勾股定理在折叠问题中的应用（讲义和习题）含答案

勾股定理在折叠问题中的应用（讲义和习题）含答案
勾股定理在折叠问题中的应用（讲义）
课前预习
1. 观察图形，回顾轴对称的性质：
（1）全等变换：对应边________，对应角_________；（2）对应点所连的线段被对称轴_____________．
2. 如图，乐乐将△ABC 沿DE ，EF 分别翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段
EO ，若∠DOF =139°，则∠C 的度数为（） A ．38°
B ．39°
C ．40°
D ．41°
3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6，BC =8，点
D 在BC 边上，将直角边AC 沿直线
AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处．设DE 的长为x ，则CD =__________，BD =_________．（用含x 的代数式表示）知识点睛
1. 轴对称（折叠）的思考层次
（1）全等变换：对应边_______、对应角_______．（2）对应点与对称轴：
①对应点所连线段_____________________；
l
A'
B'
C'
C
B
A
O
F
E
D C
B A
D
E
A
B
C
②对称轴上的点_______________________．
（3）组合搭配：长方形背景下的折叠常出现______三角形．（4）作图：
核心是确定_______和_______，有时需要依据不变特征分析转化，然后再补全图形．特征举例：
①对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线；②折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上．
精讲精练
1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，点D 在BC 边上，将直角边AC
沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为__________．
第1题图第2题图
2. 如图，在长方形ABCD 中，AB =5 cm ，在DC 上存在一点E ，将△AED 沿直线AE 折叠，使点D
落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为30 cm 2，则EF 的长为_______．
3. 如图，在长方形ABCD 中，点E 在AB 边上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在
BC 边上的点F 处．若AE =5，BF =3，则CF 的长为_______．
4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，将△ABC
折叠，使点B 与点A 重合，折痕分别
交AB ，BC 于点D ，E ，则BE=__________，DE=__________．
第4题图第5题图
5. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处，
点A 的对应点为A'．若B'C =3，则AM 的长为__________．
D
E
A B
C F E
D C B
A B
F
C
D
A E
D
E
A
B C
M
C
B
D
A
B'
A'
6. 如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，若AB =2，
BC =4，则AM =______．
第6题图第7题图7. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =5，现将该长方形沿BD 折叠，使点C 落在点C′处，BC′
交AD 于点E ，则AE 的长为________．
8. 如图，在长方形ABCD 中，AB =15 cm ，点E 在AD 上，且
AE =9 cm ，连接EC ，将长方形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则A'C =_________．
9. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，
则EF 的长为_________．
第9题图第10题图
10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC=2，将△ABC 沿直线l 翻折，点A 落在边BC 的中点D
处，直线l 与边AC 交于点E ，则AE 的长为_________．
11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点P 在线段AC 上．若将△PBC 沿PB 折叠，
使点C 的对应点C ′落在AB 边上，则BP 的长为_________．
B
C F
A
E
N
M
D E
D
C
B
A
C′
A'B A
D
C
E
F
C
B
E
D
A
C'
第11题图第12题图
12.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是边BC上一点，BE=5，点F是射线BA上一动点，
连接EF，将△BEF沿着EF折叠，使点B的对应点P落在长方形一边的垂直平分线上，连接BP，则BP的长为_________．
13.如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使
点B落在点B′处．当△B′CE为直角三角形时，BE的长为_________．【参考答案】
课前预习
1.（1）相等，相等；（2）垂直平分.
2. D
3.x，8x
知识点睛
1.（1）相等、相等
（2）①被对称轴垂直平分；
②到对应点的距离相等
（3）等腰
（4）对称轴，对应点精讲精练
1. 3 cm
2.13
cm 5
3.12
4.5 2
5.2
6.
13
8
A
C B
F
E
D
C
B
A
P
D
C
B
A
E
B′
7.8 5
8.8 cm
10.5 4
11.
12.
13.3
2
或3
勾股定理在折叠问题中的应用（习题）
例题示范
例1：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC 沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在AC边上的点B′处，若折痕交BC于点E，则B′E的长为_________．
思路分析：
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4
由勾股定理，得AC=5
找折痕，转移，表达
设B′E=x，
由折叠，得BE=B′E=x，AB′=AB=3
∴CE=4-x，B′C=2
利用勾股定理列方程
在Rt△EB′C中，
由勾股定理，得
x2+22=(4-x)2
解得x=3
2
B'
A
C
B
复习巩固
1. 如图，直角三角形纸片OAB ，∠AOB =90°，OA =1，OB =2，折叠该纸片，使点B 与点A 重合，若
折痕交OB 于点C ，交AB 于点D ，则OC 的长为_________．
2. 如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，若AB =4 cm ，BC =5 cm ，
则EF 的长为________．
3. 如图，在长方形纸片ABCD 中，AD =8，折叠纸片使点B 落在线段AC 上的点F 处，折痕交BC 于
点E ，若EF =3，则AB 的长为_________．
4. 如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重
合，若折痕交BC 于点D ，交AB 于点E ，则CD =________，DE =_________．
5. 如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将AB ，AD 分别沿AE ，AF 折叠，
点B ，D 恰好都落在点G 处，已知BE =1，则EF 的长为_________．O B
C
A
D
F
C
B
E
D
F
E
A
B
C D
D
C
B
A
6. 如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D′，点C 落在C′处．若
AB =6，AD′=2，则DM =________，CN =_________．
7. 如图，长方形ABCD 中，AB =8，BC =4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点D′处，则重叠部分△
AFC 的面积为_________．
8. 如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ．若BC =8，AB =4，则AE =_______，
EF =________．
9. 如图，将长方形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕分别交AD ，BC 于点E ，F ，若AB =3，
AD =4，则DE 的长为______．
G
F E D
C
B
A D'C'
N
M
D
A
D'D'
E
A
B
C D
F
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若点D在线段BC上，将△ABC沿AD折叠，
使点C的对应点C′恰好落在AB边上，则BD的长为_________．
11.如图，长方形ABCD中，AB=10，点P是射线AD上一动点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使
点A的对应点A′ 到直线BC的距离等于6，则AP的长为_________．
12.如图，长方形ABCD中，AB=12，AD=5，点E是CD边上一点，连接AE，把∠D沿AE折叠，
使点D落在点D′处．当
△CD′E为直角三角形时，DE的长为____________．
【参考答案】
例题示范
4.3 2
复习巩固
1.3
4
B C
A D
A
P
A
B C
D
A'
D'
E
B
C
A
D
2.5 cm 2
3. 6
4.7
cm
4
，
15
cm
4
5.5 2
6.10
3
，
4
3
7.10
9.7 8
10.5 3
11.5或20
12.10
3
或5。