分析错因_走出误区——高考解析几何解答题易错题归类剖析

ʏ江苏省无锡市第六高级中学 陈 敏
ʏ江苏省无锡市青山高级中学 张启兆
解析几何是高中数学的重要内容,但有些同学由于对某些知识点理解不透彻,或考虑不周等原因,导致在解题过程中出现这样和那样的错误,下面对高考解析几何解答题的易错题型进行归类剖析,希望对同学们的复习备考能有所帮助㊂
一、忽略直线斜率不存在的情形
例1 已知F (2,0)为椭圆x 2
a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的焦点,且点P 2,55
在椭圆上㊂(1
)求椭圆的方程㊂(2)已知直线l 与椭圆交于M ,N 两点,
且坐标原点O 到直线l 的距离为30
6,试问:øM O N 的大小是否为定值若是,求出该定值;若不是,请说明理由㊂
错解:(1)由椭圆的定义得2a =(2-2
)2
+55
2
+
(2+2
)2
+55
2
=
25,解得a =5㊂因为c =2,所以b =1
㊂故椭圆的方程为x 2
5
+y 2
=
1㊂(2)设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)
㊂设直线l 的方程为y =k x +m ,由点到直线的距离公式得
|m |
k 2
+1
=
306,则m 2=56
(k 2
+1)㊂联立
y =k x +m ,x 2+5y 2
=
5,
消去y 整理得(5k 2+1)x 2
+10k m x +5m 2-5=0,Δ=100k 2m 2
-
20(m 2-1)(5k 2+1)=20(5k 2+1-m 2
)>0,即m 2<5k 2
+1
㊂由韦达定理得x 1+x 2=-10k m
5k 2+1
,x 1x 2
=5(m 2
-1)5k 2+1,所以O M ң㊃O N ң=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m )(k x 2+m )=(k 2
+1)
㊃x 1x 2+k m
(x 1
+x 2)+m
2
=5(k 2+1)(m 2-1)-10k 2m
2
5k 2+1
+m
2
=
6m 2
-5(k 2
+1)5k 2
+1=0,所以O M ңʅO N ң,即øM O N =
π
2
㊂剖析:第(1)问的解答正确,第(2)问的解答中忽略直线斜率不存在的情形㊂
正解:(2)当直线l 的斜率存在时,同错解㊂当直线l 的斜率不存在时,则直线l 的
方程为x =ʃ
30
6
,结合对称性不妨设直线l 的方程为x =
30
6,联立x =
30
6
,x
25
+y 2
=
1,
解得
x =
30
6
,y =
30
6
,
或
x =
30
6
,y =-
30
6
,
即得点
M
306,
306
,
N 306,-306
,此时
O M ң
㊃O N ң
=0,故øM O N =
π
2
㊂综上所述,øM O N =
π2
㊂易错提醒:本题的易错点有两个:一是忽略对直线斜率不存在的情形的讨论;二是øM O N =
π
2
不是显性的,比较隐晦,识别出来有困难,但我们可以从特殊情况,即直线l 的斜率不存在入手,求出对应的定值,再利用
8
2 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年4月
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向量的数量积证明这个值与变量无关㊂
二㊁盲目应用判别式
例2 若圆(x -a )2+y 2
=4与抛物线
y 2
=
6x 没有公共点,求a 的取值范围㊂错解:由于圆(x -a )2+y 2=4与抛物
线y 2=6x 没有公共点,
所以联立方程组(x -a )2+y 2
=
4,y
2
=6x ,
消去y 得方程x 2-(2a -6)x +a 2
-4=0无解,所以Δ=(2a -6)
2
-4a 2
-4
<0,解得a >13
6
,故a 的取值范围为
13
6,+ɕ ㊂剖析:这属于知识性错误,产生错误的原
因是没有理解判别式Δ只适用于直线与二次曲线的位置关系的判断,而不适用于两个二次曲线之间的位置关系的判断㊂
正解:由于圆的半径为2,当圆与抛物线
外切时,a =-2,于是当a <-2时,
圆与抛物线没有公共点㊂当圆与抛物线内切时,联立
(x -a )2+y 2=
4,y 2
=
6x ,
消去y 整理得x 2-(2a -6)x +a 2
-4=0
㊂①
Δ=(2a -6)2
-4a 2
-4
=0,解得a =136,代入方程①得3x 2
+5x +2512
=0,解得x =-5
6,是负根,显然圆与抛物线不能内切,所以当x ȡ0时,问题等价于圆心(a ,0)到抛物线的距离d 的最小值大于2,求a 的取值范围㊂
设P (x ,y )
为抛物线上一点,则d 2=(x -a )2
+y 2
=(
x -a )2
+6x =[x -(a -3)]2
+6a -9㊂设f (x )=[x -(a -3)]2
+6a -9
(x ȡ0),当a -3>0,即a >3时,f (a -3)最小,所以d m i n =
6a -9>2,解得a >13
6
,又a >3,所以a >3;当a -3ɤ0,即a ɤ3时,f (0)最小,所以d m i n =a >2,此时2<a ɤ3㊂综上可得,a >2
㊂故a 的取值范围为a <-2或a >2
㊂易错提醒:二次曲线与二次曲线的交点问题不能完全类比直线与二次曲线位置关系
的探讨,仅用判别式法是不够的,这是因为二次曲线是有范围限制的,并且一般情况下具有对称性,要结合起来一起讨论㊂由于我们研究的是曲线与曲线之间的位置关系,图形未必能把细微处的走向描述清楚,必须与代数运算结合起来,即以数助形,数形结合㊂
三㊁求取值范围时,未考虑直线与圆锥曲线的公共点的个数
例3 已知双曲线C :x 2a
2-y 2
b
2=
1与椭圆x 24+y
2
3=1的离心率互为倒数,且双曲线的右焦点到C 的一条渐近线的距离为3㊂
(1
)求双曲线C 的方程;(2)直线y =2x +m 与双曲线C 交于A ,
B 两点,点M 在双曲线
C 上,且O M ң=2O A
ң+λO B ң
,
求λ的取值范围㊂错解:(1)因为椭圆x 2
4+y 2
3
=1的离心率为
1
2
,所以a 2
+b 2
a =2,即a 2=
b 2
3
㊂因为双
曲线的右焦点到C 的一条渐近线的距离为
3,
所以b =3,所以a =1,故双曲线C 的方程为x 2
-y 2
3
=1
㊂(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)
,M (x 0,y 0)
,联立方程y =
2x +m ,3x 2-y 2
=
3,
消去y 整理得
x 2+4m x +m 2
+3=0,则x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=m 2
+3
㊂因为O M ң=2O A ң+λO B ң,所以
x 0=2x 1+λx 2,
y 0=2y 1+λy 2
㊂
因为点M 在双曲线C 上,所以2x 1+λx 2
2
-2y 1+λy 2
2
3
=1
,即4㊃x 2
1-y 2
13
+λ2
x 22-y 2
23
+4λx 1x 2-43
㊃λy 1y 2=1
,所以4λx 1x 2-43
λy 1y 2+λ2
+3=4λx 1x 2-43
λ(2x 1+m )(2x 2+m )+λ2
+3=
0,即λ2-4λ+3+8m 2
λ=0
,显然λʂ0,于是8m 2
=-λ2
-4λ+3λ
ȡ0 (*),所以λ(λ2
-9
2解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年4月
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4λ+3)ɤ0,λʂ0,解得λ<0,或1<λ<3
㊂综上所述,λ的取值范围为-ɕ,0 ɣ1,3
㊂剖析:第(1)问的解答正确,第(2)
问的解答中未考虑直线与圆锥曲线的公共点的个数对m 的限制,故最后求λ的取值范围时出现错误㊂
正解:(2)前面同错解㊂考虑Δ=16m 2
-
4(m 2
+3)>0⇒m 2
>1,将(*)式改为8m 2
=
-λ2
-4λ+3λ>8㊂当λ>0时,得λ2
+4λ+3
<0,解得-3<λ<-1
,与λ>0矛盾;当λ<0时,得λ2
+4λ+3>0,解得λ>-1,或λ<-3,所以λ<-3,或-1<λ<0
㊂综上所述,λ
的取值范围为
-ɕ,-3 ɣ-1,0
㊂易错提醒:审题不仔细,马虎大意,忽视
条件 直线与双曲线有两个交点 隐含着判别
式Δ=16m 2-4m 2
+3
>0㊂四、恒成立意义不明导致定点问题错误
例4 如图1,M 是圆A :x +3
2
+y 2
=16上的动点,点B 3,0
,线段M B 的垂直平分线交半径A M 于点P ㊂图1
(1
)求点P 的轨迹E 的方程㊂
(2)N 为轨迹E 与y 轴
负半轴的交点,不过点N 且
不垂直于坐标轴的直线l 交
轨迹E 于S ,T 两点,直线N S ,N T 分别与x 轴交于C ,D 两点㊂若C ,D 的横坐标之积是2
,试问:直线l 是否过定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,请说明理由㊂
易错分析:本题易错点有三个:一是在用参数表示直线S N 的方程时计算错误;二是不会利用 同构 的方法直接写出点D 的横坐标;三是在得到直线系S T 的方程后,对直线恒过定点的意义不明,找错方程的常数解㊂正解:(1)由题意可知|A P |+|P M |=|A M |=4,所以|P A |+|P B |=4>23=|A B |,所以点P 的轨迹是以A ,B 为焦点,
长轴为4的椭圆㊂所以2a =4,c =3,
所以b =a 2
-c 2
=
1,所以椭圆的方程为x 2
4
+y 2
=1,即点P 的轨迹E 的方程为x 2
4
+y 2
=
1㊂(2)由题意可知点N (0,-1)
,设直线S T 的方程为y =k x +m (m ʂ-1),设S (x 1,y 1),T (x 2,y 2)
,联立y =
k x +m ,x 2
+4y 2
=
4,
消
去y 整理得(1+4k 2)x 2+8k m x +4m 2
-4=
0,所以x 1+x 2=-8k m 1+4k 2,x 1x 2=4m 2
-4
1+4k
2
,由Δ>0,得4k 2-m 2
+1>0
㊂所以直线S N 的方程为y +1=y 1+
1x 1
(x -0)
,令y =0,得x C =x 1y 1+
1㊂同理x D =x 2
y 2+
1㊂因为x C x D =
x 1y 1+
1ˑx 2
y 2+1=2
,所以x 1x 2=2(y 1+y 2+y 1y 2+1
)=2[k x 1+m +k x 2+m +(k x 1+m )(k x 2+m )+1]=2[k (x 1+x 2)(m +1)+k 2x 1x 2+(m +1
)2
],所以4m 2
-41+4k 2=2k ˑ-8k m
1+4k
2
(m +1)+ k 2
ˑ4m 2
-41+4k
2+(m +
1)2
㊂因为m ʂ-1,所以m +1ʂ0,则4(m -
1)=-16k 2m +8k 2(m -1)+2(1+4k 2
)
㊃(m +1),解得m =3,所以直线S T 的方程为
y =
k x +3㊂所以直线S T 过定点(0,3
)㊂规律与方法:(1
)若确定动直线l 过定点问题,可设动直线方程(斜率存在)为y =k x +t ,由题设条件将t 用k 表示为t =m k ,
得到y =
k (x +m ),即可说明动直线过定点(-m ,0)㊂(2)若确定动曲线C 过定点问题,可引入参变量建立曲线C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出对应的定点㊂(3)先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明㊂对于客观题,通过特殊值法探求定点能取得事半功倍的效果㊂
(责任编辑 王福华)
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