高考数学二轮复习三、大题分层,规范特训(一)基础得分,天天练规范练6理

规范练(六)
(时间：45分钟 满分：46分)
1．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且S 1010
＝S 5
5
＋5. (1)求{a n }的通项公式；
(2)若，求数列{b n }的前n 项和T n .
[规范解答及评分标准] (1)解法一：设等差数列{a n }的公差为d .
∵
S 1010＝S 5
5
＋5，∴a 1＋a 10
210
－
a 1＋a
5
25
＝5，(2分)
∴a 10－a 5＝10，∴5d ＝10，解得d ＝2.(4分) ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n .(5分) 解法二：设等差数列{a n }的公差为d .
∵S 1010＝S 5
5＋5，∴10a 1＋10×92d 10－5a 1＋5×42d
5＝5，(2分) ∴5d
2
＝5，解得d ＝2.(4分) ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n .(5分) (2)由(1)知，a n ＝2n ，∴S n ＝
n
＋2n 2
＝n 2
＋n .(6分
) (7分)
∴T n ＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋n ·2
n ＋2
，①
2T n ＝1×24
＋2×25
＋3×26
＋…＋(n －1)·2n ＋2
＋n ·2n ＋3
，②(8分)
①－②，得－T n ＝23
＋24
＋…＋2n ＋2
－n ×2
n ＋3
＝
2
3
－2n
1－2
－n ×2
n ＋3
＝2
n ＋3
－8－n ×2
n ＋3
＝(1－n )2
n ＋3
－8.(11分)
∴T n ＝(n －1)2n ＋3
＋8.(12分)
2．(12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2AB ，Q 为棱PC 上一点．
(1)若点Q 是PC 的中点，证明：BQ ∥平面PAD ；
(2)PQ →＝λPC →
，试确定λ的值使得二面角Q —BD —P 的大小为60°. [规范解答及评分标准] (1)
证明：如图，取PD 的中点M ，连接AM ，MQ .∵点Q 是PC 的中点，∴MQ ∥CD ，MQ ＝1
2CD .(1
分)
又AB ∥CD ，AB ＝1
2CD ，∴MQ ∥AB ，MQ ＝AB ，∴四边形ABQM 是平行四边形．∴BQ ∥AM .(3
分)
又AM ⊂平面PAD ，BQ ⊄平面PAD ，∴BQ ∥平面PAD .(4分)
(2)由AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，可得DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，
A (1,0,0)，
B (1,1,0)．(5分)
设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ →＝(x 0，y 0，z 0－1)，PC →
＝(0,2，－1)．
∵PQ →＝λPC →
，∴(x 0，y 0，z 0－1)＝λ(0,2，－1)，∴Q (0,2λ，1－λ)．(7分) 又易证BC ⊥平面PBD ，
∴n ＝(－1,1,0)是平面PBD 的一个法向量．(8分) 设平面QBD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·DB →＝0，
m ·DQ →＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝0，
2λy ＋－λz ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－y ，z ＝2λ
λ－1
y .
令y ＝1，则m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，2λλ－1.(9分)
∵二面角Q —BD —P 的大小为60°， ∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |
|m ||n |
＝
2
2·
2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ－12＝12，
解得λ＝3± 6.(11分)
∵点Q 在棱PC 上，∴0≤λ≤1，∴λ＝3－ 6.(12分)
3．(12分)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z )，由测量的结果得到如下的频率分布直方图：
(1)公司规定：当Z ≥95时，产品为正品；当Z <95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
(2)由频率分布直方图可以认为，Z 服从正态分布N (μ，σ2
)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2
(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
①利用该正态分布，求P (87.8<Z <112.2)；
②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X 表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)的产品件数，利用①的结果，求E (X )．
附：150≈12.2.
若Z ～N (μ，σ2
)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.9544. [规范解答及评分标准] (1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67.(2分)
所以随机变量ξ的分布列为
(3分)
所以E (ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.(4分)
(2)①由频率分布直方图知，抽取的产品的该项质量指标值的样本平均数x －
和样本方差
s 2分别为x －
＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋
130×0.02＝100.(5分)
s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋
202
×0.08＋302
×0.02＝150.(6分)
所以Z ～N (100,150)，
所以P (87.8<Z <112.2)＝P (100－12.2<Z <100＋12.2)＝0.6826.(8分)
②由①知，一件产品的该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)的概率为0.6826. 依题意知，X ～B (500,0.6826)，(10分) 所以E (X )＝500×0.6826＝341.3.(12分)
选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．
4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝42，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4cos α，y ＝2sin α
(α为
参数)．
(1)将曲线C 上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，写出C 1的极坐标方程； (2)射线θ＝π3与C 1，l 的交点分别为M ，N ，射线θ＝2π
3与C 1，l 的交点分别为A ，B ，
求四边形ABNM 的面积．
[规范解答及评分标准] (1)设曲线C 1上的任意一点为(x ，y )，则点⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
x ，y 2在曲线C 上，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α，y
2
＝2sin α(α为参数)，
则曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2
＝16.(2分) 所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4.(4分)
(2)将θ＝π3，θ＝2π
3分别代入直线的极坐标方程，得
ρN ＝
42sin π12，ρB ＝42sin 5π12
.(6分) 所以S △OBN ＝12ρB ·ρN ·sin π3＝12×42sin 5π12×42sin
π12×3
2
＝32 3.(8分)
因为S △OAM ＝12×4×4×sin π
3＝43，
所以S 四边形ABNM ＝S △OBN －S △OAM ＝28 3.(10分) 5．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －1|.
(1)当a ＝0时，求不等式f (x )>x 2
＋|x －1|的解集； (2)当x ∈R 时，有f (2x )＋a ≥3成立，求a 的取值范围． [规范解答及评分标准] (1)当a ＝0时，原不等式等价于|x |>x 2
，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x <0，
－x >x 2
或⎩
⎪⎨⎪⎧
x >0，
x >x 2
，解得－1<x <0或0<x <1.
所以原不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．(4分) (2)因为当x ∈R 时，有f (2x )＋a ≥3成立，
所以当x ∈R 时，有|2x ＋a |＋|2x －1|≥3－a 成立．(6分) 又因为|2x ＋a |＋|2x －1|≥|2x ＋a －(2x －1)|＝|a ＋1|，(8分) 所以|1＋a |≥3－a ，解得a ≥1. 故a 的取值范围是[1，＋∞)．(10分)。