，已知
1
2
AC
CD
=，
3
5
AB
BD
=，求AB : BC : CD．
【例16】
在直线上顺次排列的四个点A、B、C、D满足AB : BC : CD = 2 : 3 : 4，AB的中点M点与CD的中点N点的距离是3厘米，求BC的长．
A B
如图，线段AB = BC = CD = DE = 1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于多少？
16.3 随堂检测
1.用叠合法比较线段AB与线段CD的大小，把点A与点C重合，当点B在线段CD上，
则AB______CD；若点B在线段CD的延长线上，则AB______CD；如点B与点D重合，则AB______CD．
2.把一段弯曲的公路改为直路，可以缩短路程，其理由是_________________．
3.判断下列语句是否正确：
（1）点A与点B的距离就是线段AB；（）
（2）若线段AM与线段BM相等，则M是线段AB的中点．（）
4.下列各式中不能表达M为线段AB中点的语句是（）
（A）
1
2
AM AB
=；（B）2
AB BM
=；
（C）AM BM
=；（D）AM MB AB
+=．
5.找出图中的所有线段，并将它们表示出来．
6.已知M是线段AB上的一点，点C是线段AM的中点，点D是线段MB的中点，AM =
8厘米，MD = 2厘米，则BC =______厘米．
7.已知线段AB = 6 cm，延长AB到C，使
1
2
BC AB
=，反向延长AB到D，使
1
4
AD BD
=，
则线段CD = ______cm．
8.已知线段a、b、c，画出线段AB使
1
2
2
AB a b c
=+-．
A B C D E
A B C D E F
a
c
b
9. 已知在平面上有10个点，无三点共线，请问这10个点可以构成多少条线段？
10. 在直线上有两点A 、B ，它们的距离等于10，在该直线上另有一点P ，P 到A 、B 的距
离之和为12，请判断点P 与点A 的位置关系．
16.4 课后作业
1.
下列语句错误的是（ ）
（A ）线段AB 和线段BA 是同一条线段； （B ）射线AB 和射线BA 不是同一条射线；
（C ）“延长线段AB 到点C ”与“延长线段BA 到点C ”意义相同； （D ）直线不能比较大小.
2. 比较下列各图中线段AB 与CD 的大小．
3. 如图，直线上有A 、B 、C 三点，图中共有______条射线，______条线段．
4. 线段AB =1
8
2
厘米，点C 是线段AB 的中点，则线段BC =______厘米． 5.
延长线段AB 至点C ，使1
3
BC AB ，D 是AC 的中点，若DC = 2厘米，则AB =___厘
米．
6.
已知线段AB ，点D 为线段AB 的中点，延长线段AB 到C ，使点B 为线段AC 的中点，反向延长线段AB 到E ，使得点A 为线段DE 的中点，则BC =______AE ．
A
B
C
D
A
B
C
D
7.延长线段AB到C，使AC = 3AB，在AB反向延长线上取一点D，使AD = AB，若E是
AB的中点，DE = 7.2 cm，求CD的长．
8.如图，已知AE = 14 cm，B为AE上一点，且AB : BE = 3 : 4，C为AE中点，D为BE
中点，求线段CD的长．
9.已知A、B、C为一直线上三点，且AB = 10 cm，BC = 20 cm，则AC的长度为多少？
10.在直线l上有100个点，以这100个点为端点的线段有多少条？。