综合解析青岛版八年级数学下册第7章实数专项练习试题(含详解)

青岛版八年级数学下册第7章实数专项练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、在给出的一组数0，π 3.1422
7
中，无理数的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
2、已知ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A、B、C、P均在格点上，则下列结论：①点P在ACB
∠的角平分线上；②直线BP可以把ABC分成面积相等的两部分；③BAC ABC
∠=∠；④点P是ABC的重心．正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3、若a b
<，其中a，b为两个连续的整数，则b a的值为（）
A．7 B．12 C．64 D．81
4、下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（ ）
A ， 2
B ．5，7，11
C ．9 ，12，15
D ．15 ，20 ，25
5、如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为(3,2)-，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ）
A ．4-和3-之间
B ．5-和4-之间
C ．3和4之间
D ．4和5之间
6、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC =6，DB =8，AE ⊥BC 于点E ，则AE =（ ）
A ．6
B ．8
C ．245
D ．485
7、若m =m 的范围正确的是（ ）
A ．78m <<
B ．34m <<
C ．23m <<
D ．12m <<
8、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A ．1，1，2
B ．2，3，4
C ．3，4，5
D ．4，5，6
9、如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，则正方形C 的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12 10、下列各数中是无理数的是（）
A．0 B C D
第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
13﹣1＝_____．
2、比较大小：-3_________-π．
3、计算()
1 1
π12
3-
⎛⎫
-+-=
⎪
⎝⎭
______．
4、若矩形ABCD的周长为26cm，则它的面积是_________．
5、如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知m﹣n是﹣27的立方根，m+n是252n
+在哪两个连续整数之间？
2；
(2)求x 的值：2(2)9x +=．
3、计算：
；
(2)1
2
4、用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b ＝ab 2＋2ab ＋a ．如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣2）☆3＝ ；
(2)若（12a +☆3）☆（﹣2）＝16，求a 的值； (3)“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M 、N 的大小，只要作出它们的
差M ﹣N ，若M ﹣N ＞0，则M ＞N ；若M ﹣N ＝0，则M ＝N ；若M ﹣N ＜0，则M ＜N ．若2☆x ＝m ，（14
x ）☆3＝n （其中x 为有理数），试比较m ，n 的大小．
5、定义：对任意一个三位数a ，如果a 满足百位数字与十位数字相同，个位数字与十位数字不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“半异数”，将一个“半异数”的各个数位上的数字交换后得到新的三位数，把所有的新三位数的和与111的商记为f （a ）．例如：a=112，a 为“半异数”，将a 各个数位上的数字交换后得到新的三位数有121、211、112，所有新三位数的和为
121+211+112=444，和与111的商为444÷111=4．所以f （112）=4，根据以上定义，回答下列问题：
(1)计算f （227）；
(2)数p ，q 是两个三位数，它们都有“半异数”，p 的个位数是3，q 的个位数字是5，p ≤q ．规定p k q
=，若f （p ）+f （q ）的和是13的倍数，求k 的最大值．
-参考答案-
1、B
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：0是整数，不是无理数，
3.14是小数，不是无理数，
22
是分数，不是无理数，
7
3个，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2、D
【解析】
【分析】
连接AP并延长交BC于E，连接BP并延长交AC于F，连接CM并延长交AB于M．根据三角形的重心
的概念可得P为△ABC的重心，可判断②④正确；利用勾股定理求出AC＝BC＝
的性质可判断①③正确．
【详解】
解：如图，连接AP并延长交BC于E，连接BP并延长交AC于F，连接CM并延长交AB于M．
∵点E、F分别是BC、AC的中点，
∴AE、BF是△ABC的中线，
∴点P是△ABC的重心，直线BP可以把△ABC分成面积相等的两部分；故②④正确；
∴CM是△ABC的中线．
由勾股定理得，AC BC
∴AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC；故③正确；
∵AC＝BC，CM是△ABC的中线，
∴∠ACM＝∠BCM，
∴点P在∠ACB的角平分线上；故①正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了勾股定理，等腰三角形的性质．得出点P是△ABC的重心是解题的关键．
3、D
【解析】
【分析】
的取值范围得出a ，b 的值，进行计算即可得．
【详解】
解：∵23=9，211=，24=16，
即34，
∵a b <，a ，b 为两个连续的整数，
∴a =3，b =4，
∴4381b a ==，
故选D ．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是正确得出a ，b 的值．
4、B
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，从而可以解答本题．
【详解】
解：）2+）2=22，能构成直角三角形，故选项A 不符合题意；
52+72≠112，不能构成直角三角形，故选项B 不符合题意；
92+122=152，能构成直角三角形，故选项C 不符合题意；
152+202=252，能构成直角三角形，故选项D 不符合题意；
故选：B ．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
5、A
【解析】
【分析】
已知点P的坐标，可以用勾股定理求出OP的长度，OA=OP，所以可得点A横坐标的范围．
【详解】
-，
解：点P坐标为(3,2)
∴==
OP
∴=
OA
<<
∴<，
34
∴-<-，
43
∴点A的横坐标4
-和3-之间，
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，以及勾股定理和无理数的估值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．6、C
【解析】
【分析】
利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长．
解：∵四边形ABCD 是菱形，且AC =6，DB =8，
∴CO =12AC =3，BO =12
BD =4，AO ⊥BO ，
∴BC ，
∵S 菱形ABCD =12
AC •BD =BC •AE ， ∴AE =245
， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．
7、C
【解析】
【分析】
7，479<<，所以23<．
【详解】
解：∵27=，且479<<，242=，293=，
∴23<，
故选：C ．
【点睛】
本题考查无理数的估算，掌握估算无理数的方法是解决本题的关键．
8、C
【解析】
【分析】
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、因为12+12≠22，所以不能构成直角三角形；
B、因为22+32≠42，所以不能构成直角三角形；
C、因为32+42=52，所以能构成直角三角形；
D、因为42+52≠62，所以不能构成直角三角形．
故选：C．
【点睛】
此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
9、C
【解析】
【分析】
根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可．
【详解】
解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C
∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，
∴24-S正方形C=6+10，
∴S正方形C=8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
10、C
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C
D2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选C
【点睛】
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规
二、填空题
1、-1
【解析】
【分析】
根据立方根和负整数指数幂的计算法则求解即可．
【详解】
1
3-
21
--
=
33
-，
=1
故答案为：-1．
【点睛】
本题主要考查了立方根和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
2、＞
【解析】
【分析】
先比较3和π的大小，再根据负数绝对值大的反而小即可比较-3和-π的大小．【详解】
解：因为3-＜π-，
所以-3＞-π．
故答案为：＞．
本题主要考查了实数的大小的比较，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．本题中要注意的是π是无理数即无限不循环小数．
3、2
π
【解析】
【分析】
先去括号，去绝对值，计算负整数指数幂，在合并即可．
【详解】
解：原式1232
ππ
=-+=．
故答案为：2
π．
【点睛】
本题考查实数的混合运算．掌握去绝对值和计算负整数指数幂的法则是解题关键．
4、20cm²##20平方厘米
【解析】
【分析】
设AB=x cm，BC=y cm，则根据矩形的周长和对角线长即可列出关于x、y的关系式，解得xy的值，即可解决问题．
【详解】
解：设AB=x cm，BC=y cm，
∵矩形周长为26cm，
∴2x+2y=26，
∴x+y=13，
，
∴x 2+y 2=129，
∴（x +y ）2-2xy =129，
∴132-2xy =129，
∴xy =20（cm 2），
∴矩形面积为20cm 2．
故答案为：20cm 2．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，完全平方公式，矩形面积的计算，本题中列出关于x 、y 的关系式并求得xy 的值是解题的关键．
5、【解析】
【分析】
如图，连接AC 与BD 交于点O ，过点C 作l BD ∥，点E 关于l 对称的对称点为M ，连接CM ，GM ，EM ，EM 与l 的交点为N ，与BD 交点为P ，则 EM l ⊥，EM BD ⊥，CE CM =，EN MN =，求出
,,,,,AC NP GP PE MN PM 的值，当G C M 、、三点不共线时，有GC CM GM +>；当G C M 、、三点共线时，有GC CM GM +=；有EC GC GC CM GM +=+≥，可知G C M 、、三点共线时, EC GC +值最小，
在Rt PGM 中，由勾股定理得GM =EC GC GM +=可得EC GC +的最小值．
【详解】
解：如图，连接AC 与BD 交于点O ，过点C 作l BD ∥，点E 关于l 对称的对称点为M ，连接CM ，GM ，EM ，EM 与l 的交点为N ，与BD 交点为P
则 EM l ⊥，EM BD ⊥，CE CM =，EN MN =
∵sin 45AB AC ==︒
∴两平行线的距离12NP AC =
=∵EM BD ⊥
∴45GEP ∠=︒
∴sin 45GP PE EG ==⨯︒
∴EN EP NP =+=
∴MN EN ==
∴PM PN MN =+=当G C M 、、三点不共线时，有GC CM GM +>
当G C M 、、三点共线时，有GC CM GM +=
∴EC GC GC CM GM +=+≥
∴G C M 、、三点共线时, EC GC +值最小
在Rt PGM 中，由勾股定理得GM ==
∴EC GC +的最小值为
故答案为：
本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理，正弦值等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
三、解答题
12n +在9和10之间
【解析】
【分析】
根据m n -是-27的立方根，m n +是25的算术平方根，可以建立关于m 、n 的二元一次方程组=3
5
m n m n --⎧⎨+=⎩28n +=+ 【详解】
解：∵m n -是-27的立方根，m n +是25的算术平方根，
∴=35m n m n --⎧⎨+=⎩
， 解得14m n =⎧⎨=⎩
，
28n +=+
∵2221324<=<=，
∴12<，
∴9810<<，
2n +在9和10之间．
本题主要考查了立方根，算术平方根，二元一次方程组，无理数的估算等等，解题的关键在于能够建立关于m、n的二元一次方程组．
2、 (1)3
x=或5-
(2)1
【解析】
【分析】
（1）根据算术平方根和求一个数的立方根求解即可；
（2）根据算术平方根的定义解方程即可．
(1)
=-+
原式223
=；
3
(2)
x+=±，
根据题意得：23
∴=或5-．
1
x
【点睛】
本题考查了算术平方根和求一个数的立方根，掌握算术平方根和求一个数的立方根是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
3、 (1)2
(2)2.5
【解析】
【分析】
（1）利用算术平方根进行求解即可；
（2）利用立方根进行求解即可．
(1)
解：原式=3-1=2；
(2)
解：原式=()1122 2.522
--=+=． 【点睛】
本题主要考查算术平方根及立方根的运算，熟练掌握算术平方根及立方根是解题的关键．
4、 (1)-32
(2)1
(3)m ＞n
【解析】
【分析】
（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；
（2）利用规定的运算方法得出方程，求得方程的解即可；
（3）利用规定的运算方法得出m 、n ，再进一步作差即可比较大小．
(1)
解：原式＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）
＝﹣18﹣12﹣2
＝﹣32；
故答案为：﹣32．
(2)
根据题意得：92
（a +1）+3（a +1）+12a + ＝991332222
a a a +++++ ＝8a +8
∴（8a +8）×（﹣2）2+2×（8a +8）×（﹣2）+（8a +8）＝16
整理得，8a +8＝16
解得：a ＝1；
(3)
已知等式整理得：m ＝2x 2+4x +2，n ＝94x +32x +14
x ＝4x ， ∴m ﹣n ＝2x 2+2＞0，
∴m ＞n ．
【点睛】
此题考查了新定义下的运算问题，解题的关键是利用规定的运算方法进行计算．
5、 (1)11 (2)443555
【解析】
【分析】
（1）找到227的新三位数，求和，和与111作商，即可得f （227）；
（2）设3p aa =，5q bb =，()19a b ≤≤≤，得到3aa 的新三位数，求和，和与111作商，即可得()3f aa ，同理得()5f bb ，计算()()f p f q +，根据()19a b ≤≤≤确定()()f p f q +的取值范围，根据f （p ）+f （q ）的和是13的倍数，得到关于,a b 的关系式，求解不同,a b 的值，得到,p q ，然后根据p k q
=，求解k 的最大值即可．
(1)
解：227各个位上数字交换后得到的新三位数为227，272，722，
所有新三位数的和为227+272+722＝1221，和与111的商为1221÷111＝11 故f （227）＝11；
(2)
解：∵P 的个位数字是3，q 的个位数字是5，
设3p aa =，5q bb =，()19a b ≤≤≤
∴3aa 各个位上数字交换后得到的新三位数为3,3,3aa a a aa ，所有新三位数的和为1001031003030010222333a a a a a a a ++++++++=+，和与111的商为()22233311123a a +÷=+，故()323f aa a =+
同理()525f bb b =+
∴()()()28f p f q a b +=++
∵()19a b ≤≤≤
∴()122844a b ≤++≤
∵f （p ）+f （q ）的和是13的倍数
∴()28a b ++的值为13或26或39
①()2813a b ++=，解得52
a b +=（舍去） ②()2826a b ++=，解得9a b +=
当1a =，8b =时，113885p k q ==
当2a =，7b =时，223775
p k q == 当3a =，6b =时，333665
p k q == 当4a =，5b =时，443555p k q =
= 满足条件时的k 的最大值为443555
③()2839a b ++=，解得312a b +=
（舍去） 综上所述，k 的最大值为
443555
． 【点睛】 本题考查了新定义下的实数运算．解题的关键在于理解题意．。