一元二次不等式及其解法

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§9.2一元二次不等式及其解法
对应学生用书第120页
1.一元二次不等式的定义
形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作一元二次不等式.
2.一元二次不等式的解与解集
一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.
(1)定义的简单应用:判断一个不等式是否为一元二次不等式,应严格按照定义去判断,即未知数只有1个,未知数的最高次数是2,且最高次项的系数不能为0.
(2)解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.
3.三个“二次”间的关系
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0Δ=0Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c(
a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0( a>0)的根有两相异
实根
x1,x2(x1<x2
)
有两相等实
根x1=x2=-
b
2a
没有实数根
ax2+bx+c>0( a>0)的解集
{x|x<x1
或x>x2}{x|x≠x1}
R
ax2+bx+c<0( a>0)的解集{x|x1<x<x2
}
⌀⌀
不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件
(1)不等式ax 2+bx+c>0对任意实数x 恒成立⇔{a =b =0,c >0
或{a >0,Δ<0.
(2)不等式ax 2+bx+c<0对任意实数x 恒成立⇔{a =b =0,c <0
或{a <0,
Δ<0.
【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)a>b ⇔ac 2>bc 2.
( ) (2)若不等式ax 2+bx+c<0的解集为(x 1,x 2),则必有a>0.
( ) (3)若方程ax 2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax 2+bx+c>0的解集为R . ( ) (4)不等式ax 2+bx+c ≤0在R 上恒成立的条件是a<0且Δ=b 2-4ac ≤0.
( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
【对接教材】
2.(北师大版必修5P87习题T4改编)已知不等式x 2-mx+2>0的解集为{x|x<1或x>2},则实数m 的值为( ).
A .2
B .-3
C .1
D .3
答案 D
解析 因为不等式x 2-mx+2>0的解集为{x|x<1或x>2}, 所以1,2是关于x 的方程x 2-mx+2=0的实数根, 所以m=1+2=3.故选D .
【易错自纠】
3.关于x 的不等式x 2+ax-3<0的解集为(-3,1),则不等式ax 2+x-3<0的解集为( ).
A .(1,2)
B .(-1,2)
C .(-1
2
,1) D .(-32
,1)
答案 D
解析 由题意知,-3,1是关于x 的方程x 2+ax-3=0的两根,可得-3+1=-a ,解得a=2, 故所求不等式为2x 2+x-3<0,即(2x+3)(x-1)<0, 解得-32
<x<1,
所以不等式的解集为(-32
,1). 故选D .
4.若关于x 的不等式x 2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有4个正整数,则实数m 的取值范围为( ).
A .(6,7]
B .(6,7)
C .[6,7)
D .(6,+∞)
答案 A
解析 原不等式可化为(x-2)(x-m )<0, 若m ≤2,则不等式的解是m<x<2,
此时不等式的解集中不可能有4个正整数,所以m>2, 所以不等式的解是2<x<m ,
所以不等式的解集中的4个正整数分别是3,4,5,6, 故实数m 的取值范围是(6,7].
【真题演练】
5.(2019年天津卷)已知a ∈R .设函数f (x )={x 2-2ax +2a(x ≤1),
x -alnx(x >1).若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立,则a
的取值范围为( ). A .[0,1]
B .[0,2]
C .[0,e]
D .[1,e]
答案 C
解析 当x ≤1时,f (x )=x 2-2ax+2a ,函数f (x )图象的对称轴为直线x=a ,又f (x )≥0在R 上恒成立, 所以当a ≥1时,f (x )min =f (1)=1>0恒成立, 当a<1时,f (x )min =f (a )=2a-a 2≥0,∴ 0≤a<1. 综上,a ≥0.
当x>1时,f (x )=x-a ln x ,
所以f (x )≥0在R 上恒成立,即a ≤x
lnx
恒成立. 设g (x )=
x
lnx
,则g'(x )=
lnx -1
(lnx)2
.
令g'(x )=0,得x=e,
所以当1<x<e 时,g'(x )<0;当x>e 时,g'(x )>0. 所以g (x )min =g (e)=e,所以a ≤e .
综上,a 的取值范围是0≤a ≤e,即[0,e].故选C .
对应学生用书第121页
一元二次不等式的求解【考向变换】
考向1 不含参数的一元二次不等式
解不等式:(1)3+2x-x 2≥0;(2)
1-2x
x+1
>0. 解析 (1)原不等式可化为x 2-2x-3≤0,即(x-3)(x+1)≤0,故所求不等式的解集为{x|-1≤x ≤3}. (2)原不等式可化为(1-2x )(x+1)>0,解得-1<x<12
,故所求不等式的解集为{x|-1<x <12
}.
变—把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式
判—计算对应方程的判别式
求—求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根
写—利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集
【追踪训练1】解不等式:3x -5
2x -3
≤2. 解析 原不等式可化为
x -1
2x -3
≥0,
即{
x -1≥0,2x -3>0或{x -1≤0,2x -3<0,
解得x>32或x ≤1.
故所求不等式的解集为{x|x >32
或x ≤1}.
考向2 含参数的一元二次不等式
已知函数f (x )=ax 2-(a+1)x+1. (1)当a=-2时,解关于x 的不等式f (x )<0; (2)当a>0时,解关于x 的不等式f (x )>0. 解析 (1)当a=-2时,f (x )=-2x 2+x+1<0, 即2x 2-x-1>0,解得x<-12
或x>1,
∴不等式的解集为{x|x <-1
2或x >1}.
(2)当a>0时,由f (x )>0,得ax 2-(a+1)x+1>0, 即(ax-1)(x-1)>0,
①当1
a =1,即a=1时,解得x ≠1;
②当1
a >1,即0<a<1时,解得x<1或x>1
a ; ③当1
a <1,即a>1时,解得x<1
a 或x>1.
综上所述,当a=1时,不等式的解集为{x|x ≠1}; 当0<a<1时,不等式的解集为{x|x <1或x >1a
}; 当a>1时,不等式的解集为{x|x <1a
或x >1}.
点拨 解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)若二次项系数含有参数,则应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.
(2)判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)当确定方程无根时,可直接写出解集;当确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式的解集.
【追踪训练2】解关于x 的不等式
ax -1
x -3
>0. 解析 不等式等价于(ax-1)(x-3)>0. 当a<0时,不等式的解集为{x|1a
<x <3}; 当a=0时,不等式的解集为{x|x<3};
当0<a<13
时,不等式的解集为{x|x <3或x >1a
}; 当a=13时,不等式的解集为{x|x ≠3};
当a>13时,不等式的解集为{x|x >3或x <1a
}.
一元二次不等式恒成立问题【考向变换】
考向1 在实数集R 上恒成立问题
若一元二次不等式2kx 2+kx-38
<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ).
A .(-3,0]
B .[-3,0)
C .[-3,0]
D .(-3,0)
答案 D
解析 因为2kx 2+kx-38
<0为一元二次不等式,所以k ≠0.又2kx 2+kx-38
<0对一切实数x 都成立, 则{2k <0,
Δ=k 2-4×2k ×(-38)<0,
解得-3<k<0.
点拨 对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x
轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外,问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
【追踪训练3】设a 为常数,对于任意x ∈R,ax 2+ax+1>0恒成立,则实数a 的取值范围是( ). A .(0,4) B .[0,4)
C .(0,+∞)
D .(-∞,4)
答案 B
解析 对于任意x ∈R,ax 2+ax+1>0恒成立, 则{
a >0,
Δ=a 2-4a <0
或a=0,所以0≤a<4.
考向2 在给定区间上恒成立问题
(一题多解)设函数f (x )=mx 2-mx-1(m ≠0),若对于任意x ∈[1,3],f (x )<-m+5恒成立,求m 的取值范围. 解析 要使f (x )<-m+5在[1,3]上恒成立,则mx 2-mx+m-6<0,即m (x -12)2+3
4
m-6<0在x ∈[1,3]上恒成立. (法一)令g (x )=m (x -12)2+34
m-6,x ∈[1,3],
当m>0时,g (x )在[1,3]上是增函数,所以g (x )max =g (3)=7m-6<0,所以m<67
,则0<m<67
; 当m<0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )max =g (1)=m-6<0,所以m<6,所以m<0. 综上所述,m 的取值范围是{m|0<m <6
7
或m <0}. (法二)因为x 2-x+1=(x -12)2+34
>0, 又因为m (x 2-x+1)-6<0,所以m<6
x 2-x+1
.
因为函数y=6
x 2-x+1
=6
(x -12)2+3
4
在[1,3]上的最小值为6
7,所以只需
m<6
7即可.
因为m ≠0,
所以m 的取值范围是{m|0<m <67
或m <0}.
点拨 解决恒成立问题时一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范
围,谁就是参数.
【追踪训练4】若对任意m ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(m-4)x+4-2m 的值恒大于零,求x 的取值范围. 解析 f (x )=x 2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x 2-4x+4, 令g (m )=(x-2)m+x 2-4x+4,
由题意知,在[-1,1]上,g (m )的值恒大于零,
所以{g(-1)=(x -2)×(-1)+x 2-4x +4>0,g(1)=(x -2)×1+x 2-4x +4>0,解得x<1或x>3.
故x 的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).
对应学生用书第122页
转化与化归思想在分式不等式中的应用
解分式不等式的关键是先将给定不等式移项、通分,整理成一边为商式,另一边为0的形式,再通过等价转化成整式不等式(组)的形式进行求解.注意分母不为零.
已知函数f (x )=
2ax -b
x -1
(a ,b ∈R). (1)若关于x 的不等式2ax-b>0的解集为(12
,+∞),求f (x )<0的解集; (2)若a=12
,求不等式f (x )>0的解集.
解析 (1)∵不等式2ax-b>0的解集为(12
,+∞),∴a>0,a=b>0,∴f (x )<0,即
a(2x -1)
x -1
<0,∴a (2x-1)(x-1)<0,解得1
2
<x<1, ∴f (x )<0的解集为(1
2,1).
(2)当a=12
时,不等式f (x )>0,即f (x )=
x -b
x -1
>0, ∴(x-b )(x-1)>0,
当b>1时,不等式f (x )>0的解集为(-∞,1)∪(b ,+∞); 当b=1时,不等式f (x )>0的解集为{x|x ≠1}; 当b<1时,不等式f (x )>0的解集为(-∞,b )∪(1,+∞).
对于分式不等式或高次不等式,常用的方法
是穿针引线法,首先分解因式,判断各个因式的正负,然后根据各个因式的零点分析求解.
【突破训练】(2021辽宁辽阳模拟)不等式x+6
1-x ≥0的解集为( ).
A .{x|-6≤x ≤1}
B .{x|x ≥1或x ≤-6}
C .{x|-6≤x<1}
D .{x|x>1或x ≤-6}
答案 C 解析 不等式x+6
1-x
≥0等价于{(x +6)(1-x)≥0,
1-x ≠0,
解得-6≤x<1.
对应《精练案》第56页
1.(2021山东聊城期中)一元二次不等式(x-1)(x+2)<0的解集为( ).
A .{x|x<-2或x>1}
B .{x|x<-1或x>2}
C .{x|-2<x<1}
D .{x|-1<x<2}
答案 C
解析 (x-1)(x+2)<0, 即{
x -1>0,
x +2<0或{x -1<0,x +2>0,
解得-2<x<1.
∴一元二次不等式(x-1)(x+2)<0的解集为{x|-2<x<1}.
故选C .
2.(2021山东临沂期中)若不等式4x 2+ax+4>0的解集为R,则实数a 的取值范围是( ).
A .(-16,0)
B .(-16,0]
C .(-∞,0)
D .(-8,8)
答案 D
解析 ∵不等式4x 2+ax+4>0的解集为R,
∴Δ=a 2-4×4×4<0,解得-8<a<8, ∴实数a 的取值范围是(-8,8).
故选D .
3.(2021河北沧州模拟)已知不等式x 2+bx+c ≤0的解集是[1,2],则b+c 的值为( ).
A .-1
B .1
C .-2
D .2
答案 A
解析 因为不等式x 2+bx+c ≤0的解集是[1,2], 所以关于x 的方程x 2+bx+c=0的实数根为1和2, 所以{1+2=-b,1×2=c,即{b =-3,c =2,
所以b+c=-3+2=-1. 故选A .
4.(2021福建泉州模拟)设f (x )=x 2+bx+1,且f (-1)=f (3),则f (x )>0的解集是( ).
A .(-∞,-1)∪(3,+∞)
B .R
C .{x|x ≠1}
D .{x|x=1}
答案 C
解析 ∵f (x )=x 2+bx+1,且f (-1)=f (3),
∴-b 2=
-1+3
2
,解得b=-2.
∴f (x )=x 2-2x+1=(x-1)2, ∴f (x )>0的解集为{x|x ≠1}.
5.(2021重庆南开检测)已知集合A={x|0≤x ≤1},B={x|x 2-2(m+1)x+m<0},若A ⊆B ,则实数m 的取值范围是
( ).
A .(-∞,-1)
B .(-1,0)
C .[-1,0)
D .(-∞,0) 答案 B
解析 令f (x )=x 2-2(m+1)x+m , 若要满足A ⊆B ,
则需满足{f(0)<0,f(1)<0,即{m <0,
1-2(m +1)+m <0,
解得-1<m<0.
6.(2021陕西延安期中)已知不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x 2+bx+a<0的解集为( ).
A .{x|-1<x <12
} B .{x|x <-1或x >12
}
C .{x|-2<x<1}
D .{x|x<-2或x>1}
答案 A
解析 ∵不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},
∴关于x 的方程ax 2+bx+2=0的两根分别为-1,2,且a<0,
即{
-1+2=-b
a
,(-1)×2
=2a
,解得{a =-1,
b =1,
则所求不等式可化为2x 2+x-1<0, 解得{x|-1<x <12
}. 故选A .
7.(2021广东东莞期中)已知函数y=lg[(a 2-1)x 2-2(a-1)x+3]的值域为R,则实数a 的取值范围是( ).
A .[-2,1)
B .[-2,-1]
C .(-2,1)
D .(-∞,-2)∪[1,+∞)
答案 B
解析 ∵函数y=lg[(a 2-1)x 2-2(a-1)x+3]的值域为R,
∴当a 2-1=0时,a=1或a=-1,验证可知a=1时不成立,a=-1时成立;
当a 2-1≠0时,{a 2-1>0,
Δ=4(a -1)2-12(a 2-1)≥0,解得-2≤a<-1.
综上,-2≤a ≤-1,
∴实数a 的取值范围是[-2,-1].
故选B .
8.(2021江苏南通期中)对于实数x ,规定[x ]表示不大于x 的最大整数,那么不等式4[x ]2-36[x ]+45<0成立的x
的范围是( ). A .(32,
15
2
) B .[2,8] C .[2,8) D .[2,7]
答案 C
解析 由4[x ]2-36[x ]+45<0,得32
<[x ]<152
, 又[x ]表示不大于x 的最大整数,所以2≤x<8.
9.(2021重庆南开检测)二次不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),若f (x )=cx 2+bx+a ,则( ).
A .f (2)>f (0)>f (1)
B .f (2)>f (1)>f (0)
C .f (0)>f (1)>f (2)
D .f (0)>f (2)>f (1)
答案 A
解析 因为不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞), 所以1和2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两实数解,且a>0, 所以{
1+2=-b a
,1×2=
c a ,解得{b =-3a,c =2a,
所以f (x )=cx 2+bx+a=a (2x 2-3x+1),
所以f (x )是二次函数,且其图象开口向上,对称轴是直线x=34
, 且|1-34
|<|0-34
|<|2-34
|, 所以f (1)<f (0)<f (2). 故选A .
10.(2021湖南长沙模拟)定义运算:{x,xy ≥0,
y,xy <0.例如=3,(-=4.则函数f (x )=x x-x 2)的最大值
为 .
答案 4
解析 由已知得f (x )=x x-x 2)={
x 2,x 2(2x -x 2)≥0,
2x -x 2,x 2(2x -x 2)<0={x 2,0≤x ≤2,2x -x 2,x <0或x >2,
易知函数f (x )的最大值为
4.
11.(2021湖北黄冈调考)设A :x x -1
<0,B :0<x<m ,若B 是A 成立的必要不充分条件,则实数m 的取值范围
为 .
答案 (1,+∞) 解析 由题意得,
x
x -1
<0,则0<x<1.
要使得B 是A 成立的必要不充分条件,则(0,1)⫋(0,m ), 所以m>1.
12.(2021江西抚州模拟)若关于x 的不等式x 2+mx-4>0在区间[2,4]上有解,则实数m 的取值范围为( ).
A .(-3,+∞)
B .(0,+∞)
C .(-∞,0)
D .(-∞,-3) 答案 A
解析 因为关于x 的不等式x 2+mx-4>0在区间[2,4]上有解,
所以22+2m-4>0或42+4m-4>0, 解得m>0或m>-3,
所以实数m 的取值范围是(-3,+∞). 故选A .
13.(2021河北张家口模拟)已知使不等式2ax 2+ax-3>0对任意的a ∈[1,3]恒成立的x 的取值集合为A ,使不等
式mx 2+(m-1)x-m>0对任意的x ∈[1,3]恒成立的m 的取值集合为B ,则有( ). A .A ⊆(R B )
B .A ⊆B
C .B ⊆(
R A )
D .B ⊆A
答案 D
解析 令f (a )=(2x 2+x )a-3,因为f (a )>0对任意的a ∈[1,3]恒成立,所以{
f(3)>0,f(1)>0,
解得x<-3
2或x>1,即
A=(-∞,-3
2)∪(1,+∞),又mx 2+(m-1)x-m>0,即m (x 2+x-1)>x.
因为当x ∈[1,3]时,x 2+x-1>0,所以m>x
x 2+x -1
对任意x ∈[1,3]恒成立,
又y=
x
x 2+x -1
=1
x -1x +1
在[1,3]上单调递减,故y max =1,故m>1,即B=(1,+∞).
综上,B ⊆A.
14.(2021广东佛山模拟)(1)解关于x 的不等式ax 2-3x+2>5-ax (a ∈R).
(2)若对于m ∈[-2,2],不等式mx 2-mx-1<-m+5恒成立,求x 的取值范围.
解析 (1)不等式ax 2-3x+2>5-ax 可化为ax 2+(a-3)x-3>0,即(x+1)(ax-3)>0,
①当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}. ②当a ≠0时,方程的两根为-1和3
a ,
当a>0时,不等式的解集为{x|x <-1或x >3a
}, 当a<0时,
a.若3a
>-1,即a<-3,原不等式的解集为{x|-1<x <3a }; b.若3a
<-1,即-3<a<0,原不等式的解集为{x|3a
<x <-1}; c .若3a =-1,即a=-3,原不等式的解集为⌀,
综上所得,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}; 当a>0时,原不等式的解集为{x|x <-1或x >3a
}; 当a<-3时,原不等式的解集为{x|-1<x <3a
}; 当-3<a<0时,原不等式的解集为{x|3
a
<x <-1}; 当a=-3时,原不等式的解集为⌀.
(2)若对于m ∈[-2,2],不等式mx 2-mx-1<-m+5恒成立,
即mx 2-mx+m-6<0恒成立,
所以(x 2-x+1)m-6<0恒成立,
令函数f (m )=(x 2-x+1)m-6,m ∈[-2,2], 因为(x 2-x+1)=(x -12)2+34
>0恒成立, 所以函数f (m )=(x 2-x+1)m-6在m ∈[-2,2]上单调递增, 所以只需要函数的最大值小于0即可, 所以f (2)=(x 2-x+1)×2-6<0,即x 2-x-2<0, 解得-1<x<2,即x 的取值范围是(-1,2).
15.(2021思明区校级月考)已知函数f (x )=ax 2+(b-8)x-a-ab ,f (x )>0的解集为(-3,2),
(1)求f (x )的解析式;
(2)当x>-1时,求y=f(x)-21x+1
的最大值; (3)若不等式ax 2+kx-b>0的解集为A ,且(1,4)⊆A ,求实数k 的取值范围.
解析 (1)由题可知{a <0,f(-3)=0,f(2)=0,
解得{a =-3,b =5. 则f (x )=-3x 2-3x+18.
(2)由(1)知,y=f(x)-21x+1
=-3x 2-3x -3x+1, 令t=x+1,x>-1,则t>0,y=-3(t +1t -1)≤-3,
当且仅当t=1t
,即t=1时,等号成立,则x=0, 故y=f(x)-21x+1的最大值为-3. (3)由题可知,不等式ax 2+kx-b>0在x ∈(1,4)上恒成立, 即kx>3x 2+5在x ∈(1,4)上恒成立, 即k>3x+5x 在x ∈(1,4)上恒成立.
令g (x )=3x+5x ,则g'(x )=
3x 2-5x 2, 令g'(x )=0,解得x=
√153, 当x ∈(1,√153)时,g'(x )<0,当x ∈(
√153,4)时,g'(x )>0. ∵g (1)=8,g (4)=534,
∴g (x )max =g (4)=534,则k ≥534.。

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